Theorem mblfinlem3

Description: The difference between two sets measurable by the criterion in ismblfin is itself measurable by the same. Corollary 0.3 of Viaclovsky7 p. 3. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Mar-2018) (Revised by Brendan Leahy, 13-Jul-2018)

	Ref	Expression
Assertion	mblfinlem3	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) ) → sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso	⊢ < Or ℝ
2	1	a1i	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) ) → < Or ℝ )
3		difss	⊢ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ 𝐴
4		ovolsscl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
5	3 4	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
6	5	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
7		vex	⊢ 𝑢 ∈ V
8		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ↔ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
9	8	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
10	9	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑢 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
11	7 10	elab	⊢ ( 𝑢 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
12		simprl	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) )
13		ssdifss	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ )
14		ovolss	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )
15	12 13 14	syl2anr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )
16		uniretop	⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
17	16	cldss	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → 𝑏 ⊆ ℝ )
18		ovolcl	⊢ ( 𝑏 ⊆ ℝ → ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ* )
19	17 18	syl	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ* )
20		ovolcl	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ* )
21	13 20	syl	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ* )
22		xrlenlt	⊢ ( ( ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ* ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
23	19 21 22	syl2anr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
24	23	adantrr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
25		id	⊢ ( 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) → 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) )
26		dfss4	⊢ ( 𝑏 ⊆ ℝ ↔ ( ℝ ∖ ( ℝ ∖ 𝑏 ) ) = 𝑏 )
27	17 26	sylib	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ℝ ∖ ( ℝ ∖ 𝑏 ) ) = 𝑏 )
28		rembl	⊢ ℝ ∈ dom vol
29	16	cldopn	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ℝ ∖ 𝑏 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
30		opnmbl	⊢ ( ( ℝ ∖ 𝑏 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) → ( ℝ ∖ 𝑏 ) ∈ dom vol )
31	29 30	syl	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ℝ ∖ 𝑏 ) ∈ dom vol )
32		difmbl	⊢ ( ( ℝ ∈ dom vol ∧ ( ℝ ∖ 𝑏 ) ∈ dom vol ) → ( ℝ ∖ ( ℝ ∖ 𝑏 ) ) ∈ dom vol )
33	28 31 32	sylancr	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ℝ ∖ ( ℝ ∖ 𝑏 ) ) ∈ dom vol )
34	27 33	eqeltrrd	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → 𝑏 ∈ dom vol )
35		mblvol	⊢ ( 𝑏 ∈ dom vol → ( vol ‘ 𝑏 ) = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
36	34 35	syl	⊢ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( vol ‘ 𝑏 ) = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
37	25 36	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑢 = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
38	37	breq2d	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 ↔ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
39	38	notbid	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → ( ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
40	39	adantrl	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
41	40	adantl	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < ( vol* ‘ 𝑏 ) ) )
42	24 41	bitr4d	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ↔ ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 ) )
43	15 42	mpbid	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 )
44	43	rexlimdvaa	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 ) )
45	44	imp	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑢 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 )
46	11 45	sylan2b	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑢 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ) → ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 )
47	46	adantlr	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑢 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ) → ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 )
48	47	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑢 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ) → ¬ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) < 𝑢 )
49		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
50		resubcl	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ )
51	50	adantrr	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ )
52		posdif	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ↔ 0 < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ) )
53	52	ancoms	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ↔ 0 < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ) )
54	53	biimpd	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) → 0 < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ) )
55	54	impr	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → 0 < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
56	51 55	elrpd	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ+ )
57		3nn	⊢ 3 ∈ ℕ
58		nnrp	⊢ ( 3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+ )
59	57 58	ax-mp	⊢ 3 ∈ ℝ+
60		rpdivcl	⊢ ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ+ )
61	56 59 60	sylancl	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ+ )
62	5 61	sylan	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ+ )
63	49 62	ltsubrpd	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol* ‘ 𝐴 ) )
64	63	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol* ‘ 𝐴 ) )
65		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) )
66	64 65	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) )
67		reex	⊢ ℝ ∈ V
68	67	ssex	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V )
69	68	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ V )
70		sseq1	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( 𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ ) )
71		fveq2	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( vol* ‘ 𝑣 ) = ( vol* ‘ 𝐴 ) )
72	71	eleq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ↔ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
73	70 72	anbi12d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ↔ ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ) )
74		sseq2	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴 ) )
75	74	anbi1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
76	75	rexbidv	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
77	76	abbidv	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } )
78	77	sseq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ↔ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ) )
79	77	neeq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ↔ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ) )
80	77	raleqdv	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
81	80	rexbidv	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
82	78 79 81	3anbi123d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ↔ ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) )
