Theorem matunitlindflem1

Description: One direction of matunitlindf . (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021)

	Ref	Expression
Assertion	matunitlindflem1	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ¬ curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld	⊢ ( 𝑅 ∈ Field ↔ ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing ) )
2	1	simplbi	⊢ ( 𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing )
3		drngring	⊢ ( 𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring )
4	2 3	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Ring )
5		eqid	⊢ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) = ( 𝑅 freeLMod 𝐼 )
6	5	frlmlmod	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod )
7	6	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod )
8		simpr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) )
9		eldifi	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → 𝐼 ∈ Fin )
10		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
11	5 10	frlmfibas	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) = ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
12	9 11	sylan2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) = ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
13		fvex	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) ∈ V
14		curf	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ ( Base ‘ 𝑅 ) ∈ V ) → curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) )
15	13 14	mp3an3	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) )
16		feq3	⊢ ( ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) = ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) → ( curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ↔ curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) )
17	16	biimpa	⊢ ( ( ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) = ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ∧ curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
18	12 15 17	syl2an	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ) → curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
19	18	anandirs	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
20		eqid	⊢ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) )
21		eqid	⊢ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) )
22		eqid	⊢ ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) )
23		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) )
24		eqid	⊢ ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
25		eqid	⊢ ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) = ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) )
26	20 21 22 23 24 25	islindf4	⊢ ( ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ curry 𝑀 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) → ( curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) ( ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) ) ) )
27	7 8 19 26	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) ( ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) ) ) )
28	5	frlmsca	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
29	28	fvoveq1d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) )
30	12 29	eqtrd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) = ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) )
31	30	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) = ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) )
32		elmapi	⊢ ( 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) → 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
33		ffn	⊢ ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) → 𝑓 Fn 𝐼 )
34	33	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑓 Fn 𝐼 )
35	19	ffnd	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → curry 𝑀 Fn 𝐼 )
36	35	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → curry 𝑀 Fn 𝐼 )
37		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) )
38		inidm	⊢ ( 𝐼 ∩ 𝐼 ) = 𝐼
39		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) )
40		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) = ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) )
41	34 36 37 37 38 39 40	offval	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) = ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ) ) )
42		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) )
43		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
44	43	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
45	19	ffvelrnda	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
46	45	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
47		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 )
48	5 20 10 42 44 46 22 47	frlmvscafval	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐼 × { ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) } ) ∘f ( .r ‘ 𝑅 ) ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ) )
49		fvex	⊢ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ V
50		fnconstg	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ V → ( 𝐼 × { ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) } ) Fn 𝐼 )
51	49 50	mp1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝐼 × { ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) } ) Fn 𝐼 )
52	15	ffvelrnda	⊢ ( ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) )
53		elmapfn	⊢ ( ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) Fn 𝐼 )
54	52 53	syl	⊢ ( ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) Fn 𝐼 )
55	54	adantlll	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) Fn 𝐼 )
56	55	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) Fn 𝐼 )
57	49	fvconst2	⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐼 → ( ( 𝐼 × { ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) } ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) )
58	57	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐼 × { ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) } ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) )
59		ffn	⊢ ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) → 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) )
60	59	anim2i	⊢ ( ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) ) )
61	60	ancoms	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) ) )
62	61	ad4ant23	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) ) )
63		curfv	⊢ ( ( ( 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) )
64	63	3exp1	⊢ ( 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 → ( 𝑘 ∈ 𝐼 → ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
65	64	com4r	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 → ( 𝑘 ∈ 𝐼 → ( ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
66	65	imp41	⊢ ( ( ( ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ∧ 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) )
67	62 66	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) )
68	51 56 42 42 38 58 67	offval	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝐼 × { ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) } ) ∘f ( .r ‘ 𝑅 ) ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) )
69	48 68	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) )
70	69	mpteq2dva	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ( curry 𝑀 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
71	41 70	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) = ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
72	71	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) = ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
73		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
74		simp-4l	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
75	43	ad4ant23	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
76		fovrn	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
77	76	ad5ant245	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
78	10 47	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
79	74 75 77 78	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
80	79	fmpttd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
81	80	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
82		elmapg	⊢ ( ( ( Base ‘ 𝑅 ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
83	13 82	mpan	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
