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Theorem evlselv

Description: Evaluating a selection of variable assignments, then evaluating the rest of the variables, is the same as evaluating with all assignments. (Contributed by SN, 10-Mar-2025)

Ref Expression
Hypotheses evlselv.p ⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
evlselv.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
evlselv.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑃 )
evlselv.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 )
evlselv.t ⊢ 𝑇 = ( 𝐽 mPoly 𝑈 )
evlselv.l ⊢ 𝐿 = ( algSc ‘ 𝑈 )
evlselv.i ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 )
evlselv.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
evlselv.j ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
evlselv.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
evlselv.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 𝐾 ↑m 𝐼 ) )
Assertion evlselv ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) eval 𝑅 ) ‘ ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( 𝐼 eval 𝑅 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝐴 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 evlselv.p ⊢ 𝑃 = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
2 evlselv.k ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 )
3 evlselv.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑃 )
4 evlselv.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) mPoly 𝑅 )
5 evlselv.t ⊢ 𝑇 = ( 𝐽 mPoly 𝑈 )
6 evlselv.l ⊢ 𝐿 = ( algSc ‘ 𝑈 )
7 evlselv.i ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 )
8 evlselv.r ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
9 evlselv.j ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
10 evlselv.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵 )
11 evlselv.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 𝐾 ↑m 𝐼 ) )
12 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑈 ) = ( Base ‘ 𝑈 )
13 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝑈 ) = ( .r ‘ 𝑈 )
14 difssd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⊆ 𝐼 )
15 7 14 ssexd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
16 4 15 8 mplcrngd ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ CRing )
17 16 crngringd ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ Ring )
18 17 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑈 ∈ Ring )
19 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑇 ) = ( Base ‘ 𝑇 )
20 eqid ⊢ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } = { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin }
21 1 3 4 5 19 8 9 10 selvcl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝑇 ) )
22 5 12 19 20 21 mplelf ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) : { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ 𝑈 ) )
23 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) : { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ 𝑈 ) )
24 23 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
25 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) = ( mulGrp ‘ 𝑈 )
26 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) )
27 7 9 ssexd ⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ V )
28 27 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐽 ∈ V )
29 16 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑈 ∈ CRing )
30 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑈 ) ∈ V )
31 2 fvexi ⊢ 𝐾 ∈ V
32 31 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ V )
33 8 crngringd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
34 4 12 2 6 15 33 mplasclf ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 : 𝐾 ⟶ ( Base ‘ 𝑈 ) )
35 30 32 34 elmapdd ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( Base ‘ 𝑈 ) ↑m 𝐾 ) )
36 11 9 elmapssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐾 ↑m 𝐽 ) )
37 35 36 mapcod ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑈 ) ↑m 𝐽 ) )
38 37 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑈 ) ↑m 𝐽 ) )
39 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } )
40 20 12 25 26 28 29 38 39 evlsvvvallem ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
41 12 13 18 24 40 ringcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
42 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
43 eqidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) = ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) )
44 fveq1 ⊢ ( 𝑢 = ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) → ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) )
45 41 42 43 44 fmptco ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) ) )
46 34 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐿 : 𝐾 ⟶ ( Base ‘ 𝑈 ) )
47 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
48 47 2 mgpbas ⊢ 𝐾 = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
49 eqid ⊢ ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
50 47 ringmgp ⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
51 33 50 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
52 51 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
53 20 psrbagf ⊢ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑒 : 𝐽 ⟶ ℕ0 )
54 53 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑒 : 𝐽 ⟶ ℕ0 )
55 54 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ∈ ℕ0 )
56 elmapi ⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐾 ↑m 𝐼 ) → 𝐴 : 𝐼 ⟶ 𝐾 )
57 11 56 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 : 𝐼 ⟶ 𝐾 )
58 57 9 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) : 𝐽 ⟶ 𝐾 )
59 58 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) : 𝐽 ⟶ 𝐾 )
60 59 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐾 )
61 48 49 52 55 60 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐾 )
62 46 61 cofmpt ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐿 ∘ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝐿 ‘ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
63 4 mplassa ⊢ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ) → 𝑈 ∈ AssAlg )
64 15 8 63 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg )
65 eqid ⊢ ( Scalar ‘ 𝑈 ) = ( Scalar ‘ 𝑈 )
66 6 65 asclrhm ⊢ ( 𝑈 ∈ AssAlg → 𝐿 ∈ ( ( Scalar ‘ 𝑈 ) RingHom 𝑈 ) )
67 64 66 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( Scalar ‘ 𝑈 ) RingHom 𝑈 ) )
68 4 15 8 mplsca ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
69 68 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ 𝑈 ) = 𝑅 )
70 69 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( Scalar ‘ 𝑈 ) RingHom 𝑈 ) = ( 𝑅 RingHom 𝑈 ) )
71 67 70 eleqtrd ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( 𝑅 RingHom 𝑈 ) )
72 47 25 rhmmhm ⊢ ( 𝐿 ∈ ( 𝑅 RingHom 𝑈 ) → 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) )
73 71 72 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) )
74 73 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) )
75 48 49 26 mhmmulg ⊢ ( ( 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐾 ) → ( 𝐿 ‘ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( 𝐿 ‘ ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
76 74 55 60 75 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( 𝐿 ‘ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( 𝐿 ‘ ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
77 58 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) : 𝐽 ⟶ 𝐾 )