83	73 82	imbi12d	⊢ ( 𝑣 = 𝐴 → ( ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) ) )
84		simpr	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) )
85	84 36	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → 𝑦 = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
86	85	adantl	⊢ ( ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑦 = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
87		simprl	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → 𝑏 ⊆ 𝑣 )
88		ovolsscl	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ )
89	88	3expb	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ )
90	89	ancoms	⊢ ( ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣 ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ )
91	87 90	sylan2	⊢ ( ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ )
92	86 91	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
93	92	rexlimdvaa	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) )
94	93	abssdv	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ )
95		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
96		0cld	⊢ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top → ∅ ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
97	95 96	ax-mp	⊢ ∅ ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) )
98		0ss	⊢ ∅ ⊆ 𝑣
99		0mbl	⊢ ∅ ∈ dom vol
100		mblvol	⊢ ( ∅ ∈ dom vol → ( vol ‘ ∅ ) = ( vol* ‘ ∅ ) )
101	99 100	ax-mp	⊢ ( vol ‘ ∅ ) = ( vol* ‘ ∅ )
102		ovol0	⊢ ( vol* ‘ ∅ ) = 0
103	101 102	eqtr2i	⊢ 0 = ( vol ‘ ∅ )
104	98 103	pm3.2i	⊢ ( ∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ ∅ ) )
105		sseq1	⊢ ( 𝑏 = ∅ → ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ ∅ ⊆ 𝑣 ) )
106		fveq2	⊢ ( 𝑏 = ∅ → ( vol ‘ 𝑏 ) = ( vol ‘ ∅ ) )
107	106	eqeq2d	⊢ ( 𝑏 = ∅ → ( 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ↔ 0 = ( vol ‘ ∅ ) ) )
108	105 107	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = ∅ → ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( ∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ ∅ ) ) ) )
109	108	rspcev	⊢ ( ( ∅ ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( ∅ ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ ∅ ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
110	97 104 109	mp2an	⊢ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) )
111		c0ex	⊢ 0 ∈ V
112		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = 0 → ( 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ↔ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
113	112	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 0 → ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
114	113	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 0 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
115	111 114	spcev	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 0 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → ∃ 𝑦 ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
116	110 115	ax-mp	⊢ ∃ 𝑦 ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) )
117		abn0	⊢ ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
118	117	biimpri	⊢ ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ )
119	116 118	mp1i	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ )
120		simpr	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) )
121	120 36	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → 𝑧 = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
122	121	adantl	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑧 = ( vol* ‘ 𝑏 ) )
123		simprl	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → 𝑏 ⊆ 𝑣 )
124		ovolss	⊢ ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) )
125	124	ancoms	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ 𝑏 ⊆ 𝑣 ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) )
126	123 125	sylan2	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝑏 ) ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) )
127	122 126	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) )
128	127	rexlimdvaa	⊢ ( 𝑣 ⊆ ℝ → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) ) )
129	128	alrimiv	⊢ ( 𝑣 ⊆ ℝ → ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) ) )
130		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → ( 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ↔ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
131	130	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
132	131	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑧 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
133	132	ralab	⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑧 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) ) )
134	129 133	sylibr	⊢ ( 𝑣 ⊆ ℝ → ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) )
135		brralrspcev	⊢ ( ( ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ ( vol* ‘ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 )
136	134 135	sylan2	⊢ ( ( ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 )
137	136	ancoms	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 )
138	94 119 137	3jca	⊢ ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
139	83 138	vtoclg	⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) )
140	69 139	mpcom	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
141	140	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
142	62	rpred	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ )
143	49 142	resubcld	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
144		suprlub	⊢ ( ( ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
145	141 143 144	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
146	145	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
147	66 146	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 )
148		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ↔ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
149	148	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
150	149	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
151	150	rexab	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
152		breq2	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ↔ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
153	152	ad2antll	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ↔ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
154		sseq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑏 → ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐴 ) )
155		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑏 → ( vol ‘ 𝑠 ) = ( vol ‘ 𝑏 ) )
156	155	breq2d	⊢ ( 𝑠 = 𝑏 → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ↔ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
157	154 156	anbi12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑏 → ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
158	157	rspcev	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) )
159	158	expr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴 ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ) )
160	159	adantrr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ) )
161	153 160	sylbid	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ) )
162	161	rexlimiva	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ) )
163	162	imp	⊢ ( ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) )
164	163	exlimiv	⊢ ( ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) )
165	151 164	sylbi	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) )
166	147 165	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) )
167	166	ex	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ) )
