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Theorem fourierdlem48

Description: The given periodic function F has a right limit at every point in the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem48.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
fourierdlem48.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
fourierdlem48.altb ( 𝜑𝐴 < 𝐵 )
fourierdlem48.p 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
fourierdlem48.t 𝑇 = ( 𝐵𝐴 )
fourierdlem48.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ )
fourierdlem48.q ( 𝜑𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) )
fourierdlem48.f ( 𝜑𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
fourierdlem48.dper ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
fourierdlem48.per ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
fourierdlem48.cn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
fourierdlem48.r ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
fourierdlem48.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
fourierdlem48.z 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
fourierdlem48.e 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) )
fourierdlem48.ch ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
Assertion fourierdlem48 ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem48.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
2 fourierdlem48.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
3 fourierdlem48.altb ( 𝜑𝐴 < 𝐵 )
4 fourierdlem48.p 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑝𝑚 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
5 fourierdlem48.t 𝑇 = ( 𝐵𝐴 )
6 fourierdlem48.m ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ )
7 fourierdlem48.q ( 𝜑𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) )
8 fourierdlem48.f ( 𝜑𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
9 fourierdlem48.dper ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
10 fourierdlem48.per ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
11 fourierdlem48.cn ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
12 fourierdlem48.r ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
13 fourierdlem48.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
14 fourierdlem48.z 𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
15 fourierdlem48.e 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) )
16 fourierdlem48.ch ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
17 simpl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝜑 )
18 0zd ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
19 6 nnzd ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
20 6 nngt0d ( 𝜑 → 0 < 𝑀 )
21 fzolb ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀 ) )
22 18 19 20 21 syl3anbrc ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
23 22 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
24 2 13 resubcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝑋 ) ∈ ℝ )
25 2 1 resubcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝐴 ) ∈ ℝ )
26 5 25 eqeltrid ( 𝜑𝑇 ∈ ℝ )
27 1 2 posdifd ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵𝐴 ) ) )
28 3 27 mpbid ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵𝐴 ) )
29 28 5 breqtrrdi ( 𝜑 → 0 < 𝑇 )
30 29 gt0ne0d ( 𝜑𝑇 ≠ 0 )
31 24 26 30 redivcld ( 𝜑 → ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
32 31 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ )
33 32 flcld ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
34 1zzd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 1 ∈ ℤ )
35 33 34 zsubcld ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ )
36 id ( ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
37 5 a1i ( ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵𝑇 = ( 𝐵𝐴 ) )
38 36 37 oveq12d ( ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝐵 − ( 𝐵𝐴 ) ) )
39 2 recnd ( 𝜑𝐵 ∈ ℂ )
40 1 recnd ( 𝜑𝐴 ∈ ℂ )
41 39 40 nncand ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝐵𝐴 ) ) = 𝐴 )
42 38 41 sylan9eqr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = 𝐴 )
43 4 fourierdlem2 ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
44 6 43 syl ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( 𝑃𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
45 7 44 mpbid ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
46 45 simpld ( 𝜑𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
47 elmapi ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
48 46 47 syl ( 𝜑𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
49 6 nnnn0d ( 𝜑𝑀 ∈ ℕ0 )
50 nn0uz 0 = ( ℤ ‘ 0 )
51 49 50 eleqtrdi ( 𝜑𝑀 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
52 eluzfz1 ( 𝑀 ∈ ( ℤ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
53 51 52 syl ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
54 48 53 ffvelrnd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
55 54 rexrd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ∈ ℝ* )
56 1zzd ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
57 0le1 0 ≤ 1
58 57 a1i ( 𝜑 → 0 ≤ 1 )
59 6 nnge1d ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑀 )
60 18 19 56 58 59 elfzd ( 𝜑 → 1 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
61 48 60 ffvelrnd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ )
62 61 rexrd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 1 ) ∈ ℝ* )
63 1 rexrd ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ* )
64 45 simprd ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
65 64 simplld ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
66 1 leidd ( 𝜑𝐴𝐴 )
67 65 66 eqbrtrd ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) ≤ 𝐴 )
68 65 eqcomd ( 𝜑𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
69 0re 0 ∈ ℝ
70 eleq1 ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
71 70 anbi2d ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
72 fveq2 ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
73 oveq1 ( 𝑖 = 0 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
74 73 fveq2d ( 𝑖 = 0 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
75 72 74 breq12d ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
76 71 75 imbi12d ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
77 45 simprrd ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
78 77 r19.21bi ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
79 76 78 vtoclg ( 0 ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
80 69 79 ax-mp ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
81 22 80 mpdan ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
82 1e0p1 1 = ( 0 + 1 )
83 82 fveq2i ( 𝑄 ‘ 1 ) = ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) )
84 81 83 breqtrrdi ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
85 68 84 eqbrtrd ( 𝜑𝐴 < ( 𝑄 ‘ 1 ) )
86 55 62 63 67 85 elicod ( 𝜑𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) )
87 83 oveq2i ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ 1 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) )
88 86 87 eleqtrdi ( 𝜑𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
89 88 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
90 42 89 eqeltrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
91 15 a1i ( 𝜑𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) ) )
92 id ( 𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋 )
93 fveq2 ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑍𝑥 ) = ( 𝑍𝑋 ) )
94 92 93 oveq12d ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) )
95 94 adantl ( ( 𝜑𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) )
96 14 a1i ( 𝜑𝑍 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
97 oveq2 ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝐵𝑥 ) = ( 𝐵𝑋 ) )
98 97 oveq1d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) )
99 98 fveq2d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) )
100 99 oveq1d ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
101 100 adantl ( ( 𝜑𝑥 = 𝑋 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
102 31 flcld ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ )
103 102 zred ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
104 103 26 remulcld ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ )
105 96 101 13 104 fvmptd ( 𝜑 → ( 𝑍𝑋 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
106 105 104 eqeltrd ( 𝜑 → ( 𝑍𝑋 ) ∈ ℝ )
107 13 106 readdcld ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) ∈ ℝ )
108 91 95 13 107 fvmptd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) )
109 105 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 𝑍𝑋 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
