Theorem fourierdlem48

Description: The given periodic function F has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem48.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
	fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
	fourierdlem48.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem48.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem48.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
	fourierdlem48.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
	fourierdlem48.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
	fourierdlem48.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem48.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem48.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
	fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
	fourierdlem48.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
Assertion	fourierdlem48	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem48.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ )
2		fourierdlem48.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		fourierdlem48.altb	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 )
4		fourierdlem48.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5		fourierdlem48.t	⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 )
6		fourierdlem48.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
7		fourierdlem48.q	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
8		fourierdlem48.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
9		fourierdlem48.dper	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
10		fourierdlem48.per	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
11		fourierdlem48.cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
12		fourierdlem48.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
13		fourierdlem48.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
14		fourierdlem48.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
15		fourierdlem48.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) )
16		fourierdlem48.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
17		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝜑 )
18		0zd	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
19	6	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
20	6	nngt0d	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
21		fzolb	⊢ ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
22	18 19 20 21	syl3anbrc	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
24	2 13	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) ∈ ℝ )
25	2 1	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ )
26	5 25	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ )
27	1 2	posdifd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
28	3 27	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) )
29	28 5	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
30	29	gt0ne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 )
31	24 26 30	redivcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
32	31	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
33	32	flcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
34		1zzd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
35	33 34	zsubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
36		id	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
37	5	a1i	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
38	36 37	oveq12d	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) )
39	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
40	1	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
41	39 40	nncand	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 𝐴 )
42	38 41	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = 𝐴 )
43	4	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
44	6 43	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
45	7 44	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
46	45	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
47		elmapi	⊢ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
48	46 47	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
49	6	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
50		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
51	49 50	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
52		eluzfz1	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
53	51 52	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
54	48 53	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
55	54	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ* )
56		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
57		0le1	⊢ 0 ≤ 1
58	57	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
59	6	nnge1d	⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑀 )
60	18 19 56 58 59	elfzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
61	48 60	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
62	61	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ* )
63	1	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* )
64	45	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
65	64	simplld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
66	1	leidd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴 )
67	65 66	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ≤ 𝐴 )
68	65	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
69		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
70		eleq1	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
71	70	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
72		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
73		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
74	73	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
75	72 74	breq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
76	71 75	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
77	45	simprrd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
78	77	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79	76 78	vtoclg	⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
80	69 79	ax-mp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
81	22 80	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
82		1e0p1	⊢ 1 = ( 0 + 1 )
83	82	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ 1 ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) )
84	81 83	breqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
85	68 84	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
86	55 62 63 67 85	elicod	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) )
87	83	oveq2i	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
88	86 87	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
89	88	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
90	42 89	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
91	15	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) )
92		id	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋 )
93		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) )
94	92 93	oveq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
95	94	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
96	14	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
97		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝑋 ) )
98	97	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) )
99	98	fveq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
100	99	oveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
101	100	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
102	31	flcld	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
103	102	zred	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
104	103 26	remulcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
105	96 101 13 104	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
106	105 104	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
107	13 106	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℝ )
108	91 95 13 107	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) )
109	105	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
110	108 109	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
111	110	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) )
112	13	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
113	104	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
114	26	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ )
115	112 113 114	addsubassd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) )
116	102	zcnd	⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
117	116 114	mulsubfacd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
118	117	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
119	111 115 118	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
120	119	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
121		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
122	121	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
123	122	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
124	123	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
125	124	rspcev	⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
126	35 90 120 125	syl12anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
127	72 74	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
128	127	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
129	128	anbi1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
130	129	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
131	130	rspcev	⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
132	23 126 131	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
133		ovex	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ V
134		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
136	134 135	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
137	136	2rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
138	137	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
139	138	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
140		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
141		nfv	⊢ Ⅎ 𝑖 𝜑
142		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑖 ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
143	141 142	nfan	⊢ Ⅎ 𝑖 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
144		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
145		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 0 ..^ 𝑀 )
146		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
147	145 146	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑘 ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
148	144 147	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
149		simp1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
150		simp2l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
151		simp3l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
152	149 150 151	jca31	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153		simp2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
154		simp3r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
155	16	biimpi	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
156	155	simplld	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
157	156	simplld	⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
158		frel	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → Rel 𝐹 )
159	157 8 158	3syl	⊢ ( 𝜒 → Rel 𝐹 )
160		resindm	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
161	160	eqcomd	⊢ ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
162	159 161	syl	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
163		fdm	⊢ ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → dom 𝐹 = 𝐷 )
164	157 8 163	3syl	⊢ ( 𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷 )
165	164	ineq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
166	165	reseq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
167	162 166	eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
168	167	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
169	157 8	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
170		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
171	170	a1i	⊢ ( 𝜒 → ℝ ⊆ ℂ )
172	169 171	fssd	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
173		inss2	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
174	173	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
175	172 174	fssresd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
176		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
177	176	a1i	⊢ ( 𝜒 → +∞ ∈ ℝ* )
178	156	simplrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
179	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
180		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
181	180	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
182	179 181	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
183	157 178 182	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
184	155	simplrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℤ )
185	184	zred	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
186	157 26	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑇 ∈ ℝ )
187	185 186	remulcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
188	183 187	resubcld	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
189	188	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
190	188	ltpnfd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < +∞ )
191	189 177 190	xrltled	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ )
192		iooss2	⊢ ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
193	177 191 192	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
194	184	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
195	194	zcnd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
196	186	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑇 ∈ ℂ )
197	196	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
198	195 197	mulneg1d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
199	198	oveq2d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
200		elioore	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
201	200	recnd	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
202	201	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
203	195 197	mulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
204	202 203	addcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
205	204 203	negsubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
206	202 203	pncand	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
207	199 205 206	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
208	157	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
209	156	simpld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
210		cncff	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
211		fdm	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
212	11 210 211	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
213		ssdmres	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
214	212 213	sylibr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
215	8 163	syl	⊢ ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
216	215	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
217	214 216	sseqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
218	209 217	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
219	218	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
220		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
221	220	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
222	179 221	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
223	157 178 222	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
224	223	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
225	224	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* )
226	183	rexrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
227	226	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
228	200	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
229	194	zred	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
230	208 26	syl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
231	229 230	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
232	228 231	readdcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
233	223	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
234	157 13	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ )
235	234 187	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
236	235	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
237	16	simprbi	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
238	237	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑦 )
239	156	simprd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
240	238 239	eqeltrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
241		icogelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
242	224 226 240 241	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
243	242	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
244	208 13	syl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
245	244	rexrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
246	183	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
247	246 231	resubcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
248	247	rexrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
249		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
250		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
251	245 248 249 250	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
252	244 228 231 251	ltadd1dd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
253	233 236 232 243 252	lelttrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
254		iooltub	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
255	245 248 249 254	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
256	228 247 231 255	ltadd1dd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
257	183	recnd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
258	187	recnd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
259	257 258	npcand	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
260	259	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
261	256 260	breqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
262	225 227 232 253 261	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
263	219 262	sseldd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
264	194	znegcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
265		ovex	⊢ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ V
266		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
267	266	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
268		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
269	268	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
270	267 269	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
271		negex	⊢ - 𝑘 ∈ V
272		eleq1	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ℤ ↔ - 𝑘 ∈ ℤ ) )
273	272	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
274		oveq1	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
275	274	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
276	275	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
277	273 276	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
278		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ ) )
279	278	3anbi3d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) )
280		oveq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
281	280	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
282	281	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
283	279 282	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
284	283 9	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
285	271 277 284	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
286	265 270 285	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
287	208 263 264 286	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
288	207 287	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
289	288	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 ∈ 𝐷 )
290		dfss3	⊢ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 ∈ 𝐷 )
291	289 290	sylibr	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
292	193 291	ssind	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
293		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
294		ssinss1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
295	293 294	mp1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
296		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
297		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
298	234	rexrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ* )
299	234	leidd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ≤ 𝑋 )
300	237	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
301	234	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ℂ )
302	301 258	pncand	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
303	300 302	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
304		icossre	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
305	223 226 304	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
306	305 239	sseldd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ℝ )
307		icoltub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
308	224 226 239 307	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
309	306 183 187 308	ltsub1dd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
310	303 309	eqbrtrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
311	298 189 298 299 310	elicod	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
312		snunioo1	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
313	298 189 310 312	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
314	313	fveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
315	296	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
316		ovex	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ∈ V
317	316	inex1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
318		snex	⊢ { 𝑋 } ∈ V
319	317 318	unex	⊢ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
320		resttop	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
321	315 319 320	mp2an	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
322	321	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
323		retop	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
324	323	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top )
325	319	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V )
326		iooretop	⊢ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
327	326	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
328		elrestr	⊢ ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
329	324 325 327 328	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
330		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
331	330	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
332	189	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
333		icossre	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
334	234 189 333	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
335	334	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
336	335	mnfltd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ < 𝑥 )
337	298	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
338		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
339		icoltub	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
340	337 332 338 339	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
341	331 332 335 336 340	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
342		vsnid	⊢ 𝑥 ∈ { 𝑥 }
343	342	a1i	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑥 } )
344		sneq	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → { 𝑥 } = { 𝑋 } )
345	343 344	eleqtrd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
346		elun2	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
347	345 346	syl	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
348	347	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
349	298	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
350	176	a1i	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → +∞ ∈ ℝ* )
351	335	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
352	234	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
353		icogelb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
354	337 332 338 353	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
355	354	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
356		neqne	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → 𝑥 ≠ 𝑋 )
357	356	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ≠ 𝑋 )
358	352 351 355 357	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 < 𝑥 )
359	351	ltpnfd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < +∞ )
360	349 350 351 358 359	eliood	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
361	184	zcnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℂ )
362	361 196	mulneg1d	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
363	362	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
364	363	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
365		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ
366	365	sseli	⊢ ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
367	366	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
368	258	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
369	367 368	addcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
370	369 368	negsubd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
371	367 368	pncand	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
372	364 370 371	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
373	187	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
374	228 373	readdcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
375	225 227 374 253 261	eliood	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
376	219 375	sseldd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
377	272	3anbi3d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
378	274	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
379	378	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
380	377 379	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
381	266	3anbi2d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) )
382		oveq1	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
383	382	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
384	381 383	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
385	265 384 284	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
386	271 380 385	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
387	208 376 264 386	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
388	372 387	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
389	388	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 ∈ 𝐷 )
390	389 290	sylibr	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
391	390	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
392	189	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
393	340	adantr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
394	349 392 351 358 393	eliood	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
395	391 394	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
396	360 395	elind	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
397		elun1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
398	396 397	syl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
399	348 398	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
400	341 399	elind	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
401	298	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
402	189	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
403		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
404		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
405	403 404	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
406	405	rexrd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
407	406	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
408		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
409	234	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
410	92	eqcomd	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → 𝑋 = 𝑥 )
411	410	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 = 𝑥 )
412	409 411	eqled	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
413	412	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
414		simpll	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝜒 )
415		simplr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
416		id	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋 )
417		velsn	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } ↔ 𝑥 = 𝑋 )
418	416 417	sylnibr	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
419	418	adantl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
420		elunnel2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
421	415 419 420	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
422		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
423	421 422	syl	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
424	234	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
425		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
426	425	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
427	298	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
428	176	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
429		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
430		ioogtlb	⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
431	427 428 429 430	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
432	424 426 431	ltled	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
433	414 423 432	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
434	413 433	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
435	408 434	sylan2	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑥 )
436	330	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
437	189	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
438		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
439		iooltub	⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
440	436 437 438 439	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
441	403 440	sylan2	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
442	401 402 407 435 441	elicod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
443	400 442	impbida	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
444	443	eqrdv	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
445		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
446		ssinss1	⊢ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
447	445 446	mp1i	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
448	234	snssd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
449	447 448	unssd	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
450		eqid	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
451	296 450	rerest	⊢ ( ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
452	449 451	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
453	329 444 452	3eltr4d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
454		isopn3i	⊢ ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
455	322 453 454	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
456	314 455	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
457	311 456	eleqtrd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
458	175 292 295 296 297 457	limcres	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) limℂ 𝑋 ) )
459	292	resabs1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
460	459	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
461	170	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
462	8 461	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
463	215	feq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ↔ 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ ) )
464	462 463	mpbird	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
465	157 464	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
466	465	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
467	365	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ )
468	390 164	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
469	468	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
470	258	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
471		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
472		eqeq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
473	472	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
474	473	elrab	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
475	474	simprbi	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
476	475	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
477		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝜒
478		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) )
479		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 ℂ
480	478 479	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
481	480	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
482	477 481	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
483		nfv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ 𝐷
484		simp3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
485		eleq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
486	485	anbi2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
487		oveq1	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
488	487	eleq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
489	486 488	imbi12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
490	489 263	chvarvv	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
491	490	3adant3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
492	484 491	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
493	492	3exp	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
494	493	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
495	482 483 494	rexlimd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) )
496	476 495	mpd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
497	496	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
498		dfss3	⊢ ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
499	497 498	sylibr	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
500	499 164	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
501	500	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
502	157	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
503	390	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
504	184	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
505	502 503 504 10	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
506	505	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
507		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
508	466 467 469 470 471 501 506 507	limcperiod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
509	259	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
510	237 509	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
511	234 188 187	iooshift	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
512	510 511	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
513	512	reseq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
514	513 238	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
515	514	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
516	508 515	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
517	465	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
518		ioosscn	⊢ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
519	518	a1i	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
520		icogelb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 )
521	224 226 239 520	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 )
522		iooss1	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
523	224 521 522	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
524	523 218	sstrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
525	524 164	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
526	525	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
527	361	negcld	⊢ ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℂ )
528	527 196	mulcld	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
529	528	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
530		eqid	⊢ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
531		eqeq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
532	531	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
533	532	elrab	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
534	533	simprbi	⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
535	534	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
536		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
537	536 479	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
538	537	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
539	477 538	nfan	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
540		simp3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
541	157	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
542	524	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
543	184	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
544	543	znegcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
545	541 542 544 285	syl3anc	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
546	545	3adant3	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
547	540 546	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
548	547	3exp	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
549	548	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) ) )
550	539 483 549	rexlimd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐷 ) )
551	535 550	mpd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤 ∈ 𝐷 )
552	551	ralrimiva	⊢ ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
553		dfss3	⊢ ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤 ∈ 𝐷 )
554	552 553	sylibr	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
555	554 164	sseqtrrd	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
556	555	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
557	157	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
558	542	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐷 )
559	544	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
560	275	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
561	560	eqeq1d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
562	273 561	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
563	281	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
564	563	eqeq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
565	279 564	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
566	565 10	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
567	271 562 566	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
568	557 558 559 567	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) )
569		simpr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
570	517 519 526 529 530 556 568 569	limcperiod	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
571	362	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
572	306	recnd	⊢ ( 𝜒 → 𝑦 ∈ ℂ )
573	572 258	negsubd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
574	303	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
575	571 573 574	3eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
576	575	eqcomd	⊢ ( 𝜒 → 𝑋 = ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
577	362	oveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
578	257 258	negsubd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
579	577 578	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
580	576 579	oveq12d	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
581	185	renegcld	⊢ ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℝ )
582	581 186	remulcld	⊢ ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
583	306 183 582	iooshift	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
584	580 583	eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
585	584	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
586	585	reseq2d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
587	575	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
588	586 587	oveq12d	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) limℂ ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
589	570 588	eleqtrd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) )
590	516 589	impbida	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ) )
591	590	eqrdv	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
592	460 591	eqtrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
593	168 458 592	3eqtr2d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
594	157 178 78	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
595	157 178 11	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
596	157 178 12	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
597		eqid	⊢ if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) = if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
598		eqid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
599	223 183 594 595 596 306 183 308 523 597 598	fourierdlem32	⊢ ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
600	523	resabs1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
601	600	oveq1d	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
602	599 601	eleqtrd	⊢ ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) )
603		ne0i	⊢ ( if ( 𝑦 = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ≠ ∅ )
604	602 603	syl	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ 𝑦 ) ≠ ∅ )
605	593 604	eqnetrd	⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
606	16 605	sylbir	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
607	152 153 154 606	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
608	607	3exp	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
609	608	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
610	143 148 609	rexlim2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
611	140 610	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
612	133 139 611	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
613	17 132 612	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
614		iocssre	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
615	63 2 614	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
616		ovex	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
617	14	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
618	616 617	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
619	618	oveq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
620	619	mpteq2ia	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍 ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
621	15 620	eqtri	⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
622	1 2 3 5 621	fourierdlem4	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
623	622 13	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
624	615 623	sseldd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
625	624	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
626		simpl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → 𝜑 )
627		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
628		ffn	⊢ ( 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
629	48 628	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
630	629	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
631		fvelrnb	⊢ ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
632	630 631	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
633	627 632	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
634		1zzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
635		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
636	635	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
637	636	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
638		elfzle1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
639	638	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
640		id	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
641	640	eqcomd	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
642	641	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
643		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
644	643	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
645	45	simprld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 ) )
646	645	simpld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
647	646	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
648	642 644 647	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
649	648	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
650	649	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
651	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
652	63	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
653	2	rexrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* )
654	653	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
655		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
656		iocgtlb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
657	652 654 655 656	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
658	651 657	gtned	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐴 )
659	658	neneqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
660	659	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐴 )
661	650 660	pm2.65da	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
662	661	neqned	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
663	637 639 662	ne0gt0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
664		0zd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
665		zltp1le	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
666	664 636 665	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
667	663 666	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
668	82 667	eqbrtrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
669		eluz2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) )
670	634 636 668 669	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
671		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
672	670 671	eleqtrrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
673		nnm1nn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
674	672 673	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
675	674 50	eleqtrdi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
676	19	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
677		peano2zm	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
678	635 677	syl	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
679	678	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
680	635	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
681		elfzel2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
682	681	zred	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
683	680	ltm1d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
684		elfzle2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ≤ 𝑀 )
685	679 680 682 683 684	ltletrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
686	685	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
687		elfzo2	⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 ) )
688	675 676 686 687	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
689	48	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
690	636 677	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
691	674	nn0ge0d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
692	679 682 685	ltled	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
693	692	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
694	664 676 690 691 693	elfzd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
695	689 694	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
696	695	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ* )
697	48	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
698	697	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
699	698	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
700	699	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
701	615	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
702	701	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
703	702	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
704		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → 𝜑 )
705		ovex	⊢ ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
706		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
707	706	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
708		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
709		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
710	709	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
711	708 710	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
712	707 711	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
713	705 712 78	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
714	704 688 713	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
715	635	zcnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
716		1cnd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
717	715 716	npcand	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
718	717	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
719	718	fveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
720	719	eqcomd	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
721	720	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
722	714 721	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
723		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
724	722 723	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
725	624	leidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
726	725	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
727	641	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
728	726 727	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
729	728	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
730	696 700 703 724 729	eliocd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) )
731	719	oveq2d	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
732	731	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
733	730 732	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
734	708 710	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
735	734	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
736	735	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
737	688 733 736	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
738	737	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
739	738	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
740	739	rexlimdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
741	633 740	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
742	6	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
743	48	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
744		iocssicc	⊢ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
745	646	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
746	645	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
747	746	eqcomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
748	745 747	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
749	744 748	sseqtrid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
750	749	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
751	750	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) ) )
752		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
753		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
754	753	breq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ) )
755	754	cbvrabv	⊢ { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) }
756	755	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) } , ℝ , < )
757	742 743 751 752 756	fourierdlem25	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
758		ioossioc	⊢ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
759	758	sseli	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
760	759	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
761	760	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
762	757 761	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
763	741 762	pm2.61dan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
764	623 763	mpdan	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
765		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) )
766		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
767	766	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
768	765 767	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
769	768	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
770	769	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
771	764 770	sylib	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
772	771	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
773		elfzonn0	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
774		1nn0	⊢ 1 ∈ ℕ0
775	774	a1i	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 1 ∈ ℕ0 )
776	773 775	nn0addcld	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℕ0 )
777	776 50	eleqtrdi	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
778	777	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
779	778	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
780	19	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
781	780	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
782	773	nn0red	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
783	782	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
784	783	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
785		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
786	784 785	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℝ )
787	781	zred	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
788		elfzop1le2	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
789	788	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
790	789	3ad2antl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
791		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
792		fveq2	⊢ ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
793	792	eqcomd	⊢ ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
794	793	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) )
795	746	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = 𝐵 )
796	791 794 795	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
797	796	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
798		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 )
799	798	neneqd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = 𝐵 )
800	797 799	pm2.65da	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) )
801	800	neqned	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
802	801	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
803	786 787 790 802	leneltd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 )
804		elfzo2	⊢ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 ) )
805	779 781 803 804	syl3anbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
806	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
807		fzofzp1	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
808	807	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
809	806 808	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
810	809	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
811	810	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
812	811	3adant3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
813	812	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
814		simpl1l	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
815	814 48	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
816		fzofzp1	⊢ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
817	805 816	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
818	815 817	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
819	818	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
820	624	rexrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
821	820	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
822	821	3ad2antl1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
823	809	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
824	823	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
825		id	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
826	825	eqcomd	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
827	826	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
828	824 827	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
829	828	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
830	829	3adantl3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
831		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
832		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
833		ovex	⊢ ( 𝑗 + 1 ) ∈ V
834		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
835	834	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
836		fveq2	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
837		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) )
838	837	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
839	836 838	breq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
840	835 839	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
841	833 840 78	vtocl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
842	841	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
843	832 842	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
844	814 805 831 843	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
845	813 819 822 830 844	elicod	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
846	836 838	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
847	846	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
848	847	rspcev	⊢ ( ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
849	805 845 848	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
850		simpl2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
851		id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
852	851	3adant1r	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
853		elfzofz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
854	853	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
855	806 854	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
856	855	rexrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
857	856	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
858	857	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
859	810	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
860	859	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
861	820	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
862	861	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ* )
863	855	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ )
864	624	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
865	856	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* )
866	810	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
867		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
868		iocgtlb	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
869	865 866 867 868	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) < ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
870	863 864 869	ltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
871	870	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ≤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
872	864	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ )
873	809	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
874	873	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
875		iocleub	⊢ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
876	865 866 867 875	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
877	876	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
878		neqne	⊢ ( ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
879	878	necomd	⊢ ( ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
880	879	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) )
881	872 874 877 880	leneltd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
882	858 860 862 871 881	elicod	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
883	852 882	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
884	765 767	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
885	884	eleq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
886	885	rspcev	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
887	850 883 886	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
888	849 887	pm2.61dan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
889	888	rexlimdv3a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
890	772 889	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
891		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
892		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
893	892	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
894	893	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
895	894	rspcev	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
896	102 110 895	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
897	896	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
898		r19.42v	⊢ ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
899	891 897 898	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
900	899	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
901	900	reximdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
902	890 901	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
903	626 902	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
904		eleq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
905		eqeq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
906	904 905	anbi12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
907	906	2rexbidv	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
908	907	anbi2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
909	908	imbi1d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
910	909 611	vtoclg	⊢ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
911	625 903 910	sylc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸 ‘ 𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )
912	613 911	pm2.61dane	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ≠ ∅ )