84	83	adantl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
85	12	eleq2d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) )
86	84 85	bitr3d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) )
87	86	ad5ant13	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) )
88	81 87	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
89		mptexg	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ V )
90	89	ralrimivw	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ∀ 𝑛 ∈ 𝐼 ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ V )
91		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) )
92	91	fnmpt	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ 𝐼 ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ V → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) Fn 𝐼 )
93	90 92	syl	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) Fn 𝐼 )
94		fvexd	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ∈ V )
95	93 9 94	fndmfifsupp	⊢ ( 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
96	95	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
97	5 20 23 37 37 73 88 96	frlmgsum	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
98	72 97	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) )
99	32 98	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) )
100		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
101	5 100	frlm0	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
102	101	ad4ant13	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) )
103	99 102	eqeq12d	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ↔ ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) )
104	28	fveq2d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) )
105	104	sneqd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → { ( 0g ‘ 𝑅 ) } = { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } )
106	105	xpeq2d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) )
107	106	eqeq2d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ↔ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) ) )
108	107	ad4ant13	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → ( 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ↔ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) ) )
109	103 108	imbi12d	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ↔ ( ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) ) ) )
110	31 109	raleqbidva	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ∀ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( Base ‘ ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐼 ) ) ( ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) Σg ( 𝑓 ∘f ( ·𝑠 ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) curry 𝑀 ) ) = ( 0g ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) } ) ) ) )
111	27 110	bitr4d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ) )
112	111	notbid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ¬ curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ↔ ¬ ∀ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ) )
113		rexanali	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ↔ ¬ ∀ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) )
114	112 113	bitr4di	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ¬ curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ) )
115	4 114	sylanl1	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ¬ curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ) )
116		fconstfv	⊢ ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ↔ ( 𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
117		fvex	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V
118	117	fconst2	⊢ ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ↔ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
119	116 118	sylbb1	⊢ ( ( 𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) )
120	119	ex	⊢ ( 𝑓 Fn 𝐼 → ( ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) → 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) )
121	120	con3d	⊢ ( 𝑓 Fn 𝐼 → ( ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → ¬ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
122		df-ne	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ↔ ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
123	122	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
124		rexnal	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ¬ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ↔ ¬ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
125	123 124	bitri	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ↔ ¬ ∀ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
126	121 125	syl6ibr	⊢ ( 𝑓 Fn 𝐼 → ( ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
127	33 126	syl	⊢ ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) → ( ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
128	127	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) → ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
129		neldifsn	⊢ ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } )
130		difss	⊢ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼
131		diffi	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∈ Fin )
132	131	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∧ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∈ Fin )
133		eleq2	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ ∅ ) )
134	133	notbid	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ∅ ) )
135		sseq1	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑦 ⊆ 𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼 ) )
136	134 135	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ↔ ( ¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼 ) ) )
137	136	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼 ) ) ) )
138		mpteq1	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ∅ ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
139		mpt0	⊢ ( 𝑛 ∈ ∅ ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ∅
140	138 139	eqtrdi	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ∅ )
141	140	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ∅ ) )
142	100	gsum0	⊢ ( 𝑅 Σg ∅ ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
143	141 142	eqtrdi	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
144	143	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
145	144	ifeq1d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
146	145	mpoeq3dv	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
147	146	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
148	147	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
149	137 148	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ∅ → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
150		elequ2	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ 𝑥 ) )
151	150	notbid	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ) )
152		sseq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑦 ⊆ 𝐼 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) )
153	151 152	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ↔ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) )
154	153	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) ) )
155		mpteq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
156	155	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
157	156	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
158	157	ifeq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
159	158	mpoeq3dv	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
160	159	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
161	160	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
162	154 161	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
163		eleq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ) )
164	163	notbid	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ) )
165		sseq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( 𝑦 ⊆ 𝐼 ↔ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) )
166	164 165	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ↔ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) )
167	166	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ) )
168		mpteq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
169	168	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
170	169	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
171	170	ifeq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
172	171	mpoeq3dv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
173	172	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
174	173	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
175	167 174	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
176		eleq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ) )
177	176	notbid	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ) )
178		sseq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( 𝑦 ⊆ 𝐼 ↔ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) )
179	177 178	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ↔ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∧ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) ) )
180	179	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∧ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ) )
181		mpteq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
182	181	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
183	182	oveq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
184	183	ifeq1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
185	184	mpoeq3dv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
186	185	fveq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
187	186	eqeq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
188	180 187	imbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑦 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∧ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
189		fnov	⊢ ( 𝑀 Fn ( 𝐼 × 𝐼 ) ↔ 𝑀 = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
190	59 189	sylib	⊢ ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) → 𝑀 = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
191	190	adantl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
192		ringgrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
193	4 192	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Grp )
194		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
195	194	equcoms	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
196	195	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
197		simp1l	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Grp )
198		fovrn	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
199	198	3adant1l	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
200		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
201	10 200 100	grplid	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
202	197 199 201	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
203	196 202	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑗 = 𝑖 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
204		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑗 = 𝑖 ) → ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
205	203 204	ifeqda	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
206	205	mpoeq3dva	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
207	193 206	sylan	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
208	191 207	eqtr4d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
209	208	fveq2d	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
210	209	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
211		elun1	⊢ ( 𝑖 ∈ 𝑥 → 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) )
212	211	con3i	⊢ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 )
213		ssun1	⊢ 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } )
214		sstr	⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → 𝑥 ⊆ 𝐼 )
215	213 214	mpan	⊢ ( ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 → 𝑥 ⊆ 𝐼 )
216	212 215	anim12i	⊢ ( ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) )
217	216	anim2i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) )
218	217	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) )
219		velsn	⊢ ( 𝑖 ∈ { 𝑧 } ↔ 𝑖 = 𝑧 )
220		elun2	⊢ ( 𝑖 ∈ { 𝑧 } → 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) )
221	219 220	sylbir	⊢ ( 𝑖 = 𝑧 → 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) )
222	221	necon3bi	⊢ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) → 𝑖 ≠ 𝑧 )
223	222	anim1i	⊢ ( ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) )
224		ringcmn	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd )
225	4 224	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CMnd )
226	225	ad7antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
227		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
228	215	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → 𝑥 ⊆ 𝐼 )
229		ssfi	⊢ ( ( 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ Fin )
230	227 228 229	syl2an	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝑥 ∈ Fin )
231	230	ad5ant13	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ Fin )
232	215	sselda	⊢ ( ( ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → 𝑛 ∈ 𝐼 )
233	232	adantll	⊢ ( ( ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → 𝑛 ∈ 𝐼 )
234	233	ad4ant24	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → 𝑛 ∈ 𝐼 )
235	4	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
236	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → 𝑅 ∈ DivRing )
237		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
238	237	anim2i	⊢ ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) ) → ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
239	238	anassrs	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
240		eqid	⊢ ( invr ‘ 𝑅 ) = ( invr ‘ 𝑅 )
241	10 100 240	drnginvrcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
242	241	3expa	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
243	239 242	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
244	243	anasss	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
245	236 244	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
246	245	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
247	43	ad5ant25	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
248		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
249	76	3expa	⊢ ( ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
250	249	an32s	⊢ ( ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
251	248 250	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
252	235 247 251 78	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
253	10 47	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
254	235 246 252 253	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
255	254	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
256	234 255	syldan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
257	256	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
258		vex	⊢ 𝑧 ∈ V
259	258	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ V )
260		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 )
261		ssun2	⊢ { 𝑧 } ⊆ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } )
262		sstr	⊢ ( ( { 𝑧 } ⊆ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → { 𝑧 } ⊆ 𝐼 )
263	261 262	mpan	⊢ ( ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 → { 𝑧 } ⊆ 𝐼 )
264	258	snss	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐼 ↔ { 𝑧 } ⊆ 𝐼 )
265	263 264	sylibr	⊢ ( ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 → 𝑧 ∈ 𝐼 )
266	265	adantl	⊢ ( ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → 𝑧 ∈ 𝐼 )
267	4	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
268	4	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
269	245	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
270		ffvelrn	⊢ ( ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
271	270	ad4ant24	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
272	10 47	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
273	268 269 271 272	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
274	273	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
275		fovrn	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
276	275	3expa	⊢ ( ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
277	248 276	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
278	10 47	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
279	267 274 277 278	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
280	266 279	sylanl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
281	280	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
282		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) )
283		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) = ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) )
284	282 283	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) )
285	284	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑧 → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
286	245	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
287	270	ad5ant24	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
288	10 47	ringass	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
289	267 286 287 277 288	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
290	289	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) )
291	266 290	sylanl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) )
292	285 291	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 = 𝑧 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) )
293	292	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 = 𝑧 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) )
294	10 200 226 231 257 259 260 281 293	gsumunsnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
295	294	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
296		ringabl	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel )
297	4 296	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Abel )
298	297	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Abel )
299	225	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
300		vex	⊢ 𝑥 ∈ V
301	300	a1i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑥 ∈ V )
302		ssel2	⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → 𝑛 ∈ 𝐼 )
303	302 254	sylan2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
304	303	anassrs	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
305	304	fmpttd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) : 𝑥 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
306	305	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) : 𝑥 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
307		ovex	⊢ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ∈ V
308		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) )
309	307 308	fnmpti	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) Fn 𝑥
310	309	a1i	⊢ ( ( 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) Fn 𝑥 )
311		fvexd	⊢ ( ( 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
312	310 229 311	fndmfifsupp	⊢ ( ( 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
313	312	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
314	313	ad5ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
315	10 100 299 301 306 314	gsumcl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
316	215 315	sylanl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
317	265 279	sylanl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
318		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
319		simpl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → 𝑖 ∈ 𝐼 )
320	318 319	anim12i	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) )
321	320	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) )
322		fovrn	⊢ ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
323	322	3expa	⊢ ( ( ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
324	321 323	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
325	10 200 298 316 317 324	abl32	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
326	325	adantlrl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
327	326	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
328	295 327	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) )
329	328	ifeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
330	329	3adant2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
331	330	mpoeq3dva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
332	331	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
333		eqid	⊢ ( 𝐼 maDet 𝑅 ) = ( 𝐼 maDet 𝑅 )
334	1	simprbi	⊢ ( 𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing )
335	334	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
336		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
337	193	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Grp )
338	320	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) → ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) )
339	338 323	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
340	10 200	grpcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
341	337 315 339 340	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
342	228 341	sylanl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
343	248 266	anim12i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ) )
344	343 276	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
345		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
346	345 198	syl3an1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
347	266 273	sylan2	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
348		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝑖 ∈ 𝐼 )
349	265	ad2antll	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐼 )
350		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → 𝑖 ≠ 𝑧 )
351	333 10 200 47 335 336 342 344 346 347 348 349 350	mdetero	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
352	351	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑧 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
353	332 352	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
354		iftrue	⊢ ( 𝑗 = 𝑧 → if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) )
355		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑧 → ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) = ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) )
356	354 355	eqtr4d	⊢ ( 𝑗 = 𝑧 → if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
357		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑗 = 𝑧 → if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) )
358	356 357	pm2.61i	⊢ if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 )
359		ifeq2	⊢ ( if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
360	358 359	mp1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
361	360	mpoeq3ia	⊢ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
362	361	fveq2i	⊢ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
363		ifeq2	⊢ ( if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
364	358 363	mp1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
365	364	mpoeq3ia	⊢ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
366	365	fveq2i	⊢ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , if ( 𝑗 = 𝑧 , ( 𝑧 𝑀 𝑘 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
367	353 362 366	3eqtr3g	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑖 ≠ 𝑧 ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
368	223 367	sylanl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
369	368	eqeq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
370	369	biimprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
371	218 370	embantd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
372	371	expcom	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
373	372	com23	⊢ ( ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
374	373	adantl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑥 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝑥 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ∧ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑥 ∪ { 𝑧 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ) )
375	149 162 175 188 210 374	findcard2s	⊢ ( ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∈ Fin → ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∧ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
376	132 375	mpcom	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑖 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ∧ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ⊆ 𝐼 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
377	129 130 376	mpanr12	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
378	377	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
379		eqid	⊢ 𝐼 = 𝐼
380		fconstmpt	⊢ ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 0g ‘ 𝑅 ) )
381	380	eqeq2i	⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ↔ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
382		ovex	⊢ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ∈ V
383	382	rgenw	⊢ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ∈ V
384		mpteqb	⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ∈ V → ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
385	383 384	ax-mp	⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
386	381 385	bitri	⊢ ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
387	225	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ CMnd )
388		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝐼 ∈ Fin )
389		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) )
390	307 389	fnmpti	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) Fn 𝐼
391	390	a1i	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) Fn 𝐼 )
392		id	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin )
393		fvexd	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V )
394	391 392 393	fndmfifsupp	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
395	394	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
396		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑖 ∈ 𝐼 )
397	320 323	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
398		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) )
399		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
400	398 399	oveq12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
401	400	oveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑖 → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ) )
402		simpll	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → 𝑅 ∈ Field )
403	2 237	anim12i	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ ( 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) ) → ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
404	403	anassrs	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) )
405		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 )
406	10 100 47 405 240	drnginvrl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
407	406	3expa	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ DivRing ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
408	404 407	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
409	408	anasss	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) )
410	409	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
411	402 410	sylanl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
412	411	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
413	4	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
414	245	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
415	237	ad2ant2lr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
416	415	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
417	10 47	ringass	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ) )
418	413 414 416 397 417	syl13anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ) )
419	4	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
420	419	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → 𝑅 ∈ Ring )
421	322	3adant1l	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
422	10 47 405	ringlidm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
423	420 421 422	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
424	423	ad5ant145	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
425	424	adantlrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
426	412 418 425	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
427	401 426	sylan9eqr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑛 = 𝑖 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) )
428	10 200 387 388 395 254 396 397 427	gsumdifsnd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) )
429		ovex	⊢ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ∈ V
430		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) )
431	429 430	fnmpti	⊢ ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) Fn 𝐼
432	431	a1i	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) Fn 𝐼 )
433	432 392 393	fndmfifsupp	⊢ ( 𝐼 ∈ Fin → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
434	433	ad4antlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
435	10 100 200 47 413 388 414 252 434	gsummulc2	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
436	428 435	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
437	436	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) )
438		oveq2	⊢ ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
439	438	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
440	4	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
441	10 47 100	ringrz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
442	440 245 441	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
443	442	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
444	437 439 443	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
445	444	ifeq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) ∧ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
446	445	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) → if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
447	446	ralimdva	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
448	447	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
449	386 448	sylan2b	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) )
450	449 379	jctil	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( 𝐼 = 𝐼 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
451	450	ralrimivw	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ∀ 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝐼 = 𝐼 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
452		mpoeq123	⊢ ( ( 𝐼 = 𝐼 ∧ ∀ 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝐼 = 𝐼 ∧ ∀ 𝑘 ∈ 𝐼 if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) = if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
453	379 451 452	sylancr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
454	453	an32s	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) )
455	454	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝐼 ∖ { 𝑖 } ) ↦ ( ( ( invr ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑀 𝑘 ) ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) )
456	334	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ∈ CRing )
457		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → 𝐼 ∈ Fin )
458		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
459	458 198	syl3an1	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) )
460		simprl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → 𝑖 ∈ 𝐼 )
461	333 10 100 456 457 459 460	mdetr0	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
462	461	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ ( 𝑗 ∈ 𝐼 , 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑗 = 𝑖 , ( 0g ‘ 𝑅 ) , ( 𝑗 𝑀 𝑘 ) ) ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
463	378 455 462	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
464	463	rexlimdvaa	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
465	464	expimpd	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ∃ 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ≠ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
466	128 465	sylan2d	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
467	32 466	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) ∧ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ) → ( ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
468	467	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ Fin ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
469	9 468	sylan2	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) ↑m 𝐼 ) ( ( 𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ( ( 𝑓 ‘ 𝑛 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑛 𝑀 𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ∧ ¬ 𝑓 = ( 𝐼 × { ( 0g ‘ 𝑅 ) } ) ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
470	115 469	sylbid	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 : ( 𝐼 × 𝐼 ) ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝐼 ∈ ( Fin ∖ { ∅ } ) ) → ( ¬ curry 𝑀 LIndF ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) → ( ( 𝐼 maDet 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )