Theorem fourierdlem42

Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019) (Revised by AV, 29-Sep-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem42.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.bc	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
	fourierdlem42.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
	fourierdlem42.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
	fourierdlem42.af	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
	fourierdlem42.ba	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
	fourierdlem42.ca	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
	fourierdlem42.d	⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
	fourierdlem42.i	⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
	fourierdlem42.r	⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
	fourierdlem42.e	⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
	fourierdlem42.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.j	⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
	fourierdlem42.k	⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
	fourierdlem42.h	⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
	fourierdlem42.15	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
Assertion	fourierdlem42	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem42.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
2		fourierdlem42.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
3		fourierdlem42.bc	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
4		fourierdlem42.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
5		fourierdlem42.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
6		fourierdlem42.af	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
7		fourierdlem42.ba	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
8		fourierdlem42.ca	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
9		fourierdlem42.d	⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
10		fourierdlem42.i	⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
11		fourierdlem42.r	⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
12		fourierdlem42.e	⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
13		fourierdlem42.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14		fourierdlem42.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
15		fourierdlem42.j	⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
16		fourierdlem42.k	⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
17		fourierdlem42.h	⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
18		fourierdlem42.15	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
19	15 16	icccmp	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ Comp )
20	13 14 19	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Comp )
21	20	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐾 ∈ Comp )
22		ssrab2	⊢ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 )
23	22	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
24	17 23	eqsstrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
25		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
26	15 25	eqeltri	⊢ 𝐽 ∈ Top
27	13 14	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
28		uniretop	⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
29	15	unieqi	⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
30	28 29	eqtr4i	⊢ ℝ = ∪ 𝐽
31	30	restuni	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
32	26 27 31	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
33	16	unieqi	⊢ ∪ 𝐾 = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
34	33	eqcomi	⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ∪ 𝐾
35	32 34	eqtrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ 𝐾 )
36	24 35	sseqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
37	36	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
38		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ 𝐻 ∈ Fin )
39		eqid	⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
40	39	bwth	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
41	21 37 38 40	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
42	24 27	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ )
43	42	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐻 ⊆ ℝ )
44		ne0i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
45	44	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
46		absf	⊢ abs : ℂ ⟶ ℝ
47		ffn	⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → abs Fn ℂ )
48	46 47	ax-mp	⊢ abs Fn ℂ
49		subf	⊢ − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ
50		ffn	⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → − Fn ( ℂ × ℂ ) )
51	49 50	ax-mp	⊢ − Fn ( ℂ × ℂ )
52		frn	⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → ran − ⊆ ℂ )
53	49 52	ax-mp	⊢ ran − ⊆ ℂ
54		fnco	⊢ ( ( abs Fn ℂ ∧ − Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ ran − ⊆ ℂ ) → ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
55	48 51 53 54	mp3an	⊢ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ )
56	9	fneq1i	⊢ ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ↔ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
57	55 56	mpbir	⊢ 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ )
58	1 2	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℝ )
59		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
60	58 59	sstrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℂ )
61	5 60	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ )
62		xpss12	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
63	61 61 62	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
64	63	ssdifssd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
65	10 64	eqsstrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
66		fnssres	⊢ ( ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
67	57 65 66	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
68		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
69	68	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
70	9	fveq1i	⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 )
71	70	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) )
72		ffun	⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → Fun − )
73	49 72	ax-mp	⊢ Fun −
74	65	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) )
75	49	fdmi	⊢ dom − = ( ℂ × ℂ )
76	74 75	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − )
77		fvco	⊢ ( ( Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
78	73 76 77	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
79	69 71 78	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
80	49	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ )
81	80 74	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
82	81	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
83	79 82	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
84		elxp2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
85	74 84	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
86		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
87	86	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
88		df-ov	⊢ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
89		simp1l	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝜑 )
90		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
91		simpl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 ∈ 𝐼 )
92	90 91	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
93	92	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
94	93	3adant2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
95	61	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝐴 ⊆ ℂ )
96	10	eleq2i	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
97		eldif	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ↔ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
98	96 97	sylbb	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
99	98	simpld	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
100		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
101	99 100	sylib	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
102	101	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
103	102	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
104	95 103	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
105	102	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
106	95 105	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ ℂ )
107	98	simprd	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
108		df-br	⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
109	107 108	sylnibr	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧 )
110		vex	⊢ 𝑧 ∈ V
111	110	ideq	⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧 )
112	109 111	sylnib	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧 )
113	112	neqned	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧 )
114	113	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
115	104 106 114	subne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
116	89 94 115	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
117	88 116	eqnetrrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) ≠ 0 )
118	87 117	eqnetrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
119	118	3exp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) )
120	119	rexlimdvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
121	85 120	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
122		absgt0	⊢ ( ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
123	81 122	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
124	121 123	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
125	79	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
126	124 125	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
127	83 126	elrpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
128	127	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
129		fnfvrnss	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
130	67 128 129	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
131	11 130	eqsstrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ+ )
132		ltso	⊢ < Or ℝ
133	132	a1i	⊢ ( 𝜑 → < Or ℝ )
134		xpfi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
135	6 6 134	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
