Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem42.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem42.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem42.bc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 ) |
4 |
|
fourierdlem42.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 ) |
5 |
|
fourierdlem42.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
6 |
|
fourierdlem42.af |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin ) |
7 |
|
fourierdlem42.ba |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
fourierdlem42.ca |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
fourierdlem42.d |
⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − ) |
10 |
|
fourierdlem42.i |
⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) |
11 |
|
fourierdlem42.r |
⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) |
12 |
|
fourierdlem42.e |
⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < ) |
13 |
|
fourierdlem42.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
14 |
|
fourierdlem42.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
15 |
|
fourierdlem42.j |
⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) ) |
16 |
|
fourierdlem42.k |
⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
17 |
|
fourierdlem42.h |
⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } |
18 |
|
fourierdlem42.15 |
⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
19 |
15 16
|
icccmp |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ Comp ) |
20 |
13 14 19
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Comp ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐾 ∈ Comp ) |
22 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
24 |
17 23
|
eqsstrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
25 |
|
retop |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top |
26 |
15 25
|
eqeltri |
⊢ 𝐽 ∈ Top |
27 |
13 14
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) |
28 |
|
uniretop |
⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) ) |
29 |
15
|
unieqi |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( topGen ‘ ran (,) ) |
30 |
28 29
|
eqtr4i |
⊢ ℝ = ∪ 𝐽 |
31 |
30
|
restuni |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
32 |
26 27 31
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
33 |
16
|
unieqi |
⊢ ∪ 𝐾 = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
34 |
33
|
eqcomi |
⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ∪ 𝐾 |
35 |
32 34
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ 𝐾 ) |
36 |
24 35
|
sseqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ) |
37 |
36
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ) |
38 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ 𝐻 ∈ Fin ) |
39 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾 |
40 |
39
|
bwth |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) ) |
41 |
21 37 38 40
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) ) |
42 |
24 27
|
sstrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ ) |
43 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐻 ⊆ ℝ ) |
44 |
|
ne0i |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ ) |
45 |
44
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ ) |
46 |
|
absf |
⊢ abs : ℂ ⟶ ℝ |
47 |
|
ffn |
⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → abs Fn ℂ ) |
48 |
46 47
|
ax-mp |
⊢ abs Fn ℂ |
49 |
|
subf |
⊢ − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ |
50 |
|
ffn |
⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → − Fn ( ℂ × ℂ ) ) |
51 |
49 50
|
ax-mp |
⊢ − Fn ( ℂ × ℂ ) |
52 |
|
frn |
⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → ran − ⊆ ℂ ) |
53 |
49 52
|
ax-mp |
⊢ ran − ⊆ ℂ |
54 |
|
fnco |
⊢ ( ( abs Fn ℂ ∧ − Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ ran − ⊆ ℂ ) → ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) ) |
55 |
48 51 53 54
|
mp3an |
⊢ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) |
56 |
9
|
fneq1i |
⊢ ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ↔ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) ) |
57 |
55 56
|
mpbir |
⊢ 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) |
58 |
1 2
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℝ ) |
59 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
60 |
58 59
|
sstrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℂ ) |
61 |
5 60
|
sstrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
62 |
|
xpss12 |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) |
63 |
61 61 62
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) |
64 |
63
|
ssdifssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) |
65 |
10 64
|
eqsstrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) |
66 |
|
fnssres |
⊢ ( ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ) |
67 |
57 65 66
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ) |
68 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) |
69 |
68
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) ) |
70 |
9
|
fveq1i |
⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) |
71 |
70
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) ) |
72 |
|
ffun |
⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → Fun − ) |
73 |
49 72
|
ax-mp |
⊢ Fun − |
74 |
65
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) ) |
75 |
49
|
fdmi |
⊢ dom − = ( ℂ × ℂ ) |
76 |
74 75
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − ) |
77 |
|
fvco |
⊢ ( ( Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) |
78 |
73 76 77
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) |
79 |
69 71 78
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) |
80 |
49
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ ) |
81 |
80 74
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
82 |
81
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
83 |
79 82
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
84 |
|
elxp2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
85 |
74 84
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
86 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ) |
87 |
86
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ) |
88 |
|
df-ov |
⊢ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( − ‘ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
89 |
|
simp1l |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → 𝜑 ) |
90 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
91 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → 𝑥 ∈ 𝐼 ) |
92 |
90 91
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) |
93 |
92
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) |
94 |
93
|
3adant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) |
95 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
96 |
10
|
eleq2i |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ↔ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ) |
97 |
|
eldif |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ↔ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ I ) ) |
98 |
96 97
|
sylbb |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ I ) ) |
99 |
98
|
simpld |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) |
100 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
101 |
99 100
|
sylib |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
102 |
101
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
103 |
102
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
104 |
95 103
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
105 |
102
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
106 |
95 105
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
107 |
98
|
simprd |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → ¬ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ I ) |
108 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ I ) |
109 |
107 108
|
sylnibr |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧 ) |
110 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
111 |
110
|
ideq |
⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧 ) |
112 |
109 111
|
sylnib |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧 ) |
113 |
112
|
neqned |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧 ) |
114 |
113
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 ) |
115 |
104 106 114
|
subne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 ) |
116 |
89 94 115
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 ) |
117 |
88 116
|
eqnetrrid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → ( − ‘ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ≠ 0 ) |
118 |
87 117
|
eqnetrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) |
119 |
118
|
3exp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) ) |
120 |
119
|
rexlimdvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈 𝑦 , 𝑧 〉 → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) |
121 |
85 120
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) |
122 |
|
absgt0 |
⊢ ( ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
123 |
81 122
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
124 |
121 123
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) |
125 |
79
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ) |
126 |
124 125
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ) |
127 |
83 126
|
elrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
128 |
127
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) |
129 |
|
fnfvrnss |
⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ ) |
130 |
67 128 129
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ ) |
131 |
11 130
|
eqsstrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ+ ) |
132 |
|
ltso |
⊢ < Or ℝ |
133 |
132
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → < Or ℝ ) |
134 |
|
xpfi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin ) |
135 |
6 6 134
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin ) |
136 |
|
diffi |
⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin ) |
137 |
135 136
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin ) |
138 |
10 137
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin ) |
139 |
|
fnfi |
⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin ) |
140 |
67 138 139
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin ) |
141 |
|
rnfi |
⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin ) |
142 |
140 141
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin ) |
143 |
11 142
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin ) |
144 |
11
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
145 |
9
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( abs ∘ − ) ) |
146 |
145
|
reseq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ) |
147 |
146
|
fveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
148 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) |
149 |
7 8 148
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) |
150 |
1 3
|
ltned |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
151 |
150
|
neneqd |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶 ) |
152 |
|
ideqg |
⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
153 |
8 152
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
154 |
151 153
|
mtbird |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶 ) |
155 |
|
df-br |
⊢ ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ I ) |
156 |
154 155
|
sylnib |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ I ) |
157 |
149 156
|
eldifd |
⊢ ( 𝜑 → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ) |
158 |
157 10
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ 𝐼 ) |
159 |
|
fvres |
⊢ ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
160 |
158 159
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
161 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
162 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
163 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ) |
164 |
161 162 163
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ ( ℂ × ℂ ) ) |
165 |
164 75
|
eleqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ dom − ) |
166 |
|
fvco |
⊢ ( ( Fun − ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) ) |
167 |
73 165 166
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) ) |
168 |
|
df-ov |
⊢ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( − ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) |
169 |
168
|
eqcomi |
⊢ ( − ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) |
170 |
169
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( − ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
171 |
170
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( − ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
172 |
167 171
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
173 |
147 160 172
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
174 |
|
fnfvelrn |
⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
175 |
67 158 174
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
176 |
173 175
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
177 |
|
ne0i |
⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ ) |
178 |
176 177
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ ) |
179 |
144 178
|
eqnetrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ≠ ∅ ) |
180 |
|
resss |
⊢ ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷 |
181 |
|
rnss |
⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷 ) |
182 |
180 181
|
ax-mp |
⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷 |
183 |
9
|
rneqi |
⊢ ran 𝐷 = ran ( abs ∘ − ) |
184 |
|
rncoss |
⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ran abs |
185 |
|
frn |
⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → ran abs ⊆ ℝ ) |
186 |
46 185
|
ax-mp |
⊢ ran abs ⊆ ℝ |
187 |
184 186
|
sstri |
⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ℝ |
188 |
183 187
|
eqsstri |
⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ |
189 |
182 188
|
sstri |
⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ |
190 |
11 189
|
eqsstri |
⊢ 𝑅 ⊆ ℝ |
191 |
190
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ ) |
192 |
|
fiinfcl |
⊢ ( ( < Or ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ ) ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 ) |
193 |
133 143 179 191 192
|
syl13anc |
⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 ) |
194 |
131 193
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ+ ) |
195 |
12 194
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
196 |
195
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
197 |
15 43 45 196
|
lptre2pt |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
198 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝜑 ) |
199 |
42
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
200 |
199
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
201 |
200
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
202 |
42
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
203 |
202
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
204 |
203
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
205 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 ) |
206 |
201 204 205
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) |
207 |
17
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ) |
208 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
209 |
208
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
210 |
209
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
211 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) ) |
212 |
211
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
213 |
212
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
214 |
213
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
215 |
210 214
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
216 |
215
|
elrab |
⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
217 |
207 216
|
sylbb |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
218 |
217
|
simprd |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
219 |
218
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
220 |
17
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ) |
221 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
222 |
221
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
223 |
222
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
224 |
223
|
elrab |
⊢ ( 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
225 |
220 224
|
sylbb |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
226 |
225
|
simprd |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
227 |
226
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
228 |
|
reeanv |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
229 |
219 227 228
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
230 |
229
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
231 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝜑 ) |
232 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
233 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
234 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 < 𝑧 ) |
235 |
232 233 234
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) |
236 |
235
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) |
237 |
236
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) |
238 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
239 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) ) |
240 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧 ) ) |
241 |
239 240
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ) |
242 |
241
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ) ) |
243 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
244 |
243
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
245 |
244
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
246 |
245
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
247 |
242 246
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) |
248 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) ) |
249 |
248
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
250 |
249
|
breq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) |
251 |
247 250
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) ) |
252 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) ) |
253 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏 ) ) |
254 |
252 253
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ) |
255 |
254
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ) ) |
256 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
257 |
256
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
258 |
257
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
259 |
258
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
260 |
255 259
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) |
261 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑏 ) ) |
262 |
261
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) |
263 |
262
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ) |
264 |
260 263
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ) ) |
265 |
18
|
simprbi |
⊢ ( 𝜓 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
266 |
18
|
biimpi |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
267 |
266
|
simpld |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ) |
268 |
267
|
simpld |
⊢ ( 𝜓 → 𝜑 ) |
269 |
268 1
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
270 |
269
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
271 |
268 2
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
272 |
271
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
273 |
268 5
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
274 |
273
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
275 |
274
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
276 |
273
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
277 |
276
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
278 |
270 272 275 277
|
iccsuble |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
279 |
278 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
280 |
279
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
281 |
280
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
282 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) |
283 |
|
zre |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ ) |
284 |
283
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
285 |
284
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
286 |
|
zre |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ ) |
287 |
286
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
288 |
287
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
289 |
285 288
|
ltnled |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ) |
290 |
282 289
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 < 𝑘 ) |
291 |
2 1
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
292 |
4 291
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
293 |
268 292
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
294 |
293
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
295 |
287
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
296 |
284
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
297 |
295 296
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
298 |
293
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
299 |
297 298
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
300 |
299
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
301 |
267
|
simprd |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) |
302 |
301
|
simp2d |
⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ ) |
303 |
302
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
304 |
286
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
305 |
293
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
306 |
304 305
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
307 |
306
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
308 |
303 307
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
309 |
301
|
simp1d |
⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ ) |
310 |
309
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
311 |
283
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
312 |
293
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
313 |
311 312
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
314 |
313
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
315 |
310 314
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
316 |
308 315
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
317 |
316
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
318 |
293
|
recnd |
⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
319 |
318
|
mulid2d |
⊢ ( 𝜓 → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 ) |
320 |
319
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜓 → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) ) |
321 |
320
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) ) |
322 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 < 𝑘 ) |
323 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) ) |
324 |
323
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) ) |
325 |
322 324
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) |
326 |
284
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
327 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ ) |
328 |
295 327
|
syl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ ) |
329 |
328
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ ) |
330 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
331 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
332 |
330 326 331
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
333 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) |
334 |
326 329 332 333
|
leadd1dd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) ≤ ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) ) |
335 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ ) |
336 |
335
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
337 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ ) |
338 |
336 337
|
pncan3d |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 ) |
339 |
338
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 ) |
340 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ ) |
341 |
340
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
342 |
341 337 336
|
npncand |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) ) |
343 |
342
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) ) |
344 |
334 339 343
|
3brtr3d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ) |
345 |
325 344
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ) |
346 |
330
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ∈ ℝ ) |
347 |
297
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
348 |
1 2
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
349 |
3 348
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
350 |
349 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 ) |
351 |
292 350
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
352 |
268 351
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
353 |
352
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
354 |
346 347 353
|
lemul1d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) ) |
355 |
345 354
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) |
356 |
321 355
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) |
357 |
302 309
|
resubcld |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
358 |
301
|
simp3d |
⊢ ( 𝜓 → 𝑎 < 𝑏 ) |
359 |
309 302
|
posdifd |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) ) ) |
360 |
358 359
|
mpbid |
⊢ ( 𝜓 → 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
361 |
357 360
|
elrpd |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ ) |
362 |
361
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ ) |
363 |
299 362
|
ltaddrp2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) ) |
364 |
302
|
recnd |
⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ ) |
365 |
364
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
366 |
306
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
367 |
366
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
368 |
309
|
recnd |
⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ ) |
369 |
368
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
370 |
313
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
371 |
370
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
372 |
365 367 369 371
|
addsub4d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
373 |
340
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
374 |
335
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
375 |
318
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
376 |
373 374 375
|
subdird |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
377 |
376
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) |
378 |
377
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) ) |
379 |
372 378
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
380 |
363 379
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
381 |
380
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
382 |
294 300 317 356 381
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
383 |
294 317
|
ltnled |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) ) |
384 |
382 383
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
385 |
290 384
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
386 |
385
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
387 |
281 386
|
condan |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑗 ) |
388 |
190 193
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
389 |
12 388
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
390 |
268 389
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
391 |
390
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
392 |
391
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
393 |
293
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
394 |
393
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
395 |
284 287
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
396 |
395
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
397 |
396 298
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
398 |
397
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
399 |
398
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
400 |
|
id |
⊢ ( 𝜑 → 𝜑 ) |
401 |
7 8
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) |
402 |
400 401 3
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) |
403 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) |
404 |
403
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) ) |
405 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶 ) ) |
406 |
404 405
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) ) |
407 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
408 |
407
|
breq2d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
409 |
406 408
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) ) |
410 |
|
simp2l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐵 ∈ 𝐴 ) |
411 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴 ) ) |
412 |
411
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) ) |
413 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑 ) ) |
414 |
412 413
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ) ) |
415 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝐵 ) ) |
416 |
415
|
breq2d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) |
417 |
414 416
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) ) |
418 |
190
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑅 ⊆ ℝ ) |
419 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
420 |
11
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
421 |
420
|
biimpi |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
422 |
421
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
423 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ) |
424 |
|
fvelrnb |
⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) |
425 |
423 424
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) |
426 |
422 425
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) |
427 |
127
|
rpge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ) |
428 |
427
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ) |
429 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) |
430 |
428 429
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ 𝑦 ) |
431 |
430
|
3exp |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) ) |
432 |
431
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) ) |
433 |
432
|
rexlimdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) |
434 |
426 433
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 0 ≤ 𝑦 ) |
435 |
434
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) |
436 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦 ) ) |
437 |
436
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) ) |
438 |
437
|
rspcev |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ) |
439 |
419 435 438
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ) |
440 |
439
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ) |
441 |
|
pm3.22 |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ) |
442 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ) |
443 |
441 442
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) |
444 |
443
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) |
445 |
5 58
|
sstrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
446 |
445
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
447 |
446
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
448 |
447
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
449 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 < 𝑑 ) |
450 |
448 449
|
gtned |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ≠ 𝑐 ) |
451 |
450
|
neneqd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 ) |
452 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ I ) |
453 |
|
vex |
⊢ 𝑐 ∈ V |
454 |
453
|
ideq |
⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐 ) |
455 |
452 454
|
bitr3i |
⊢ ( 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐 ) |
456 |
451 455
|
sylnibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ I ) |
457 |
444 456
|
eldifd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ) |
458 |
457 10
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) |
459 |
448 449
|
ltned |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≠ 𝑑 ) |
460 |
146
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ) |
461 |
460
|
fveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) |
462 |
443
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ) |
463 |
|
necom |
⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐 ) |
464 |
463
|
biimpi |
⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐 ) |
465 |
464
|
neneqd |
⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐 ) |
466 |
465
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 ) |
467 |
466 455
|
sylnibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ I ) |
468 |
462 467
|
eldifd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ) |
469 |
468 10
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) |
470 |
|
fvres |
⊢ ( 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) |
471 |
469 470
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) |
472 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 𝜑 ) |
473 |
472 469
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝜑 ∧ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) ) |
474 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑑 , 𝑐 〉 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) ) |
475 |
474
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑑 , 𝑐 〉 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) ) ) |
476 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑑 , 𝑐 〉 → ( 𝑥 ∈ dom − ↔ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ dom − ) ) |
477 |
475 476
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑑 , 𝑐 〉 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ dom − ) ) ) |
478 |
477 76
|
vtoclg |
⊢ ( 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 → ( ( 𝜑 ∧ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ dom − ) ) |
479 |
469 473 478
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ dom − ) |
480 |
|
fvco |
⊢ ( ( Fun − ∧ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) ) |
481 |
73 479 480
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) ) |
482 |
|
df-ov |
⊢ ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( − ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) |
483 |
482
|
eqcomi |
⊢ ( − ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) |
484 |
483
|
fveq2i |
⊢ ( abs ‘ ( − ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
485 |
481 484
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
486 |
461 471 485
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
487 |
459 486
|
syld3an3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
488 |
445
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
489 |
488
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
490 |
489
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
491 |
448 490 449
|
ltled |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≤ 𝑑 ) |
492 |
448 490 491
|
abssubge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
493 |
487 492
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
494 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑑 , 𝑐 〉 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) ) |
495 |
494
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑑 , 𝑐 〉 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
496 |
495
|
rspcev |
⊢ ( ( 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 〈 𝑑 , 𝑐 〉 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
497 |
458 493 496
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
498 |
489 447
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ ) |
499 |
|
elex |
⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V ) |
500 |
498 499
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V ) |
501 |
500
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V ) |
502 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝜑 ) |
503 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) ) |
504 |
|
eqeq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
505 |
504
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
506 |
503 505
|
bibi12d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
507 |
506
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) ) |
508 |
67 424
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) |
509 |
507 508
|
vtoclg |
⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V → ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) |
510 |
501 502 509
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) |
511 |
497 510
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) |
512 |
511 11
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 ) |
513 |
|
infrelb |
⊢ ( ( 𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
514 |
418 440 512 513
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
515 |
12 514
|
eqbrtrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) |
516 |
417 515
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) |
517 |
410 516
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) |
518 |
409 517
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
519 |
8 402 518
|
sylc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
520 |
519 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇 ) |
521 |
268 520
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇 ) |
522 |
521
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 ) |
523 |
522
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 ) |
524 |
364
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
525 |
524 366
|
pncan2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) ) |
526 |
525
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) ) |
527 |
340
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
528 |
318
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
529 |
419
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
530 |
529 350
|
gtned |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 ) |
531 |
268 530
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ≠ 0 ) |
532 |
531
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 ) |
533 |
527 528 532
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑘 ) |
534 |
526 533
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
535 |
534
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
536 |
535
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
537 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ) |
538 |
537
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
539 |
538
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
540 |
368
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
541 |
364
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
542 |
540 370 541
|
addsubd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
543 |
540 541
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℂ ) |
544 |
543 370
|
addcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
545 |
542 544
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
546 |
545
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) ) |
547 |
318
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
548 |
531
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 ) |
549 |
370 543 547 548
|
divdird |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) ) |
550 |
335
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
551 |
550 547 548
|
divcan4d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑗 ) |
552 |
551
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) ) |
553 |
546 549 552
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) ) |
554 |
553
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) ) |
555 |
554
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) ) |
556 |
536 539 555
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) ) |
557 |
309 302
|
resubcld |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
558 |
309 302
|
sublt0d |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏 ) ) |
559 |
358 558
|
mpbird |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 ) |
560 |
557 352 559
|
divlt0gt0d |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 ) |
561 |
560
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 ) |
562 |
335
|
subidd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 ) |
563 |
562
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) ) |
564 |
563
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) ) |
565 |
561 564
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) ) |
566 |
557 293 531
|
redivcld |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
567 |
566
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
568 |
311 567 311
|
ltaddsub2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ↔ ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) ) ) |
569 |
565 568
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ) |
570 |
569
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ) |
571 |
570
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ) |
572 |
556 571
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 ) |
573 |
320
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) ) |
574 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 < 𝑗 ) |
575 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
576 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
577 |
|
zltp1le |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) ) |
578 |
575 576 577
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) ) |
579 |
574 578
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) |
580 |
286
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
581 |
330
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ ) |
582 |
283
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
583 |
580 581 582
|
leaddsub2d |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) ) |
584 |
579 583
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) |
585 |
584
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) |
586 |
330
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ ) |
587 |
395
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
588 |
352
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
589 |
586 587 588
|
lemul1d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
590 |
585 589
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
591 |
573 590
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
592 |
572 591
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
593 |
592
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
594 |
593
|
3adantll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
595 |
392 394 399 523 594
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
596 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) |
597 |
596
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
598 |
597
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
599 |
268 445
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
600 |
599
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
601 |
600
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
602 |
601
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
603 |
602
|
subidd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = 0 ) |
604 |
603
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
605 |
604
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
606 |
598 605
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
607 |
606
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
608 |
607
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
609 |
374 373
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
610 |
609 375
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
611 |
610
|
addid2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
612 |
611
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
613 |
612
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
614 |
608 613
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
615 |
595 614
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
616 |
615
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
617 |
391
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
618 |
599
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
619 |
618
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
620 |
601 619
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
621 |
620
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
622 |
621
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
623 |
621 398
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
624 |
623
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
625 |
268
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 ) |
626 |
625
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 ) |
627 |
626
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 ) |
628 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
629 |
628
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
630 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
631 |
619
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
632 |
601
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
633 |
631 632
|
lenltd |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
634 |
630 633
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
635 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
636 |
635
|
notbii |
⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
637 |
636
|
biimpi |
⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
638 |
637
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
639 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
640 |
634 638 639
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
641 |
632 631
|
leloed |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
642 |
640 641
|
mtbird |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
643 |
642
|
3adantll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
644 |
643
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
645 |
619
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
646 |
645
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
647 |
646
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
648 |
601
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
649 |
648
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
650 |
649
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
651 |
647 650
|
ltnled |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
652 |
644 651
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
653 |
|
simp2l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
654 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
655 |
654
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
656 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) |
657 |
655 656
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
658 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
659 |
658
|
breq2d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
660 |
657 659
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) ) |
661 |
|
simp2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
662 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
663 |
662
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
664 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) |
665 |
663 664
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
666 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) |
667 |
666
|
breq2d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) |
668 |
665 667
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) ) |
669 |
668 515
|
vtoclg |
⊢ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) |
670 |
661 669
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) |
671 |
660 670
|
vtoclg |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
672 |
653 671
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
673 |
627 629 652 672
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
674 |
395
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
675 |
293
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
676 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ≤ 𝑗 ) |
677 |
283
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
678 |
286
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
679 |
677 678
|
subge0d |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ) |
680 |
676 679
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) |
681 |
680
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) |
682 |
352
|
rpge0d |
⊢ ( 𝜓 → 0 ≤ 𝑇 ) |
683 |
682
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
684 |
674 675 681 683
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
685 |
684
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
686 |
621
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
687 |
398
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
688 |
686 687
|
addge01d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) ) |
689 |
685 688
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
690 |
689
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
691 |
617 622 624 673 690
|
letrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
692 |
616 691
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
693 |
372 378
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) ) |
694 |
693
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
695 |
365 369
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
696 |
373 374
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
697 |
696 375
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
698 |
695 697 610
|
addassd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) ) |
699 |
341 336 336 341
|
subadd4b |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) ) |
700 |
699
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) ) |
701 |
700
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) ) |
702 |
696 609 375
|
adddird |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
703 |
340
|
subidd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 ) |
704 |
703
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 ) |
705 |
562
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 ) |
706 |
704 705
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
707 |
|
00id |
⊢ ( 0 + 0 ) = 0 |
708 |
706 707
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = 0 ) |
709 |
708
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) ) |
710 |
709
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) ) |
711 |
701 702 710
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 · 𝑇 ) ) |
712 |
711
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) ) |
713 |
318
|
mul02d |
⊢ ( 𝜓 → ( 0 · 𝑇 ) = 0 ) |
714 |
713
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) ) |
715 |
364 368
|
subcld |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
716 |
715
|
addid1d |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
717 |
714 716
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
718 |
717
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
719 |
712 718
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
720 |
694 698 719
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
721 |
720
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
722 |
721
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
723 |
692 722
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
724 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
725 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
726 |
601
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
727 |
726
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
728 |
619
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
729 |
728
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
730 |
727 729
|
ltnled |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) |
731 |
725 730
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
732 |
731
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
733 |
535
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
734 |
733
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
735 |
600
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
736 |
302
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
737 |
735 736
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
738 |
293
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
739 |
531
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 ) |
740 |
737 738 739
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
741 |
740
|
3adant3l |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
742 |
741
|
3adant2l |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
743 |
742
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
744 |
618
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
745 |
302
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
746 |
744 745
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
747 |
293
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
748 |
531
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 ) |
749 |
746 747 748
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
750 |
749
|
3adant3r |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
751 |
750
|
3adant2r |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
752 |
751
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
753 |
284
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
754 |
753
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
755 |
726
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
756 |
302
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
757 |
756
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
758 |
755 757
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
759 |
728
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
760 |
759 757
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
761 |
352
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
762 |
761
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
763 |
601
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
764 |
619
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
765 |
302
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
766 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
767 |
763 764 765 766
|
ltsub1dd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ) |
768 |
767
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ) |
769 |
758 760 762 768
|
ltdiv1dd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) |
770 |
554 570
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 ) |
771 |
770
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 ) |
772 |
771
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 ) |
773 |
743 752 754 769 772
|
lttrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 ) |
774 |
734 773
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 ) |
775 |
774
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 ) |
776 |
732 775
|
syldan |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 ) |
777 |
391
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
778 |
393
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
779 |
623
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
780 |
522
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 ) |
781 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℝ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
782 |
753 781
|
syl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
783 |
287
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
784 |
782 783
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
785 |
784 393
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
786 |
785
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
787 |
753
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
788 |
330
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
789 |
787 788
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
790 |
286
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
791 |
790
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
792 |
789 791
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
793 |
682
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
794 |
793
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
795 |
283
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
796 |
330
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
797 |
795 796
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
798 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) |
799 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
800 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
801 |
|
1zzd |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
802 |
800 801
|
zsubcld |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) |
803 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) ) |
804 |
799 802 803
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) ) |
805 |
798 804
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) |
806 |
790 797 796 805
|
lesubd |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ) |
807 |
806
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ) |
808 |
778 792 794 807
|
lemulge12d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) |
809 |
336 337 341
|
sub32d |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) ) |
810 |
809
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) ) |
811 |
810
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) ) |
812 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
813 |
609 812 375
|
subdird |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) ) |
814 |
319
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜓 → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
815 |
814
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
816 |
811 813 815
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
817 |
816
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) |
818 |
728 726
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
819 |
270 272 277 275
|
iccsuble |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
820 |
819 4
|
breqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
821 |
820
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) |
822 |
818 393 398 821
|
lesub2dd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
823 |
817 822
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
824 |
610
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
825 |
728
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
826 |
602
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
827 |
824 825 826
|
subsub2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
828 |
621
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ ) |
829 |
824 828
|
addcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
830 |
827 829
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
831 |
823 830
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
832 |
831
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
833 |
778 786 779 808 832
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
834 |
777 778 779 780 833
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
835 |
721
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
836 |
834 835
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
837 |
836
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
838 |
837
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
839 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
840 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) |
841 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < 𝑗 ) |
842 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) |
843 |
581 582 580 584
|
lesubd |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ) |
844 |
843
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ) |
845 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) |
846 |
284 781
|
syl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
847 |
846
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
848 |
286
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
849 |
847 848
|
lenltd |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
850 |
845 849
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) |
851 |
850
|
3adant2 |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) |
852 |
580
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
853 |
846
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
854 |
852 853
|
letri3d |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ↔ ( 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) ) ) |
855 |
844 851 854
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) |
856 |
840 841 842 855
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) |
857 |
856
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) |
858 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝜓 ) |
859 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
860 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
861 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) |
862 |
861
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
863 |
862
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
864 |
863
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
865 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
866 |
864 865
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
867 |
866
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
868 |
867
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
869 |
860 868
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
870 |
|
id |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
871 |
870
|
3adant3r |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
872 |
744
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
873 |
271
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
874 |
873
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
875 |
269
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
876 |
271
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
877 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) ) |
878 |
875 876 877
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) ) |
879 |
276 878
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) |
880 |
879
|
simp3d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) |
881 |
880
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) |
882 |
881
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) |
883 |
|
nne |
⊢ ( ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
884 |
540 370
|
pncand |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = 𝑎 ) |
885 |
884
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
886 |
885
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
887 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
888 |
887
|
eqcomd |
⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
889 |
888
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
890 |
4
|
oveq2i |
⊢ ( 𝐵 + 𝑇 ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
891 |
268 161
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
892 |
268 162
|
syl |
⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
893 |
891 892
|
pncan3d |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 𝐶 ) |
894 |
890 893
|
eqtr2id |
⊢ ( 𝜓 → 𝐶 = ( 𝐵 + 𝑇 ) ) |
895 |
894
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
896 |
895
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
897 |
891
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
898 |
897 370 547
|
subsub3d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
899 |
550 547
|
mulsubfacd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) |
900 |
899
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
901 |
896 898 900
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
902 |
901
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
903 |
886 889 902
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
904 |
903
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
905 |
904
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
906 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
907 |
906
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
908 |
907
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
909 |
364
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
910 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ ) |
911 |
550 910
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ ) |
912 |
911 547
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
913 |
912
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
914 |
909 913
|
pncand |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 ) |
915 |
914
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 ) |
916 |
915
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 ) |
917 |
905 908 916
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) |
918 |
883 917
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) |
919 |
309 358
|
ltned |
⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏 ) |
920 |
919
|
neneqd |
⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏 ) |
921 |
920
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 ) |
922 |
921
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 ) |
923 |
918 922
|
condan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
924 |
872 874 882 923
|
leneltd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) |
925 |
871 924
|
sylan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) |
926 |
268
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝜑 ) |
927 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
928 |
926 8
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 ) |
929 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) |
930 |
|
simp2l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
931 |
654
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) ) |
932 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝐶 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) ) |
933 |
931 932
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) ) ) |
934 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
935 |
934
|
breq2d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
936 |
933 935
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) ) |
937 |
|
simp2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 ) |
938 |
403
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) ) |
939 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶 ) ) |
940 |
938 939
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) ) |
941 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − 𝑐 ) ) |
942 |
941
|
breq2d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) |
943 |
940 942
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) ) |
944 |
943 515
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) |
945 |
937 944
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) |
946 |
936 945
|
vtoclg |
⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) |
947 |
930 946
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
948 |
926 927 928 929 947
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
949 |
948
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
950 |
949
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
951 |
950
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
952 |
892
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
953 |
599
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
954 |
953
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
955 |
952 954
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = 𝐶 ) |
956 |
955
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 = ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) |
957 |
956
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
958 |
957
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
959 |
958
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
960 |
959
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
961 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
962 |
961
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) |
963 |
962
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
964 |
963
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
965 |
4
|
eqcomi |
⊢ ( 𝐶 − 𝐵 ) = 𝑇 |
966 |
965
|
oveq1i |
⊢ ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
967 |
966
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) |
968 |
318
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
969 |
968 954
|
addcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) ) |
970 |
967 969
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) ) |
971 |
970
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
972 |
971
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
973 |
972
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
974 |
973
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
975 |
954
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
976 |
975
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
977 |
976
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
978 |
318
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
979 |
978
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
980 |
618
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
981 |
980
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
982 |
981
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
983 |
982
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ ) |
984 |
977 979 983
|
addsubd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
985 |
974 984
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
986 |
960 964 985
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
987 |
986
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
988 |
951 987
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
989 |
925 988
|
mpdan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
990 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝜓 ) |
991 |
|
simpl3r |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
992 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) |
993 |
269
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
994 |
953
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
995 |
273
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ) |
996 |
269
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
997 |
271
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
998 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) ) |
999 |
996 997 998
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) ) |
1000 |
995 999
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) |
1001 |
1000
|
simp2d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
1002 |
1001
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
1003 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 ) |
1004 |
1003
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 ) |
1005 |
993 994 1002 1004
|
leneltd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
1006 |
990 991 992 1005
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
1007 |
390
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
1008 |
1007
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
1009 |
953
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
1010 |
1009
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
1011 |
269
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
1012 |
1010 1011
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
1013 |
1012
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
1014 |
1009 980
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ ) |
1015 |
293
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
1016 |
1014 1015
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
1017 |
1016
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
1018 |
1017
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
1019 |
268
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 ) |
1020 |
1019
|
3ad2antl1 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 ) |
1021 |
1020 7
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐴 ) |
1022 |
|
simpl3r |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
1023 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
1024 |
|
simp2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
1025 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1026 |
1025
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1027 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) |
1028 |
1026 1027
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) ) |
1029 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) |
1030 |
1029
|
breq2d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) |
1031 |
1028 1030
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) ) |
1032 |
1031 517
|
vtoclg |
⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) |
1033 |
1024 1032
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) |
1034 |
1020 1021 1022 1023 1033
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) |
1035 |
269
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
1036 |
980 1035
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
1037 |
965 1015
|
eqeltrid |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
1038 |
271
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
1039 |
880
|
adantrr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) |
1040 |
980 1038 1035 1039
|
lesub1dd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
1041 |
1036 1037 1014 1040
|
leadd2dd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
1042 |
975 981
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) |
1043 |
1042
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
1044 |
1043
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) ) |
1045 |
1014
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ ) |
1046 |
891
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
1047 |
1045 981 1046
|
addsubassd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) |
1048 |
1044 1047
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) |
1049 |
4
|
oveq2i |
⊢ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) |
1050 |
1049
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) |
1051 |
1041 1048 1050
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1052 |
1051
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1053 |
1052
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1054 |
1008 1013 1018 1034 1053
|
letrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1055 |
1006 1054
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1056 |
989 1055
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1057 |
858 859 869 1056
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1058 |
720
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
1059 |
1058
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) |
1060 |
862
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
1061 |
1060
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) |
1062 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
1063 |
1062
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) ) |
1064 |
1063
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) ) |
1065 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ ) |
1066 |
335 1065
|
nncand |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 ) |
1067 |
1066
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) ) |
1068 |
1067
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) ) |
1069 |
319
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 ) |
1070 |
1064 1068 1069
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = 𝑇 ) |
1071 |
1061 1070
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1072 |
1071
|
adantlrr |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ) |
1073 |
1059 1072
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1074 |
1073
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1075 |
1057 1074
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1076 |
839 857 1075
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1077 |
838 1076
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1078 |
724 776 732 1077
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1079 |
723 1078
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1080 |
387 1079
|
mpdan |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1081 |
309 302 358
|
ltled |
⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏 ) |
1082 |
309 302 1081
|
abssuble0d |
⊢ ( 𝜓 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) ) |
1083 |
1082
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
1084 |
1083
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
1085 |
1080 1084
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
1086 |
1085
|
3exp |
⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ) ) |
1087 |
1086
|
rexlimdvv |
⊢ ( 𝜓 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ) |
1088 |
265 1087
|
mpd |
⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
1089 |
18 1088
|
sylbir |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) |
1090 |
264 1089
|
chvarvv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) |
1091 |
251 1090
|
chvarvv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1092 |
231 237 238 1091
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1093 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ¬ 𝑦 < 𝑧 ) |
1094 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 ) |
1095 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
1096 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
1097 |
1095 1096
|
lttri2d |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) |
1098 |
1094 1097
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) ) |
1099 |
1098
|
ord |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( ¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦 ) ) |
1100 |
1093 1099
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 ) |
1101 |
1100
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 ) |
1102 |
1101
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 ) |
1103 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝜑 ) |
1104 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
1105 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
1106 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 < 𝑦 ) |
1107 |
1104 1105 1106
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) |
1108 |
1107
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) |
1109 |
1108
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) |
1110 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( 𝑖 · 𝑇 ) ) |
1111 |
1110
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ) |
1112 |
1111
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1113 |
1112
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1114 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑙 · 𝑇 ) ) |
1115 |
1114
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ) |
1116 |
1115
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1117 |
1116
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1118 |
1113 1117
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1119 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 · 𝑇 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) ) |
1120 |
1119
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
1121 |
1120
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1122 |
1121
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1123 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑙 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) ) |
1124 |
1123
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
1125 |
1124
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1126 |
1125
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1127 |
1122 1126
|
cbvrex2vw |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1128 |
|
rexcom |
⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1129 |
|
ancom |
⊢ ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1130 |
1129
|
2rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1131 |
1127 1128 1130
|
3bitri |
⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1132 |
1118 1131
|
sylbb |
⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1133 |
1132
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1134 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) ) |
1135 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦 ) ) |
1136 |
1134 1135
|
3anbi23d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) |
1137 |
1136
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) ) |
1138 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) |
1139 |
1138
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1140 |
1139
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1141 |
1140
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1142 |
1137 1141
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) |
1143 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑦 ) ) |
1144 |
1143
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) |
1145 |
1144
|
breq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) ) |
1146 |
1142 1145
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) ) ) |
1147 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) ) |
1148 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏 ) ) |
1149 |
1147 1148
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ) |
1150 |
1149
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ) ) |
1151 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) |
1152 |
1151
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) |
1153 |
1152
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1154 |
1153
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) |
1155 |
1150 1154
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) ) |
1156 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑏 ) ) |
1157 |
1156
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) |
1158 |
1157
|
breq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ) |
1159 |
1155 1158
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ) ) |
1160 |
1159 1089
|
chvarvv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) |
1161 |
1146 1160
|
chvarvv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) |
1162 |
1103 1109 1133 1161
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) |
1163 |
|
recn |
⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ ) |
1164 |
1163
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
1165 |
|
recn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ ) |
1166 |
1165
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
1167 |
1164 1166
|
abssubd |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1168 |
1167
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1169 |
1168
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1170 |
1162 1169
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1171 |
1170
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) |
1172 |
1171
|
3adantlr3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) |
1173 |
1172
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) |
1174 |
1102 1173
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1175 |
1092 1174
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1176 |
198 206 230 1175
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) |
1177 |
389
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
1178 |
200 203
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℝ ) |
1179 |
1178
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℂ ) |
1180 |
1179
|
abscld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
1181 |
1180
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ ) |
1182 |
1177 1181
|
lenltd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1183 |
1176 1182
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) |
1184 |
|
nan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1185 |
1183 1184
|
mpbir |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1186 |
1185
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1187 |
|
ralnex2 |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1188 |
1186 1187
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1189 |
1188
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) |
1190 |
197 1189
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) |
1191 |
1190
|
intnanrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
1192 |
|
elin |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
1193 |
1191 1192
|
sylnibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
1194 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
1195 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) |
1196 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) |
1197 |
30 16
|
restlp |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
1198 |
1194 1195 1196 1197
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ) |
1199 |
1193 1198
|
neleqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) ) |
1200 |
1199
|
nrexdv |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) ) |
1201 |
1200
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) ) |
1202 |
41 1201
|
condan |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin ) |