Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
retop |
|- ( topGen ` ran (,) ) e. Top |
2 |
|
0cld |
|- ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top -> (/) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
|- (/) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) |
4 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A = (/) ) -> M < ( vol* ` A ) ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( A = (/) -> ( vol* ` A ) = ( vol* ` (/) ) ) |
6 |
5
|
adantl |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A = (/) ) -> ( vol* ` A ) = ( vol* ` (/) ) ) |
7 |
4 6
|
breqtrd |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A = (/) ) -> M < ( vol* ` (/) ) ) |
8 |
|
0ss |
|- (/) C_ A |
9 |
7 8
|
jctil |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A = (/) ) -> ( (/) C_ A /\ M < ( vol* ` (/) ) ) ) |
10 |
|
sseq1 |
|- ( s = (/) -> ( s C_ A <-> (/) C_ A ) ) |
11 |
|
fveq2 |
|- ( s = (/) -> ( vol* ` s ) = ( vol* ` (/) ) ) |
12 |
11
|
breq2d |
|- ( s = (/) -> ( M < ( vol* ` s ) <-> M < ( vol* ` (/) ) ) ) |
13 |
10 12
|
anbi12d |
|- ( s = (/) -> ( ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) <-> ( (/) C_ A /\ M < ( vol* ` (/) ) ) ) ) |
14 |
13
|
rspcev |
|- ( ( (/) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) /\ ( (/) C_ A /\ M < ( vol* ` (/) ) ) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
15 |
3 9 14
|
sylancr |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A = (/) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
16 |
|
mblfinlem1 |
|- ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ A =/= (/) ) -> E. f f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
17 |
16
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A =/= (/) ) -> E. f f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
18 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> M < ( vol* ` A ) ) |
19 |
|
f1ofo |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> f : NN -onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
20 |
|
rnco2 |
|- ran ( [,] o. f ) = ( [,] " ran f ) |
21 |
|
forn |
|- ( f : NN -onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ran f = { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
22 |
21
|
imaeq2d |
|- ( f : NN -onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( [,] " ran f ) = ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
23 |
20 22
|
syl5eq |
|- ( f : NN -onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ran ( [,] o. f ) = ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
24 |
23
|
unieqd |
|- ( f : NN -onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> U. ran ( [,] o. f ) = U. ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
25 |
19 24
|
syl |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> U. ran ( [,] o. f ) = U. ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
26 |
25
|
adantl |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> U. ran ( [,] o. f ) = U. ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
27 |
|
oveq1 |
|- ( x = u -> ( x / ( 2 ^ y ) ) = ( u / ( 2 ^ y ) ) ) |
28 |
|
oveq1 |
|- ( x = u -> ( x + 1 ) = ( u + 1 ) ) |
29 |
28
|
oveq1d |
|- ( x = u -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) = ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) ) |
30 |
27 29
|
opeq12d |
|- ( x = u -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. = <. ( u / ( 2 ^ y ) ) , ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) |
31 |
|
oveq2 |
|- ( y = v -> ( 2 ^ y ) = ( 2 ^ v ) ) |
32 |
31
|
oveq2d |
|- ( y = v -> ( u / ( 2 ^ y ) ) = ( u / ( 2 ^ v ) ) ) |
33 |
31
|
oveq2d |
|- ( y = v -> ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) = ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ v ) ) ) |
34 |
32 33
|
opeq12d |
|- ( y = v -> <. ( u / ( 2 ^ y ) ) , ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. = <. ( u / ( 2 ^ v ) ) , ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ v ) ) >. ) |
35 |
30 34
|
cbvmpov |
|- ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) = ( u e. ZZ , v e. NN0 |-> <. ( u / ( 2 ^ v ) ) , ( ( u + 1 ) / ( 2 ^ v ) ) >. ) |
36 |
|
fveq2 |
|- ( a = z -> ( [,] ` a ) = ( [,] ` z ) ) |
37 |
36
|
sseq1d |
|- ( a = z -> ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) <-> ( [,] ` z ) C_ ( [,] ` c ) ) ) |
38 |
|
eqeq1 |
|- ( a = z -> ( a = c <-> z = c ) ) |
39 |
37 38
|
imbi12d |
|- ( a = z -> ( ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) <-> ( ( [,] ` z ) C_ ( [,] ` c ) -> z = c ) ) ) |
40 |
39
|
ralbidv |
|- ( a = z -> ( A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) <-> A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` z ) C_ ( [,] ` c ) -> z = c ) ) ) |
41 |
40
|
cbvrabv |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } = { z e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` z ) C_ ( [,] ` c ) -> z = c ) } |
42 |
|
ssrab2 |
|- { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } C_ ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) |
43 |
42
|
a1i |
|- ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) -> { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } C_ ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) ) |
44 |
35 41 43
|
dyadmbllem |
|- ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) -> U. ( [,] " { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) = U. ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
45 |
44
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> U. ( [,] " { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) = U. ( [,] " { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) ) |
46 |
26 45
|
eqtr4d |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> U. ran ( [,] o. f ) = U. ( [,] " { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) ) |
47 |
|
opnmbllem0 |
|- ( A e. ( topGen ` ran (,) ) -> U. ( [,] " { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) = A ) |
48 |
47
|
3ad2ant1 |
|- ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) -> U. ( [,] " { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) = A ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> U. ( [,] " { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) = A ) |
50 |
46 49
|
eqtrd |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> U. ran ( [,] o. f ) = A ) |
51 |
50
|
fveq2d |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( vol* ` U. ran ( [,] o. f ) ) = ( vol* ` A ) ) |
52 |
|
f1of |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
53 |
|
ssrab2 |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } |
54 |
35
|
dyadf |
|- ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) : ( ZZ X. NN0 ) --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) |
55 |
|
frn |
|- ( ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) : ( ZZ X. NN0 ) --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) C_ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
56 |
54 55
|
ax-mp |
|- ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) C_ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) |
57 |
42 56
|
sstri |
|- { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } C_ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) |
58 |
53 57
|
sstri |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) |
59 |
|
fss |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> f : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
60 |
52 58 59
|
sylancl |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> f : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
61 |
53 42
|
sstri |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) |
62 |
|
ffvelrn |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
63 |
61 62
|
sseldi |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( f ` m ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) ) |
64 |
63
|
adantrr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( f ` m ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) ) |
65 |
|
ffvelrn |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
66 |
61 65
|
sseldi |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( f ` z ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) ) |
67 |
66
|
adantrl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( f ` z ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) ) |
68 |
35
|
dyaddisj |
|- ( ( ( f ` m ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) /\ ( f ` z ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) ) -> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
69 |
64 67 68
|
syl2anc |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
70 |
52 69
|
sylan |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
71 |
|
df-3or |
|- ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
72 |
70 71
|
sylib |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
73 |
|
elrabi |
|- ( ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( f ` z ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) |
74 |
|
fveq2 |
|- ( a = ( f ` m ) -> ( [,] ` a ) = ( [,] ` ( f ` m ) ) ) |
