Theorem vietalem

Description: Lemma for vieta : induction step. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	vieta.w	⊢ 𝑊 = ( Poly1 ‘ 𝑅 )
	vieta.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	vieta.3	⊢ − = ( -g ‘ 𝑊 )
	vieta.m	⊢ 𝑀 = ( mulGrp ‘ 𝑊 )
	vieta.q	⊢ 𝑄 = ( 𝐼 eval 𝑅 )
	vieta.e	⊢ 𝐸 = ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 )
	vieta.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
	vieta.1	⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 )
	vieta.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	vieta.x	⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑅 )
	vieta.a	⊢ 𝐴 = ( algSc ‘ 𝑊 )
	vieta.p	⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
	vieta.h	⊢ 𝐻 = ( ♯ ‘ 𝐼 )
	vieta.i	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin )
	vieta.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn )
	vieta.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 : 𝐼 ⟶ 𝐵 )
	vieta.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
	vieta.k	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
	vietalem.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼 )
	vietalem.j	⊢ 𝐽 = ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } )
	vietalem.2	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
	vietalem.3	⊢ ( 𝜑 → ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝐽 ) )
Assertion	vietalem	⊢ ( 𝜑 → ( ( coe1 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( ( 𝐻 − 𝐾 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vieta.w	⊢ 𝑊 = ( Poly1 ‘ 𝑅 )
2		vieta.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
3		vieta.3	⊢ − = ( -g ‘ 𝑊 )
4		vieta.m	⊢ 𝑀 = ( mulGrp ‘ 𝑊 )
5		vieta.q	⊢ 𝑄 = ( 𝐼 eval 𝑅 )
6		vieta.e	⊢ 𝐸 = ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 )
7		vieta.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
8		vieta.1	⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 )
9		vieta.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
10		vieta.x	⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑅 )
11		vieta.a	⊢ 𝐴 = ( algSc ‘ 𝑊 )
12		vieta.p	⊢ ↑ = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
13		vieta.h	⊢ 𝐻 = ( ♯ ‘ 𝐼 )
14		vieta.i	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ Fin )
15		vieta.r	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn )
16		vieta.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 : 𝐼 ⟶ 𝐵 )
17		vieta.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
18		vieta.k	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
19		vietalem.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼 )
20		vietalem.j	⊢ 𝐽 = ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } )
21		vietalem.2	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
22		vietalem.3	⊢ ( 𝜑 → ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( ♯ ‘ 𝐽 ) )
23	17	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
24	20	uneq1i	⊢ ( 𝐽 ∪ { 𝑌 } ) = ( ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ∪ { 𝑌 } )
25	19	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ⊆ 𝐼 )
26		undifr	⊢ ( { 𝑌 } ⊆ 𝐼 ↔ ( ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ∪ { 𝑌 } ) = 𝐼 )
27	25 26	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ∪ { 𝑌 } ) = 𝐼 )
28	24 27	eqtr2id	⊢ ( 𝜑 → 𝐼 = ( 𝐽 ∪ { 𝑌 } ) )
29	28	mpteq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 𝐽 ∪ { 𝑌 } ) ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
30	29	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐽 ∪ { 𝑌 } ) ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
31		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑊 ) = ( Base ‘ 𝑊 )
32	4 31	mgpbas	⊢ ( Base ‘ 𝑊 ) = ( Base ‘ 𝑀 )
33		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) = ( .r ‘ 𝑊 )
34	4 33	mgpplusg	⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) = ( +g ‘ 𝑀 )
35	15	idomcringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CRing )
36	1	ply1crng	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing )
37	4	crngmgp	⊢ ( 𝑊 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd )
38	35 36 37	3syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd )
39		diffi	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ∈ Fin )
40	14 39	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ∈ Fin )
41	20 40	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ Fin )
42	35 36	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ CRing )
43	42	crngringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Ring )
44	43	ringgrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Grp )
45	44	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝑊 ∈ Grp )
46	15	idomringd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring )
47	10 1 31	vr1cl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
48	46 47	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
49	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
50		eqid	⊢ ( Scalar ‘ 𝑊 ) = ( Scalar ‘ 𝑊 )
51		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
52	1	ply1assa	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg )
53	35 52	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg )
54	53	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝑊 ∈ AssAlg )
55	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝑍 : 𝐼 ⟶ 𝐵 )
56		difss	⊢ ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ⊆ 𝐼
57	20 56	eqsstri	⊢ 𝐽 ⊆ 𝐼
58	57	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼 )
59	58	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝑛 ∈ 𝐼 )
60	55 59	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ∈ 𝐵 )
61	1	ply1sca	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
62	35 61	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
63	62	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
64	2 63	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
65	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝐵 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
66	60 65	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
67	11 50 51 54 66	asclelbas	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
68	31 3 45 49 67	grpsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
69		neldifsnd	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) )
70	20	eleq2i	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐽 ↔ 𝑌 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) )
71	69 70	sylnibr	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐽 )
72	64 16	feq3dd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
73	72 19	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
74	11 50 51 53 73	asclelbas	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
75	31 3 44 48 74	grpsubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
76		2fveq3	⊢ ( 𝑛 = 𝑌 → ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) )
77	76	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑌 → ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
78	32 34 38 41 68 19 71 75 77	gsumunsn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐽 ∪ { 𝑌 } ) ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
79	23 30 78	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
80		eqid	⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
81		eqid	⊢ ( .g ‘ 𝑀 ) = ( .g ‘ 𝑀 )
82		eqid	⊢ ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
83		eqid	⊢ ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
84		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → 𝑛 ∈ 𝐽 )
85	84	fvresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
86	85	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) )