78 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → 𝑗 ∈ 𝐽 )
79 77 78 fvco3d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝐿 ‘ ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
80 79 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( 𝐿 ‘ ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
81 76 80 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( 𝐿 ‘ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) )
82 81 mpteq2dva ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝐿 ‘ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
83 62 82 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐿 ∘ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
84 83 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝐿 ∘ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
85 eqid ⊢ ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
86 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
87 68 8 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( Scalar ‘ 𝑈 ) ∈ CRing )
88 eqid ⊢ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
89 88 crngmgp ⊢ ( ( Scalar ‘ 𝑈 ) ∈ CRing → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∈ CMnd )
90 87 89 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∈ CMnd )
91 90 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∈ CMnd )
92 25 ringmgp ⊢ ( 𝑈 ∈ Ring → ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ∈ Mnd )
93 17 92 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ∈ Mnd )
94 93 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ∈ Mnd )
95 88 25 rhmmhm ⊢ ( 𝐿 ∈ ( ( Scalar ‘ 𝑈 ) RingHom 𝑈 ) → 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) )
96 67 95 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) )
97 96 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐿 ∈ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) )
98 68 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
99 2 98 eqtrid ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
100 99 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → 𝐾 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
101 61 100 eleqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
102 eqid ⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
103 88 102 mgpbas ⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
104 101 103 eleqtrdi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) )
105 104 fmpttd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) )
106 54 feqmptd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑒 = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ) )
107 20 psrbagfsupp ⊢ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑒 finSupp 0 )
108 107 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑒 finSupp 0 )
109 106 108 eqbrtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ) finSupp 0 )
110 eqid ⊢ ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
111 48 110 49 mulg0 ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐾 → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) 𝑘 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
112 111 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) 𝑘 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
113 fvexd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∈ V )
114 109 112 55 60 113 fsuppssov1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
115 eqid ⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
116 47 115 ringidval ⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
117 114 116 breqtrrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) finSupp ( 1r ‘ 𝑅 ) )
118 68 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
119 eqid ⊢ ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
120 88 119 ringidval ⊢ ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
121 118 120 eqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) )
122 121 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) )
123 117 122 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ) )
124 85 86 91 94 28 97 105 123 gsummhm ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝐿 ∘ ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( 𝐿 ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
125 84 124 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( 𝐿 ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
126 125 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( 𝐿 ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
127 64 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑈 ∈ AssAlg )
128 101 fmpttd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) : 𝐽 ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
129 123 120 breqtrrdi ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) finSupp ( 1r ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
130 103 120 91 28 128 129 gsumcl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
131 eqid ⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑈 )
132 6 65 102 12 13 131 asclmul2 ⊢ ( ( 𝑈 ∈ AssAlg ∧ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( 𝐿 ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ) )
133 127 130 24 132 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( 𝐿 ‘ ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ) )
134 126 133 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ) )
135 134 fveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) = ( ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ) ‘ 𝑐 ) )
136 eqid ⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
137 eqid ⊢ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } = { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin }
138 99 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐾 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
139 130 138 eleqtrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
140 simplr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } )
141 4 131 2 12 136 137 139 24 140 mplvscaval ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ) ‘ 𝑐 ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) )
142 135 141 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) = ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) )
143 142 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ) )
144 45 143 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ) )
145 144 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ) ) )
146 69 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
147 146 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
148 147 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
149 148 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) )
150 8 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ CRing )
151 148 139 eqeltrrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
152 22 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
153 4 2 12 137 152 mplelf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) : { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ 𝐾 )
154 153 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐾 )
155 154 an32s ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐾 )
156 2 136 150 151 155 crngcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
157 149 156 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
158 157 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) )
159 158 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( mulGrp ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
160 145 159 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
161 160 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑅 Σg ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
162 eqid ⊢ ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) = ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) )
163 fveq1 ⊢ ( 𝑢 = ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) → ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) = ( ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) )
164 eqid ⊢ ( 𝐽 eval 𝑈 ) = ( 𝐽 eval 𝑈 )
165 164 5 19 20 12 25 26 13 27 16 21 37 evlvvval ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
166 164 5 19 12 27 16 21 37 evlcl ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
167 165 166 eqeltrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
168 167 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
169 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) ∈ V )
170 162 163 168 169 fvmptd3 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ‘ ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) )
171 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑈 ) = ( 0g ‘ 𝑈 )
172 17 ringcmnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ CMnd )
173 172 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑈 ∈ CMnd )
174 8 crnggrpd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
175 174 grpmndd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd )
176 175 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ Mnd )
177 ovex ⊢ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∈ V
178 177 rabex ⊢ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V
179 178 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V )
180 15 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
181 174 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ Grp )
182 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } )
183 4 12 137 162 180 181 182 mplmapghm ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( 𝑈 GrpHom 𝑅 ) )
184 ghmmhm ⊢ ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( 𝑈 GrpHom 𝑅 ) → ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( 𝑈 MndHom 𝑅 ) )
185 183 184 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( 𝑈 MndHom 𝑅 ) )
186 41 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) : { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ 𝑈 ) )
187 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐽 ∈ V )
188 16 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑈 ∈ CRing )
189 21 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝑇 ) )
190 37 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑈 ) ↑m 𝐽 ) )
191 20 5 19 12 25 26 13 187 188 189 190 evlvvvallem ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑈 ) )
192 12 171 173 176 179 185 186 191 gsummhm ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ‘ ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) )
193 165 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) )
194 193 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = ( ( 𝑈 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑐 ) )
195 170 192 194 3eqtr4rd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) = ( 𝑅 Σg ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) )
196 195 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) ↦ ( 𝑢 ‘ 𝑐 ) ) ∘ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ( .r ‘ 𝑈 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑈 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑈 ) ) ( ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
197 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
198 33 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ Ring )
199 47 crngmgp ⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
200 8 199 syl ⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
201 200 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
202 51 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
203 137 psrbagf ⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑐 : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 )
204 203 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑐 : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 )
205 204 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
206 57 14 fssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ 𝐾 )
207 206 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ 𝐾 )
208 207 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐾 )
209 48 49 202 205 208 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ 𝐾 )
210 209 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ 𝐾 )
211 204 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑐 = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) )
212 137 psrbagfsupp ⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑐 finSupp 0 )
213 212 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑐 finSupp 0 )
214 211 213 eqbrtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) finSupp 0 )
215 48 110 49 mulg0 ⊢ ( 𝑣 ∈ 𝐾 → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) 𝑣 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
216 215 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) 𝑣 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
217 fvexd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ∈ V )
218 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∈ V )
219 214 216 217 208 218 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
220 48 110 201 180 210 219 gsumcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
221 33 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ Ring )
222 2 136 221 155 151 ringcld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
223 178 mptex ⊢ ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ∈ V
224 223 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) ∈ V )
225 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
226 funmpt ⊢ Fun ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) )
227 226 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → Fun ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) )
228 5 19 171 21 mplelsfi ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) finSupp ( 0g ‘ 𝑈 ) )
229 228 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) finSupp ( 0g ‘ 𝑈 ) )
230 ssidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) ⊆ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) )
231 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 0g ‘ 𝑈 ) ∈ V )
232 23 230 179 231 suppssr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ ( { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∖ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) = ( 0g ‘ 𝑈 ) )
233 232 fveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ ( { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∖ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) = ( ( 0g ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑐 ) )
234 4 137 197 171 15 174 mpl0 ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑈 ) = ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
235 234 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 0g ‘ 𝑈 ) = ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
236 235 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 0g ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑐 ) = ( ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ 𝑐 ) )
237 fvex ⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V
238 237 fvconst2 ⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } → ( ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ 𝑐 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
239 238 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ‘ 𝑐 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
240 236 239 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 0g ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑐 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
241 240 adantr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ ( { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∖ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑈 ) ‘ 𝑐 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
242 233 241 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ ( { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∖ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
243 242 179 suppss2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) supp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ⊆ ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) supp ( 0g ‘ 𝑈 ) ) )
244 224 225 227 229 243 fsuppsssuppgd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
245 33 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → 𝑅 ∈ Ring )
246 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → 𝑣 ∈ 𝐾 )
247 2 136 197 245 246 ringlzd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑣 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
248 244 247 155 151 225 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
249 2 197 136 198 179 220 222 248 gsummulc1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
250 161 196 249 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
251 fveq2 ⊢ ( 𝑎 = 𝑒 → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) = ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) )
252 251 adantl ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) = ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) )
253 simpl ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → 𝑏 = 𝑐 )
254 252 253 fveq12d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) = ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) )
255 fveq1 ⊢ ( 𝑎 = 𝑒 → ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) )
256 255 adantl ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) )
257 256 oveq1d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
258 257 mpteq2dv ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
259 258 oveq2d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
260 254 259 oveq12d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
261 fveq1 ⊢ ( 𝑏 = 𝑐 → ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) )
262 261 adantr ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) )
263 262 oveq1d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
264 263 mpteq2dv ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
265 264 oveq2d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
266 260 265 oveq12d ⊢ ( ( 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑒 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
267 eqid ⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
268 ovex ⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ V
269 266 267 268 ovmpoa ⊢ ( ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
270 269 adantll ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
271 270 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) = ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
272 271 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑒 ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑒 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
273 250 272 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) ) )
274 273 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) ) ) )
275 274 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) ) ) ) )
276 33 ringcmnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd )
277 ovex ⊢ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∈ V
278 277 rabex ⊢ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V
279 278 a1i ⊢ ( 𝜑 → { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V )
280 33 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ Ring )
281 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) : { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ 𝑈 ) )
282 eqid ⊢ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin }
283 7 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐼 ∈ 𝑉 )
284 9 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
285 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } )
286 282 20 283 284 285 psrbagres ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } )
287 281 286 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
288 4 2 12 137 287 mplelf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) : { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ 𝐾 )
289 difssd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⊆ 𝐼 )
290 282 137 283 289 285 psrbagres ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } )
291 288 290 ffvelcdmd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐾 )
292 200 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd )
293 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐽 ∈ V )
294 51 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
295 282 psrbagf ⊢ ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑑 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
296 295 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑑 : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
297 296 284 fssresd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) : 𝐽 ⟶ ℕ0 )
298 297 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ∈ ℕ0 )
299 58 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐾 )
300 299 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐾 )
301 48 49 294 298 300 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ∈ 𝐾 )
302 301 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) : 𝐽 ⟶ 𝐾 )
303 27 mptexd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ∈ V )
304 303 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ∈ V )
305 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ∈ V )
306 funmpt ⊢ Fun ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
307 306 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → Fun ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
308 282 psrbagfsupp ⊢ ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑑 finSupp 0 )
309 308 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑑 finSupp 0 )
310 0zd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 0 ∈ ℤ )
311 309 310 fsuppres ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) finSupp 0 )
312 ssidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) ⊆ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) )
313 297 312 293 310 suppssr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) = 0 )
314 313 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
315 eldifi ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) ) → 𝑗 ∈ 𝐽 )
316 48 110 49 mulg0 ⊢ ( ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ∈ 𝐾 → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
317 300 316 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
318 315 317 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
319 314 318 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐽 ∖ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
320 319 293 suppss2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) supp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) supp 0 ) )
321 304 305 307 311 320 fsuppsssuppgd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
322 48 110 292 293 302 321 gsumcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
323 2 136 280 291 322 ringcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
324 15 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
325 51 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
326 296 289 fssresd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 )
327 326 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
328 206 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐾 )
329 328 adantlr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐾 )
330 48 49 325 327 329 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ 𝐾 )
331 330 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ 𝐾 )
332 324 mptexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ∈ V )
333 funmpt ⊢ Fun ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
334 333 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → Fun ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
335 309 310 fsuppres ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) finSupp 0 )
336 ssidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ⊆ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) )
337 326 336 324 310 suppssr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∖ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ) ) → ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
338 337 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∖ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
339 eldifi ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∖ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) )
340 339 329 sylan2 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∖ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐾 )
341 48 110 49 mulg0 ⊢ ( ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ 𝐾 → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
342 340 341 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∖ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ) ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
343 338 342 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∖ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
344 343 324 suppss2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) supp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) supp 0 ) )
345 332 305 334 335 344 fsuppsssuppgd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
346 48 110 292 324 331 345 gsumcl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
347 2 136 280 323 346 ringcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
348 347 fmpttd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) : { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ 𝐾 )
349 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑅 ∈ CRing )
350 10 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐹 ∈ 𝐵 )
351 282 1 3 349 284 350 285 selvvvval ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) )
352 351 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ) )
353 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
354 1 353 3 282 10 mplelf ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
355 354 feqmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ) )
356 1 3 197 10 mplelsfi ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
357 355 356 eqbrtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
358 352 357 eqbrtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
359 33 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → 𝑅 ∈ Ring )
360 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → 𝑣 ∈ 𝐾 )
361 2 136 197 359 360 ringlzd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐾 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑣 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
362 fvexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ∈ V )
363 fvexd ⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
364 358 361 362 322 363 fsuppssov1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
365 ovexd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ V )
366 364 361 365 346 363 fsuppssov1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
367 eqid ⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) = ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) )
368 282 20 137 367 7 9 evlselvlem ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) : ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) –1-1-onto→ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } )
369 2 197 276 279 348 366 368 gsumf1o ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) ) ) )
370 137 psrbagf ⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑏 : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 )
371 370 ad2antrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑏 : ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 )
372 20 psrbagf ⊢ ( 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑎 : 𝐽 ⟶ ℕ0 )
373 372 ad2antll ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑎 : 𝐽 ⟶ ℕ0 )
374 disjdifr ⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅
375 374 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅ )
376 371 373 375 fun2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 )
377 undifr ⊢ ( 𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
378 9 377 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
379 378 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) = 𝐼 )
380 379 feq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∪ 𝐽 ) ⟶ ℕ0 ↔ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : 𝐼 ⟶ ℕ0 ) )
381 376 380 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : 𝐼 ⟶ ℕ0 )
382 vex ⊢ 𝑏 ∈ V
383 vex ⊢ 𝑎 ∈ V
384 382 383 unex ⊢ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ∈ V
385 384 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ∈ V )
386 0zd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 0 ∈ ℤ )
387 381 ffund ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → Fun ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) )
388 137 psrbagfsupp ⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑏 finSupp 0 )
389 388 ad2antrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑏 finSupp 0 )
390 20 psrbagfsupp ⊢ ( 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑎 finSupp 0 )
391 390 ad2antll ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑎 finSupp 0 )
392 389 391 fsuppun ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) supp 0 ) ∈ Fin )
393 385 386 387 392 isfsuppd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) finSupp 0 )
394 fcdmnn0fsuppg ⊢ ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ∈ V ∧ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : 𝐼 ⟶ ℕ0 ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) finSupp 0 ↔ ( ◡ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) “ ℕ ) ∈ Fin ) )
395 385 381 394 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) finSupp 0 ↔ ( ◡ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) “ ℕ ) ∈ Fin ) )
396 393 395 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ◡ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) “ ℕ ) ∈ Fin )
397 7 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝐼 ∈ 𝑉 )
398 282 psrbag ⊢ ( 𝐼 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↔ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : 𝐼 ⟶ ℕ0 ∧ ( ◡ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) “ ℕ ) ∈ Fin ) ) )
399 397 398 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↔ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) : 𝐼 ⟶ ℕ0 ∧ ( ◡ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) “ ℕ ) ∈ Fin ) ) )
400 381 396 399 mpbir2and ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } )
401 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) = ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) )
402 eqidd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
403 reseq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) = ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) )
404 403 fveq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) )
405 reseq1 ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
406 404 405 fveq12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) )
407 403 fveq1d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) )
408 407 oveq1d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
409 408 mpteq2dv ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
410 409 oveq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
411 406 410 oveq12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
412 405 fveq1d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) )
413 412 oveq1d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
414 413 mpteq2dv ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
415 414 oveq2d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
416 411 415 oveq12d ⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
417 384 416 csbie ⊢ ⦋ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) / 𝑑 ⦌ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
418 370 ffnd ⊢ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } → 𝑏 Fn ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) )
419 418 ad2antrl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑏 Fn ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) )
420 373 ffnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑎 Fn 𝐽 )
421 fnunres2 ⊢ ( ( 𝑏 Fn ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∧ 𝑎 Fn 𝐽 ∧ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅ ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) = 𝑎 )
422 419 420 375 421 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) = 𝑎 )
423 422 fveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) )
424 fnunres1 ⊢ ( ( 𝑏 Fn ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∧ 𝑎 Fn 𝐽 ∧ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∩ 𝐽 ) = ∅ ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝑏 )
425 419 420 375 424 syl3anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝑏 )
426 423 425 fveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) )
427 422 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) )
428 427 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
429 428 mpteq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
430 429 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
431 426 430 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) )
432 425 fveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) )
433 432 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
434 433 mpteq2dv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
435 434 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
436 431 435 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
437 417 436 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ⦋ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) / 𝑑 ⦌ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
438 400 401 402 437 fmpocos ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
439 438 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
440 ovex ⊢ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ V
441 440 rabex ⊢ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V
442 441 a1i ⊢ ( 𝜑 → { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V )
443 178 a1i ⊢ ( 𝜑 → { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ∈ V )
444 33 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
445 22 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ∈ ( Base ‘ 𝑈 ) )
446 4 2 12 137 445 mplelf ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) : { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ⟶ 𝐾 )
447 446 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐾 )
448 447 an32s ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐾 )
449 448 anasss ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐾 )
450 27 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝐽 ∈ V )
451 8 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
452 36 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐾 ↑m 𝐽 ) )
453 simprr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } )
454 20 2 47 49 450 451 452 453 evlsvvvallem ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
455 2 136 444 449 454 ringcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
456 15 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ∈ V )
457 11 14 elmapssresd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ ( 𝐾 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
458 457 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∈ ( 𝐾 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
459 simprl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } )
460 137 2 47 49 456 451 458 459 evlsvvvallem ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
461 2 136 444 455 460 ringcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∧ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
462 461 ralrimivva ⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∀ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 )
463 267 fmpo ⊢ ( ∀ 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ∀ 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 ↔ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) : ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ⟶ 𝐾 )
464 462 463 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) : ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) ⟶ 𝐾 )
465 f1of1 ⊢ ( ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) : ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) –1-1-onto→ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } → ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) : ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) –1-1→ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } )
466 368 465 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) : ( { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } × { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ) –1-1→ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } )
467 278 mptex ⊢ ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∈ V
468 467 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∈ V )
469 366 466 363 468 fsuppco ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑏 ∪ 𝑎 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
470 438 469 eqbrtrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
471 2 197 276 442 443 464 470 gsumxp ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) ) ) ) )
472 369 439 471 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑒 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( 𝑐 ( 𝑏 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } , 𝑎 ∈ { 𝑔 ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ( ◡ 𝑔 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑎 ) ‘ 𝑏 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑎 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑏 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) 𝑒 ) ) ) ) ) )
473 2 136 280 291 322 346 ringassd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
474 47 136 mgpplusg ⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
475 51 ad2antrr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
476 296 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ∈ ℕ0 )
477 57 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐴 : 𝐼 ⟶ 𝐾 )
478 477 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ 𝐾 )
479 48 49 475 476 478 mulgnn0cld ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ 𝐾 )
480 479 fmpttd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) : 𝐼 ⟶ 𝐾 )
481 296 feqmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝑑 = ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) )
482 481 309 eqbrtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) finSupp 0 )
483 111 adantl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾 ) → ( 0 ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) 𝑘 ) = ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
484 482 483 476 478 305 fsuppssov1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) )
485 disjdif ⊢ ( 𝐽 ∩ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ∅
486 485 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝐽 ∩ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ∅ )
487 undif ⊢ ( 𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
488 9 487 sylib ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = 𝐼 )
489 488 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 = ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
490 489 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → 𝐼 = ( 𝐽 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) )
491 48 110 474 292 283 480 484 486 490 gsumsplit ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) )
492 284 resmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ 𝐽 ) = ( 𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) )
493 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
494 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) )
495 493 494 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) )
496 495 cbvmptv ⊢ ( 𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) )
497 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → 𝑗 ∈ 𝐽 )
498 497 fvresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) )
499 497 fvresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) )
500 498 499 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) )
501 500 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) )
502 501 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
503 496 502 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑖 ∈ 𝐽 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
504 492 503 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ 𝐽 ) = ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) )
505 504 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) )
506 289 resmptd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) )
507 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
508 fveq2 ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
509 507 508 oveq12d ⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
510 509 cbvmptv ⊢ ( 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
511 simpr ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) )
512 511 fvresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) )
513 511 fvresd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) )
514 512 513 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) )
515 514 eqcomd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) ∧ 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) )
516 515 mpteq2dva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
517 510 516 eqtrid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
518 506 517 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
519 518 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
520 505 519 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ 𝐽 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) )
521 491 520 eqtr2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
522 351 521 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
523 473 522 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) )
524 523 mpteq2dva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) )
525 524 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ) ‘ ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑗 ∈ 𝐽 ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( ( 𝑑 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) )
526 275 472 525 3eqtr2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) )
527 eqid ⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) eval 𝑅 ) = ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) eval 𝑅 )
528 527 4 12 137 2 47 49 136 15 8 166 457 evlvvval ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) eval 𝑅 ) ‘ ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑐 ∈ { 𝑓 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ∣ ( ◡ 𝑓 “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ‘ 𝑐 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑘 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ↦ ( ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
529 eqid ⊢ ( 𝐼 eval 𝑅 ) = ( 𝐼 eval 𝑅 )
530 529 1 3 282 2 47 49 136 7 8 10 11 evlvvval ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 eval 𝑅 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝐴 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑑 ∈ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ( ◡ ℎ “ ℕ ) ∈ Fin } ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑑 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) ) )
531 526 528 530 3eqtr4d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) eval 𝑅 ) ‘ ( ( ( 𝐽 eval 𝑈 ) ‘ ( ( ( 𝐼 selectVars 𝑅 ) ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐹 ) ) ‘ ( 𝐿 ∘ ( 𝐴 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ‘ ( 𝐴 ↾ ( 𝐼 ∖ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( 𝐼 eval 𝑅 ) ‘ 𝐹 ) ‘ 𝐴 ) )