136		diffi	⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
137	135 136	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
138	10 137	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin )
139		fnfi	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
140	67 138 139	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
141		rnfi	⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
142	140 141	syl	⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
143	11 142	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
144	11	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
145	9	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( abs ∘ − ) )
146	145	reseq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
147	146	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
148		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
149	7 8 148	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
150	1 3	ltned	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
151	150	neneqd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶 )
152		ideqg	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
153	8 152	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
154	151 153	mtbird	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶 )
155		df-br	⊢ ( 𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
156	154 155	sylnib	⊢ ( 𝜑 → ¬ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
157	149 156	eldifd	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
158	157 10	eleqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 )
159		fvres	⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
160	158 159	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
161	1	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
162	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
163		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) )
164	161 162 163	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) )
165	164 75	eleqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − )
166		fvco	⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
167	73 165 166	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
168		df-ov	⊢ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ )
169	168	eqcomi	⊢ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 )
170	169	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
171	170	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
172	167 171	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
173	147 160 172	3eqtrrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
174		fnfvelrn	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
175	67 158 174	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
176	173 175	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
177		ne0i	⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
178	176 177	syl	⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
179	144 178	eqnetrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ≠ ∅ )
180		resss	⊢ ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷
181		rnss	⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷 )
182	180 181	ax-mp	⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷
183	9	rneqi	⊢ ran 𝐷 = ran ( abs ∘ − )
184		rncoss	⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ran abs
185		frn	⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → ran abs ⊆ ℝ )
186	46 185	ax-mp	⊢ ran abs ⊆ ℝ
187	184 186	sstri	⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ℝ
188	183 187	eqsstri	⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ
189	182 188	sstri	⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ
190	11 189	eqsstri	⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
191	190	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ )
192		fiinfcl	⊢ ( ( < Or ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ ) ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
193	133 143 179 191 192	syl13anc	⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
194	131 193	sseldd	⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ+ )
195	12 194	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ )
196	195	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ+ )
197	15 43 45 196	lptre2pt	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
198		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝜑 )
199	42	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
200	199	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
201	200	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
202	42	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
203	202	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
204	203	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
205		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
206	201 204 205	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) )
207	17	eleq2i	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
208		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
209	208	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
210	209	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
211		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
212	211	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
213	212	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
214	213	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
215	210 214	bitrdi	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
216	215	elrab	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
217	207 216	sylbb	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
218	217	simprd	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
219	218	adantr	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
220	17	eleq2i	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
221		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
222	221	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
223	222	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
224	223	elrab	⊢ ( 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
225	220 224	sylbb	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
226	225	simprd	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
227	226	adantl	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
228		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
229	219 227 228	sylanbrc	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
230	229	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
231		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝜑 )
232		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
233		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
234		simpr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 < 𝑧 )
235	232 233 234	3jca	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
236	235	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
237	236	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
238		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
239		eleq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
240		breq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧 ) )
241	239 240	3anbi23d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) )
242	241	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ) )
243		oveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
244	243	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
245	244	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
246	245	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
247	242 246	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
248		oveq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
249	248	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
250	249	breq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
251	247 250	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) )
252		eleq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
253		breq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏 ) )
254	252 253	3anbi13d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) )
255	254	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ) )
256		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
257	256	eleq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
258	257	anbi1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
259	258	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
260	255 259	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
261		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑏 ) )
262	261	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
263	262	breq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) )
264	260 263	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ) )
265	18	simprbi	⊢ ( 𝜓 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
266	18	biimpi	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
267	266	simpld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) )
268	267	simpld	⊢ ( 𝜓 → 𝜑 )
269	268 1	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ )
270	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
271	268 2	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ )
272	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
273	268 5	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
274	273	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
275	274	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
276	273	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
277	276	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
278	270 272 275 277	iccsuble	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
279	278 4	breqtrrdi	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
280	279	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
281	280	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
282		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 )
283		zre	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ )
284	283	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
285	284	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
286		zre	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ )
287	286	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
288	287	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
289	285 288	ltnled	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