75 |
74
|
sseq1d |
|- ( a = ( f ` m ) -> ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) <-> ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) ) ) |
76 |
|
eqeq1 |
|- ( a = ( f ` m ) -> ( a = c <-> ( f ` m ) = c ) ) |
77 |
75 76
|
imbi12d |
|- ( a = ( f ` m ) -> ( ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) <-> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` m ) = c ) ) ) |
78 |
77
|
ralbidv |
|- ( a = ( f ` m ) -> ( A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) <-> A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` m ) = c ) ) ) |
79 |
78
|
elrab |
|- ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } <-> ( ( f ` m ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } /\ A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` m ) = c ) ) ) |
80 |
79
|
simprbi |
|- ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` m ) = c ) ) |
81 |
|
fveq2 |
|- ( c = ( f ` z ) -> ( [,] ` c ) = ( [,] ` ( f ` z ) ) ) |
82 |
81
|
sseq2d |
|- ( c = ( f ` z ) -> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) <-> ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
83 |
|
eqeq2 |
|- ( c = ( f ` z ) -> ( ( f ` m ) = c <-> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
84 |
82 83
|
imbi12d |
|- ( c = ( f ` z ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` m ) = c ) <-> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) ) |
85 |
84
|
rspcva |
|- ( ( ( f ` z ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } /\ A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` m ) = c ) ) -> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
86 |
73 80 85
|
syl2anr |
|- ( ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
87 |
|
elrabi |
|- ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( f ` m ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ) |
88 |
|
fveq2 |
|- ( a = ( f ` z ) -> ( [,] ` a ) = ( [,] ` ( f ` z ) ) ) |
89 |
88
|
sseq1d |
|- ( a = ( f ` z ) -> ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) <-> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) ) ) |
90 |
|
eqeq1 |
|- ( a = ( f ` z ) -> ( a = c <-> ( f ` z ) = c ) ) |
91 |
89 90
|
imbi12d |
|- ( a = ( f ` z ) -> ( ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) <-> ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` z ) = c ) ) ) |
92 |
91
|
ralbidv |
|- ( a = ( f ` z ) -> ( A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) <-> A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` z ) = c ) ) ) |
93 |
92
|
elrab |
|- ( ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } <-> ( ( f ` z ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } /\ A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` z ) = c ) ) ) |
94 |
93
|
simprbi |
|- ( ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` z ) = c ) ) |
95 |
|
fveq2 |
|- ( c = ( f ` m ) -> ( [,] ` c ) = ( [,] ` ( f ` m ) ) ) |
96 |
95
|
sseq2d |
|- ( c = ( f ` m ) -> ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) <-> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) ) |
97 |
|
eqeq2 |
|- ( c = ( f ` m ) -> ( ( f ` z ) = c <-> ( f ` z ) = ( f ` m ) ) ) |
98 |
96 97
|
imbi12d |
|- ( c = ( f ` m ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` z ) = c ) <-> ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) -> ( f ` z ) = ( f ` m ) ) ) ) |
99 |
98
|
rspcva |
|- ( ( ( f ` m ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } /\ A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` c ) -> ( f ` z ) = c ) ) -> ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) -> ( f ` z ) = ( f ` m ) ) ) |
100 |
87 94 99
|
syl2an |
|- ( ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) -> ( f ` z ) = ( f ` m ) ) ) |
101 |
|
eqcom |
|- ( ( f ` z ) = ( f ` m ) <-> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) |
102 |
100 101
|
syl6ib |
|- ( ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
103 |
86 102
|
jaod |
|- ( ( ( f ` m ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( f ` z ) e. { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
104 |
62 65 103
|
syl2an |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) /\ ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
105 |
104
|
anandis |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
106 |
52 105
|
sylan |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) -> ( f ` m ) = ( f ` z ) ) ) |
107 |
|
f1of1 |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> f : NN -1-1-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
108 |
|
f1veqaeq |
|- ( ( f : NN -1-1-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( f ` m ) = ( f ` z ) -> m = z ) ) |
109 |
107 108
|
sylan |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( f ` m ) = ( f ` z ) -> m = z ) ) |
110 |
106 109
|
syld |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) -> m = z ) ) |
111 |
110
|
orim1d |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( ( ( ( [,] ` ( f ` m ) ) C_ ( [,] ` ( f ` z ) ) \/ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ ( [,] ` ( f ` m ) ) ) \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) -> ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) ) |
112 |
72 111
|
mpd |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
113 |
112
|
ralrimivva |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. m e. NN A. z e. NN ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
114 |
|
eqeq1 |
|- ( m = z -> ( m = p <-> z = p ) ) |
115 |
|
2fveq3 |
|- ( m = z -> ( (,) ` ( f ` m ) ) = ( (,) ` ( f ` z ) ) ) |
116 |
115
|
ineq1d |
|- ( m = z -> ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = ( ( (,) ` ( f ` z ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) ) |
117 |
116
|
eqeq1d |
|- ( m = z -> ( ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) <-> ( ( (,) ` ( f ` z ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) |
118 |
114 117
|
orbi12d |
|- ( m = z -> ( ( m = p \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) <-> ( z = p \/ ( ( (,) ` ( f ` z ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) ) |
119 |
118
|
ralbidv |
|- ( m = z -> ( A. p e. NN ( m = p \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) <-> A. p e. NN ( z = p \/ ( ( (,) ` ( f ` z ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) ) |
120 |
119
|
cbvralvw |
|- ( A. m e. NN A. p e. NN ( m = p \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) <-> A. z e. NN A. p e. NN ( z = p \/ ( ( (,) ` ( f ` z ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) |
121 |
|
eqeq2 |
|- ( z = p -> ( m = z <-> m = p ) ) |
122 |
|
2fveq3 |
|- ( z = p -> ( (,) ` ( f ` z ) ) = ( (,) ` ( f ` p ) ) ) |
123 |
122
|
ineq2d |
|- ( z = p -> ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) ) |
124 |
123
|
eqeq1d |
|- ( z = p -> ( ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) <-> ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) |
125 |
121 124
|
orbi12d |
|- ( z = p -> ( ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> ( m = p \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) ) |
126 |
125
|
cbvralvw |
|- ( A. z e. NN ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> A. p e. NN ( m = p \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) |
127 |
126
|
ralbii |
|- ( A. m e. NN A. z e. NN ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> A. m e. NN A. p e. NN ( m = p \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) |
128 |
122
|
disjor |
|- ( Disj_ z e. NN ( (,) ` ( f ` z ) ) <-> A. z e. NN A. p e. NN ( z = p \/ ( ( (,) ` ( f ` z ) ) i^i ( (,) ` ( f ` p ) ) ) = (/) ) ) |
129 |
120 127 128
|
3bitr4ri |
|- ( Disj_ z e. NN ( (,) ` ( f ` z ) ) <-> A. m e. NN A. z e. NN ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
130 |
113 129
|
sylibr |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> Disj_ z e. NN ( (,) ` ( f ` z ) ) ) |
131 |
|
eqid |
|- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) |
132 |
60 130 131
|
uniiccvol |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( vol* ` U. ran ( [,] o. f ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) |
133 |
132
|
adantl |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( vol* ` U. ran ( [,] o. f ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) |
134 |
51 133
|
eqtr3d |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( vol* ` A ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) |
135 |
18 134
|
breqtrd |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> M < sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) |
136 |
|
absf |
|- abs : CC --> RR |
137 |
|
subf |
|- - : ( CC X. CC ) --> CC |
138 |
|
fco |
|- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR ) |
139 |
136 137 138
|
mp2an |
|- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR |
140 |
|
zre |
|- ( x e. ZZ -> x e. RR ) |
141 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
142 |
|
reexpcl |
|- ( ( 2 e. RR /\ y e. NN0 ) -> ( 2 ^ y ) e. RR ) |
143 |
141 142
|
mpan |
|- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ y ) e. RR ) |
144 |
|
2cn |
|- 2 e. CC |
145 |
|
2ne0 |
|- 2 =/= 0 |
146 |
|
nn0z |
|- ( y e. NN0 -> y e. ZZ ) |
147 |
|
expne0i |
|- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ y e. ZZ ) -> ( 2 ^ y ) =/= 0 ) |
148 |
144 145 146 147
|
mp3an12i |
|- ( y e. NN0 -> ( 2 ^ y ) =/= 0 ) |
149 |
143 148
|
jca |
|- ( y e. NN0 -> ( ( 2 ^ y ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) =/= 0 ) ) |
150 |
|
redivcl |
|- ( ( x e. RR /\ ( 2 ^ y ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) =/= 0 ) -> ( x / ( 2 ^ y ) ) e. RR ) |
151 |
|
peano2re |
|- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR ) |
152 |
|
redivcl |
|- ( ( ( x + 1 ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) =/= 0 ) -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) e. RR ) |
153 |
151 152
|
syl3an1 |
|- ( ( x e. RR /\ ( 2 ^ y ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) =/= 0 ) -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) e. RR ) |
154 |
150 153
|
opelxpd |
|- ( ( x e. RR /\ ( 2 ^ y ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) =/= 0 ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) ) |
155 |
154
|
3expb |
|- ( ( x e. RR /\ ( ( 2 ^ y ) e. RR /\ ( 2 ^ y ) =/= 0 ) ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) ) |
156 |
140 149 155
|
syl2an |
|- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN0 ) -> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) ) |
157 |
156
|
rgen2 |
|- A. x e. ZZ A. y e. NN0 <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) |
158 |
|
eqid |
|- ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) = ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) |
159 |
158
|
fmpo |
|- ( A. x e. ZZ A. y e. NN0 <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. e. ( RR X. RR ) <-> ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) : ( ZZ X. NN0 ) --> ( RR X. RR ) ) |
160 |
157 159
|
mpbi |
|- ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) : ( ZZ X. NN0 ) --> ( RR X. RR ) |
161 |
|
frn |
|- ( ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) : ( ZZ X. NN0 ) --> ( RR X. RR ) -> ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) C_ ( RR X. RR ) ) |
162 |
160 161
|
ax-mp |
|- ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) C_ ( RR X. RR ) |
163 |
42 162
|
sstri |
|- { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } C_ ( RR X. RR ) |
164 |
53 163
|
sstri |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ( RR X. RR ) |
165 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
166 |
|
xpss12 |
|- ( ( RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( RR X. RR ) C_ ( CC X. CC ) ) |
167 |
165 165 166
|
mp2an |
|- ( RR X. RR ) C_ ( CC X. CC ) |
168 |
164 167
|
sstri |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ( CC X. CC ) |
169 |
|
fss |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ( CC X. CC ) ) -> f : NN --> ( CC X. CC ) ) |
170 |
168 169
|
mpan2 |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> f : NN --> ( CC X. CC ) ) |
171 |
|
fco |
|- ( ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR /\ f : NN --> ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) o. f ) : NN --> RR ) |
172 |
139 170 171
|
sylancr |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( ( abs o. - ) o. f ) : NN --> RR ) |
173 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
174 |
|
1z |
|- 1 e. ZZ |
175 |
174
|
a1i |
|- ( ( ( abs o. - ) o. f ) : NN --> RR -> 1 e. ZZ ) |
176 |
|
ffvelrn |
|- ( ( ( ( abs o. - ) o. f ) : NN --> RR /\ n e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` n ) e. RR ) |
177 |
173 175 176
|
serfre |
|- ( ( ( abs o. - ) o. f ) : NN --> RR -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) : NN --> RR ) |
178 |
|
frn |
|- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) : NN --> RR -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) C_ RR ) |
179 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
180 |
178 179
|
sstrdi |
|- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) : NN --> RR -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) C_ RR* ) |
181 |
52 172 177 180
|
4syl |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) C_ RR* ) |
182 |
|
rexr |
|- ( M e. RR -> M e. RR* ) |
183 |
182
|
3ad2ant2 |
|- ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) -> M e. RR* ) |
184 |
|
supxrlub |
|- ( ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) C_ RR* /\ M e. RR* ) -> ( M < sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) <-> E. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) M < z ) ) |
185 |
181 183 184
|
syl2anr |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( M < sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) <-> E. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) M < z ) ) |
186 |
135 185
|
mpbid |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> E. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) M < z ) |
187 |
|
seqfn |
|- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) ) |
188 |
174 187
|
ax-mp |
|- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) |
189 |
173
|
fneq2i |
|- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) Fn NN <-> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) ) |
190 |
188 189
|
mpbir |
|- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) Fn NN |
191 |
|
breq2 |
|- ( z = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) -> ( M < z <-> M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) ) |
192 |
191
|
rexrn |
|- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) Fn NN -> ( E. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) M < z <-> E. n e. NN M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) ) |
193 |
190 192
|
ax-mp |
|- ( E. z e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) M < z <-> E. n e. NN M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
194 |
186 193
|
sylib |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> E. n e. NN M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
195 |
60
|
ffvelrnda |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( f ` z ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
196 |
|
0le0 |
|- 0 <_ 0 |
197 |
|
df-br |
|- ( 0 <_ 0 <-> <. 0 , 0 >. e. <_ ) |
198 |
196 197
|
mpbi |
|- <. 0 , 0 >. e. <_ |
199 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
200 |
|
opelxpi |
|- ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) -> <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) ) |
201 |
199 199 200
|
mp2an |
|- <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) |
202 |
|
elin |
|- ( <. 0 , 0 >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( <. 0 , 0 >. e. <_ /\ <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) ) ) |
203 |
198 201 202
|
mpbir2an |
|- <. 0 , 0 >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) |
204 |
|
ifcl |
|- ( ( ( f ` z ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ <. 0 , 0 >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
205 |
195 203 204
|
sylancl |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
206 |
205
|
fmpttd |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) |
207 |
|
df-ov |
|- ( 0 (,) 0 ) = ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) |
208 |
|
iooid |
|- ( 0 (,) 0 ) = (/) |
209 |
207 208
|
eqtr3i |
|- ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = (/) |
210 |
209
|
ineq1i |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = ( (/) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) |
211 |
|
0in |
|- ( (/) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) |
212 |
210 211
|
eqtri |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) |
213 |
212
|
olci |
|- ( m = z \/ ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) |
214 |
|
ineq1 |
|- ( ( (,) ` ( f ` m ) ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) ) |
215 |
214
|
eqeq1d |
|- ( ( (,) ` ( f ` m ) ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) <-> ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
216 |
215
|
orbi2d |
|- ( ( (,) ` ( f ` m ) ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) ) |
217 |
|
ineq1 |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) ) |
218 |
217
|
eqeq1d |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) <-> ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
219 |
218
|
orbi2d |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( m = z \/ ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) ) |
220 |
216 219
|
ifboth |
|- ( ( ( m = z \/ ( ( (,) ` ( f ` m ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) /\ ( m = z \/ ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) -> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
221 |
112 213 220
|
sylancl |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) ) |
222 |
209
|
ineq2i |
|- ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i (/) ) |
223 |
|
in0 |
|- ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i (/) ) = (/) |
224 |
222 223
|
eqtri |
|- ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = (/) |
225 |
224
|
olci |
|- ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = (/) ) |
226 |
|
ineq2 |
|- ( ( (,) ` ( f ` z ) ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
227 |
226
|
eqeq1d |
|- ( ( (,) ` ( f ` z ) ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) <-> ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
228 |
227
|
orbi2d |
|- ( ( (,) ` ( f ` z ) ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) <-> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) ) |
229 |
|
ineq2 |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
230 |
229
|
eqeq1d |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = (/) <-> ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
231 |
230
|
orbi2d |
|- ( ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = (/) ) <-> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) ) |
232 |
228 231
|
ifboth |
|- ( ( ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` ( f ` z ) ) ) = (/) ) /\ ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = (/) ) ) -> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
233 |
221 225 232
|
sylancl |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( m e. NN /\ z e. NN ) ) -> ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
234 |
233
|
ralrimivva |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. m e. NN A. z e. NN ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
235 |
|
disjeq2 |
|- ( A. m e. NN ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) -> ( Disj_ m e. NN ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) <-> Disj_ m e. NN if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
236 |
|
eleq1w |
|- ( z = m -> ( z e. ( 1 ... n ) <-> m e. ( 1 ... n ) ) ) |
237 |
|
fveq2 |
|- ( z = m -> ( f ` z ) = ( f ` m ) ) |
238 |
236 237
|
ifbieq1d |
|- ( z = m -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( f ` m ) , <. 0 , 0 >. ) ) |
239 |
|
eqid |
|- ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) |
240 |
|
fvex |
|- ( f ` m ) e. _V |
241 |
|
opex |
|- <. 0 , 0 >. e. _V |
242 |
240 241
|
ifex |
|- if ( m e. ( 1 ... n ) , ( f ` m ) , <. 0 , 0 >. ) e. _V |
243 |
238 239 242
|
fvmpt |
|- ( m e. NN -> ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( f ` m ) , <. 0 , 0 >. ) ) |
244 |
243
|
fveq2d |
|- ( m e. NN -> ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) = ( (,) ` if ( m e. ( 1 ... n ) , ( f ` m ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
245 |
|
fvif |
|- ( (,) ` if ( m e. ( 1 ... n ) , ( f ` m ) , <. 0 , 0 >. ) ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) |
246 |
244 245
|
eqtrdi |
|- ( m e. NN -> ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) = if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
247 |
235 246
|
mprg |
|- ( Disj_ m e. NN ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) <-> Disj_ m e. NN if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
248 |
|
eleq1w |
|- ( m = z -> ( m e. ( 1 ... n ) <-> z e. ( 1 ... n ) ) ) |
249 |
248 115
|
ifbieq1d |
|- ( m = z -> if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
250 |
249
|
disjor |
|- ( Disj_ m e. NN if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) <-> A. m e. NN A. z e. NN ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
251 |
247 250
|
bitri |
|- ( Disj_ m e. NN ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) <-> A. m e. NN A. z e. NN ( m = z \/ ( if ( m e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` m ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) i^i if ( z e. ( 1 ... n ) , ( (,) ` ( f ` z ) ) , ( (,) ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = (/) ) ) |
252 |
234 251
|
sylibr |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> Disj_ m e. NN ( (,) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
253 |
|
eqid |
|- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
254 |
206 252 253
|
uniiccvol |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( vol* ` U. ran ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) , RR* , < ) ) |
255 |
254
|
adantr |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) , RR* , < ) ) |
256 |
|
rexpssxrxp |
|- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) |
257 |
164 256
|
sstri |
|- { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } C_ ( RR* X. RR* ) |
258 |
257 65
|
sseldi |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( f ` z ) e. ( RR* X. RR* ) ) |
259 |
|
0xr |
|- 0 e. RR* |
260 |
|
opelxpi |
|- ( ( 0 e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> <. 0 , 0 >. e. ( RR* X. RR* ) ) |
261 |
259 259 260
|
mp2an |
|- <. 0 , 0 >. e. ( RR* X. RR* ) |
262 |
|
ifcl |
|- ( ( ( f ` z ) e. ( RR* X. RR* ) /\ <. 0 , 0 >. e. ( RR* X. RR* ) ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. ( RR* X. RR* ) ) |
263 |
258 261 262
|
sylancl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. ( RR* X. RR* ) ) |
264 |
|
eqidd |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
265 |
|
iccf |
|- [,] : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* |
266 |
265
|
a1i |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> [,] : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* ) |
267 |
266
|
feqmptd |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> [,] = ( m e. ( RR* X. RR* ) |-> ( [,] ` m ) ) ) |
268 |
|
fveq2 |
|- ( m = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) -> ( [,] ` m ) = ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
269 |
263 264 267 268
|
fmptco |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
270 |
52 269
|
syl |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
271 |
270
|
rneqd |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ran ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ran ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
272 |
271
|
unieqd |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> U. ran ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = U. ran ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
273 |
|
peano2nn |
|- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN ) |
274 |
273 173
|
eleqtrdi |
|- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
275 |
|
fzouzsplit |
|- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ..^ ( n + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) ) |
276 |
274 275
|
syl |
|- ( n e. NN -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ..^ ( n + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) ) |
277 |
173 276
|
syl5eq |
|- ( n e. NN -> NN = ( ( 1 ..^ ( n + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) ) |
278 |
|
nnz |
|- ( n e. NN -> n e. ZZ ) |
279 |
|
fzval3 |
|- ( n e. ZZ -> ( 1 ... n ) = ( 1 ..^ ( n + 1 ) ) ) |
280 |
278 279
|
syl |
|- ( n e. NN -> ( 1 ... n ) = ( 1 ..^ ( n + 1 ) ) ) |
281 |
280
|
uneq1d |
|- ( n e. NN -> ( ( 1 ... n ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( 1 ..^ ( n + 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) ) |
282 |
277 281
|
eqtr4d |
|- ( n e. NN -> NN = ( ( 1 ... n ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) ) |
283 |
|
fvif |
|- ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) |
284 |
283
|
a1i |
|- ( n e. NN -> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
285 |
282 284
|
iuneq12d |
|- ( n e. NN -> U_ z e. NN ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = U_ z e. ( ( 1 ... n ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
286 |
|
fvex |
|- ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) e. _V |
287 |
286
|
dfiun3 |
|- U_ z e. NN ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = U. ran ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
288 |
|
iunxun |
|- U_ z e. ( ( 1 ... n ) u. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( U_ z e. ( 1 ... n ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
289 |
285 287 288
|
3eqtr3g |
|- ( n e. NN -> U. ran ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( U_ z e. ( 1 ... n ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
290 |
|
iftrue |
|- ( z e. ( 1 ... n ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( [,] ` ( f ` z ) ) ) |
291 |
290
|
iuneq2i |
|- U_ z e. ( 1 ... n ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) |
292 |
291
|
a1i |
|- ( n e. NN -> U_ z e. ( 1 ... n ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) |
293 |
|
uznfz |
|- ( z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) -> -. z e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) |
294 |
293
|
adantl |
|- ( ( n e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> -. z e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) |
295 |
|
nncn |
|- ( n e. NN -> n e. CC ) |
296 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
297 |
|
pncan |
|- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n ) |
298 |
295 296 297
|
sylancl |
|- ( n e. NN -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n ) |
299 |
298
|
oveq2d |
|- ( n e. NN -> ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... n ) ) |
300 |
299
|
eleq2d |
|- ( n e. NN -> ( z e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) <-> z e. ( 1 ... n ) ) ) |
301 |
300
|
notbid |
|- ( n e. NN -> ( -. z e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) <-> -. z e. ( 1 ... n ) ) ) |
302 |
301
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( -. z e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) <-> -. z e. ( 1 ... n ) ) ) |
303 |
294 302
|
mpbid |
|- ( ( n e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> -. z e. ( 1 ... n ) ) |
304 |
303
|
iffalsed |
|- ( ( n e. NN /\ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) |
305 |
304
|
iuneq2dv |
|- ( n e. NN -> U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) |
306 |
292 305
|
uneq12d |
|- ( n e. NN -> ( U_ z e. ( 1 ... n ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) if ( z e. ( 1 ... n ) , ( [,] ` ( f ` z ) ) , ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
307 |
289 306
|
eqtrd |
|- ( n e. NN -> U. ran ( z e. NN |-> ( [,] ` if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
308 |
272 307
|
sylan9eq |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> U. ran ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
309 |
308
|
fveq2d |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U. ran ( [,] o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) = ( vol* ` ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
310 |
|
xrltso |
|- < Or RR* |
311 |
310
|
a1i |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> < Or RR* ) |
312 |
|
elnnuz |
|- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
313 |
312
|
biimpi |
|- ( n e. NN -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
314 |
313
|
adantl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
315 |
|
elfznn |
|- ( u e. ( 1 ... n ) -> u e. NN ) |
316 |
172
|
ffvelrnda |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ u e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` u ) e. RR ) |
317 |
315 316
|
sylan2 |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ u e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` u ) e. RR ) |
318 |
317
|
adantlr |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ u e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` u ) e. RR ) |
319 |
|
readdcl |
|- ( ( u e. RR /\ v e. RR ) -> ( u + v ) e. RR ) |
320 |
319
|
adantl |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ ( u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( u + v ) e. RR ) |
321 |
314 318 320
|
seqcl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. RR ) |
322 |
321
|
rexrd |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. RR* ) |
323 |
|
eqidd |
|- ( m e. ( 1 ... n ) -> ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
324 |
|
iftrue |
|- ( m e. ( 1 ... n ) -> if ( m e. ( 1 ... n ) , ( f ` m ) , <. 0 , 0 >. ) = ( f ` m ) ) |
325 |
238 324
|
sylan9eqr |
|- ( ( m e. ( 1 ... n ) /\ z = m ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) = ( f ` m ) ) |
326 |
|
elfznn |
|- ( m e. ( 1 ... n ) -> m e. NN ) |
327 |
240
|
a1i |
|- ( m e. ( 1 ... n ) -> ( f ` m ) e. _V ) |
328 |
323 325 326 327
|
fvmptd |
|- ( m e. ( 1 ... n ) -> ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) = ( f ` m ) ) |
329 |
328
|
adantl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) = ( f ` m ) ) |
330 |
329
|
fveq2d |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) = ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) ) |
331 |
|
fvex |
|- ( f ` z ) e. _V |
332 |
331 241
|
ifex |
|- if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. _V |
333 |
332 239
|
fnmpti |
|- ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) Fn NN |
334 |
|
fvco2 |
|- ( ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
335 |
333 326 334
|
sylancr |
|- ( m e. ( 1 ... n ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
336 |
335
|
adantl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
337 |
|
ffn |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> f Fn NN ) |
338 |
|
fvco2 |
|- ( ( f Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) ) |
339 |
337 326 338
|
syl2an |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) ) |
340 |
330 336 339
|
3eqtr4d |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) ) |
341 |
340
|
adantlr |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) ) |
342 |
314 341
|
seqfveq |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
343 |
174
|
a1i |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> 1 e. ZZ ) |
344 |
168 65
|
sseldi |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( f ` z ) e. ( CC X. CC ) ) |
345 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
346 |
|
opelxpi |
|- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. 0 , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) |
347 |
345 345 346
|
mp2an |
|- <. 0 , 0 >. e. ( CC X. CC ) |
348 |
|
ifcl |
|- ( ( ( f ` z ) e. ( CC X. CC ) /\ <. 0 , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. ( CC X. CC ) ) |
349 |
344 347 348
|
sylancl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) e. ( CC X. CC ) ) |
350 |
349
|
fmpttd |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) : NN --> ( CC X. CC ) ) |
351 |
|
fco |
|- ( ( ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR /\ ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) : NN --> ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) : NN --> RR ) |
352 |
139 350 351
|
sylancr |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) : NN --> RR ) |
353 |
352
|
ffvelrnda |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) e. RR ) |
354 |
173 343 353
|
serfre |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) : NN --> RR ) |
355 |
354
|
ffnd |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) Fn NN ) |
356 |
|
fnfvelrn |
|- ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) Fn NN /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) |
357 |
355 356
|
sylan |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) |
358 |
342 357
|
eqeltrrd |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) |
359 |
354
|
frnd |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) C_ RR ) |
360 |
359
|
adantr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) C_ RR ) |
361 |
360
|
sselda |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) -> m e. RR ) |
362 |
321
|
adantr |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. RR ) |
363 |
|
readdcl |
|- ( ( m e. RR /\ u e. RR ) -> ( m + u ) e. RR ) |
364 |
363
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ ( m e. RR /\ u e. RR ) ) -> ( m + u ) e. RR ) |
365 |
|
recn |
|- ( m e. RR -> m e. CC ) |
366 |
|
recn |
|- ( u e. RR -> u e. CC ) |
367 |
|
recn |
|- ( v e. RR -> v e. CC ) |
368 |
|
addass |
|- ( ( m e. CC /\ u e. CC /\ v e. CC ) -> ( ( m + u ) + v ) = ( m + ( u + v ) ) ) |
369 |
365 366 367 368
|
syl3an |
|- ( ( m e. RR /\ u e. RR /\ v e. RR ) -> ( ( m + u ) + v ) = ( m + ( u + v ) ) ) |
370 |
369
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ ( m e. RR /\ u e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( ( m + u ) + v ) = ( m + ( u + v ) ) ) |
371 |
|
nnltp1le |
|- ( ( n e. NN /\ t e. NN ) -> ( n < t <-> ( n + 1 ) <_ t ) ) |
372 |
371
|
biimpa |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( n + 1 ) <_ t ) |
373 |
273
|
nnzd |
|- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. ZZ ) |
374 |
|
nnz |
|- ( t e. NN -> t e. ZZ ) |
375 |
|
eluz |
|- ( ( ( n + 1 ) e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( t e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) <-> ( n + 1 ) <_ t ) ) |
376 |
373 374 375
|
syl2an |
|- ( ( n e. NN /\ t e. NN ) -> ( t e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) <-> ( n + 1 ) <_ t ) ) |
377 |
376
|
adantr |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( t e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) <-> ( n + 1 ) <_ t ) ) |
378 |
372 377
|
mpbird |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> t e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
379 |
378
|
adantlll |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> t e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
380 |
313
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
381 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
382 |
|
elfznn |
|- ( m e. ( 1 ... t ) -> m e. NN ) |
383 |
381 382 353
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) e. RR ) |
384 |
364 370 379 380 383
|
seqsplit |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) = ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) + ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) ) ) |
385 |
342
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
386 |
|
elfzelz |
|- ( m e. ( ( n + 1 ) ... t ) -> m e. ZZ ) |
387 |
386
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> m e. ZZ ) |
388 |
|
0red |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> 0 e. RR ) |
389 |
273
|
nnred |
|- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. RR ) |
390 |
389
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( n + 1 ) e. RR ) |
391 |
386
|
zred |
|- ( m e. ( ( n + 1 ) ... t ) -> m e. RR ) |
392 |
391
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> m e. RR ) |
393 |
273
|
nngt0d |
|- ( n e. NN -> 0 < ( n + 1 ) ) |
394 |
393
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> 0 < ( n + 1 ) ) |
395 |
|
elfzle1 |
|- ( m e. ( ( n + 1 ) ... t ) -> ( n + 1 ) <_ m ) |
396 |
395
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( n + 1 ) <_ m ) |
397 |
388 390 392 394 396
|
ltletrd |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> 0 < m ) |
398 |
|
elnnz |
|- ( m e. NN <-> ( m e. ZZ /\ 0 < m ) ) |
399 |
387 397 398
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> m e. NN ) |
400 |
333 399 334
|
sylancr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
401 |
|
eqidd |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
402 |
|
nnre |
|- ( n e. NN -> n e. RR ) |
403 |
402
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> n e. RR ) |
404 |
389
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( n + 1 ) e. RR ) |
405 |
391
|
adantl |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> m e. RR ) |
406 |
402
|
ltp1d |
|- ( n e. NN -> n < ( n + 1 ) ) |
407 |
406
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> n < ( n + 1 ) ) |
408 |
395
|
adantl |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( n + 1 ) <_ m ) |
409 |
403 404 405 407 408
|
ltletrd |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> n < m ) |
410 |
409
|
adantr |
|- ( ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) /\ z = m ) -> n < m ) |
411 |
403 405
|
ltnled |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( n < m <-> -. m <_ n ) ) |
412 |
|
breq1 |
|- ( m = z -> ( m <_ n <-> z <_ n ) ) |
413 |
412
|
equcoms |
|- ( z = m -> ( m <_ n <-> z <_ n ) ) |
414 |
413
|
notbid |
|- ( z = m -> ( -. m <_ n <-> -. z <_ n ) ) |
415 |
411 414
|
sylan9bb |
|- ( ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) /\ z = m ) -> ( n < m <-> -. z <_ n ) ) |
416 |
410 415
|
mpbid |
|- ( ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) /\ z = m ) -> -. z <_ n ) |
417 |
|
elfzle2 |
|- ( z e. ( 1 ... n ) -> z <_ n ) |
418 |
416 417
|
nsyl |
|- ( ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) /\ z = m ) -> -. z e. ( 1 ... n ) ) |
419 |
418
|
iffalsed |
|- ( ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) /\ z = m ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) = <. 0 , 0 >. ) |
420 |
386
|
adantl |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> m e. ZZ ) |
421 |
|
0red |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> 0 e. RR ) |
422 |
393
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> 0 < ( n + 1 ) ) |
423 |
421 404 405 422 408
|
ltletrd |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> 0 < m ) |
424 |
420 423 398
|
sylanbrc |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> m e. NN ) |
425 |
241
|
a1i |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> <. 0 , 0 >. e. _V ) |
426 |
401 419 424 425
|
fvmptd |
|- ( ( n e. NN /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) = <. 0 , 0 >. ) |
427 |
426
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) = <. 0 , 0 >. ) |
428 |
427
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) = ( ( abs o. - ) ` <. 0 , 0 >. ) ) |
429 |
400 428
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` <. 0 , 0 >. ) ) |
430 |
|
fvco3 |
|- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ <. 0 , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) ` <. 0 , 0 >. ) = ( abs ` ( - ` <. 0 , 0 >. ) ) ) |
431 |
137 347 430
|
mp2an |
|- ( ( abs o. - ) ` <. 0 , 0 >. ) = ( abs ` ( - ` <. 0 , 0 >. ) ) |
432 |
|
df-ov |
|- ( 0 - 0 ) = ( - ` <. 0 , 0 >. ) |
433 |
|
0m0e0 |
|- ( 0 - 0 ) = 0 |
434 |
432 433
|
eqtr3i |
|- ( - ` <. 0 , 0 >. ) = 0 |
435 |
434
|
fveq2i |
|- ( abs ` ( - ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( abs ` 0 ) |
436 |
|
abs0 |
|- ( abs ` 0 ) = 0 |
437 |
435 436
|
eqtri |
|- ( abs ` ( - ` <. 0 , 0 >. ) ) = 0 |
438 |
431 437
|
eqtri |
|- ( ( abs o. - ) ` <. 0 , 0 >. ) = 0 |
439 |
429 438
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = 0 ) |
440 |
|
elfzuz |
|- ( m e. ( ( n + 1 ) ... t ) -> m e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
441 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
442 |
441
|
fvconst2 |
|- ( m e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ` m ) = 0 ) |
443 |
440 442
|
syl |
|- ( m e. ( ( n + 1 ) ... t ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ` m ) = 0 ) |
444 |
443
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ` m ) = 0 ) |
445 |
439 444
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( ( n + 1 ) ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ` m ) ) |
446 |
378 445
|
seqfveq |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) = ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ) ` t ) ) |
447 |
|
eqid |
|- ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) |
448 |
447
|
ser0 |
|- ( t e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) -> ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ) ` t ) = 0 ) |
449 |
378 448
|
syl |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) X. { 0 } ) ) ` t ) = 0 ) |
450 |
446 449
|
eqtrd |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) = 0 ) |
451 |
450
|
adantlll |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) = 0 ) |
452 |
385 451
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) + ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) + 0 ) ) |
453 |
172
|
ffvelrnda |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) e. RR ) |
454 |
326 453
|
sylan2 |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) e. RR ) |
455 |
454
|
adantlr |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) e. RR ) |
456 |
|
readdcl |
|- ( ( m e. RR /\ v e. RR ) -> ( m + v ) e. RR ) |
457 |
456
|
adantl |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ ( m e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( m + v ) e. RR ) |
458 |
314 455 457
|
seqcl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. RR ) |
459 |
458
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. RR ) |
460 |
459
|
recnd |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. CC ) |
461 |
460
|
addid1d |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) + 0 ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
462 |
452 461
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` n ) + ( seq ( n + 1 ) ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
463 |
384 462
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
464 |
453
|
ad5ant15 |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) e. RR ) |
465 |
326 464
|
sylan2 |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) e. RR ) |
466 |
380 465 364
|
seqcl |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) e. RR ) |
467 |
466
|
leidd |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
468 |
463 467
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ n < t ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
469 |
|
elnnuz |
|- ( t e. NN <-> t e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
470 |
469
|
biimpi |
|- ( t e. NN -> t e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
471 |
470
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> t e. ( ZZ>= ` 1 ) ) |
472 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) = ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) |
473 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) /\ z = m ) -> z = m ) |
474 |
|
elfzle1 |
|- ( m e. ( 1 ... t ) -> 1 <_ m ) |
475 |
474
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> 1 <_ m ) |
476 |
382
|
nnred |
|- ( m e. ( 1 ... t ) -> m e. RR ) |
477 |
476
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> m e. RR ) |
478 |
|
nnre |
|- ( t e. NN -> t e. RR ) |
479 |
478
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> t e. RR ) |
480 |
402
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> n e. RR ) |
481 |
|
elfzle2 |
|- ( m e. ( 1 ... t ) -> m <_ t ) |
482 |
481
|
adantl |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> m <_ t ) |
483 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> t <_ n ) |
484 |
477 479 480 482 483
|
letrd |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> m <_ n ) |
485 |
|
elfzelz |
|- ( m e. ( 1 ... t ) -> m e. ZZ ) |
486 |
278
|
ad2antrr |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> n e. ZZ ) |
487 |
|
elfz |
|- ( ( m e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( m e. ( 1 ... n ) <-> ( 1 <_ m /\ m <_ n ) ) ) |
488 |
174 487
|
mp3an2 |
|- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( m e. ( 1 ... n ) <-> ( 1 <_ m /\ m <_ n ) ) ) |
489 |
485 486 488
|
syl2anr |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( m e. ( 1 ... n ) <-> ( 1 <_ m /\ m <_ n ) ) ) |
490 |
475 484 489
|
mpbir2and |
|- ( ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> m e. ( 1 ... n ) ) |
491 |
490
|
ad5ant2345 |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> m e. ( 1 ... n ) ) |
492 |
491
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) /\ z = m ) -> m e. ( 1 ... n ) ) |
493 |
473 492
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) /\ z = m ) -> z e. ( 1 ... n ) ) |
494 |
|
iftrue |
|- ( z e. ( 1 ... n ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) = ( f ` z ) ) |
495 |
493 494
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) /\ z = m ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) = ( f ` z ) ) |
496 |
237
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) /\ z = m ) -> ( f ` z ) = ( f ` m ) ) |
497 |
495 496
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) /\ z = m ) -> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) = ( f ` m ) ) |
498 |
382
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> m e. NN ) |
499 |
240
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( f ` m ) e. _V ) |
500 |
472 497 498 499
|
fvmptd |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) = ( f ` m ) ) |
501 |
500
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) = ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) ) |
502 |
333 382 334
|
sylancr |
|- ( m e. ( 1 ... t ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
503 |
502
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ` m ) ) ) |
504 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) |
505 |
|
fvco3 |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) ) |
506 |
504 382 505
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) = ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) ) |
507 |
501 503 506
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... t ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ` m ) = ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) ) |
508 |
471 507
|
seqfveq |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` t ) ) |
509 |
|
eluz |
|- ( ( t e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( n e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ n ) ) |
510 |
374 278 509
|
syl2anr |
|- ( ( n e. NN /\ t e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ n ) ) |
511 |
510
|
biimpar |
|- ( ( ( n e. NN /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> n e. ( ZZ>= ` t ) ) |
512 |
511
|
adantlll |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> n e. ( ZZ>= ` t ) ) |
513 |
504 326 453
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) e. RR ) |
514 |
|
elfzelz |
|- ( m e. ( ( t + 1 ) ... n ) -> m e. ZZ ) |
515 |
514
|
adantl |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> m e. ZZ ) |
516 |
|
0red |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> 0 e. RR ) |
517 |
|
peano2nn |
|- ( t e. NN -> ( t + 1 ) e. NN ) |
518 |
517
|
nnred |
|- ( t e. NN -> ( t + 1 ) e. RR ) |
519 |
518
|
adantr |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> ( t + 1 ) e. RR ) |
520 |
514
|
zred |
|- ( m e. ( ( t + 1 ) ... n ) -> m e. RR ) |
521 |
520
|
adantl |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> m e. RR ) |
522 |
517
|
nngt0d |
|- ( t e. NN -> 0 < ( t + 1 ) ) |
523 |
522
|
adantr |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> 0 < ( t + 1 ) ) |
524 |
|
elfzle1 |
|- ( m e. ( ( t + 1 ) ... n ) -> ( t + 1 ) <_ m ) |
525 |
524
|
adantl |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> ( t + 1 ) <_ m ) |
526 |
516 519 521 523 525
|
ltletrd |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> 0 < m ) |
527 |
515 526 398
|
sylanbrc |
|- ( ( t e. NN /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> m e. NN ) |
528 |
527
|
adantlr |
|- ( ( ( t e. NN /\ t <_ n ) /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> m e. NN ) |
529 |
528
|
adantlll |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> m e. NN ) |
530 |
170
|
ffvelrnda |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( f ` m ) e. ( CC X. CC ) ) |
531 |
|
ffvelrn |
|- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ ( f ` m ) e. ( CC X. CC ) ) -> ( - ` ( f ` m ) ) e. CC ) |
532 |
137 530 531
|
sylancr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( - ` ( f ` m ) ) e. CC ) |
533 |
532
|
absge0d |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( abs ` ( - ` ( f ` m ) ) ) ) |
534 |
|
fvco3 |
|- ( ( - : ( CC X. CC ) --> CC /\ ( f ` m ) e. ( CC X. CC ) ) -> ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) = ( abs ` ( - ` ( f ` m ) ) ) ) |
535 |
137 530 534
|
sylancr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( ( abs o. - ) ` ( f ` m ) ) = ( abs ` ( - ` ( f ` m ) ) ) ) |
536 |
505 535
|
eqtrd |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) = ( abs ` ( - ` ( f ` m ) ) ) ) |
537 |
533 536
|
breqtrrd |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) ) |
538 |
537
|
ad5ant15 |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) ) |
539 |
529 538
|
syldan |
|- ( ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) /\ m e. ( ( t + 1 ) ... n ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. f ) ` m ) ) |
540 |
471 512 513 539
|
sermono |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
541 |
508 540
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) /\ t <_ n ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
542 |
402
|
ad2antlr |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) -> n e. RR ) |
543 |
478
|
adantl |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. RR ) |
544 |
468 541 542 543
|
ltlecasei |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
545 |
544
|
ralrimiva |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> A. t e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
546 |
|
breq1 |
|- ( m = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) -> ( m <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) <-> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) ) |
547 |
546
|
ralrn |
|- ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) Fn NN -> ( A. m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) m <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) <-> A. t e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) ) |
548 |
355 547
|
syl |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( A. m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) m <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) <-> A. t e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) ) |
549 |
548
|
adantr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( A. m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) m <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) <-> A. t e. NN ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ` t ) <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) ) |
550 |
545 549
|
mpbird |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> A. m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) m <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
551 |
550
|
r19.21bi |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) -> m <_ ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
552 |
361 362 551
|
lensymd |
|- ( ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) /\ m e. ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) ) -> -. ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) < m ) |
553 |
311 322 358 552
|
supmax |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) , RR* , < ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
554 |
52 553
|
sylan |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( z e. NN |-> if ( z e. ( 1 ... n ) , ( f ` z ) , <. 0 , 0 >. ) ) ) ) , RR* , < ) = ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) ) |
555 |
255 309 554
|
3eqtr3rd |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) = ( vol* ` ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) ) |
556 |
|
elfznn |
|- ( z e. ( 1 ... n ) -> z e. NN ) |
557 |
164 65
|
sseldi |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) ) |
558 |
|
1st2nd2 |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( f ` z ) = <. ( 1st ` ( f ` z ) ) , ( 2nd ` ( f ` z ) ) >. ) |
559 |
558
|
fveq2d |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) = ( [,] ` <. ( 1st ` ( f ` z ) ) , ( 2nd ` ( f ` z ) ) >. ) ) |
560 |
|
df-ov |
|- ( ( 1st ` ( f ` z ) ) [,] ( 2nd ` ( f ` z ) ) ) = ( [,] ` <. ( 1st ` ( f ` z ) ) , ( 2nd ` ( f ` z ) ) >. ) |
561 |
559 560
|
eqtr4di |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) = ( ( 1st ` ( f ` z ) ) [,] ( 2nd ` ( f ` z ) ) ) ) |
562 |
|
xp1st |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` ( f ` z ) ) e. RR ) |
563 |
|
xp2nd |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` ( f ` z ) ) e. RR ) |
564 |
|
iccssre |
|- ( ( ( 1st ` ( f ` z ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( f ` z ) ) e. RR ) -> ( ( 1st ` ( f ` z ) ) [,] ( 2nd ` ( f ` z ) ) ) C_ RR ) |
565 |
562 563 564
|
syl2anc |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( ( 1st ` ( f ` z ) ) [,] ( 2nd ` ( f ` z ) ) ) C_ RR ) |
566 |
561 565
|
eqsstrd |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
567 |
557 566
|
syl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
568 |
52 556 567
|
syl2an |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. ( 1 ... n ) ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
569 |
568
|
ralrimiva |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
570 |
|
iunss |
|- ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR <-> A. z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
571 |
569 570
|
sylibr |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
572 |
571
|
adantr |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR ) |
573 |
|
uzid |
|- ( ( n + 1 ) e. ZZ -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
574 |
|
ne0i |
|- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) =/= (/) ) |
575 |
|
iunconst |
|- ( ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) =/= (/) -> U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) = ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) |
576 |
373 573 574 575
|
4syl |
|- ( n e. NN -> U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) = ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) |
577 |
|
iccid |
|- ( 0 e. RR* -> ( 0 [,] 0 ) = { 0 } ) |
578 |
259 577
|
ax-mp |
|- ( 0 [,] 0 ) = { 0 } |
579 |
|
df-ov |
|- ( 0 [,] 0 ) = ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) |
580 |
578 579
|
eqtr3i |
|- { 0 } = ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) |
581 |
576 580
|
eqtr4di |
|- ( n e. NN -> U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) = { 0 } ) |
582 |
|
snssi |
|- ( 0 e. RR -> { 0 } C_ RR ) |
583 |
199 582
|
ax-mp |
|- { 0 } C_ RR |
584 |
581 583
|
eqsstrdi |
|- ( n e. NN -> U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) C_ RR ) |
585 |
584
|
adantl |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) C_ RR ) |
586 |
581
|
fveq2d |
|- ( n e. NN -> ( vol* ` U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( vol* ` { 0 } ) ) |
587 |
586
|
adantl |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = ( vol* ` { 0 } ) ) |
588 |
|
ovolsn |
|- ( 0 e. RR -> ( vol* ` { 0 } ) = 0 ) |
589 |
199 588
|
ax-mp |
|- ( vol* ` { 0 } ) = 0 |
590 |
587 589
|
eqtrdi |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( vol* ` U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = 0 ) |
591 |
|
ovolunnul |
|- ( ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ RR /\ U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) C_ RR /\ ( vol* ` U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) = 0 ) -> ( vol* ` ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
592 |
572 585 590 591
|
syl3anc |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) u. U_ z e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( [,] ` <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
593 |
555 592
|
eqtrd |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) = ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
594 |
593
|
breq2d |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) <-> M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) |
595 |
594
|
biimpd |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ n e. NN ) -> ( M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) -> M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) |
596 |
595
|
reximdva |
|- ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> ( E. n e. NN M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) -> E. n e. NN M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) |
597 |
596
|
adantl |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> ( E. n e. NN M < ( seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) ` n ) -> E. n e. NN M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) |
598 |
194 597
|
mpd |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> E. n e. NN M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
599 |
|
fzfi |
|- ( 1 ... n ) e. Fin |
600 |
|
icccld |
|- ( ( ( 1st ` ( f ` z ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( f ` z ) ) e. RR ) -> ( ( 1st ` ( f ` z ) ) [,] ( 2nd ` ( f ` z ) ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
601 |
562 563 600
|
syl2anc |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( ( 1st ` ( f ` z ) ) [,] ( 2nd ` ( f ` z ) ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
602 |
561 601
|
eqeltrd |
|- ( ( f ` z ) e. ( RR X. RR ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
603 |
557 602
|
syl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
604 |
556 603
|
sylan2 |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. ( 1 ... n ) ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
605 |
604
|
ralrimiva |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
606 |
|
uniretop |
|- RR = U. ( topGen ` ran (,) ) |
607 |
606
|
iuncld |
|- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( 1 ... n ) e. Fin /\ A. z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
608 |
1 599 605 607
|
mp3an12i |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
609 |
608
|
adantr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( n e. NN /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ) |
610 |
|
fveq2 |
|- ( b = ( f ` z ) -> ( [,] ` b ) = ( [,] ` ( f ` z ) ) ) |
611 |
610
|
sseq1d |
|- ( b = ( f ` z ) -> ( ( [,] ` b ) C_ A <-> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) ) |
612 |
611
|
elrab |
|- ( ( f ` z ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } <-> ( ( f ` z ) e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) /\ ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) ) |
613 |
612
|
simprbi |
|- ( ( f ` z ) e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } -> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
614 |
65 73 613
|
3syl |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. NN ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
615 |
556 614
|
sylan2 |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ z e. ( 1 ... n ) ) -> ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
616 |
615
|
ralrimiva |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> A. z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
617 |
|
iunss |
|- ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A <-> A. z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
618 |
616 617
|
sylibr |
|- ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
619 |
618
|
adantr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( n e. NN /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) |
620 |
|
simprr |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( n e. NN /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
621 |
|
sseq1 |
|- ( s = U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( s C_ A <-> U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A ) ) |
622 |
|
fveq2 |
|- ( s = U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( vol* ` s ) = ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) |
623 |
622
|
breq2d |
|- ( s = U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( M < ( vol* ` s ) <-> M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) |
624 |
621 623
|
anbi12d |
|- ( s = U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) -> ( ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) <-> ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) ) |
625 |
624
|
rspcev |
|- ( ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) /\ ( U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) C_ A /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
626 |
609 619 620 625
|
syl12anc |
|- ( ( f : NN --> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( n e. NN /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
627 |
52 626
|
sylan |
|- ( ( f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } /\ ( n e. NN /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
628 |
627
|
adantll |
|- ( ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) /\ ( n e. NN /\ M < ( vol* ` U_ z e. ( 1 ... n ) ( [,] ` ( f ` z ) ) ) ) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
629 |
598 628
|
rexlimddv |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
630 |
629
|
adantlr |
|- ( ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A =/= (/) ) /\ f : NN -1-1-onto-> { a e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } | A. c e. { b e. ran ( x e. ZZ , y e. NN0 |-> <. ( x / ( 2 ^ y ) ) , ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ y ) ) >. ) | ( [,] ` b ) C_ A } ( ( [,] ` a ) C_ ( [,] ` c ) -> a = c ) } ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
631 |
17 630
|
exlimddv |
|- ( ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) /\ A =/= (/) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |
632 |
15 631
|
pm2.61dane |
|- ( ( A e. ( topGen ` ran (,) ) /\ M e. RR /\ M < ( vol* ` A ) ) -> E. s e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) ( s C_ A /\ M < ( vol* ` s ) ) ) |