87	86	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) )
88	87	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
89	88	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
90	68	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑛 ∈ 𝐽 ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
91	32 38 41 90	gsummptcl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
92	89 91	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
93	1 10 31 80 4 81 82 83 46 92	ply1coedeg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
94	22	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
95	94	mpteq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
96	95	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ( deg1 ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
97	93 89 96	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
98	43	ringcmnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd )
99		hashcl	⊢ ( 𝐽 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ0 )
100	41 99	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ0 )
101	1	ply1lmod	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod )
102	46 101	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LMod )
103	102	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑊 ∈ LMod )
104	92	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
105	62	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( Poly1 ‘ 𝑅 ) = ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
106	1 105	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 = ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
107	106	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑊 ) = ( Base ‘ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ) )
108	107	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( Base ‘ 𝑊 ) = ( Base ‘ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ) )
109	104 108	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ) )
110		fz0ssnn0	⊢ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ℕ0
111		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
112	110 111	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℕ0 )
113		eqid	⊢ ( Base ‘ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ) = ( Base ‘ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
114		eqid	⊢ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) = ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
115	82 113 114 51	coe1fvalcl	⊢ ( ( ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Poly1 ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0 ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
116	109 112 115	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
117	38	cmnmndd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd )
118	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
119	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
120	119 47	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
121	32 81 118 112 120	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
122	31 50 80 51 103 116 121	lmodvscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
123		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) )
124	123	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) = ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) )
125		oveq1	⊢ ( 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) → ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
126	125	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
127	124 126	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
128	31 98 100 122 127	gsummptrev	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑙 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
129		fveq1	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) )
130	129	fveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) )
131	130	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) )
132	131	mpteq2dv	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
133	132	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
134	133	fveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) )
135	134	fveq1d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) )
136		fveq2	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
137	136	oveq2d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
138	135 137	eqeq12d	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
139	138	ralbidv	⊢ ( 𝑧 = ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑧 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
140	2	fvexi	⊢ 𝐵 ∈ V
141	140	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V )
142	16 58	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) : 𝐽 ⟶ 𝐵 )
143	141 41 142	elmapdd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) )
144	139 21 143	rspcdva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
145	144	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
146	145	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
147	146	mpteq2dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
148	147	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
149		eqid	⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
150	149 2	mgpbas	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) )
151	149	ringmgp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
152	119 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
153		fznn0sub2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
154	153	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
155	110 154	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ∈ ℕ0 )
156	46	ringgrpd	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Grp )
157	2 8 46	ringidcld	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ 𝐵 )
158	2 7 156 157	grpinvcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
159	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
160	150 12 152 155 159	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
161		eqid	⊢ ( 𝐽 eval 𝑅 ) = ( 𝐽 eval 𝑅 )
162		eqid	⊢ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) = ( 𝐽 mPoly 𝑅 )
163		eqid	⊢ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) )
164	41	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐽 ∈ Fin )
165	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
166		eqid	⊢ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ℎ finSupp 0 } = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐽 ) ∣ ℎ finSupp 0 }
167	166 164 119 155 163	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
168	143	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) )
169	161 162 163 2 164 165 167 168	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
170	2 9 119 160 169	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
171	1 31 2 80 119 170 121	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
172	100	nn0cnd	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
173	172	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
174		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
175	110 174	sselid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
176	175	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
177	173 176	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ∈ ℂ )
178	123 177	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
179	173 178	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ∈ ℂ )
180	173 178	nncand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) = 𝑙 )
181	180 123	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) )
182	173 179 176 181	subcand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) = 𝑘 )