110 108 109 eqtrd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
111 110 oveq1d ( 𝜑 → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) )
112 13 recnd ( 𝜑𝑋 ∈ ℂ )
113 104 recnd ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℂ )
114 26 recnd ( 𝜑𝑇 ∈ ℂ )
115 112 113 114 addsubassd ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) )
116 102 zcnd ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
117 116 114 mulsubfacd ( 𝜑 → ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
118 117 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) − 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
119 111 115 118 3eqtrd ( 𝜑 → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
120 119 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
121 oveq1 ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) )
122 121 oveq2d ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) )
123 122 eqeq2d ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) )
124 123 anbi2d ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) → ( ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) )
125 124 rspcev ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) − 1 ) · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
126 35 90 120 125 syl12anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
127 72 74 oveq12d ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) )
128 127 eleq2d ( 𝑖 = 0 → ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ) )
129 128 anbi1d ( 𝑖 = 0 → ( ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
130 129 rexbidv ( 𝑖 = 0 → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
131 130 rspcev ( ( 0 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 0 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
132 23 126 131 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
133 ovex ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ V
134 eleq1 ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
135 eqeq1 ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
136 134 135 anbi12d ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
137 136 2rexbidv ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
138 137 anbi2d ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
139 138 imbi1d ( 𝑦 = ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
140 simpr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
141 nfv 𝑖 𝜑
142 nfre1 𝑖𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
143 141 142 nfan 𝑖 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
144 nfv 𝑘 𝜑
145 nfcv 𝑘 ( 0 ..^ 𝑀 )
146 nfre1 𝑘𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
147 145 146 nfrex 𝑘𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
148 144 147 nfan 𝑘 ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
149 simp1 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
150 simp2l ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
151 simp3l ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
152 149 150 151 jca31 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
153 simp2r ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
154 simp3r ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
155 16 biimpi ( 𝜒 → ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
156 155 simplld ( 𝜒 → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
157 156 simplld ( 𝜒𝜑 )
158 frel ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → Rel 𝐹 )
159 157 8 158 3syl ( 𝜒 → Rel 𝐹 )
160 resindm ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
161 160 eqcomd ( Rel 𝐹 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
162 159 161 syl ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) )
163 fdm ( 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ → dom 𝐹 = 𝐷 )
164 157 8 163 3syl ( 𝜒 → dom 𝐹 = 𝐷 )
165 164 ineq2d ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) = ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
166 165 reseq2d ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ dom 𝐹 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
167 162 166 eqtrd ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) )
168 167 oveq1d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) lim 𝑋 ) )
169 157 8 syl ( 𝜒𝐹 : 𝐷 ⟶ ℝ )
170 ax-resscn ℝ ⊆ ℂ
171 170 a1i ( 𝜒 → ℝ ⊆ ℂ )
172 169 171 fssd ( 𝜒𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
173 inss2 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷
174 173 a1i ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ 𝐷 )
175 172 174 fssresd ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) : ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⟶ ℂ )
176 pnfxr +∞ ∈ ℝ*
177 176 a1i ( 𝜒 → +∞ ∈ ℝ* )
178 156 simplrd ( 𝜒𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
179 48 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
180 fzofzp1 ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
181 180 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
182 179 181 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
183 157 178 182 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
184 155 simplrd ( 𝜒𝑘 ∈ ℤ )
185 184 zred ( 𝜒𝑘 ∈ ℝ )
186 157 26 syl ( 𝜒𝑇 ∈ ℝ )
187 185 186 remulcld ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
188 183 187 resubcld ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
189 188 rexrd ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
190 188 ltpnfd ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < +∞ )
191 189 177 190 xrltled ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ )
192 iooss2 ( ( +∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ≤ +∞ ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
193 177 191 192 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
194 184 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
195 194 zcnd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
196 186 recnd ( 𝜒𝑇 ∈ ℂ )
197 196 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ )
198 195 197 mulneg1d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
199 198 oveq2d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
200 elioore ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
201 200 recnd ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
202 201 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
203 195 197 mulcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
204 202 203 addcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
205 204 203 negsubd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
206 202 203 pncand ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
207 199 205 206 3eqtrrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
208 157 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
209 156 simpld ( 𝜒 → ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
210 cncff ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
211 fdm ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
212 11 210 211 3syl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
213 ssdmres ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
214 212 213 sylibr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
215 8 163 syl ( 𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷 )
216 215 adantr ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → dom 𝐹 = 𝐷 )
217 214 216 sseqtrd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
218 209 217 syl ( 𝜒 → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
219 218 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
220 elfzofz ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
221 220 adantl ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
222 179 221 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
223 157 178 222 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
224 223 rexrd ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
225 224 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* )
226 183 rexrd ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
227 226 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
228 200 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ )
229 194 zred ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
230 208 26 syl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ )
231 229 230 remulcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
232 228 231 readdcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
233 223 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ )
234 157 13 syl ( 𝜒𝑋 ∈ ℝ )
235 234 187 readdcld ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
236 235 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