168	167	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ) )
169		simplrr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
170	62	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ+ )
171	169 170	ltsubrpd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol* ‘ 𝐵 ) )
172	171	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol* ‘ 𝐵 ) )
173		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) )
174	172 173	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) )
175	67	ssex	⊢ ( 𝐵 ⊆ ℝ → 𝐵 ∈ V )
176	175	adantr	⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ V )
177		sseq1	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( 𝑣 ⊆ ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ ) )
178		fveq2	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( vol* ‘ 𝑣 ) = ( vol* ‘ 𝐵 ) )
179	178	eleq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ↔ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) )
180	177 179	anbi12d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) ↔ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) )
181		sseq2	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵 ) )
182	181	anbi1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
183	182	rexbidv	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
184	183	abbidv	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } )
185	184	sseq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ↔ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ) )
186	184	neeq1d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ↔ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ) )
187	184	raleqdv	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
188	187	rexbidv	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
189	185 186 188	3anbi123d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ↔ ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) )
190	180 189	imbi12d	⊢ ( 𝑣 = 𝐵 → ( ( ( 𝑣 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝑣 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) ) )
191	190 138	vtoclg	⊢ ( 𝐵 ∈ V → ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ) )
192	176 191	mpcom	⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
193	192	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) )
194	142	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ )
195	169 194	resubcld	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
196		suprlub	⊢ ( ( ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ⊆ ℝ ∧ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑧 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑧 ≤ 𝑥 ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
197	193 195 196	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
198	197	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
199	174 198	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 )
200	148	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
201	200	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
202	201	rexab	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) )
203		breq2	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ↔ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
204	203	ad2antll	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ↔ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
205		sseq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑏 → ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵 ) )
206		fveq2	⊢ ( 𝑤 = 𝑏 → ( vol ‘ 𝑤 ) = ( vol ‘ 𝑏 ) )
207	206	breq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑏 → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ↔ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
208	205 207	anbi12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑏 → ( ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
209	208	rspcev	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) )
210	209	expr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵 ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) )
211	210	adantrr	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑏 ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) )
212	204 211	sylbid	⊢ ( ( 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) )
213	212	rexlimiva	⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) )
214	213	imp	⊢ ( ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) )
215	214	exlimiv	⊢ ( ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) )
216	202 215	sylbi	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < 𝑣 → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) )
217	199 216	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) )
218	217	ex	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) → ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) )
219	168 218	anim12d	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) )
220		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) )
221	219 220	syl6ibr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) )
222		eqid	⊢ seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) )
223	222	ovolgelb	⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
224	223	3expa	⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
225	62 224	sylan2	⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
226	225	ancoms	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
227	226	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
228		elmapi	⊢ ( 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) → 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) )
229		ssid	⊢ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 )
230	222	ovollb	⊢ ( ( 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) )
231	229 230	mpan2	⊢ ( 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) )
232	231	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) )
233		eqid	⊢ ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) = ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 )
234	233 222	ovolsf	⊢ ( 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) → seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
235		frn	⊢ ( seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) → ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 0 [,) +∞ ) )
236		icossxr	⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ*
237	235 236	sstrdi	⊢ ( seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) → ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ℝ* )
238		supxrcl	⊢ ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ℝ* → sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
239	234 237 238	3syl	⊢ ( 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) → sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
240		simpr	⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
241		readdcl	⊢ ( ( ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
242	240 142 241	syl2anr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
243	242	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ* )
244	243	an32s	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ* )
245		rncoss	⊢ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ran (,)
246	245	unissi	⊢ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ∪ ran (,)
247		unirnioo	⊢ ℝ = ∪ ran (,)
248	246 247	sseqtrri	⊢ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ
249		ovolcl	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ* )
250	248 249	ax-mp	⊢ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ*
251		xrletr	⊢ ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ* ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