183	182	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
184	182	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) = ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) )
185	184	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
186	185	fveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
187	183 186	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
188	187 126	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) → ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
189	31 98 100 171 188	gsummptrev	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
190	148 189	eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( coe1 ‘ ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
191	97 128 190	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
192	191	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
193		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑊 ) = ( +g ‘ 𝑊 )
194	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
195	194 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
196		elfznn0	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
197	196	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 )
198	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
199	150 12 195 197 198	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
200	41	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐽 ∈ Fin )
201	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
202	166 200 194 197 163	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
203	143	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) )
204	161 162 163 2 200 201 202 203	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
205	2 9 194 199 204	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
206	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
207		fznn0sub2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
208	207	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
209	110 208	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ∈ ℕ0 )
210	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
211	32 81 206 209 210	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
212	1 31 2 80 194 205 211	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
213		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
214		2fveq3	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) )
215	214	fveq1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
216	213 215	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
217		oveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) )
218	217	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
219	216 218	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
220		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
221		2fveq3	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) )
222	221	fveq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
223	220 222	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
224		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
225	224	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
226	223 225	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝐽 ) → ( ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
227		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
228		2fveq3	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) )
229	228	fveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
230	227 229	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
231		oveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) )
232	231	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
233	230 232	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑘 → ( ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
234		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
235		2fveq3	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
236	235	fveq1d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
237	234 236	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
238		oveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) )
239	238	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
240	237 239	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝑖 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑖 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑖 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
241		eqid	⊢ ( invg ‘ 𝑊 ) = ( invg ‘ 𝑊 )
242	46 151	syl	⊢ ( 𝜑 → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
243		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
244	243	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℕ0 )
245	150 12 242 244 158	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
246	8 157	eqeltrrid	⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
247	2 9 46 245 246	ringcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∈ 𝐵 )
248		hashcl	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( ♯ ‘ 𝐼 ) ∈ ℕ0 )
249	14 248	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐼 ) ∈ ℕ0 )
250	13 249	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ0 )
251	32 81 117 250 48	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
252	1 31 2 80 46 247 251	ply1vscl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
253	150 12 242 250 158	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
254		eqid	⊢ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) = ( 𝐼 mPoly 𝑅 )
255		eqid	⊢ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) = ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) )
256	6	fveq1i	⊢ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝐻 )
257		eqid	⊢ { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ℎ finSupp 0 } = { ℎ ∈ ( ℕ0 ↑m 𝐼 ) ∣ ℎ finSupp 0 }
258	257 14 46 250 255	esplympl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
259	256 258	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
260	141 14 16	elmapdd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) )
261	5 254 255 2 14 35 259 260	evlcl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
262	2 9 46 253 261	ringcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
263	32 81 117 244 48	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
264	1 31 2 80 46 262 263	ply1vscl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
265	31 193 3 241 44 252 264	grpsubinv	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) − ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
266	166 41 46 244 163	esplympl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
267	161 162 163 2 41 35 266 143	evlcl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
268	2 9 46 245 267	ringcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
269	268 64	eleqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
270	172	subid1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) = ( ♯ ‘ 𝐽 ) )
271	270 100	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ∈ ℕ0 )
272	32 81 117 271 48	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
273	31 50 51 80 33 53 269 272 48	assaassd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) = ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) )
274		eqid	⊢ ( 1r ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) )
275	41 46 274	esplyfval0	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) = ( 1r ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
276	275	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ) )
277		eqid	⊢ ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) = ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) )
278		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
279	162 277 278 274 41 46	mplascl1	⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
280	279	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ) )
281	276 280	eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) )
282	281	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
283	161 162 2 277 41 35 246 142	evlscaval	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
284	282 283	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
285	284	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
286	32 81 34	mulgnn0p1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
287	117 100 48 286	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
288		hashdifsn	⊢ ( ( 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ) → ( ♯ ‘ ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐼 ) − 1 ) )
289	14 19 288	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐼 ) − 1 ) )
290	20	fveq2i	⊢ ( ♯ ‘ 𝐽 ) = ( ♯ ‘ ( 𝐼 ∖ { 𝑌 } ) )
291	13	oveq1i	⊢ ( 𝐻 − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐼 ) − 1 )
292	289 290 291	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐽 ) = ( 𝐻 − 1 ) )
293	292	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) = ( ( 𝐻 − 1 ) + 1 ) )
294	250	nn0cnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ )
295		1cnd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ )
296	294 295	npcand	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐻 − 1 ) + 1 ) = 𝐻 )
297	293 296	eqtr2d	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) )
298	297	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
299	270	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
300	299	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
301	287 298 300	3eqtr4rd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) = ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
302	285 301	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
303	273 302	eqtr2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
304	62	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
305	9 304	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → · = ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
306	305	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
307	306	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
308	16 19	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
309	150 12 242 100 158	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
310	166 41 46 100 163	esplympl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
311	161 162 163 2 41 35 310 143	evlcl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
312	2 9 35 308 309 311	crng12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
313	297	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
314	8 7 12 46 100	ringm1expp1	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) )
315	313 314	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) )
316	315	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) ) )
317	2 7 156 309	grpinvinvd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
318	316 317	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
319		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
320		eqid	⊢ ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) = ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 )
321		eqid	⊢ ( ♯ ‘ 𝐽 ) = ( ♯ ‘ 𝐽 )
322	2 319 9 5 161 6 320 13 321 20 14 35 19 16	esplyfvn	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
323	318 322	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
324	312 323	eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
325	2 9 7 46 253 261	ringmneg1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) )
326	62	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( invg ‘ 𝑅 ) = ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
327	7 326	eqtrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 = ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
328	327	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) = ( ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) )
329	324 325 328	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) )
330	172	subidd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) = 0 )
331	330	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
332	329 331	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
333	2 9 46 309 311	ringcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
334	333 64	eleqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
335	330 244	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ∈ ℕ0 )
336	32 81 117 335 48	mulgnn0cld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
337		eqid	⊢ ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) = ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
338	31 50 80 51 337	lmodvsass	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
339	102 73 334 336 338	syl13anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
340	307 332 339	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
341		eqid	⊢ ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) = ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
342	262 64	eleqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
343	31 50 80 241 51 341 102 263 342	lmodvsneg	⊢ ( 𝜑 → ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( ( ( invg ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ‘ ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
344	1 31 2 80 46 333 336	ply1vscl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
345	11 50 51 31 33 80	asclmul2	⊢ ( ( 𝑊 ∈ AssAlg ∧ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
346	53 73 344 345	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
347	340 343 346	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
348	303 347	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) − ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) − ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
349	265 348	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 0 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) − ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
350	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
351	350 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
352		fzossfz	⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) )
353		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
354	352 353	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
355	110 354	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
356		peano2nn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
357	355 356	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
358	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
359	150 12 351 357 358	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
360	41	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐽 ∈ Fin )
361	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
362	166 360 350 357 163	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
363	143	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) )
364	161 162 163 2 360 361 362 363	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
365	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑍 : 𝐼 ⟶ 𝐵 )
366	19	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐼 )
367	365 366	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
368	166 360 350 355 163	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
369	161 162 163 2 360 361 368 363	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
370	2 9 350 367 369	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
371	2 319 9 350 359 364 370	ringdid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) )
372	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
373	6	fveq1i	⊢ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) )
374	9 372 361 366 20 320 354 166 373 2 5 161 319 365	esplyindfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
375	46	ringabld	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Abel )
376	375	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Abel )
377	2 319 376 370 364	ablcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
378	374 377	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
379	378	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) )
380		eqid	⊢ ( -g ‘ 𝑅 ) = ( -g ‘ 𝑅 )
381	156	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
382	2 9 350 359 364	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
383	2 9 350 359 370	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
384	2 319 380 7 381 382 383	grpsubinv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) )
385	371 379 384	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) ) )
386	62	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( -g ‘ 𝑅 ) = ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
387	386	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( -g ‘ 𝑅 ) = ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
388		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
389	242	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
390		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
391	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
392	150 12 389 390 391	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
393	355 392	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
394	2 9 350 393 369 367	ringassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
395	8 7 12 350 355	ringm1expp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) )
396	395	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) ) )
397	2 7 381 393	grpinvinvd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
398	396 397	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) = ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
399	2 9 361 367 369	crngcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) )
400	398 399	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
401	2 9 7 350 359 370	ringmneg1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) )
402	394 400 401	3eqtr2rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) )
403	387 388 402	oveq123d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑁 ‘ ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
404	385 403	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
405	404	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
406		eqid	⊢ ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) = ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
407	350 101	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑊 ∈ LMod )
408	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐵 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
409	382 408	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
410	2 9 350 393 369	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
411	2 9 350 410 367	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ∈ 𝐵 )
412	411 408	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
413	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
414		fz0ssnn0	⊢ ( 0 ... 𝐻 ) ⊆ ℕ0
415		fzossfz	⊢ ( 0 ..^ 𝐻 ) ⊆ ( 0 ... 𝐻 )
416		fzssp1	⊢ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 1 ... ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) )
417	297	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝐻 ) = ( 1 ... ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ) )
418	416 417	sseqtrrid	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝐻 ) )
419	418	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝐻 ) )
420	360 99	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ0 )
421		fz0add1fz1	⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
422	420 353 421	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
423	419 422	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) )
424		ubmelfzo	⊢ ( ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 1 ... 𝐻 ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) )
425	423 424	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) )
426	415 425	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
427	414 426	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℕ0 )
428	350 47	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
429	32 81 413 427 428	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
430	31 80 50 51 3 406 407 409 412 429	lmodsubdir	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( -g ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) − ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
431	297	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐻 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) )
432	431	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) )
433	172	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
434		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
435	357	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℂ )
436	433 434 435	addsubd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) + 1 ) )
437	432 436	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) + 1 ) )
438	437	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) + 1 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
439		fzofzp1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
440	439	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
441		fznn0sub2	⊢ ( ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
442	440 441	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
443	110 442	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℕ0 )
444	32 81 34	mulgnn0p1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) + 1 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
445	413 443 428 444	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) + 1 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
446	438 445	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
447	446	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) )
448	361 52	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑊 ∈ AssAlg )
449	32 81 413 443 428	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
450	31 50 51 80 33 448 409 449 428	assaassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) ) )
451	447 450	eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) )
452	73	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
453	410 408	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) )
454		fznn0sub2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
455	354 454	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
456	110 455	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
457	32 81 413 456 428	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
458	31 50 80 51 337	lmodvsass	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
459	407 452 453 457 458	syl13anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
460	2 9 361 410 367	crngcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
461	305	oveqd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
462	461	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) · ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
463	460 462	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) )
464	292	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐽 ) = ( 𝐻 − 1 ) )
465	464	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝐻 − 1 ) − 𝑘 ) )
466	294	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐻 ∈ ℂ )
467	355	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
468	466 467 434	sub32d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑘 ) − 1 ) = ( ( 𝐻 − 1 ) − 𝑘 ) )
469	466 467 434	subsub4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑘 ) − 1 ) = ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) )
470	465 468 469	3eqtr2rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) )
471	470	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
472	463 471	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( .r ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
473	1 31 2 80 350 410 457	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
474	11 50 51 31 33 80	asclmul2	⊢ ( ( 𝑊 ∈ AssAlg ∧ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
475	448 452 473 474	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
476	459 472 475	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) )
477	451 476	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) − ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) · ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) − ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
478	405 430 477	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) 𝑋 ) − ( ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
479	31 193 3 33 43 48 74 100 212 219 226 233 240 349 478	gsummulsubdishift2s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
480	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
481	480 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
482	110	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ℕ0 )
483	482	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
484	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
485	150 12 481 483 484	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
486	41	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐽 ∈ Fin )
487	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
488	166 486 480 483 163	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐽 mPoly 𝑅 ) ) )
489	143	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐽 ) )
490	161 162 163 2 486 487 488 489	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ∈ 𝐵 )
491	2 9 480 485 490	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ∈ 𝐵 )
492	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
493	454	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) )
494	110 493	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
495	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
496	32 81 492 494 495	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
497	1 31 2 80 480 491 496	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
498		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
499		2fveq3	⊢ ( 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) → ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) )
500	499	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) → ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) )
501	498 500	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
502	501	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) = ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) )
503		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) )
504	503	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) )
505	172	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
506	112	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → 𝑙 ∈ ℕ0 )
507	506	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
508	505 507	nncand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) = 𝑙 )
509	504 508	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) = 𝑙 )
510	509	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
511	502 510	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑘 = ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
512	31 98 100 497 511	gsummptrev	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
513	512	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) )
514	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
515	514 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
516		fz1ssfz0	⊢ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) )
517	516 110	sstri	⊢ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ℕ0
518	517	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ℕ0 )
519	518	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑙 ∈ ℕ0 )
520	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
521	150 12 515 519 520	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
522	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
523	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
524	6	fveq1i	⊢ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑙 )
525	257 522 514 519 255	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
526	524 525	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
527	260	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) )
528	5 254 255 2 522 523 526 527	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
529	2 9 514 521 528	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
530	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
531		fzssp1	⊢ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) )
532	297	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐻 ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ) )
533	531 532	sseqtrrid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝐻 ) )
534	516 533	sstrid	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝐻 ) )
535	534	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
536		fznn0sub2	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
537	535 536	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
538	414 537	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ℕ0 )
539	514 47	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
540	32 81 530 538 539	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
541	1 31 2 80 514 529 540	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
542		oveq1	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
543		2fveq3	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
544	543	fveq1d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) )
545	542 544	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
546		oveq2	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) = ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) )
547	546	oveq1d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
548	545 547	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
549	548	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) ∧ 𝑙 = ( 𝑘 + 1 ) ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
550	31 98 100 541 549	gsummptp1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
551	550	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
552		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
553		2fveq3	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) )
554	553	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) )
555	552 554	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
556		oveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( 𝐻 − 𝑘 ) = ( 𝐻 − 𝑙 ) )
557	556	oveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
558	555 557	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑙 → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
559	558	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
560	559	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
561	560	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
562		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
563	250 562	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
564	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
565	564 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
566	414	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝐻 ) ⊆ ℕ0 )
567	566	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑙 ∈ ℕ0 )
568	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
569	150 12 565 567 568	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
570	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
571	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
572	257 570 564 567 255	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
573	524 572	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
574	260	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) )
575	5 254 255 2 570 571 573 574	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
576	2 9 564 569 575	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
577	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
578		fznn0sub	⊢ ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ℕ0 )
579	578	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ℕ0 )
580	564 47	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
581	32 81 577 579 580	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
582	1 31 2 80 564 576 581	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
583		oveq1	⊢ ( 𝑙 = 𝐻 → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
584		2fveq3	⊢ ( 𝑙 = 𝐻 → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) )
585	584	fveq1d	⊢ ( 𝑙 = 𝐻 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) )
586	583 585	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = 𝐻 → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
587	586	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐻 ) → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
588		oveq2	⊢ ( 𝑙 = 𝐻 → ( 𝐻 − 𝑙 ) = ( 𝐻 − 𝐻 ) )
589	294	subidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 − 𝐻 ) = 0 )
590	588 589	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐻 ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) = 0 )
591	590	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐻 ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
592	587 591	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐻 ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
593	31 193 98 563 582 592	gsummptfzsplitra	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
594	100	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℤ )
595		fzval3	⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ℤ → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ) )
596	594 595	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ) )
597	297	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ 𝐻 ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) + 1 ) ) )
598	596 597	eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) = ( 0 ..^ 𝐻 ) )
599	598	mpteq1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
600	599	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
601	100 562	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐽 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
602	150 12 152 112 159	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
603	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
604	257 603 119 112 255	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
605	524 604	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
606	260	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) )
607	5 254 255 2 603 165 605 606	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
608	2 9 119 602 607	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
609	533	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
610	609 536	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
611	414 610	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) ∈ ℕ0 )
612	32 81 118 611 120	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
613	1 31 2 80 119 608 612	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
614		oveq1	⊢ ( 𝑙 = 0 → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
615	614	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
616		2fveq3	⊢ ( 𝑙 = 0 → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 0 ) ) )
617	616	fveq1d	⊢ ( 𝑙 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 0 ) ) ‘ 𝑍 ) )
618	617	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 0 ) ) ‘ 𝑍 ) )
619		eqid	⊢ ( 1r ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) )
620	14 46 619	esplyfval0	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) = ( 1r ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
621	6	fveq1i	⊢ ( 𝐸 ‘ 0 ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 )
622	621	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 0 ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 0 ) )
623		eqid	⊢ ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) = ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) )
624	254 623 278 619 14 46	mplascl1	⊢ ( 𝜑 → ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = ( 1r ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
625	620 622 624	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 0 ) = ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
626	625	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 0 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) )
627	626	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 0 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑍 ) )
628	627	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 0 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑍 ) )
629	5 254 2 623 14 35 246 16	evlscaval	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑍 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
630	629	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( ( algSc ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ) ‘ 𝑍 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
631	618 628 630	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
632	615 631	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) )
633		oveq2	⊢ ( 𝑙 = 0 → ( 𝐻 − 𝑙 ) = ( 𝐻 − 0 ) )
634	633	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) = ( 𝐻 − 0 ) )
635	294	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → 𝐻 ∈ ℂ )
636	635	subid1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( 𝐻 − 0 ) = 𝐻 )
637	634 636	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( 𝐻 − 𝑙 ) = 𝐻 )
638	637	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
639	632 638	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 = 0 ) → ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
640	31 193 98 601 613 639	gsummptfzsplitla	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) )
641		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
642	641	oveq1i	⊢ ( ( 0 + 1 ) ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) = ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) )
643	642	mpteq1i	⊢ ( 𝑙 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
644	643	oveq2i	⊢ ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
645	644	oveq2i	⊢ ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
646	645	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) )
647	43	ringabld	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Abel )
648		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ∈ Fin )
649	541	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
650	31 98 648 649	gsummptcl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
651	31 193 647 252 650	ablcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
652	640 646 651	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
653	600 652	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
654	653	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) )
655	593 654	eqtr2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
656	31 193 44 650 252 264	grpassd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) = ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
657	561 655 656	3eqtr2rd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( 𝑙 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑙 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
658	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
659	658 151	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd )
660	566	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
661	158	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑁 ‘ 1 ) ∈ 𝐵 )
662	150 12 659 660 661	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
663	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
664	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
665	6	fveq1i	⊢ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 )
666	257 663 658 660 255	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
667	665 666	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
668	260	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝐼 ) )
669	5 254 255 2 663 664 667 668	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
670	2 9 658 662 669	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
671	117	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑀 ∈ Mnd )
672		fznn0sub2	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) → ( 𝐻 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
673	672	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝐻 − 𝑘 ) ∈ ( 0 ... 𝐻 ) )
674	414 673	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝐻 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
675	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
676	32 81 671 674 675	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
677	1 31 2 80 658 670 676	ply1vscl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑊 ) )
678		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) → ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
679		2fveq3	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) )
680	679	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) )
681	678 680	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
682	681	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
683		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) )
684	683	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → ( 𝐻 − 𝑘 ) = ( 𝐻 − ( 𝐻 − 𝑙 ) ) )
685	294	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → 𝐻 ∈ ℂ )
686	567	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → 𝑙 ∈ ℕ0 )
687	686	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → 𝑙 ∈ ℂ )
688	685 687	nncand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → ( 𝐻 − ( 𝐻 − 𝑙 ) ) = 𝑙 )
689	684 688	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → ( 𝐻 − 𝑘 ) = 𝑙 )
690	689	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
691	682 690	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐻 − 𝑙 ) ) → ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
692	31 98 250 677 691	gsummptrev	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( 𝑘 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝑘 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − 𝑘 ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
693	551 657 692	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( 𝑘 + 1 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( ( 𝐻 − ( 𝑘 + 1 ) ) ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( ( 0 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝐻 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ( +g ‘ 𝑊 ) ( ( ( 𝐻 ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ 𝐻 ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 0 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
694	479 513 693	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... ( ♯ ‘ 𝐽 ) ) ↦ ( ( ( ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( ( 𝐽 eval 𝑅 ) ‘ ( ( 𝐽 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐽 ) − 𝑙 ) ) ) ‘ ( 𝑍 ↾ 𝐽 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑊 ) ( 𝑋 − ( 𝐴 ‘ ( 𝑍 ‘ 𝑌 ) ) ) ) = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
695	79 192 694	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) )
696	695	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( coe1 ‘ 𝐹 ) = ( coe1 ‘ ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) )
697	696	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( coe1 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( coe1 ‘ ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝐾 ) )
698	4	fveq2i	⊢ ( .g ‘ 𝑀 ) = ( .g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑊 ) )
699	150 12 565 579 568	mulgnn0cld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) ∈ 𝐵 )
700	6	fveq1i	⊢ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) = ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) )
701	257 570 564 579 255	esplympl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝐼 eSymPoly 𝑅 ) ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
702	700 701	eqeltrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝐼 mPoly 𝑅 ) ) )
703	5 254 255 2 570 571 702 574	evlcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ∈ 𝐵 )
704	2 9 564 699 703	ringcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ) → ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
705	704	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ∈ 𝐵 )
706		oveq2	⊢ ( 𝑙 = 𝐾 → ( 𝐻 − 𝑙 ) = ( 𝐻 − 𝐾 ) )
707	706	oveq1d	⊢ ( 𝑙 = 𝐾 → ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝐻 − 𝐾 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) )
708	706	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝐾 → ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) = ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) )
709	708	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝐾 → ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) ) )
710	709	fveq1d	⊢ ( 𝑙 = 𝐾 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑍 ) )
711	707 710	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = 𝐾 → ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) = ( ( ( 𝐻 − 𝐾 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
712	1 31 10 698 46 2 80 250 705 18 711	gsummoncoe1fz	⊢ ( 𝜑 → ( ( coe1 ‘ ( 𝑊 Σg ( 𝑙 ∈ ( 0 ... 𝐻 ) ↦ ( ( ( ( 𝐻 − 𝑙 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝑙 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) ( 𝑙 ( .g ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) ) ) ) ‘ 𝐾 ) = ( ( ( 𝐻 − 𝐾 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )
713	697 712	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( coe1 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝐾 ) = ( ( ( 𝐻 − 𝐾 ) ↑ ( 𝑁 ‘ 1 ) ) · ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐸 ‘ ( 𝐻 − 𝐾 ) ) ) ‘ 𝑍 ) ) )