Theorem fourierdlem42

Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019) (Revised by AV, 29-Sep-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem42.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.bc	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
	fourierdlem42.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
	fourierdlem42.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
	fourierdlem42.af	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
	fourierdlem42.ba	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
	fourierdlem42.ca	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
	fourierdlem42.d	⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
	fourierdlem42.i	⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
	fourierdlem42.r	⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
	fourierdlem42.e	⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
	fourierdlem42.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
	fourierdlem42.j	⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
	fourierdlem42.k	⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
	fourierdlem42.h	⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
	fourierdlem42.15	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
Assertion	fourierdlem42	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem42.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
2		fourierdlem42.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ )
3		fourierdlem42.bc	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 𝐶 )
4		fourierdlem42.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐶 − 𝐵 )
5		fourierdlem42.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
6		fourierdlem42.af	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ Fin )
7		fourierdlem42.ba	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴 )
8		fourierdlem42.ca	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴 )
9		fourierdlem42.d	⊢ 𝐷 = ( abs ∘ − )
10		fourierdlem42.i	⊢ 𝐼 = ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I )
11		fourierdlem42.r	⊢ 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 )
12		fourierdlem42.e	⊢ 𝐸 = inf ( 𝑅 , ℝ , < )
13		fourierdlem42.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14		fourierdlem42.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
15		fourierdlem42.j	⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
16		fourierdlem42.k	⊢ 𝐾 = ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
17		fourierdlem42.h	⊢ 𝐻 = { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 }
18		fourierdlem42.15	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
19	15 16	icccmp	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ Comp )
20	13 14 19	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Comp )
21	20	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐾 ∈ Comp )
22		ssrab2	⊢ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 )
23	22	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
24	17 23	eqsstrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
25		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
26	15 25	eqeltri	⊢ 𝐽 ∈ Top
27	13 14	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
28		uniretop	⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
29	15	unieqi	⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( topGen ‘ ran (,) )
30	28 29	eqtr4i	⊢ ℝ = ∪ 𝐽
31	30	restuni	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
32	26 27 31	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
33	16	unieqi	⊢ ∪ 𝐾 = ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
34	33	eqcomi	⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) = ∪ 𝐾
35	32 34	eqtrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) = ∪ 𝐾 )
36	24 35	sseqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
37	36	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 )
38		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ 𝐻 ∈ Fin )
39		eqid	⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
40	39	bwth	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
41	21 37 38 40	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
42	24 27	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ )
43	42	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐻 ⊆ ℝ )
44		ne0i	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
45	44	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ≠ ∅ )
46		absf	⊢ abs : ℂ ⟶ ℝ
47		ffn	⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → abs Fn ℂ )
48	46 47	ax-mp	⊢ abs Fn ℂ
49		subf	⊢ − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ
50		ffn	⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → − Fn ( ℂ × ℂ ) )
51	49 50	ax-mp	⊢ − Fn ( ℂ × ℂ )
52		frn	⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → ran − ⊆ ℂ )
53	49 52	ax-mp	⊢ ran − ⊆ ℂ
54		fnco	⊢ ( ( abs Fn ℂ ∧ − Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ ran − ⊆ ℂ ) → ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
55	48 51 53 54	mp3an	⊢ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ )
56	9	fneq1i	⊢ ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ↔ ( abs ∘ − ) Fn ( ℂ × ℂ ) )
57	55 56	mpbir	⊢ 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ )
58	1 2	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℝ )
59		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
60	58 59	sstrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ⊆ ℂ )
61	5 60	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ )
62		xpss12	⊢ ( ( 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
63	61 61 62	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
64	63	ssdifssd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
65	10 64	eqsstrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) )
66		fnssres	⊢ ( ( 𝐷 Fn ( ℂ × ℂ ) ∧ 𝐼 ⊆ ( ℂ × ℂ ) ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
67	57 65 66	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
68		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
69	68	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) )
70	9	fveq1i	⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 )
71	70	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) )
72		ffun	⊢ ( − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ → Fun − )
73	49 72	ax-mp	⊢ Fun −
74	65	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) )
75	49	fdmi	⊢ dom − = ( ℂ × ℂ )
76	74 75	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − )
77		fvco	⊢ ( ( Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
78	73 76 77	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
79	69 71 78	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
80	49	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → − : ( ℂ × ℂ ) ⟶ ℂ )
81	80 74	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
82	81	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
83	79 82	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
84		elxp2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
85	74 84	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
86		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
87	86	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) )
88		df-ov	⊢ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
89		simp1l	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝜑 )
90		simpr	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ )
91		simpl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → 𝑥 ∈ 𝐼 )
92	90 91	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
93	92	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
94	93	3adant2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 )
95	61	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝐴 ⊆ ℂ )
96	10	eleq2i	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
97		eldif	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ↔ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
98	96 97	sylbb	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ∧ ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I ) )
99	98	simpld	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
100		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
101	99 100	sylib	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
102	101	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
103	102	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
104	95 103	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ∈ ℂ )
105	102	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
106	95 105	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ ℂ )
107	98	simprd	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
108		df-br	⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ I )
109	107 108	sylnibr	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧 )
110		vex	⊢ 𝑧 ∈ V
111	110	ideq	⊢ ( 𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧 )
112	109 111	sylnib	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧 )
113	112	neqned	⊢ ( ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧 )
114	113	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
115	104 106 114	subne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
116	89 94 115	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ≠ 0 )
117	88 116	eqnetrrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) ≠ 0 )
118	87 117	eqnetrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
119	118	3exp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) ) )
120	119	rexlimdvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℂ ∃ 𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨ 𝑦 , 𝑧 ⟩ → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) )
121	85 120	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
122		absgt0	⊢ ( ( − ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
123	81 122	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( − ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ↔ 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) ) )
124	121 123	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) )
125	79	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( abs ‘ ( − ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
126	124 125	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 < ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
127	83 126	elrpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
128	127	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
129		fnfvrnss	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
130	67 128 129	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ+ )
131	11 130	eqsstrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ+ )
132		ltso	⊢ < Or ℝ
133	132	a1i	⊢ ( 𝜑 → < Or ℝ )
134		xpfi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
135	6 6 134	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin )
136		diffi	⊢ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∈ Fin → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
137	135 136	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) ∈ Fin )
138	10 137	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin )
139		fnfi	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
140	67 138 139	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
141		rnfi	⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
142	140 141	syl	⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ∈ Fin )
143	11 142	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Fin )
144	11	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
145	9	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( abs ∘ − ) )
146	145	reseq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
147	146	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
148		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
149	7 8 148	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
150	1 3	ltned	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
151	150	neneqd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶 )
152		ideqg	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
153	8 152	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶 ) )
154	151 153	mtbird	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶 )
155		df-br	⊢ ( 𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
156	154 155	sylnib	⊢ ( 𝜑 → ¬ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ I )
157	149 156	eldifd	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
158	157 10	eleqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 )
159		fvres	⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
160	158 159	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
161	1	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
162	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
163		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) )
164	161 162 163	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ ( ℂ × ℂ ) )
165	164 75	eleqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − )
166		fvco	⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
167	73 165 166	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
168		df-ov	⊢ ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ )
169	168	eqcomi	⊢ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 )
170	169	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
171	170	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
172	167 171	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
173	147 160 172	3eqtrrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
174		fnfvelrn	⊢ ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 ∧ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
175	67 158 174	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
176	173 175	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
177		ne0i	⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
178	176 177	syl	⊢ ( 𝜑 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ≠ ∅ )
179	144 178	eqnetrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ≠ ∅ )
180		resss	⊢ ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷
181		rnss	⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ 𝐷 → ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷 )
182	180 181	ax-mp	⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ran 𝐷
183	9	rneqi	⊢ ran 𝐷 = ran ( abs ∘ − )
184		rncoss	⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ran abs
185		frn	⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → ran abs ⊆ ℝ )
186	46 185	ax-mp	⊢ ran abs ⊆ ℝ
187	184 186	sstri	⊢ ran ( abs ∘ − ) ⊆ ℝ
188	183 187	eqsstri	⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ
189	182 188	sstri	⊢ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ⊆ ℝ
190	11 189	eqsstri	⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
191	190	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ )
192		fiinfcl	⊢ ( ( < Or ℝ ∧ ( 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ ) ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
193	133 143 179 191 192	syl13anc	⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ 𝑅 )
194	131 193	sseldd	⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ+ )
195	12 194	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ )
196	195	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ+ )
197	15 43 45 196	lptre2pt	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
198		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝜑 )
199	42	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
200	199	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ )
201	200	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
202	42	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
203	202	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ )
204	203	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
205		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
206	201 204 205	3jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) )
207	17	eleq2i	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
208		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
209	208	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
210	209	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
211		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
212	211	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
213	212	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
214	213	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
215	210 214	bitrdi	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
216	215	elrab	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
217	207 216	sylbb	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ( 𝑦 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
218	217	simprd	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
219	218	adantr	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
220	17	eleq2i	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } )
221		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
222	221	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
223	222	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
224	223	elrab	⊢ ( 𝑧 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∣ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 } ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
225	220 224	sylbb	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
226	225	simprd	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐻 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
227	226	adantl	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
228		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
229	219 227 228	sylanbrc	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
230	229	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
231		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝜑 )
232		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
233		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
234		simpr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 < 𝑧 )
235	232 233 234	3jca	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
236	235	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
237	236	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) )
238		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
239		eleq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
240		breq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧 ) )
241	239 240	3anbi23d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) )
242	241	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ) )
243		oveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
244	243	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
245	244	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
246	245	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
247	242 246	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
248		oveq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑦 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
249	248	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
250	249	breq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
251	247 250	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) ) )
252		eleq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
253		breq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏 ) )
254	252 253	3anbi13d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) )
255	254	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ) )
256		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
257	256	eleq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
258	257	anbi1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
259	258	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
260	255 259	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
261		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑦 − 𝑏 ) )
262	261	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
263	262	breq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) )
264	260 263	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) ) ) )
265	18	simprbi	⊢ ( 𝜓 → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
266	18	biimpi	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
267	266	simpld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) )
268	267	simpld	⊢ ( 𝜓 → 𝜑 )
269	268 1	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ )
270	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
271	268 2	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ )
272	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
273	268 5	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
274	273	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
275	274	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
276	273	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
277	276	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
278	270 272 275 277	iccsuble	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
279	278 4	breqtrrdi	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
280	279	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
281	280	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
282		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 )
283		zre	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ )
284	283	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
285	284	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
286		zre	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ )
287	286	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
288	287	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
289	285 288	ltnled	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
290	282 289	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 < 𝑘 )
291	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
292	4 291	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
293	268 292	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ )
294	293	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
295	287	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
296	284	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
297	295 296	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
298	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
299	297 298	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
300	299	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
301	267	simprd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) )
302	301	simp2d	⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ )
303	302	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
304	286	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℝ )
305	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
306	304 305	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
307	306	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
308	303 307	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
309	301	simp1d	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ )
310	309	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℝ )
311	283	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℝ )
312	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℝ )
313	311 312	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
314	313	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
315	310 314	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
316	308 315	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
317	316	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
318	293	recnd	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ )
319	318	mulid2d	⊢ ( 𝜓 → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
320	319	eqcomd	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
321	320	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
322		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 < 𝑘 )
323		zltlem1	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
324	323	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) )
325	322 324	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
326	284	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
327		peano2rem	⊢ ( 𝑘 ∈ ℝ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
328	295 327	syl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
329	328	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℝ )
330		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
331		resubcl	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
332	330 326 331	sylancr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
333		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) )
334	326 329 332 333	leadd1dd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) ≤ ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) )
335		zcn	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ )
336	335	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
337		1cnd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
338	336 337	pncan3d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
339	338	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( 𝑗 + ( 1 − 𝑗 ) ) = 1 )
340		zcn	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ )
341	340	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
342	341 337 336	npncand	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
343	342	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 𝑘 − 𝑗 ) )
344	334 339 343	3brtr3d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 ≤ ( 𝑘 − 1 ) ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
345	325 344	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) )
346	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 1 ∈ ℝ )
347	297	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℝ )
348	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
349	3 348	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐶 − 𝐵 ) )
350	349 4	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
351	292 350	elrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
352	268 351	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ+ )
353	352	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
354	346 347 353	lemul1d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 ≤ ( 𝑘 − 𝑗 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
355	345 354	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
356	321 355	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
357	302 309	resubcld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ )
358	301	simp3d	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 < 𝑏 )
359	309 302	posdifd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) ) )
360	358 359	mpbid	⊢ ( 𝜓 → 0 < ( 𝑏 − 𝑎 ) )
361	357 360	elrpd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
362	361	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℝ+ )
363	299 362	ltaddrp2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
364	302	recnd	⊢ ( 𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ )
365	364	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑏 ∈ ℂ )
366	306	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
367	366	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
368	309	recnd	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ )
369	368	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑎 ∈ ℂ )
370	313	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
371	370	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
372	365 367 369 371	addsub4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
373	340	ad2antll	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
374	335	ad2antrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑗 ∈ ℂ )
375	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
376	373 374 375	subdird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
377	376	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) )
378	377	oveq2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 · 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
379	372 378	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
380	363 379	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
381	380	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
382	294 300 317 356 381	lelttrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
383	294 317	ltnled	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ( 𝑇 < ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 ) )
384	382 383	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑗 < 𝑘 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
385	290 384	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
386	385	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
387	281 386	condan	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
388	190 193	sselid	⊢ ( 𝜑 → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ∈ ℝ )
389	12 388	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ )
390	268 389	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ )
391	390	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
392	391	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
393	293	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
394	393	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
395	284 287	resubcld	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
396	395	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
397	396 298	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
398	397	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
399	398	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
400		id	⊢ ( 𝜑 → 𝜑 )
401	7 8	jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
402	400 401 3	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) )
403		eleq1	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴 ) )
404	403	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
405		breq2	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶 ) )
406	404 405	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) ) )
407		oveq1	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
408	407	breq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
409	406 408	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) ) )
410		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
411		eleq1	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴 ) )
412	411	anbi1d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) )
413		breq1	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑 ) )
414	412 413	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ) )
415		oveq2	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝑑 − 𝐵 ) )
416	415	breq2d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
417	414 416	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = 𝐵 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ) )
418	190	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑅 ⊆ ℝ )
419		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
420	11	eleq2i	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
421	420	biimpi	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
422	421	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
423	67	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 )
424		fvelrnb	⊢ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) Fn 𝐼 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
425	423 424	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
426	422 425	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
427	127	rpge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
428	427	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) )
429		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 )
430	428 429	breqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) → 0 ≤ 𝑦 )
431	430	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
432	431	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) ) )
433	432	rexlimdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦 ) )
434	426 433	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ) → 0 ≤ 𝑦 )
435	434	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 )
436		breq1	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦 ) )
437	436	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 0 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) )
438	437	rspcev	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
439	419 435 438	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
440	439	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 )
441		pm3.22	⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
442		opelxp	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) ↔ ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) )
443	441 442	sylibr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
444	443	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
445	5 58	sstrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ )
446	445	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
447	446	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
448	447	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ∈ ℝ )
449		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 < 𝑑 )
450	448 449	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ≠ 𝑐 )
451	450	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
452		df-br	⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
453		vex	⊢ 𝑐 ∈ V
454	453	ideq	⊢ ( 𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐 )
455	452 454	bitr3i	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐 )
456	451 455	sylnibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
457	444 456	eldifd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
458	457 10	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
459	448 449	ltned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≠ 𝑑 )
460	146	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) = ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) )
461	460	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
462	443	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( 𝐴 × 𝐴 ) )
463		necom	⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐 )
464	463	biimpi	⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐 )
465	464	neneqd	⊢ ( 𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
466	465	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ 𝑑 = 𝑐 )
467	466 455	sylnibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ¬ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ I )
468	462 467	eldifd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ ( ( 𝐴 × 𝐴 ) ∖ I ) )
469	468 10	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 )
470		fvres	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
471	469 470	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( ( abs ∘ − ) ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
472		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → 𝜑 )
473	472 469	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
474		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) )
475	474	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) ) )
476		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( 𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
477	475 476	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) ) )
478	477 76	vtoclg	⊢ ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 → ( ( 𝜑 ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) )
479	469 473 478	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − )
480		fvco	⊢ ( ( Fun − ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ dom − ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
481	73 479 480	sylancr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) )
482		df-ov	⊢ ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ )
483	482	eqcomi	⊢ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 )
484	483	fveq2i	⊢ ( abs ‘ ( − ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
485	481 484	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( abs ∘ − ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
486	461 471 485	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
487	459 486	syld3an3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
488	445	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
489	488	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
490	489	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑑 ∈ ℝ )
491	448 490 449	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝑐 ≤ 𝑑 )
492	448 490 491	abssubge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( abs ‘ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
493	487 492	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
494		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) )
495	494	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
496	495	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ∈ 𝐼 ∧ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ ⟨ 𝑑 , 𝑐 ⟩ ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
497	458 493 496	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) )
498	489 447	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ )
499		elex	⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ℝ → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
500	498 499	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
501	500	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V )
502		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝜑 )
503		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ) )
504		eqeq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
505	504	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
506	503 505	bibi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
507	506	imbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑑 − 𝑐 ) → ( ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) ) ↔ ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) ) )
508	67 424	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ) )
509	507 508	vtoclg	⊢ ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ V → ( 𝜑 → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ) )
510	501 502 509	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐼 ( ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑑 − 𝑐 ) ) )
511	497 510	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ ran ( 𝐷 ↾ 𝐼 ) )
512	511 11	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 )
513		infrelb	⊢ ( ( 𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ ( 𝑑 − 𝑐 ) ∈ 𝑅 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
514	418 440 512 513	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → inf ( 𝑅 , ℝ , < ) ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
515	12 514	eqbrtrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) )
516	417 515	vtoclg	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) )
517	410 516	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) )
518	409 517	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
519	8 402 518	sylc	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
520	519 4	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
521	268 520	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇 )
522	521	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
523	522	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
524	364	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
525	524 366	pncan2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
526	525	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) )
527	340	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
528	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
529	419	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
530	529 350	gtned	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
531	268 530	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝑇 ≠ 0 )
532	531	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
533	527 528 532	divcan4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑘 )
534	526 533	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
535	534	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
536	535	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
537		oveq1	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
538	537	oveq1d	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
539	538	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
540	368	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 ∈ ℂ )
541	364	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
542	540 370 541	addsubd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
543	540 541	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℂ )
544	543 370	addcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
545	542 544	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) = ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
546	545	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) )
547	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ∈ ℂ )
548	531	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑇 ≠ 0 )
549	370 543 547 548	divdird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) + ( 𝑎 − 𝑏 ) ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
550	335	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑗 ∈ ℂ )
551	550 547 548	divcan4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) = 𝑗 )
552	551	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 · 𝑇 ) / 𝑇 ) + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
553	546 549 552	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
554	553	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
555	554	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
556	536 539 555	3eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) )
557	309 302	resubcld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) ∈ ℝ )
558	309 302	sublt0d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏 ) )
559	358 558	mpbird	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑎 − 𝑏 ) < 0 )
560	557 352 559	divlt0gt0d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
561	560	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 0 )
562	335	subidd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
563	562	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
564	563	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 0 = ( 𝑗 − 𝑗 ) )
565	561 564	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) )
566	557 293 531	redivcld	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
567	566	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
568	311 567 311	ltaddsub2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 ↔ ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
569	565 568	mpbird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
570	569	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
571	570	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑗 + ( ( 𝑎 − 𝑏 ) / 𝑇 ) ) < 𝑗 )
572	556 571	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
573	320	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 = ( 1 · 𝑇 ) )
574		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 < 𝑗 )
575		simplr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
576		simpll	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
577		zltp1le	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
578	575 576 577	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 < 𝑗 ↔ ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
579	574 578	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 )
580	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
581	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
582	283	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
583	580 581 582	leaddsub2d	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ) )
584	579 583	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
585	584	adantll	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
586	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 1 ∈ ℝ )
587	395	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
588	352	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
589	586 587 588	lemul1d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
590	585 589	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → ( 1 · 𝑇 ) ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
591	573 590	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
592	572 591	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
593	592	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
594	593	3adantll3	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
595	392 394 399 523 594	letrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
596		oveq2	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
597	596	oveq1d	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
598	597	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
599	268 445	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ )
600	599	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
601	600	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
602	601	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
603	602	subidd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = 0 )
604	603	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
605	604	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
606	598 605	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
607	606	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
608	607	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
609	374 373	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
610	609 375	mulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
611	610	addid2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
612	611	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
613	612	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 0 + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
614	608 613	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
615	595 614	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
616	615	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
617	391	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
618	599	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
619	618	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
620	601 619	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
621	620	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
622	621	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
623	621 398	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
624	623	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
625	268	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
626	625	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝜑 )
627	626	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
628		simpl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
629	628	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
630		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
631	619	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
632	601	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
633	631 632	lenltd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
634	630 633	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
635		eqcom	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
636	635	notbii	⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
637	636	biimpi	⊢ ( ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
638	637	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
639		ioran	⊢ ( ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
640	634 638 639	sylanbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
641	632 631	leloed	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∨ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
642	640 641	mtbird	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
643	642	3adantll2	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
644	643	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
645	619	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
646	645	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
647	646	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
648	601	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
649	648	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
650	649	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
651	647 650	ltnled	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
652	644 651	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
653		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
654		eleq1	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
655	654	anbi1d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
656		breq1	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
657	655 656	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
658		oveq2	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
659	658	breq2d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
660	657 659	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
661		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
662		eleq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
663	662	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
664		breq2	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
665	663 664	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
666		oveq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
667	666	breq2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
668	665 667	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) ) )
669	668 515	vtoclg	⊢ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) ) )
670	661 669	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑐 ) )
671	660 670	vtoclg	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
672	653 671	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
673	627 629 652 672	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
674	395	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) ∈ ℝ )
675	293	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
676		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ≤ 𝑗 )
677	283	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
678	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
679	677 678	subge0d	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗 ) )
680	676 679	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
681	680	adantll	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 𝑘 ) )
682	352	rpge0d	⊢ ( 𝜓 → 0 ≤ 𝑇 )
683	682	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ 𝑇 )
684	674 675 681 683	mulge0d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
685	684	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
686	621	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
687	398	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
688	686 687	addge01d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( 0 ≤ ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
689	685 688	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
690	689	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
691	617 622 624 673 690	letrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
692	616 691	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
693	372 378	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) )
694	693	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
695	365 369	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
696	373 374	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 − 𝑗 ) ∈ ℂ )
697	696 375	mulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
698	695 697 610	addassd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) )
699	341 336 336 341	subadd4b	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
700	699	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) )
701	700	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) )
702	696 609 375	adddird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) + ( 𝑗 − 𝑘 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
703	340	subidd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
704	703	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 − 𝑘 ) = 0 )
705	562	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 𝑗 ) = 0 )
706	704 705	oveq12d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = ( 0 + 0 ) )
707		00id	⊢ ( 0 + 0 ) = 0
708	706 707	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) = 0 )
709	708	oveq1d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
710	709	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑘 ) + ( 𝑗 − 𝑗 ) ) · 𝑇 ) = ( 0 · 𝑇 ) )
711	701 702 710	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 0 · 𝑇 ) )
712	711	oveq2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) )
713	318	mul02d	⊢ ( 𝜓 → ( 0 · 𝑇 ) = 0 )
714	713	oveq2d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) )
715	364 368	subcld	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) ∈ ℂ )
716	715	addid1d	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + 0 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
717	714 716	eqtrd	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
718	717	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( 0 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
719	712 718	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑏 − 𝑎 ) + ( ( ( 𝑘 − 𝑗 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
720	694 698 719	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
721	720	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
722	721	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
723	692 722	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
724		simpll	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
725		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
726	601	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
727	726	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
728	619	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
729	728	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
730	727 729	ltnled	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
731	725 730	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
732	731	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
733	535	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
734	733	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
735	600	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
736	302	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
737	735 736	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
738	293	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
739	531	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
740	737 738 739	redivcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
741	740	3adant3l	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
742	741	3adant2l	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
743	742	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
744	618	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
745	302	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑏 ∈ ℝ )
746	744 745	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
747	293	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℝ )
748	531	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ≠ 0 )
749	746 747 748	redivcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
750	749	3adant3r	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
751	750	3adant2r	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
752	751	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
753	284	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
754	753	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
755	726	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
756	302	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
757	756	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
758	755 757	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
759	728	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
760	759 757	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) ∈ ℝ )
761	352	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
762	761	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ+ )
763	601	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
764	619	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
765	302	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ )
766		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
767	763 764 765 766	ltsub1dd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
768	767	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) < ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) )
769	758 760 762 768	ltdiv1dd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) )
770	554 570	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
771	770	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
772	771	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
773	743 752 754 769 772	lttrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − 𝑏 ) / 𝑇 ) < 𝑗 )
774	734 773	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
775	774	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
776	732 775	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
777	391	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
778	393	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
779	623	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
780	522	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ 𝑇 )
781		peano2rem	⊢ ( 𝑗 ∈ ℝ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
782	753 781	syl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
783	287	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
784	782 783	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
785	784 393	remulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
786	785	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
787	753	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
788	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
789	787 788	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
790	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
791	790	3ad2antl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
792	789 791	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℝ )
793	682	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
794	793	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 0 ≤ 𝑇 )
795	283	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
796	330	a1i	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℝ )
797	795 796	resubcld	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
798		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
799		simplr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
800		simpll	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
801		1zzd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ∈ ℤ )
802	800 801	zsubcld	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
803		zltlem1	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
804	799 802 803	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ↔ 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) ) )
805	798 804	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 1 ) )
806	790 797 796 805	lesubd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
807	806	3ad2antl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 1 ≤ ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) )
808	778 792 794 807	lemulge12d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) )
809	336 337 341	sub32d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) )
810	809	oveq1d	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
811	810	adantl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) )
812		1cnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → 1 ∈ ℂ )
813	609 812 375	subdird	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) − 1 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) )
814	319	oveq2d	⊢ ( 𝜓 → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
815	814	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( 1 · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
816	811 813 815	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
817	816	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) )
818	728 726	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
819	270 272 277 275	iccsuble	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
820	819 4	breqtrrdi	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
821	820	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ≤ 𝑇 )
822	818 393 398 821	lesub2dd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
823	817 822	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
824	610	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
825	728	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
826	602	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
827	824 825 826	subsub2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
828	621	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
829	824 828	addcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) + ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
830	827 829	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) − ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
831	823 830	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
832	831	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 𝑘 ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
833	778 786 779 808 832	letrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑇 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
834	777 778 779 780 833	letrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
835	721	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
836	834 835	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
837	836	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
838	837	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
839		simplll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
840		simpll2	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) )
841		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 < 𝑗 )
842		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
843	581 582 580 584	lesubd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
844	843	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
845		simpr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) )
846	284 781	syl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
847	846	adantr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
848	286	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
849	847 848	lenltd	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) )
850	845 849	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
851	850	3adant2	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 )
852	580	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
853	846	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
854	852 853	letri3d	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ↔ ( 𝑘 ≤ ( 𝑗 − 1 ) ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑘 ) ) )
855	844 851 854	mpbir2and	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
856	840 841 842 855	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
857	856	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) )
858		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝜓 )
859		simpl2l	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
860		simpl3l	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
861		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
862	861	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
863	862	eqcomd	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
864	863	adantl	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
865		simpl	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
866	864 865	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
867	866	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
868	867	3ad2antl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
869	860 868	jca	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
870		id	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
871	870	3adant3r	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
872	744	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
873	271	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
874	873	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
875	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
876	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
877		elicc2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
878	875 876 877	syl2anc	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
879	276 878	mpbid	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
880	879	simp3d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
881	880	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
882	881	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
883		nne	⊢ ( ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ↔ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
884	540 370	pncand	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = 𝑎 )
885	884	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
886	885	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
887		oveq1	⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
888	887	eqcomd	⊢ ( 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
889	888	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
890	4	oveq2i	⊢ ( 𝐵 + 𝑇 ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
891	268 161	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ )
892	268 162	syl	⊢ ( 𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ )
893	891 892	pncan3d	⊢ ( 𝜓 → ( 𝐵 + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = 𝐶 )
894	890 893	eqtr2id	⊢ ( 𝜓 → 𝐶 = ( 𝐵 + 𝑇 ) )
895	894	oveq1d	⊢ ( 𝜓 → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
896	895	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
897	891	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
898	897 370 547	subsub3d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝑇 ) − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
899	550 547	mulsubfacd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) )
900	899	oveq2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
901	896 898 900	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
902	901	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
903	886 889 902	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
904	903	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
905	904	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
906		oveq1	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
907	906	eqcomd	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
908	907	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝐵 − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
909	364	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
910		1cnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℂ )
911	550 910	subcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ )
912	911 547	mulcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
913	912	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
914	909 913	pncand	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
915	914	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
916	915	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝑏 )
917	905 908 916	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ 𝐶 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
918	883 917	sylan2b	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝑎 = 𝑏 )
919	309 358	ltned	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏 )
920	919	neneqd	⊢ ( 𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
921	920	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
922	921	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑎 = 𝑏 )
923	918 922	condan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐶 ≠ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
924	872 874 882 923	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
925	871 924	sylan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
926	268	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝜑 )
927		simplr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
928	926 8	syl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
929		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 )
930		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
931	654	anbi1d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
932		breq1	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝑐 < 𝐶 ↔ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) )
933	931 932	3anbi23d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) ) )
934		oveq2	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐶 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
935	934	breq2d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
936	933 935	imbi12d	⊢ ( 𝑐 = ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
937		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐶 ∈ 𝐴 )
938	403	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ) )
939		breq2	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶 ) )
940	938 939	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) )
941		oveq1	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝑑 − 𝑐 ) = ( 𝐶 − 𝑐 ) )
942	941	breq2d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ↔ 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
943	940 942	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝑐 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) ) )
944	943 515	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) ) )
945	937 944	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑐 < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − 𝑐 ) )
946	936 945	vtoclg	⊢ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ) )
947	930 946	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
948	926 927 928 929 947	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
949	948	adantlrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
950	949	3adantl2	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
951	950	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
952	892	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
953	599	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
954	953	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
955	952 954	npcand	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = 𝐶 )
956	955	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 = ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
957	956	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
958	957	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
959	958	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
960	959	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
961		oveq2	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐶 − 𝐵 ) )
962	961	oveq1d	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
963	962	oveq1d	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
964	963	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
965	4	eqcomi	⊢ ( 𝐶 − 𝐵 ) = 𝑇
966	965	oveq1i	⊢ ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
967	966	a1i	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
968	318	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
969	968 954	addcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
970	967 969	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) )
971	970	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
972	971	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
973	972	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
974	973	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
975	954	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
976	975	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
977	976	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
978	318	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
979	978	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝑇 ∈ ℂ )
980	618	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
981	980	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
982	981	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
983	982	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
984	977 979 983	addsubd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) + 𝑇 ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
985	974 984	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) + ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
986	960 964 985	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
987	986	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → ( 𝐶 − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
988	951 987	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) < 𝐶 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
989	925 988	mpdan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
990		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝜓 )
991		simpl3r	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
992		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 )
993	269	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
994	953	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
995	273	sselda	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) )
996	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
997	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
998		elicc2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
999	996 997 998	syl2anc	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐵 [,] 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) ) )
1000	995 999	mpbid	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 ) )
1001	1000	simp2d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1002	1001	3adant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 ≤ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1003		neqne	⊢ ( ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1004	1003	3ad2ant3	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ≠ 𝐵 )
1005	993 994 1002 1004	leneltd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1006	990 991 992 1005	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1007	390	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1008	1007	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1009	953	adantrl	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1010	1009	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
1011	269	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1012	1010 1011	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1013	1012	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1014	1009 980	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℝ )
1015	293	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
1016	1014 1015	readdcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1017	1016	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1018	1017	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) ∈ ℝ )
1019	268	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1020	1019	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝜑 )
1021	1020 7	syl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝐴 )
1022		simpl3r	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1023		simpr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1024		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 )
1025		eleq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1026	1025	anbi2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1027		breq2	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
1028	1026 1027	3anbi23d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
1029		oveq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝑑 − 𝐵 ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1030	1029	breq2d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ↔ 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1031	1028 1030	imbi12d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < 𝑑 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑑 − 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ) )
1032	1031 517	vtoclg	⊢ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1033	1024 1032	mpcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1034	1020 1021 1022 1023 1033	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) )
1035	269	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
1036	980 1035	resubcld	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1037	965 1015	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
1038	271	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
1039	880	adantrr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ 𝐶 )
1040	980 1038 1035 1039	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1041	1036 1037 1014 1040	leadd2dd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1042	975 981	npcand	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) )
1043	1042	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1044	1043	oveq1d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) )
1045	1014	recnd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∈ ℂ )
1046	891	adantr	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
1047	1045 981 1046	addsubassd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1048	1044 1047	eqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ) )
1049	4	oveq2i	⊢ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) )
1050	1049	a1i	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
1051	1041 1048 1050	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1052	1051	3adant2	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1053	1052	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − 𝐵 ) ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1054	1008 1013 1018 1034 1053	letrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝐵 < ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1055	1006 1054	syldan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1056	989 1055	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1057	858 859 869 1056	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1058	720	eqcomd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1059	1058	adantr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) )
1060	862	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1061	1060	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
1062		oveq2	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑗 − 𝑘 ) = ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) )
1063	1062	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1064	1063	adantl	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) )
1065		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ )
1066	335 1065	nncand	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) = 1 )
1067	1066	oveq1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1068	1067	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − ( 𝑗 − 1 ) ) · 𝑇 ) = ( 1 · 𝑇 ) )
1069	319	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 1 · 𝑇 ) = 𝑇 )
1070	1064 1068 1069	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) = 𝑇 )
1071	1061 1070	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1072	1071	adantlrr	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + ( ( 𝑗 − 𝑘 ) · 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) )
1073	1059 1072	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1074	1073	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → ( ( ( 𝑏 + ( ( 𝑗 − 1 ) · 𝑇 ) ) − ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) + 𝑇 ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1075	1057 1074	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1076	839 857 1075	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) ∧ ¬ 𝑘 < ( 𝑗 − 1 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1077	838 1076	pm2.61dan	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ) ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1078	724 776 732 1077	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) ∧ ¬ ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1079	723 1078	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗 ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1080	387 1079	mpdan	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1081	309 302 358	ltled	⊢ ( 𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏 )
1082	309 302 1081	abssuble0d	⊢ ( 𝜓 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( 𝑏 − 𝑎 ) )
1083	1082	eqcomd	⊢ ( 𝜓 → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1084	1083	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑏 − 𝑎 ) = ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1085	1080 1084	breqtrd	⊢ ( ( 𝜓 ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1086	1085	3exp	⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ) )
1087	1086	rexlimdvv	⊢ ( 𝜓 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) )
1088	265 1087	mpd	⊢ ( 𝜓 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1089	18 1088	sylbir	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) )
1090	264 1089	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑏 ) ) )
1091	251 1090	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1092	231 237 238 1091	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1093		simpr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ¬ 𝑦 < 𝑧 )
1094		simpl3	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
1095		simpl1	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1096		simpl2	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1097	1095 1096	lttri2d	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1098	1094 1097	mpbid	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦 ) )
1099	1098	ord	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( ¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦 ) )
1100	1093 1099	mpd	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1101	1100	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1102	1101	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1103		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝜑 )
1104		simplr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 ∈ ℝ )
1105		simpll	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑦 ∈ ℝ )
1106		simpr	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝑧 < 𝑦 )
1107	1104 1105 1106	3jca	⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1108	1107	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1109	1108	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) )
1110		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( 𝑖 · 𝑇 ) )
1111	1110	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) )
1112	1111	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1113	1112	anbi1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1114		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑙 · 𝑇 ) )
1115	1114	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) )
1116	1115	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1117	1116	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1118	1113 1117	cbvrex2vw	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1119		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 · 𝑇 ) = ( 𝑘 · 𝑇 ) )
1120	1119	oveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1121	1120	eleq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1122	1121	anbi1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1123		oveq1	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑙 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
1124	1123	oveq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1125	1124	eleq1d	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1126	1125	anbi2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑗 → ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1127	1122 1126	cbvrex2vw	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1128		rexcom	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1129		ancom	⊢ ( ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1130	1129	2rexbii	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1131	1127 1128 1130	3bitri	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ℤ ∃ 𝑙 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑖 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑙 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1132	1118 1131	sylbb	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1133	1132	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1134		eleq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ ) )
1135		breq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦 ) )
1136	1134 1135	3anbi23d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) )
1137	1136	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ) )
1138		oveq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
1139	1138	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1140	1139	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1141	1140	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1142	1137 1141	anbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1143		oveq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝑧 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑦 ) )
1144	1143	fveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1145	1144	breq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) )
1146	1142 1145	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) ) ) )
1147		eleq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ ) )
1148		breq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏 ) )
1149	1147 1148	3anbi13d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) )
1150	1149	anbi2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ) )
1151		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
1152	1151	eleq1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) )
1153	1152	anbi1d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1154	1153	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) )
1155	1150 1154	anbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ) )
1156		oveq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 − 𝑏 ) = ( 𝑧 − 𝑏 ) )
1157	1156	fveq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1158	1157	breq2d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ↔ 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) )
1159	1155 1158	imbi12d	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑎 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑎 − 𝑏 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) ) ) )
1160	1159 1089	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑏 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑏 ) ) )
1161	1146 1160	chvarvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑧 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1162	1103 1109 1133 1161	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) )
1163		recn	⊢ ( 𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ )
1164	1163	adantl	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑧 ∈ ℂ )
1165		recn	⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ )
1166	1165	adantr	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → 𝑦 ∈ ℂ )
1167	1164 1166	abssubd	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1168	1167	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1169	1168	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → ( abs ‘ ( 𝑧 − 𝑦 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1170	1162 1169	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 < 𝑦 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1171	1170	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1172	1171	3adantlr3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1173	1172	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → ( 𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ) )
1174	1102 1173	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1175	1092 1174	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℤ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝑦 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1176	198 206 230 1175	syl21anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) )
1177	389	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → 𝐸 ∈ ℝ )
1178	200 203	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℝ )
1179	1178	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) ∈ ℂ )
1180	1179	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1181	1180	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ∈ ℝ )
1182	1177 1181	lenltd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ( 𝐸 ≤ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) ↔ ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1183	1176 1182	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 )
1184		nan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧 ) → ¬ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1185	1183 1184	mpbir	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻 ) ) → ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1186	1185	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1187		ralnex2	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐻 ∀ 𝑧 ∈ 𝐻 ¬ ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) ↔ ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1188	1186 1187	sylib	⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1189	1188	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ) → ¬ ∃ 𝑦 ∈ 𝐻 ∃ 𝑧 ∈ 𝐻 ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑧 ) ) < 𝐸 ) )
1190	197 1189	pm2.65da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) )
1191	1190	intnanrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1192		elin	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1193	1191 1192	sylnibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1194	26	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ Top )
1195	27	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ )
1196	24	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) )
1197	30 16	restlp	⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1198	1194 1195 1196 1197	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) = ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐻 ) ∩ ( 𝑋 [,] 𝑌 ) ) )
1199	1193 1198	neleqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1200	1199	nrexdv	⊢ ( 𝜑 → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1201	1200	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin ) → ¬ ∃ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾 𝑥 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐾 ) ‘ 𝐻 ) )
1202	41 1201	condan	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ Fin )