252	250 251	mp3an1	⊢ ( ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∈ ℝ* ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
253	239 244 252	syl2anr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
254	232 253	mpand	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ 𝑓 : ℕ ⟶ ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ) → ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
255	228 254	sylan2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ) → ( sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
256	255	anim2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ) → ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) )
257	256	reximdva	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs ∘ − ) ∘ 𝑓 ) ) , ℝ* , < ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) )
258	227 257	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
259		rexex	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( ≤ ∩ ( ℝ × ℝ ) ) ↑m ℕ ) ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
260	258 259	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ∃ 𝑓 ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
261	16	cldss	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → 𝑠 ⊆ ℝ )
262		indif2	⊢ ( 𝑠 ∩ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( ( 𝑠 ∩ ℝ ) ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) )
263		df-ss	⊢ ( 𝑠 ⊆ ℝ ↔ ( 𝑠 ∩ ℝ ) = 𝑠 )
264	263	biimpi	⊢ ( 𝑠 ⊆ ℝ → ( 𝑠 ∩ ℝ ) = 𝑠 )
265	264	difeq1d	⊢ ( 𝑠 ⊆ ℝ → ( ( 𝑠 ∩ ℝ ) ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
266	262 265	syl5eq	⊢ ( 𝑠 ⊆ ℝ → ( 𝑠 ∩ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
267	261 266	syl	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( 𝑠 ∩ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
268		retopbas	⊢ ran (,) ∈ TopBases
269		bastg	⊢ ( ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ ( topGen ‘ ran (,) ) )
270	268 269	ax-mp	⊢ ran (,) ⊆ ( topGen ‘ ran (,) )
271	245 270	sstri	⊢ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ( topGen ‘ ran (,) )
272		uniopn	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
273	95 271 272	mp2an	⊢ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
274	16	opncld	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
275	95 273 274	mp2an	⊢ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) )
276		incld	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( 𝑠 ∩ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
277	275 276	mpan2	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( 𝑠 ∩ ( ℝ ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
278	267 277	eqeltrrd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
279	278	adantr	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
280	279	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) )
281		simprll	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝑠 ⊆ 𝐴 )
282		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) )
283	281 282	ssdif2d	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) )
284		fveq2	⊢ ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) = 𝑏 → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) )
285	284	eqcoms	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) )
286	285	biantrud	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) → ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
287		sseq1	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) → ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )
288	286 287	bitr3d	⊢ ( 𝑏 = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) → ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )
289	288	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
290	280 283 289	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
291	290	adantlll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
292		difss	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 )
293	292 3	sstri	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ 𝐴
294		ovolsscl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
295	293 294	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
296	295	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
297	5	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
298		simpl	⊢ ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ )
299	298	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝑢 ∈ ℝ )
300		difdif2	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
301	300	fveq2i	⊢ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
302		difss	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 )
303	302 3	sstri	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ⊆ 𝐴
304		inss1	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 )
305	304 3	sstri	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝐴
306	303 305	unssi	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ 𝐴
307		ovolsscl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
308	306 307	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
309	308	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
310		difss	⊢ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ 𝐴
311		ovolsscl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
312	310 311	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
313	312	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
314	169 194	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
315	314 250	jctil	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) )
316		simpr	⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) )
317		ovolge0	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ → 0 ≤ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
318	248 317	ax-mp	⊢ 0 ≤ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) )
319	316 318	jctil	⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) → ( 0 ≤ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
320		xrrege0	⊢ ( ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ )
321	315 319 320	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ )
322		difss	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 )
323		ovolsscl	⊢ ( ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
324	322 248 323	mp3an12	⊢ ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
325	321 324	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
326	325	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
327	313 326	readdcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
328	5 50	sylan	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ 𝑢 ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ )
329	328	adantrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ )
330	329	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ )
331	330	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℝ )
332		ssdifss	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ )
333	322 248	sstri	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ℝ
334		unss	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ ∧ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ℝ ) ↔ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ⊆ ℝ )
335	332 333 334	sylanblc	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ⊆ ℝ )
336		ovolcl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ⊆ ℝ → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* )
337	335 336	syl	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* )
338	337	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* )
339	312	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
340	339 325	readdcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
341		ovolge0	⊢ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ⊆ ℝ → 0 ≤ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
342	335 341	syl	⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
343	342	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → 0 ≤ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
344	332	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ )
345	344 312	jca	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) )
346	345	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) )
347	325 333	jctil	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
348		ovolun	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ≤ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
349	346 347 348	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ≤ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
350		xrrege0	⊢ ( ( ( ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∧ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ≤ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
351	338 340 343 349 350	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
352	351	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ )
353		ssdif	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ 𝐴 → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) )
354	3 353	ax-mp	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝑠 )
355		incom	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) = ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) )
356		indif2	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) = ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 )
357	355 356	eqtri	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) = ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 )
358		inss1	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝐴 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 )
359	358	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝐴 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) )
360		simprrl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝑤 ⊆ 𝐵 )
361	359 360	ssdif2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝐴 ) ∖ 𝐵 ) ⊆ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) )
362	357 361	eqsstrid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) )
363		unss12	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) → ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) )
364	354 362 363	sylancr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) )
365	335	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ⊆ ℝ )
366		ovolss	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ⊆ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ≤ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
367	364 365 366	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ≤ ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
368	332	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ⊆ ℝ )
369	326 333	jctil	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) )
370	368 313 369 348	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ∪ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) ≤ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
371	309 352 327 367 370	letrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ≤ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
372	194	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ )
373	194 194	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
374	373	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ∈ ℝ )
375		eleq1w	⊢ ( 𝑏 = 𝑠 → ( 𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑠 ∈ dom vol ) )
376	375 34	vtoclga	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → 𝑠 ∈ dom vol )
377		mblvol	⊢ ( 𝑠 ∈ dom vol → ( vol ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ 𝑠 ) )
378	376 377	syl	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( vol ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ 𝑠 ) )
379	378	adantr	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ 𝑠 ) )
380		sseqin2	⊢ ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ↔ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) = 𝑠 )
381	380	biimpi	⊢ ( 𝑠 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) = 𝑠 )
382	381	eqcomd	⊢ ( 𝑠 ⊆ 𝐴 → 𝑠 = ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) )
383	382	fveq2d	⊢ ( 𝑠 ⊆ 𝐴 → ( vol* ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) )
384	383	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) → ( vol* ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) )
385	379 384	sylan9eq	⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) )
386	385	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol ‘ 𝑠 ) ) = ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ) )
387	386	adantll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol ‘ 𝑠 ) ) = ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ) )
388	376	adantr	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → 𝑠 ∈ dom vol )
389		simplll	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
390		mblsplit	⊢ ( ( 𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝐴 ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ) )
391	390	eqcomd	⊢ ( ( 𝑠 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ 𝐴 ) )
392	391	3expb	⊢ ( ( 𝑠 ∈ dom vol ∧ ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ 𝐴 ) )
393	388 389 392	syl2anr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ 𝐴 ) )
394	393	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ 𝐴 ) )
395		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
396	395	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
397		inss1	⊢ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ⊆ 𝐴
398		ovolsscl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
399	397 398	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
400	399	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
401	400	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
402	312	recnd	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
403	402	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ∈ ℂ )
404	396 401 403	subaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ↔ ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ 𝐴 ) ) )
405	394 404	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol* ‘ ( 𝐴 ∩ 𝑠 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) )
406	387 405	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol ‘ 𝑠 ) ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) )
407	379	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑠 ) = ( vol* ‘ 𝑠 ) )
408		simpll	⊢ ( ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) → 𝑠 ⊆ 𝐴 )
409		simp-4l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) → ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
410		ovolsscl	⊢ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
411	410	3expb	⊢ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ) → ( vol* ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
412	408 409 411	syl2anr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
413	407 412	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
414		simprlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) )
415	395 372 413 414	ltsub23d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( vol ‘ 𝑠 ) ) < ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
416	406 415	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) < ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
417	321	recnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℂ )
418	417	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℂ )
419	240	ad5antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
420	419	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ )
421		eleq1w	⊢ ( 𝑏 = 𝑤 → ( 𝑏 ∈ dom vol ↔ 𝑤 ∈ dom vol ) )
422	421 34	vtoclga	⊢ ( 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → 𝑤 ∈ dom vol )
423		mblvol	⊢ ( 𝑤 ∈ dom vol → ( vol ‘ 𝑤 ) = ( vol* ‘ 𝑤 ) )
424	422 423	syl	⊢ ( 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( vol ‘ 𝑤 ) = ( vol* ‘ 𝑤 ) )
425	424	adantl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑤 ) = ( vol* ‘ 𝑤 ) )
426	425	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑤 ) = ( vol* ‘ 𝑤 ) )
427		simprl	⊢ ( ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) → 𝑤 ⊆ 𝐵 )
428		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) → ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) )
429		ovolsscl	⊢ ( ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ 𝑤 ) ∈ ℝ )
430	429	3expb	⊢ ( ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) → ( vol* ‘ 𝑤 ) ∈ ℝ )
431	427 428 430	syl2anr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝑤 ) ∈ ℝ )
432	426 431	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑤 ) ∈ ℝ )
433	432	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑤 ) ∈ ℂ )
434	418 420 433	npncand	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) + ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) )
435		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) → 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) )
436	427 435	sylan9ssr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝑤 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) )
437		sseqin2	⊢ ( 𝑤 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ↔ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) = 𝑤 )
438	436 437	sylib	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) = 𝑤 )
439	438	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) = ( vol* ‘ 𝑤 ) )
440	426 439	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ 𝑤 ) = ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) )
441	440	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) = ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ) )
442	422	adantl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → 𝑤 ∈ dom vol )
443	321 248	jctil	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ ) )
444		mblsplit	⊢ ( ( 𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) = ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) )
445	444	eqcomd	⊢ ( ( 𝑤 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
446	445	3expb	⊢ ( ( 𝑤 ∈ dom vol ∧ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ ) ) → ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
447	442 443 446	syl2anr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
448	447	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
449		inss1	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 )
450		ovolsscl	⊢ ( ( ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
451	449 248 450	mp3an12	⊢ ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ ℝ → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
452	321 451	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
453	452	recnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ∈ ℂ )
454	325	recnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ∈ ℂ )
455	417 453 454	subaddd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ↔ ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
456	455	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ↔ ( ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
457	448 456	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∩ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) )
458	434 441 457	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) + ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) = ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) )
459	240	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
460	321 459	resubcld	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
461	460	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ )
462	419 432	resubcld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) ∈ ℝ )
463		simprr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) )
464	194	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℝ )
465	321 459 464	lesubadd2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ↔ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
466	463 465	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
467	466	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
468		simprrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) )
469	419 372 432 468	ltsub23d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) < ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
470	461 462 372 372 467 469	leltaddd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) − ( vol* ‘ 𝐵 ) ) + ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) < ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) )
471	458 470	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) < ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) )
472	313 326 372 374 416 471	lt2addd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) < ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
473		df-3	⊢ 3 = ( 2 + 1 )
474		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
475		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
476	474 475	addcomi	⊢ ( 2 + 1 ) = ( 1 + 2 )
477	473 476	eqtri	⊢ 3 = ( 1 + 2 )
478	477	oveq1i	⊢ ( 3 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
479	62	rpcnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℂ )
480		adddir	⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( 1 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) + ( 2 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
481	475 474 480	mp3an12	⊢ ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ∈ ℂ → ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( 1 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) + ( 2 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
482	479 481	syl	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( 1 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) + ( 2 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
483	479	mulid2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( 1 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) )
484	479	2timesd	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( 2 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) )
485	483 484	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 1 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) + ( 2 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
486	482 485	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
487	478 486	syl5eq	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( 3 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) )
488	329	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℂ )
489		3cn	⊢ 3 ∈ ℂ
490		3ne0	⊢ 3 ≠ 0
491		divcan2	⊢ ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ) → ( 3 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
492	489 490 491	mp3an23	⊢ ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) ∈ ℂ → ( 3 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
493	488 492	syl	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( 3 · ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
494	487 493	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
495	494	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
496	495	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
497	472 496	breqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝑠 ) ) + ( vol* ‘ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∖ 𝑤 ) ) ) < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
498	309 327 331 371 497	lelttrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ 𝑠 ) ∪ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
499	301 498	eqbrtrid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) )
500	296 297 299 499	ltsub13d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝑢 < ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
501	283	adantlll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) )
502		sseqin2	⊢ ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
503	501 502	sylib	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) )
504	503	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
505		opnmbl	⊢ ( ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) → ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ dom vol )
506	273 505	ax-mp	⊢ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ dom vol
507		difmbl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ dom vol ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol )
508	376 506 507	sylancl	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol )
509	508	adantr	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol )
510	509	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol )
511	13	adantr	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ )
512	511 5	jca	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) )
513	512	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) )
514		mblsplit	⊢ ( ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol ∧ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) = ( ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) + ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
515	514	3expb	⊢ ( ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) = ( ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) + ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
516	515	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol ∧ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) ) → ( ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) + ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )
517	510 513 516	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) + ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )
518	297	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
519	296	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ )
520		inss1	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 )
521	520 3	sstri	⊢ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ 𝐴
522		ovolsscl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
523	521 522	mp3an1	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
524	523	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℝ )
525	524	recnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ∈ ℂ )
526	518 519 525	subadd2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ↔ ( ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) + ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) )
527	517 526	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) = ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∩ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) )
528		mblvol	⊢ ( ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ∈ dom vol → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
529	507 528	syl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ dom vol ∧ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∈ dom vol ) → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
530	376 506 529	sylancl	⊢ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
531	530	adantr	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
532	531	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol* ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
533	504 527 532	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − ( vol* ‘ ( ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∖ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
534	500 533	breqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → 𝑢 < ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) )
535		fvex	⊢ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ∈ V
536		eqeq1	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) → ( 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ↔ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) )
537	536	anbi2d	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) → ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
538	537	rexbidv	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
539		breq2	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) → ( 𝑢 < 𝑣 ↔ 𝑢 < ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) )
540	538 539	anbi12d	⊢ ( 𝑣 = ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) → ( ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ 𝑢 < 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ 𝑢 < ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) ) )
541	535 540	spcev	⊢ ( ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ 𝑢 < ( vol ‘ ( 𝑠 ∖ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ 𝑢 < 𝑣 ) )
542	291 534 541	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ 𝑢 < 𝑣 ) )
543	148	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
544	543	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑣 → ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ) )
545	544	rexab	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑣 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) ∧ 𝑢 < 𝑣 ) )
546	542 545	sylibr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 )
547	546	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ) )
548	547	rexlimdvva	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ∧ ( vol* ‘ ∪ ran ( (,) ∘ 𝑓 ) ) ≤ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) + ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ) )
549	260 548	exlimddv	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ∃ 𝑤 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( ( 𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑤 ⊆ 𝐵 ∧ ( ( vol* ‘ 𝐵 ) − ( ( ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) − 𝑢 ) / 3 ) ) < ( vol ‘ 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ) )
550	221 549	syld	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ) )
551	550	exp31	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ) ) ) )
552	551	com34	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) → ( ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 ) ) ) )
553	552	3imp1	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑢 < ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } 𝑢 < 𝑣 )
554	2 6 48 553	eqsupd	⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( vol* ‘ 𝐴 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ∧ ( vol* ‘ 𝐵 ) = sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) ) ) → sup ( { 𝑦 ∣ ∃ 𝑏 ∈ ( Clsd ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ( 𝑏 ⊆ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝑦 = ( vol ‘ 𝑏 ) ) } , ℝ , < ) = ( vol* ‘ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) )