237 16 simprbi ( 𝜒𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
238 237 eqcomd ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑦 )
239 156 simprd ( 𝜒𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
240 238 239 eqeltrd ( 𝜒 → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
241 icogelb ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
242 224 226 240 241 syl3anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
243 242 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
244 208 13 syl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
245 244 rexrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
246 183 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
247 246 231 resubcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
248 247 rexrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
249 simpr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
250 ioogtlb ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
251 245 248 249 250 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 < 𝑤 )
252 244 228 231 251 ltadd1dd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
253 233 236 232 243 252 lelttrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
254 iooltub ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
255 245 248 249 254 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
256 228 247 231 255 ltadd1dd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
257 183 recnd ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
258 187 recnd ( 𝜒 → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
259 257 258 npcand ( 𝜒 → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
260 259 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
261 256 260 breqtrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
262 225 227 232 253 261 eliood ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
263 219 262 sseldd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
264 194 znegcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
265 ovex ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ V
266 eleq1 ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥𝐷 ↔ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
267 266 3anbi2d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
268 oveq1 ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
269 268 eleq1d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
270 267 269 imbi12d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
271 negex - 𝑘 ∈ V
272 eleq1 ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 ∈ ℤ ↔ - 𝑘 ∈ ℤ ) )
273 272 3anbi3d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
274 oveq1 ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑗 · 𝑇 ) = ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
275 274 oveq2d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
276 275 eleq1d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
277 273 276 imbi12d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
278 eleq1 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 ∈ ℤ ↔ 𝑗 ∈ ℤ ) )
279 278 3anbi3d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ) )
280 oveq1 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( 𝑗 · 𝑇 ) )
281 280 oveq2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
282 281 eleq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
283 279 282 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
284 283 9 chvarvv ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
285 271 277 284 vtocl ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
286 265 270 285 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
287 208 263 264 286 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
288 207 287 eqeltrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤𝐷 )
289 288 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤𝐷 )
290 dfss3 ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤𝐷 )
291 289 290 sylibr ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
292 193 291 ssind ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
293 ioosscn ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
294 ssinss1 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
295 293 294 mp1i ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℂ )
296 eqid ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
297 eqid ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
298 234 rexrd ( 𝜒𝑋 ∈ ℝ* )
299 234 leidd ( 𝜒𝑋𝑋 )
300 237 oveq1d ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
301 234 recnd ( 𝜒𝑋 ∈ ℂ )
302 301 258 pncand ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
303 300 302 eqtr2d ( 𝜒𝑋 = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
304 icossre ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
305 223 226 304 syl2anc ( 𝜒 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
306 305 239 sseldd ( 𝜒𝑦 ∈ ℝ )
307 icoltub ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
308 224 226 239 307 syl3anc ( 𝜒𝑦 < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
309 306 183 187 308 ltsub1dd ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
310 303 309 eqbrtrd ( 𝜒𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
311 298 189 298 299 310 elicod ( 𝜒𝑋 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
312 snunioo1 ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑋 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
313 298 189 310 312 syl3anc ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
314 313 fveq2d ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
315 296 cnfldtop ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
316 ovex ( 𝑋 (,) +∞ ) ∈ V
317 316 inex1 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∈ V
318 snex { 𝑋 } ∈ V
319 317 318 unex ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V
320 resttop ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
321 315 319 320 mp2an ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top
322 321 a1i ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top )
323 retop ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top
324 323 a1i ( 𝜒 → ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top )
325 319 a1i ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V )
326 iooretop ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) )
327 326 a1i ( 𝜒 → ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) )
328 elrestr ( ( ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top ∧ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∈ V ∧ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) ) → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
329 324 325 327 328 syl3anc ( 𝜒 → ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
330 mnfxr -∞ ∈ ℝ*
331 330 a1i ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
332 189 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
333 icossre ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* ) → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
334 234 189 333 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℝ )
335 334 sselda ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
336 335 mnfltd ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ < 𝑥 )
337 298 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
338 simpr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
339 icoltub ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
340 337 332 338 339 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
341 331 332 335 336 340 eliood ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
342 vsnid 𝑥 ∈ { 𝑥 }
343 342 a1i ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ { 𝑥 } )
344 sneq ( 𝑥 = 𝑋 → { 𝑥 } = { 𝑋 } )
345 343 344 eleqtrd ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ { 𝑋 } )
346 elun2 ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
347 345 346 syl ( 𝑥 = 𝑋𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
348 347 adantl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
349 298 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
350 176 a1i ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → +∞ ∈ ℝ* )
351 335 adantr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
352 234 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
353 icogelb ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋𝑥 )
354 337 332 338 353 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑋𝑥 )
355 354 adantr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
356 neqne ( ¬ 𝑥 = 𝑋𝑥𝑋 )
357 356 adantl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥𝑋 )
358 352 351 355 357 leneltd ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 < 𝑥 )