290	282 289	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 < 𝑘 )
291	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
292	4 291	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
293	268 292	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ )
294	293	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
295	287	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
296	284	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
297	295 296	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
298	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
299	297 298	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
300	299	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
301	267	simprd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) )
302	301	simp2d	⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ )
303	302	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
304	286	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
305	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
306	304 305	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
307	306	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
308	303 307	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
309	301	simp1d	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ )
310	309	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℝ )
311	283	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
312	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
313	311 312	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
314	313	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
315	310 314	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
316	308 315	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
317	316	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
318	293	recnd	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ )
319	318	mullidd	⊢ ( 𝜓 → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
320	319	eqcomd	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
321	320	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
322		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 < 𝑘 )
323		zltlem1	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
324	323	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
325	322 324	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
326	284	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
327		peano2rem	⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
328	295 327	syl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
329	328	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
330		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
331		resubcl	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
332	330 326 331	sylancr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
333		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
334	326 329 332 333	leadd1dd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) ≤ ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) )
335		zcn	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ )
336	335	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
337		1cnd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
338	336 337	pncan3d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
339	338	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
340		zcn	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ )
341	340	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
342	341 337 336	npncand	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
343	342	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
344	334 339 343	3brtr3d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
345	325 344	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
346	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ∈ ℝ )
347	297	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
348	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
349	3 348	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) )
350	349 4	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
351	292 350	elrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
352	268 351	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
353	352	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
354	346 347 353	lemul1d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
355	345 354	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
356	321 355	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
357	302 309	resubcld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ )
358	301	simp3d	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 < 𝑏 )
359	309 302	posdifd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
360	358 359	mpbid	⊢ ( 𝜓 → 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) )
361	357 360	elrpd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
362	361	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
363	299 362	ltaddrp2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
364	302	recnd	⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ )
365	364	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
366	306	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
367	366	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
368	309	recnd	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ )
369	368	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
370	313	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
371	370	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
372	365 367 369 371	addsub4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
373	340	ad2antll	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
374	335	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
375	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
376	373 374 375	subdird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
377	376	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
378	377	oveq2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
379	372 378	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
380	363 379	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
381	380	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
382	294 300 317 356 381	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
383	294 317	ltnled	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) )
384	382 383	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
385	290 384	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
386	385	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
387	281 386	condan	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
388	190 193	sselid	⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ )
389	12 388	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ )
390	268 389	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ )
391	390	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
392	391	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
393	293	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
394	393	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
395	284 287	resubcld	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
396	395	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
397	396 298	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
398	397	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
399	398	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
400		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
401	7 8	jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
402	400 401 3	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) )
403		eleq1	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
404	403	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
405		breq2	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶 ) )
406	404 405	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) )
407		oveq1	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
408	407	breq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
409	406 408	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) )
410		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
411		eleq1	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴 ) )
412	411	anbi1d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) )
413		breq1	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑 ) )
414	412 413	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ) )
415		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝐵 ) )
416	415	breq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
417	414 416	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) )
418	190	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑅 ⊆ ℝ )
419		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
420	11	eleq2i	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
421	420	bilani	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
422	67	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
423		fvelrnb	⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
424	422 423	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
425	421 424	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
426	127	rpge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
427	426	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
428		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
429	427 428	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ 𝑦 )
430	429	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
431	430	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
432	431	rexlimdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) )
433	425 432	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 0 ≤ 𝑦 )
434	433	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 )
435		breq1	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦 ) )
436	435	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) )
437	436	rspcev	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
438	419 434 437	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
439	438	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
440		pm3.22	⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
441		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
442	440 441	sylibr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
443	442	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
444	5 58	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
445	444	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
446	445	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
447	446	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
448		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 < 𝑑 )
449	447 448	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ≠ 𝑐 )
450	449	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
451		df-br	⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
452		vex	⊢ 𝑐 ∈ V
453	452	ideq	⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐 )
454	451 453	bitr3i	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐 )
455	450 454	sylnibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
456	443 455	eldifd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
457	456 10	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
458	447 448	ltned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≠ 𝑑 )
459	146	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
460	459	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
461	442	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
462		necom	⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐 )
463	462	biimpi	⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐 )
464	463	neneqd	⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
465	464	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
466	465 454	sylnibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
467	461 466	eldifd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
468	467 10	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
469		fvres	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
470	468 469	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
471		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 𝜑 )
472	471 468	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
473		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
474	473	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) ) )
475		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
476	474 475	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) ) )
477	476 76	vtoclg	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
478	468 472 477	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − )
479		fvco	⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
480	73 478 479	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
481		df-ov	⊢ ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ )
482	481	eqcomi	⊢ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 )
483	482	fveq2i	⊢ ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
484	480 483	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
485	460 470 484	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
486	458 485	syld3an3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
487	444	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
488	487	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
489	488	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
490	447 489 448	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≤ 𝑑 )
491	447 489 490	abssubge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
492	486 491	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
493		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
494	493	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
495	494	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
496	457 492 495	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
497	488 446	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ )
498		elex	⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
499	497 498	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
500	499	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
501		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝜑 )
502		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) )
503		eqeq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
504	503	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
505	502 504	bibi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
506	505	imbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
507	67 423	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
508	506 507	vtoclg	⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V → ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
509	500 501 508	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
510	496 509	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
511	510 11	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 )
512		infrelb	⊢ ( ( 𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
513	418 439 511 512	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
514	12 513	eqbrtrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
515	417 514	vtoclg	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
516	410 515	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) )
517	409 516	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
518	8 402 517	sylc	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
519	518 4	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
520	268 519	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
521	520	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
522	521	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
523	364	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
524	523 366	pncan2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
525	524	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) )
526	340	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
527	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
528	419	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
529	528 350	gtned	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
530	268 529	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ≠ 0 )
531	530	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
532	526 527 531	divcan4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑘 )
533	525 532	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
534	533	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
535	534	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
536		oveq1	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
537	536	oveq1d	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
538	537	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
539	368	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 ∈ ℂ )
540	364	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
541	539 370 540	addsubd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
542	539 540	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℂ )
543	542 370	addcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
544	541 543	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
545	544	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) )
546	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
547	530	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
548	370 542 546 547	divdird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
549	335	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
550	549 546 547	divcan4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑗 )
551	550	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
552	545 548 551	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
553	552	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
554	553	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
555	535 538 554	3eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
556	309 302	resubcld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℝ )
557	309 302	sublt0d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏 ) )
558	358 557	mpbird	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 )
559	556 352 558	divlt0gt0d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
560	559	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
561	335	subidd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
562	561	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
563	562	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
564	560 563	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) )
565	556 293 530	redivcld	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
566	565	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
567	311 566 311	ltaddsub2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ↔ ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
568	564 567	mpbird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
569	568	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
570	569	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
571	555 570	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
572	320	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
573		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 < 𝑗 )
574		simplr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
575		simpll	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
576		zltp1le	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
577	574 575 576	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
578	573 577	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 )
579	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
580	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
581	283	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
582	579 580 581	leaddsub2d	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) )
583	578 582	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
584	583	adantll	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
585	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
586	395	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
587	352	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
588	585 586 587	lemul1d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
589	584 588	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
590	572 589	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
591	571 590	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
592	591	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