359 351 ltpnfd ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < +∞ )
360 349 350 351 358 359 eliood ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
361 184 zcnd ( 𝜒𝑘 ∈ ℂ )
362 361 196 mulneg1d ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) = - ( 𝑘 · 𝑇 ) )
363 362 oveq2d ( 𝜒 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
364 363 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
365 ioosscn ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ
366 365 sseli ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
367 366 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ )
368 258 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
369 367 368 addcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℂ )
370 369 368 negsubd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
371 367 368 pncand ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑤 )
372 364 370 371 3eqtrrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤 = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
373 187 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
374 228 373 readdcld ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ )
375 225 227 374 253 261 eliood ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
376 219 375 sseldd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
377 272 3anbi3d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) ) )
378 274 oveq2d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
379 378 eleq1d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
380 377 379 imbi12d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
381 266 3anbi2d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) ) )
382 oveq1 ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) )
383 382 eleq1d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
384 381 383 imbi12d ( 𝑥 = ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
385 265 384 284 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
386 271 380 385 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
387 208 376 264 386 syl3anc ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
388 372 387 eqeltrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑤𝐷 )
389 388 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤𝐷 )
390 389 290 sylibr ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
391 390 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
392 189 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
393 340 adantr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
394 349 392 351 358 393 eliood ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
395 391 394 sseldd ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥𝐷 )
396 360 395 elind ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
397 elun1 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
398 396 397 syl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
399 348 398 pm2.61dan ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
400 341 399 elind ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
401 298 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
402 189 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
403 elinel1 ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
404 elioore ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
405 403 404 syl ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
406 405 rexrd ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
407 406 adantl ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* )
408 elinel2 ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
409 234 adantr ( ( 𝜒𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 ∈ ℝ )
410 92 eqcomd ( 𝑥 = 𝑋𝑋 = 𝑥 )
411 410 adantl ( ( 𝜒𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋 = 𝑥 )
412 409 411 eqled ( ( 𝜒𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
413 412 adantlr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
414 simpll ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝜒 )
415 simplr ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) )
416 id ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 = 𝑋 )
417 velsn ( 𝑥 ∈ { 𝑋 } ↔ 𝑥 = 𝑋 )
418 416 417 sylnibr ( ¬ 𝑥 = 𝑋 → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
419 418 adantl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } )
420 elunnel2 ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑋 } ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
421 415 419 420 syl2anc ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) )
422 elinel1 ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
423 421 422 syl ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
424 234 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
425 elioore ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
426 425 adantl ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
427 298 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 ∈ ℝ* )
428 176 a1i ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
429 simpr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) )
430 ioogtlb ( ( 𝑋 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
431 427 428 429 430 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋 < 𝑥 )
432 424 426 431 ltled ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) → 𝑋𝑥 )
433 414 423 432 syl2anc ( ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑋𝑥 )
434 413 433 pm2.61dan ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) → 𝑋𝑥 )
435 408 434 sylan2 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑋𝑥 )
436 330 a1i ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* )
437 189 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ* )
438 simpr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
439 iooltub ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
440 436 437 438 439 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
441 403 440 sylan2 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 < ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
442 401 402 407 435 441 elicod ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
443 400 442 impbida ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) )
444 443 eqrdv ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( -∞ (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∩ ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
445 ioossre ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
446 ssinss1 ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
447 445 446 mp1i ( 𝜒 → ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ⊆ ℝ )
448 234 snssd ( 𝜒 → { 𝑋 } ⊆ ℝ )
449 447 448 unssd ( 𝜒 → ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ )
450 eqid ( topGen ‘ ran (,) ) = ( topGen ‘ ran (,) )
451 296 450 rerest ( ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ⊆ ℝ → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
452 449 451 syl ( 𝜒 → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) = ( ( topGen ‘ ran (,) ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
453 329 444 452 3eltr4d ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
454 isopn3i ( ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ∈ Top ∧ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
455 322 453 454 syl2anc ( 𝜒 → ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
456 314 455 eqtr2d ( 𝜒 → ( 𝑋 [,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
457 311 456 eleqtrd ( 𝜒𝑋 ∈ ( ( int ‘ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ∪ { 𝑋 } ) ) ) ‘ ( ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∪ { 𝑋 } ) ) )
458 175 292 295 296 297 457 limcres ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) lim 𝑋 ) )
459 292 resabs1d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
460 459 oveq1d ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
461 170 a1i ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
462 8 461 fssd ( 𝜑𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ )
463 215 feq2d ( 𝜑 → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ↔ 𝐹 : 𝐷 ⟶ ℂ ) )
464 462 463 mpbird ( 𝜑𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
465 157 464 syl ( 𝜒𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
466 465 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
467 365 a1i ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ ℂ )
468 390 164 sseqtrrd ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
469 468 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
470 258 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
471 eqid { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
472 eqeq1 ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
473 472 rexbidv ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
474 473 elrab ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
475 474 simprbi ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
476 475 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
477 nfv 𝑥 𝜒
478 nfre1 𝑥𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) )
479 nfcv 𝑥
480 478 479 nfrabw 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
481 480 nfcri 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) }
482 477 481 nfan 𝑥 ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
483 nfv 𝑥 𝑤𝐷
484 simp3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
485 eleq1 ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
486 485 anbi2d ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
487 oveq1 ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
488 487 eleq1d ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) )
489 486 488 imbi12d ( 𝑤 = 𝑥 → ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 ) ) )
490 489 263 chvarvv ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
491 490 3adant3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
492 484 491 eqeltrd ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤𝐷 )
493 492 3exp ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
494 493 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
495 482 483 494 rexlimd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) )
496 476 495 mpd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤𝐷 )
497 496 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
498 dfss3 ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
499 497 498 sylibr ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
500 499 164 sseqtrrd ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
501 500 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
502 157 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝜑 )
503 390 sselda ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑥𝐷 )
504 184 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
505 502 503 504 10 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
506 505 adantlr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
507 simpr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
508 466 467 469 470 471 501 506 507 limcperiod ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
509 259 eqcomd ( 𝜒 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
510 237 509 oveq12d ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
511 234 188 187 iooshift ( 𝜒 → ( ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
512 510 511 eqtr2d ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
513 512 reseq2d ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
514 513 238 oveq12d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
515 514 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
516 508 515 eleqtrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
517 465 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ )
518 ioosscn ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ
519 518 a1i ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ℂ )
520 icogelb ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑦 )
521 224 226 239 520 syl3anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑦 )
522 iooss1 ( ( ( 𝑄𝑖 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄𝑖 ) ≤ 𝑦 ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
523 224 521 522 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
524 523 218 sstrd ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ 𝐷 )
525 524 164 sseqtrrd ( 𝜒 → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
526 525 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ dom 𝐹 )
527 361 negcld ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℂ )
528 527 196 mulcld ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
529 528 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℂ )
530 eqid { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
531 eqeq1 ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
532 531 rexbidv ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
533 532 elrab ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ↔ ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
534 533 simprbi ( 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
535 534 adantl ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
536 nfre1 𝑥𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) )
537 536 479 nfrabw 𝑥 { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
538 537 nfcri 𝑥 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) }
539 477 538 nfan 𝑥 ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
540 simp3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
541 157 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
542 524 sselda ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥𝐷 )
543 184 adantr ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
544 543 znegcld ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
545 541 542 544 285 syl3anc ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
546 545 3adant3 ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ∈ 𝐷 )
547 540 546 eqeltrd ( ( 𝜒𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → 𝑤𝐷 )
548 547 3exp ( 𝜒 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
549 548 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) ) )
550 539 483 549 rexlimd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑤 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) → 𝑤𝐷 ) )
551 535 550 mpd ( ( 𝜒𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) → 𝑤𝐷 )
552 551 ralrimiva ( 𝜒 → ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
553 dfss3 ( { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 ↔ ∀ 𝑤 ∈ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } 𝑤𝐷 )
554 552 553 sylibr ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ 𝐷 )
555 554 164 sseqtrrd ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
556 555 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ⊆ dom 𝐹 )
557 157 ad2antrr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
558 542 adantlr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → 𝑥𝐷 )
559 544 adantlr ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → - 𝑘 ∈ ℤ )
560 275 fveq2d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
561 560 eqeq1d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) )
562 273 561 imbi12d ( 𝑗 = - 𝑘 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
563 281 fveq2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) )
564 563 eqeq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) )
565 279 564 imbi12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ↔ ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
566 565 10 chvarvv ( ( 𝜑𝑥𝐷𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( 𝑗 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
567 271 562 566 vtocl ( ( 𝜑𝑥𝐷 ∧ - 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
568 557 558 559 567 syl3anc ( ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( 𝐹𝑥 ) )
569 simpr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
570 517 519 526 529 530 556 568 569 limcperiod ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
571 362 oveq2d ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
572 306 recnd ( 𝜒𝑦 ∈ ℂ )
573 572 258 negsubd ( 𝜒 → ( 𝑦 + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
574 303 eqcomd ( 𝜒 → ( 𝑦 − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
575 571 573 574 3eqtrd ( 𝜒 → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
576 575 eqcomd ( 𝜒𝑋 = ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
577 362 oveq2d ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
578 257 258 negsubd ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + - ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
579 577 578 eqtr2d ( 𝜒 → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) )
580 576 579 oveq12d ( 𝜒 → ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
581 185 renegcld ( 𝜒 → - 𝑘 ∈ ℝ )
582 581 186 remulcld ( 𝜒 → ( - 𝑘 · 𝑇 ) ∈ ℝ )
583 306 183 582 iooshift ( 𝜒 → ( ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } )
584 580 583 eqtr2d ( 𝜒 → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
585 584 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } = ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
586 585 reseq2d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
587 575 adantr ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) = 𝑋 )
588 586 587 oveq12d ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) 𝑧 = ( 𝑥 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) } ) lim ( 𝑦 + ( - 𝑘 · 𝑇 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
589 570 588 eleqtrd ( ( 𝜒𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) )
590 516 589 impbida ( 𝜒 → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ) )
591 590 eqrdv ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
592 460 591 eqtrd ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 (,) +∞ ) ∩ 𝐷 ) ) ↾ ( 𝑋 (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
593 168 458 592 3eqtr2d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
594 157 178 78 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
595 157 178 11 syl2anc ( 𝜒 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
596 157 178 12 syl2anc ( 𝜒𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim ( 𝑄𝑖 ) ) )
597 eqid if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) = if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) )
598 eqid ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
599 223 183 594 595 596 306 183 308 523 597 598 fourierdlem32 ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
600 523 resabs1d ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
601 600 oveq1d ( 𝜒 → ( ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
602 599 601 eleqtrd ( 𝜒 → if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) )
603 ne0i ( if ( 𝑦 = ( 𝑄𝑖 ) , 𝑅 , ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ‘ 𝑦 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ≠ ∅ )
604 602 603 syl ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑦 (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) lim 𝑦 ) ≠ ∅ )
605 593 604 eqnetrd ( 𝜒 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
606 16 605 sylbir ( ( ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
607 152 153 154 606 syl21anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
608 607 3exp ( 𝜑 → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
609 608 adantr ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
610 143 148 609 rexlim2d ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
611 140 610 mpd ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
612 133 139 611 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( ( 𝐸𝑋 ) − 𝑇 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
613 17 132 612 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
614 iocssre ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
615 63 2 614 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ℝ )
616 ovex ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V
617 14 fvmpt2 ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ V ) → ( 𝑍𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
618 616 617 mpan2 ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑍𝑥 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
619 618 oveq2d ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
620 619 mpteq2ia ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( 𝑍𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
621 15 620 eqtri 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
622 1 2 3 5 621 fourierdlem4 ( 𝜑𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
623 622 13 ffvelrnd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
624 615 623 sseldd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
625 624 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
626 simpl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → 𝜑 )
627 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
628 ffn ( 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
629 48 628 syl ( 𝜑𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
630 629 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
631 fvelrnb ( 𝑄 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) )
632 630 631 syl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) )
633 627 632 mpbid ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) )
634 1zzd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 1 ∈ ℤ )
635 elfzelz ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
636 635 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
637 636 zred ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
638 elfzle1 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 0 ≤ 𝑗 )
639 638 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 ≤ 𝑗 )
640 id ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) )
641 640 eqcomd ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
642 641 ad2antlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
643 fveq2 ( 𝑗 = 0 → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
644 643 adantl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
645 45 simprld ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 ∧ ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 ) )
646 645 simpld ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
647 646 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝑄 ‘ 0 ) = 𝐴 )
648 642 644 647 3eqtrd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
649 648 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
650 649 adantllr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
651 1 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
652 63 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* )
653 2 rexrd ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ* )
654 653 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* )
655 simpr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) )
656 iocgtlb ( ( 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸𝑋 ) )
657 652 654 655 656 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐸𝑋 ) )
658 651 657 gtned ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐴 )
659 658 neneqd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
660 659 ad3antrrr ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) ∧ 𝑗 = 0 ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐴 )
661 650 660 pm2.65da ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ¬ 𝑗 = 0 )
662 661 neqned ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ≠ 0 )
663 637 639 662 ne0gt0d ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 < 𝑗 )
664 0zd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 ∈ ℤ )
665 zltp1le ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
666 664 636 665 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 0 < 𝑗 ↔ ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 ) )
667 663 666 mpbid ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 0 + 1 ) ≤ 𝑗 )
668 82 667 eqbrtrid ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 1 ≤ 𝑗 )
669 eluz2 ( 𝑗 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) )
670 634 636 668 669 syl3anbrc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ( ℤ ‘ 1 ) )
671 nnuz ℕ = ( ℤ ‘ 1 )
672 670 671 eleqtrrdi ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ )
673 nnm1nn0 ( 𝑗 ∈ ℕ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
674 672 673 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℕ0 )
675 674 50 eleqtrdi ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
676 19 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
677 peano2zm ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
678 635 677 syl ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
679 678 zred ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ )
680 635 zred ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
681 elfzel2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
682 681 zred ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℝ )
683 680 ltm1d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 )
684 elfzle2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗𝑀 )
685 679 680 682 683 684 ltletrd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
686 685 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 )
687 elfzo2 ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) < 𝑀 ) )
688 675 676 686 687 syl3anbrc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
689 48 ad3antrrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
690 636 677 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ )
691 674 nn0ge0d ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝑗 − 1 ) )
692 679 682 685 ltled ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
693 692 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑀 )
694 664 676 690 691 693 elfzd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
695 689 694 ffvelrnd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ )
696 695 rexrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ ℝ* )
697 48 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ )
698 697 rexrd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
699 698 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
700 699 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
701 615 sselda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
702 701 rexrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
703 702 ad2antrr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
704 simplll ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → 𝜑 )
705 ovex ( 𝑗 − 1 ) ∈ V
706 eleq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
707 706 anbi2d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
708 fveq2 ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) )
709 oveq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
710 709 fveq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
711 708 710 breq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
712 707 711 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
713 705 712 78 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
714 704 688 713 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
715 635 zcnd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℂ )
716 1cnd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 1 ∈ ℂ )
717 715 716 npcand ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 )
718 717 eqcomd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝑗 = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) )
719 718 fveq2d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) )
720 719 eqcomd ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄𝑗 ) )
721 720 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑄𝑗 ) )
722 714 721 breqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑄𝑗 ) )
723 simpr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) )
724 722 723 breqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝐸𝑋 ) )
725 624 leidd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
726 725 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
727 641 adantl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
728 726 727 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄𝑗 ) )
729 728 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄𝑗 ) )
730 696 700 703 724 729 eliocd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄𝑗 ) ) )
731 719 oveq2d ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
732 731 ad2antlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄𝑗 ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
733 730 732 eleqtrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
734 708 710 oveq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) )
735 734 eleq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 − 1 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
736 735 rspcev ( ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) (,] ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
737 688 733 736 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
738 737 ex ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
739 738 adantlr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
740 739 rexlimdva ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑄𝑗 ) = ( 𝐸𝑋 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
741 633 740 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
742 6 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑀 ∈ ℕ )
743 48 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
744 iocssicc ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( 𝐴 [,] 𝐵 )
745 646 eqcomd ( 𝜑𝐴 = ( 𝑄 ‘ 0 ) )
746 645 simprd ( 𝜑 → ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 )
747 746 eqcomd ( 𝜑𝐵 = ( 𝑄𝑀 ) )
748 745 747 oveq12d ( 𝜑 → ( 𝐴 [,] 𝐵 ) = ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
749 744 748 sseqtrid ( 𝜑 → ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
750 749 sselda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
751 750 adantr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ 0 ) [,] ( 𝑄𝑀 ) ) )
752 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 )
753 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑄𝑘 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
754 753 breq1d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑘 ) < ( 𝐸𝑋 ) ↔ ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) ) )
755 754 cbvrabv { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑘 ) < ( 𝐸𝑋 ) } = { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) }
756 755 supeq1i sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑘 ) < ( 𝐸𝑋 ) } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∣ ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) } , ℝ , < )
757 742 743 751 752 756 fourierdlem25 ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
758 ioossioc ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
759 758 sseli ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
760 759 a1i ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
761 760 reximdva ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
762 757 761 mpd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ran 𝑄 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
763 741 762 pm2.61dan ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
764 623 763 mpdan ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
765 fveq2 ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄𝑗 ) )
766 oveq1 ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
767 766 fveq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
768 765 767 oveq12d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
769 768 eleq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
770 769 cbvrexvw ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
771 764 770 sylib ( 𝜑 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
772 771 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
773 elfzonn0 ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
774 1nn0 1 ∈ ℕ0
775 774 a1i ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 1 ∈ ℕ0 )
776 773 775 nn0addcld ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℕ0 )
777 776 50 eleqtrdi ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
778 777 adantr ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
779 778 3ad2antl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) )
780 19 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
781 780 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
782 773 nn0red ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ℝ )
783 782 adantr ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
784 783 3ad2antl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
785 1red ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ )
786 784 785 readdcld ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ℝ )
787 781 zred ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℝ )
788 elfzop1le2 ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
789 788 adantr ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
790 789 3ad2antl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ≤ 𝑀 )
791 simplr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
792 fveq2 ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄𝑀 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
793 792 eqcomd ( 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄𝑀 ) )
794 793 adantl ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄𝑀 ) )
795 746 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄𝑀 ) = 𝐵 )
796 791 794 795 3eqtrd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
797 796 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
798 simpllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 )
799 798 neneqd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ∧ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) ) → ¬ ( 𝐸𝑋 ) = 𝐵 )
800 797 799 pm2.65da ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ¬ 𝑀 = ( 𝑗 + 1 ) )
801 800 neqned ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
802 801 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑀 ≠ ( 𝑗 + 1 ) )
803 786 787 790 802 leneltd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 )
804 elfzo2 ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( ℤ ‘ 0 ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 + 1 ) < 𝑀 ) )
805 779 781 803 804 syl3anbrc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
806 48 adantr ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
807 fzofzp1 ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
808 807 adantl ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
809 806 808 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
810 809 rexrd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
811 810 adantlr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
812 811 3adant3 ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
813 812 adantr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
814 simpl1l ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝜑 )
815 814 48 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
816 fzofzp1 ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
817 805 816 syl ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
818 815 817 ffvelrnd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ )
819 818 rexrd ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ∈ ℝ* )
820 624 rexrd ( 𝜑 → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
821 820 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
822 821 3ad2antl1 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
823 809 leidd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
824 823 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
825 id ( ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
826 825 eqcomd ( ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸𝑋 ) )
827 826 adantl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐸𝑋 ) )
828 824 827 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
829 828 adantllr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
830 829 3adantl3 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
831 simpr ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
832 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
833 ovex ( 𝑗 + 1 ) ∈ V
834 eleq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
835 834 anbi2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
836 fveq2 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄𝑖 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
837 oveq1 ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑖 + 1 ) = ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) )
838 837 fveq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
839 836 838 breq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ↔ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
840 835 839 imbi12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( ( 𝜑𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
841 833 840 78 vtocl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
842 841 adantr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
843 832 842 eqbrtrd ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
844 814 805 831 843 syl21anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) )
845 813 819 822 830 844 elicod ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
846 836 838 oveq12d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) )
847 846 eleq2d ( 𝑖 = ( 𝑗 + 1 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) )
848 847 rspcev ( ( ( 𝑗 + 1 ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) [,) ( 𝑄 ‘ ( ( 𝑗 + 1 ) + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
849 805 845 848 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
850 simpl2 ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
851 id ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
852 851 3adant1r ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
853 elfzofz ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
854 853 adantl ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
855 806 854 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ )
856 855 rexrd ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
857 856 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
858 857 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
859 810 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
860 859 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
861 820 adantr ( ( 𝜑 ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
862 861 3ad2antl1 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ* )
863 855 3adant3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ )
864 624 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
865 856 3adant3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* )
866 810 3adant3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
867 simp3 ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
868 iocgtlb ( ( ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) )
869 865 866 867 868 syl3anc ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) < ( 𝐸𝑋 ) )
870 863 864 869 ltled ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
871 870 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄𝑗 ) ≤ ( 𝐸𝑋 ) )
872 864 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ )
873 809 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
874 873 3adantl3 ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ )
875 iocleub ( ( ( 𝑄𝑗 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
876 865 866 867 875 syl3anc ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
877 876 adantr ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
878 neqne ( ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ≠ ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
879 878 necomd ( ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸𝑋 ) )
880 879 adantl ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ≠ ( 𝐸𝑋 ) )
881 872 874 877 880 leneltd ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) )
882 858 860 862 871 881 elicod ( ( ( 𝜑𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
883 852 882 sylan ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
884 765 767 oveq12d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
885 884 eleq2d ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
886 885 rspcev ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
887 850 883 886 syl2anc ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∧ ¬ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
888 849 887 pm2.61dan ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
889 888 rexlimdv3a ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑗 ) (,] ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
890 772 889 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
891 simpr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
892 oveq1 ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑘 · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) )
893 892 oveq2d ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) )
894 893 eqeq2d ( 𝑘 = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) → ( ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) )
895 894 rspcev ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵𝑋 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
896 102 110 895 syl2anc ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
897 896 ad2antrr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) )
898 r19.42v ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
899 891 897 898 sylanbrc ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
900 899 ex ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
901 900 reximdv ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
902 890 901 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
903 626 902 jca ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
904 eleq1 ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
905 eqeq1 ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ↔ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) )
906 904 905 anbi12d ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
907 906 2rexbidv ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) )
908 907 anbi2d ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) ) )
909 908 imbi1d ( 𝑦 = ( 𝐸𝑋 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ 𝑦 = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) ) )
910 909 611 vtoclg ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ℝ → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( ( 𝐸𝑋 ) ∈ ( ( 𝑄𝑖 ) [,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ∧ ( 𝐸𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 𝑘 · 𝑇 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ ) )
911 625 903 910 sylc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐸𝑋 ) ≠ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )
912 613 911 pm2.61dane ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) lim 𝑋 ) ≠ ∅ )