593	592	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
594	392 394 399 522 593	letrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
595		oveq2	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
596	595	oveq1d	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
597	596	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
598	268 444	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ )
599	598	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
600	599	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
601	600	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
602	601	subidd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = 0 )
603	602	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
604	603	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
605	597 604	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
606	605	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
607	606	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
608	374 373	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
609	608 375	mulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
610	609	addlidd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
611	610	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
612	611	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
613	607 612	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
614	594 613	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
615	614	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
616	391	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
617	598	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
618	617	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
619	600 618	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
620	619	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
621	620	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
622	620 398	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
623	622	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
624	268	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
625	624	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
626	625	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
627		simpl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
628	627	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
629		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
630	618	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
631	600	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
632	630 631	lenltd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
633	629 632	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
634		eqcom	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
635	634	notbii	⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
636	635	bilani	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
637		ioran	⊢ ( ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
638	633 636 637	sylanbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
639	631 630	leloed	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
640	638 639	mtbird	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
641	640	3adantll2	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
642	641	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
643	618	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
644	643	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
645	644	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
646	600	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
647	646	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
648	647	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
649	645 648	ltnled	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
650	642 649	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
651		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
652		eleq1	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
653	652	anbi1d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
654		breq1	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
655	653 654	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
656		oveq2	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
657	656	breq2d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
658	655 657	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
659		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
660		eleq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
661	660	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
662		breq2	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
663	661 662	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
664		oveq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
665	664	breq2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
666	663 665	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) )
667	666 514	vtoclg	⊢ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
668	659 667	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
669	658 668	vtoclg	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
670	651 669	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
671	626 628 650 670	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
672	395	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
673	293	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
674		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
675	283	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
676	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
677	675 676	subge0d	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
678	674 677	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
679	678	adantll	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
680	352	rpge0d	⊢ ( 𝜓 → 0 ≤ 𝑇 )
681	680	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ 𝑇 )
682	672 673 679 681	mulge0d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
683	682	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
684	620	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
685	398	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
686	684 685	addge01d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
687	683 686	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
688	687	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
689	616 621 623 671 688	letrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
690	615 689	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
691	372 378	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
692	691	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
693	365 369	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
694	373 374	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℂ )
695	694 375	mulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
696	693 695 609	addassd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
697	341 336 336 341	subadd4b	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
698	697	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
699	698	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) )
700	694 608 375	adddird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
701	340	subidd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
702	701	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
703	561	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
704	702 703	oveq12d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = ( 0 + 0 ) )
705		00id	⊢ ( 0 + 0 ) = 0
706	704 705	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = 0 )
707	706	oveq1d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
708	707	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
709	699 700 708	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 · 𝑇 ) )
710	709	oveq2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) )
711	318	mul02d	⊢ ( 𝜓 → ( 0 · 𝑇 ) = 0 )
712	711	oveq2d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) )
713	364 368	subcld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
714	713	addridd	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
715	712 714	eqtrd	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
716	715	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
717	710 716	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
718	692 696 717	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
719	718	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
720	719	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
721	690 720	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
722		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
723		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
724	600	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
725	724	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
726	618	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
727	726	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
728	725 727	ltnled	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
729	723 728	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
730	729	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
731	534	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
732	731	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
733	599	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
734	302	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
735	733 734	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
736	293	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
737	530	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
738	735 736 737	redivcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
739	738	3adant3l	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
740	739	3adant2l	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
741	740	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
742	617	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
743	302	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
744	742 743	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
745	293	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
746	530	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
747	744 745 746	redivcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
748	747	3adant3r	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
749	748	3adant2r	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
750	749	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
751	284	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
752	751	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
753	724	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
754	302	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
755	754	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
756	753 755	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
757	726	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
758	757 755	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
759	352	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
760	759	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
761	600	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
762	618	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
763	302	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
764		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
765	761 762 763 764	ltsub1dd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
766	765	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
767	756 758 760 766	ltdiv1dd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
768	553 569	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
769	768	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
770	769	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
771	741 750 752 767 770	lttrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
772	732 771	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
773	772	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
774	730 773	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
775	391	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
776	393	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
777	622	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
778	521	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
779		peano2rem	⊢ ( 𝑗 ∈ ℝ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
780	751 779	syl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
781	287	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
782	780 781	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
783	782 393	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
784	783	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
785	751	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
786	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
787	785 786	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
788	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
789	788	3ad2antl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
790	787 789	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
791	680	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
792	791	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
793	283	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
794	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
795	793 794	resubcld	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
796		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
797		simplr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
798		simpll	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
799		1zzd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℤ )
800	798 799	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
801		zltlem1	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
802	797 800 801	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
803	796 802	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) )
804	788 795 794 803	lesubd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
805	804	3ad2antl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
806	776 790 792 805	lemulge12d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
807	336 337 341	sub32d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) )
808	807	oveq1d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
809	808	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
810		1cnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ )
811	608 810 375	subdird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) )
812	319	oveq2d	⊢ ( 𝜓 → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
813	812	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
814	809 811 813	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
815	814	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
816	726 724	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
817	270 272 277 275	iccsuble	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
818	817 4	breqtrrdi	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
819	818	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
820	816 393 398 819	lesub2dd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
821	815 820	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
822	609	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
823	726	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
824	601	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
825	822 823 824	subsub2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
826	620	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
827	822 826	addcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
828	825 827	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
829	821 828	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
830	829	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
831	776 784 777 806 830	letrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
832	775 776 777 778 831	letrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
833	719	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
834	832 833	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
835	834	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
836	835	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
837		simplll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
838		simpll2	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
839		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
840		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
841	580 581 579 583	lesubd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
842	841	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
843		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
844	284 779	syl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
845	844	adantr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
846	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
847	845 846	lenltd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) )
848	843 847	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
849	848	3adant2	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
850	579	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
851	844	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
852	850 851	letri3d	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ↔ ( 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) ) )
853	842 849 852	mpbir2and	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
854	838 839 840 853	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
855	854	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
856		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝜓 )
857		simpl2l	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
858		simpl3l	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
859		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
860	859	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
861	860	eqcomd	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
862	861	adantl	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
863		simpl	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
864	862 863	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
865	864	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
866	865	3ad2antl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
867	858 866	jca	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
868		id	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
869	868	3adant3r	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
870	742	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
871	271	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
872	871	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
873	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
874	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
875		elicc2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
876	873 874 875	syl2anc	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
877	276 876	mpbid	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
878	877	simp3d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
879	878	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
880	879	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
881		nne	⊢ ( ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
882	539 370	pncand	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = 𝑎 )
883	882	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
884	883	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
885		oveq1	⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
886	885	eqcomd	⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
887	886	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
888	4	oveq2i	⊢ ( 𝐵 + 𝑇 ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
889	268 161	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ )
890	268 162	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ )
891	889 890	pncan3d	⊢ ( 𝜓 → ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 𝐶 )
892	888 891	eqtr2id	⊢ ( 𝜓 → 𝐶 = ( 𝐵 + 𝑇 ) )
893	892	oveq1d	⊢ ( 𝜓 → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
894	893	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
895	889	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
896	895 370 546	subsub3d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
897	549 546	mulsubfacd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
898	897	oveq2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
899	894 896 898	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
900	899	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
901	884 887 900	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
902	901	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
903	902	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
904		oveq1	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
905	904	eqcomd	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
906	905	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
907	364	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
908		1cnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
909	549 908	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
910	909 546	mulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
911	910	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
912	907 911	pncand	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
913	912	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
914	913	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
915	903 906 914	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
916	881 915	sylan2b	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
917	309 358	ltned	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏 )
918	917	neneqd	⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
919	918	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
920	919	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
921	916 920	condan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
922	870 872 880 921	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
923	869 922	sylan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
924	268	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝜑 )
925		simplr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
926	924 8	syl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
927		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
928		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
929	652	anbi1d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
930		breq1	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝐶 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) )
931	929 930	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) ) )
932		oveq2	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
933	932	breq2d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
934	931 933	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
935		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
936	403	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
937		breq2	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶 ) )
938	936 937	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) )
939		oveq1	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − 𝑐 ) )
940	939	breq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
941	938 940	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) )
942	941 514	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
943	935 942	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) )
944	934 943	vtoclg	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
945	928 944	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
946	924 925 926 927 945	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
947	946	adantlrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
948	947	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
949	948	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
950	890	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
951	598	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
952	951	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
953	950 952	npcand	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = 𝐶 )
954	953	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 = ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
955	954	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
956	955	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
957	956	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
958	957	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
959		oveq2	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
960	959	oveq1d	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
961	960	oveq1d	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
962	961	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
963	4	eqcomi	⊢ ( 𝐶 − 𝐵 ) = 𝑇
964	963	oveq1i	⊢ ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
965	964	a1i	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
966	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
967	966 952	addcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
968	965 967	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
969	968	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
970	969	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
971	970	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
972	971	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
973	952	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
974	973	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
975	974	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
976	318	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
977	976	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
978	617	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
979	978	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
980	979	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
981	980	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
982	975 977 981	addsubd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
983	972 982	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
984	958 962 983	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
985	984	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
986	949 985	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
987	923 986	mpdan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
988		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝜓 )
989		simpl3r	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
990		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 )
991	269	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
992	951	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
993	273	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
994	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
995	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
996		elicc2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
997	994 995 996	syl2anc	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
998	993 997	mpbid	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
999	998	simp2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1000	999	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1001		neqne	⊢ ( ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1002	1001	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1003	991 992 1000 1002	leneltd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1004	988 989 990 1003	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1005	390	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1006	1005	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1007	951	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1008	1007	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1009	269	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1010	1008 1009	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1011	1010	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1012	1007 978	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1013	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1014	1012 1013	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1015	1014	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1016	1015	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1017	268	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1018	1017	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1019	1018 7	syl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
1020		simpl3r	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1021		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1022		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1023		eleq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1024	1023	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1025		breq2	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
1026	1024 1025	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
1027		oveq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1028	1027	breq2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1029	1026 1028	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) )
1030	1029 516	vtoclg	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1031	1022 1030	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1032	1018 1019 1020 1021 1031	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1033	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1034	978 1033	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1035	963 1013	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1036	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
1037	878	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
1038	978 1036 1033 1037	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1039	1034 1035 1012 1038	leadd2dd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1040	973 979	npcand	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1041	1040	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1042	1041	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) )
1043	1012	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
1044	889	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
1045	1043 979 1044	addsubassd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1046	1042 1045	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1047	4	oveq2i	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1048	1047	a1i	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1049	1039 1046 1048	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1050	1049	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1051	1050	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1052	1006 1011 1016 1032 1051	letrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1053	1004 1052	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1054	987 1053	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1055	856 857 867 1054	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1056	718	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1057	1056	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1058	860	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1059	1058	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1060		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
1061	1060	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1062	1061	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1063		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ )
1064	335 1063	nncand	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
1065	1064	oveq1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1066	1065	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1067	319	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
1068	1062 1066 1067	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = 𝑇 )
1069	1059 1068	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1070	1069	adantlrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1071	1057 1070	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1072	1071	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1073	1055 1072	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1074	837 855 1073	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1075	836 1074	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1076	722 774 730 1075	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1077	721 1076	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1078	387 1077	mpdan	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1079	309 302 358	ltled	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏 )
1080	309 302 1079	abssuble0d	⊢ ( 𝜓 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1081	1080	eqcomd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1082	1081	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1083	1078 1082	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1084	1083	3exp	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ) )
1085	1084	rexlimdvv	⊢ ( 𝜓 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) )
1086	265 1085	mpd	⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1087	18 1086	sylbir	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1088	264 1087	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
1089	251 1088	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1090	231 237 238 1089	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1091		simpr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ¬ 𝑦 < 𝑧 )
1092		simpl3	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
1093		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1094		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1095	1093 1094	lttri2d	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1096	1092 1095	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) )
1097	1096	ord	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( ¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦 ) )
1098	1091 1097	mpd	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1099	1098	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1100	1099	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1101		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝜑 )
1102		simplr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1103		simpll	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1104		simpr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1105	1102 1103 1104	3jca	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1106	1105	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1107	1106	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1108		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( 𝑖 · 𝑇 ) )
1109	1108	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) )
1110	1109	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1111	1110	anbi1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1112		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑙 · 𝑇 ) )
1113	1112	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) )
1114	1113	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1115	1114	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1116	1111 1115	cbvrex2vw	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1117		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 · 𝑇 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
1118	1117	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1119	1118	eleq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1120	1119	anbi1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1121		oveq1	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑙 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
1122	1121	oveq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1123	1122	eleq1d	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1124	1123	anbi2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1125	1120 1124	cbvrex2vw	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1126		rexcom	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1127		ancom	⊢ ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1128	1127	2rexbii	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1129	1125 1126 1128	3bitri	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1130	1116 1129	sylbb	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1131	1130	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1132		eleq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
1133		breq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦 ) )
1134	1132 1133	3anbi23d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1135	1134	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) )
1136		oveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1137	1136	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1138	1137	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1139	1138	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1140	1135 1139	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1141		oveq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑦 ) )
1142	1141	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1143	1142	breq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) )
1144	1140 1143	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) ) )
1145		eleq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
1146		breq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏 ) )
1147	1145 1146	3anbi13d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) )
1148	1147	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ) )
1149		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1150	1149	eleq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1151	1150	anbi1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1152	1151	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1153	1148 1152	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1154		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑏 ) )
1155	1154	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1156	1155	breq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) )
1157	1153 1156	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ) )
1158	1157 1087	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1159	1144 1158	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1160	1101 1107 1131 1159	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1161		recn	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ )
1162	1161	adantl	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑧 ∈ ℂ )
1163		recn	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
1164	1163	adantr	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
1165	1162 1164	abssubd	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1166	1165	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1167	1166	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1168	1160 1167	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1169	1168	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1170	1169	3adantlr3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1171	1170	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1172	1100 1171	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1173	1090 1172	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1174	198 206 230 1173	syl21anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1175	389	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1176	200 203	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℝ )
1177	1176	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℂ )
1178	1177	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1179	1178	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1180	1175 1179	lenltd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1181	1174 1180	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 )
1182		nan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1183	1181 1182	mpbir	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1184	1183	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1185		ralnex2	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1186	1184 1185	sylib	⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1187	1186	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1188	197 1187	pm2.65da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) )
1189	1188	intnanrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1190		elin	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1191	1189 1190	sylnibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1192	26	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ Top )
1193	27	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
1194	24	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
1195	30 16	restlp	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1196	1192 1193 1194 1195	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1197	1191 1196	neleqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1198	1197	nrexdv	⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1199	1198	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1200	41 1199	condan	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )