poimirlem27

Description: Lemma for poimir showing that the difference between admissible faces in the whole cube and admissible faces on the back face is even. Equation (7) of Kulpa p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
	poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
	poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
	poimirlem28.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝐵 < 𝑛 )
	poimirlem28.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → 𝐵 ≠ ( 𝑛 − 1 ) )
Assertion	poimirlem27	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
2		poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
3		poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
4		poimirlem28.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝐵 < 𝑛 )
5		poimirlem28.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → 𝐵 ≠ ( 𝑛 − 1 ) )
6		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝐾 ) ∈ Fin
7		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin
8		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
9	6 7 8	mp2an	⊢ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
10		fzfi	⊢ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin
11		mapfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin )
12	9 10 11	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin
13	12	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin )
14		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i	⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℤ )
16		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin
17		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
18	16 7 17	mp2an	⊢ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
19		mapfi	⊢ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
20	7 7 19	mp2an	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
21		f1of	⊢ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) )
22	21	ss2abi	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
23		ovex	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ V
24	23 23	mapval	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) = { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
25	22 24	sseqtrri	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) )
26		ssfi	⊢ ( ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin )
27	20 25 26	mp2an	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin
28		xpfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin )
29	18 27 28	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin
30		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin
31		xpfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
32	29 30 31	mp2an	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
33		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin )
34	32 33	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin
35		hashcl	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℕ₀ )
36	35	nn0zd	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℤ )
37	34 36	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℤ )
38		dfrex2	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ↔ ¬ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
39		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
40		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 2
41		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ∥
42		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ♯
43		nfrab1	⊢ Ⅎ 𝑡 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) }
44	42 43	nffv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
45	40 41 44	nfbr	⊢ Ⅎ 𝑡 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
46		neq0	⊢ ( ¬ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ ↔ ∃ 𝑠 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
47		iddvds	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2 )
48	14 47	ax-mp	⊢ 2 ∥ 2
49		vex	⊢ 𝑠 ∈ V
50		hashsng	⊢ ( 𝑠 ∈ V → ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) = 1 )
51	49 50	ax-mp	⊢ ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) = 1
52	51	oveq2i	⊢ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( 1 + 1 )
53		df-2	⊢ 2 = ( 1 + 1 )
54	52 53	eqtr4i	⊢ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = 2
55	48 54	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) )
56		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∈ Fin )
57		diffi	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∈ Fin → ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin )
58	32 56 57	mp2b	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin
59		snfi	⊢ { 𝑠 } ∈ Fin
60		disjdifr	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ∅
61		hashun	⊢ ( ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin ∧ { 𝑠 } ∈ Fin ∧ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ∅ ) → ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
62	58 59 60 61	mp3an	⊢ ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) )
63		difsnid	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
64	63	fveq2d	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
65	62 64	eqtr3id	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
66	65	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
67	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑁 ∈ ℕ )
68		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑢 ) )
69	68	breq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
70	69	ifbid	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) )
71	70	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
72		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) )
73		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) )
74	73	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
75	74	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
76	73	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
77	76	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
78	75 77	uneq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
79	72 78	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
80	79	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
81	71 80	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
82	81	mpteq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
83		breq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ↔ 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
84		id	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤 )
85		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 + 1 ) = ( 𝑤 + 1 ) )
86	83 84 85	ifbieq12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) )
87	86	csbeq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
88		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 1 ... 𝑗 ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
89	88	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
90	89	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) )
91		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
92	91	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) )
93	92	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
94	93	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
95	90 94	uneq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
96	95	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
97	96	cbvcsbv	⊢ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
98	87 97	eqtrdi	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
99	98	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
100	82 99	eqtrdi	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
101	100	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
102	101	cbvrabv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = { 𝑢 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) }
103		elmapi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑥 : ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⟶ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
104	103	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑥 : ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⟶ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
105		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
106		simpl	⊢ ( ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
107	106	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
108	107	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
109		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) )
110	109	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
111	110	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
112		fveq1	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) )
113	112	neeq1d	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
114	113	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
115	111 114	bitrdi	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
116	115	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
117	108 116	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
118		simpr	⊢ ( ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
119	118	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
120	119	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
121	109	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
122	121	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
123	112	neeq1d	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ↔ ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
124	123	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
125	122 124	bitrdi	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
126	125	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
127	120 126	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
128	67 102 104 105 117 127	poimirlem22	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 )
129		eldifsn	⊢ ( 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ↔ ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
130	129	eubii	⊢ ( ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ↔ ∃! 𝑧 ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
131	58	elexi	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ V
132		euhash1	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ V → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 ↔ ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) )
133	131 132	ax-mp	⊢ ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 ↔ ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) )
134		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 ↔ ∃! 𝑧 ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
135	130 133 134	3bitr4ri	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 ↔ ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 )
136	128 135	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 )
137	136	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
138	66 137	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
139	55 138	breqtrrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
140	139	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
141	140	exlimdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ∃ 𝑠 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
142	46 141	syl5bi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ¬ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
143		dvds0	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0 )
144	14 143	ax-mp	⊢ 2 ∥ 0
145		hash0	⊢ ( ♯ ‘ ∅ ) = 0
146	144 145	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( ♯ ‘ ∅ )
147		fveq2	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
148	146 147	breqtrrid	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
149	142 148	pm2.61d2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
150	149	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
151	150	adantld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
152		iba	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
153	152	rabbidv	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
154	153	fveq2d	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
155	154	breq2d	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ↔ 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
156	151 155	mpbidi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
157	156	a1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) ) )
158	39 45 157	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
159	38 158	syl5bir	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ¬ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
160		simpr	⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
161	160	con3i	⊢ ( ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
162	161	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
163		rabeq0	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
164	162 163	sylibr	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ∅ )
165	164	fveq2d	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
166	146 165	breqtrrid	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
167	159 166	pm2.61d2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
168	13 15 37 167	fsumdvds	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
169		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin )
170	32 169	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin
171		simp1	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
172		sneq	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } = { 𝑁 } )
173	172	difeq2d	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) )
174		difun2	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } )
175	1	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀ )
176		nn0uz	⊢ ℕ₀ = ( ℤ_≥ ‘ 0 )
177	175 176	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
178		fzm1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
179	177 178	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
180		elun	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) )
181		velsn	⊢ ( 𝑛 ∈ { 𝑁 } ↔ 𝑛 = 𝑁 )
182	181	orbi2i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
183	180 182	bitri	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
184	179 183	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ) )
185	184	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
186	185	difeq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) )
187	1	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
188		uzid	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑁 ) )
189		uznfz	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑁 ) → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
190	187 188 189	3syl	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
191		disjsn	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
192		disj3	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
193	191 192	bitr3i	⊢ ( ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
194	190 193	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
195	174 186 194	3eqtr4a	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
196	173 195	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
197	196	rexeqdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
198	197	biimprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
199	198	ralimdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
200	199	expimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
201	171 200	sylan2i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
202	201	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
203	202	ss2rabdv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } )
204		hashssdif	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
205	170 203 204	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
206	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
207	3	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
208		xp1st	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
209		xp1st	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
210		elmapi	⊢ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
211	208 209 210	3syl	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
212	211	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
213		xp2nd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } )
214		fvex	⊢ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ V
215		f1oeq1	⊢ ( 𝑓 = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ) )
216	214 215	elab	⊢ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ↔ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
217	213 216	sylib	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
218	208 217	syl	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
219	218	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
220		xp2nd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
221	220	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
222	206 2 207 212 219 221	poimirlem24	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
223	208	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
224		1st2nd2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ )
225	224	csbeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
226	225	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
227	226	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
228	227	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
229	228	anbi1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
230	223 229	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
231	222 230	bitr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
232	103	frnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
233	232	anim2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) )
234		dfss3	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) )
235		vex	⊢ 𝑛 ∈ V
236		eqid	⊢ ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 )
237	236	elrnmpt	⊢ ( 𝑛 ∈ V → ( 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
238	235 237	ax-mp	⊢ ( 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
239	238	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
240	234 239	sylbb	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
241		1eluzge0	⊢ 1 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 )
242		fzss1	⊢ ( 1 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
243		ssralv	⊢ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
244	241 242 243	mp2b	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
245	1	nncnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
246		npcan1	⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
247	245 246	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
248		peano2zm	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
249	187 248	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
250		uzid	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
251		peano2uz	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
252	249 250 251	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
253	247 252	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
254		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
255	253 254	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
256	255	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
257	256	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
258		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
259		ssel2	⊢ ( ( ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 ∈ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
260		elmapi	⊢ ( 𝑝 ∈ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
261	259 260	syl	⊢ ( ( ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
262	258 261	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
263		elfzelz	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℤ )
264	263	zred	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
265	264	ltnrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ¬ 𝑛 < 𝑛 )
266		breq1	⊢ ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑛 < 𝑛 ↔ 𝐵 < 𝑛 ) )
267	266	notbid	⊢ ( 𝑛 = 𝐵 → ( ¬ 𝑛 < 𝑛 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑛 ) )
268	265 267	syl5ibcom	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑛 ) )
269	268	necon2ad	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
270	269	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
271	270	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
272	4 271	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝑛 ≠ 𝐵 )
273	272	3exp2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) ) ) )
274	273	imp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
275	274	necon2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
276	275	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
277	262 276	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
278	277	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
279	257 278	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
280	279	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
281	280	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
282	244 281	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
283	282	biantrurd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
284		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ_≥ ‘ 1 )
285	1 284	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) )
286		fzm1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
287	285 286	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
288		elun	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) )
289	181	orbi2i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
290	288 289	bitri	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
291	287 290	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ) )
292	291	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) = ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
293	292	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
294		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
295	293 294	bitrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) ) )
296		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) )
297	296	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
298	297	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
299	298	ralsng	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
300	1 299	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
301	300	anbi2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
302	295 301	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
303	302	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
304		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
305		1z	⊢ 1 ∈ ℤ
306		fzshftral	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
307	304 305 306	mp3an13	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
308	187 248 307	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
309		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
310	309	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 + 1 ) = 1 )
311	310 247	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝑁 ) )
312	311	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
313	308 312	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
314		ovex	⊢ ( 𝑚 − 1 ) ∈ V
315		eqeq1	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 − 1 ) → ( 𝑛 = 𝐵 ↔ ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ) )
316	315	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 − 1 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ) )
317	314 316	sbcie	⊢ ( [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 )
318	317	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 )
319		oveq1	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 𝑛 − 1 ) )
320	319	eqeq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
321	320	rexbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
322	321	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
323	318 322	bitri	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
324	313 323	bitrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
325	324	biimpa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
326	325	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
327	5	necomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 )
328	327	3exp2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 ) ) ) )
329	328	imp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 ) )
330	329	necon2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
331	330	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
332	262 331	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
333	332	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
334	333	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
335	334	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
336	326 335	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
337	336	biantrud	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
338		r19.26	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
339	337 338	bitr4di	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
340	283 303 339	3bitr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
341	233 240 340	syl2an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
342	341	pm5.32da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ↔ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
343	342	anbi2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
344	343	rexbidva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
345	344	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
346	195	rexeqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
347	346	biimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
348	347	ralimdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
349	173	rexeqdv	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
350	349	ralbidv	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
351	350	imbi1d	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
352	348 351	syl5ibrcom	⊢ ( 𝜑 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
353	352	com23	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
354	353	imp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
355	354	adantrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
356	355	pm4.71rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
357		an12	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
358		3anass	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
359	358	anbi2i	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
360	357 359	bitr4i	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
361	356 360	bitrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
362	361	notbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
363	362	pm5.32da	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
364	363	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
365	231 345 364	3bitr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
366	365	rabbidva	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) } )
367		iunrab	⊢ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) }
368		difrab	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) }
369	366 367 368	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) )
370	369	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
371	32 33	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin )
372		simpl	⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
373	372	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
374	373	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) }
375	374	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } → 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
376		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
377	376	breq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ) )
378	377	ifbid	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) )
379	378	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
380		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) )
381		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) )
382	381	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
383	382	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
384	381	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
385	384	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
386	383 385	uneq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
387	380 386	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
388	387	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
389	379 388	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
390	389	mpteq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
391	390	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
392		eqcom	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
393	391 392	bitrdi	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 ) )
394	393	elrab	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 ) )
395	394	simprbi	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
396	375 395	syl	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
397	396	rgen	⊢ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥
398	397	rgenw	⊢ ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥
399		invdisj	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
400	398 399	mp1i	⊢ ( 𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
401	13 371 400	hashiun	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
402	370 401	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
403		fo1st	⊢ 1^st : V –onto→ V
404		fofun	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → Fun 1^st )
405	403 404	ax-mp	⊢ Fun 1^st
406		ssv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ V
407		fof	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → 1^st : V ⟶ V )
408	403 407	ax-mp	⊢ 1^st : V ⟶ V
409	408	fdmi	⊢ dom 1^st = V
410	406 409	sseqtrri	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st
411		fores	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) )
412	405 410 411	mp2an	⊢ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } )
413		fveqeq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
414		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
415	414	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
416	415	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
417	416	rexbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
418	417	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
419		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) )
420	419	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) )
421	420	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
422		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) )
423	422	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) )
424	423	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
425	418 421 424	3anbi123d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
426	413 425	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
427	426	rexrab	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
428		xp1st	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
429	428	anim1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
430		eleq1	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ↔ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) )
431		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ 𝑥 ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
432	431	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
433	432	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
434	433	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
435	434	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
436	435	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
437		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 1^st ‘ 𝑠 ) )
438	437	fveq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
439	438	eqeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
440		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
441	440	fveq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
442	441	eqeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
443	436 439 442	3anbi123d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
444	430 443	anbi12d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
445	429 444	syl5ibcom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
446	445	adantrl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
447	446	expimpd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
448	447	rexlimiv	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
449		nn0fz0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
450	175 449	sylib	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
451		opelxpi	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
452	450 451	sylan2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝜑 ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
453	452	ancoms	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
454		opelxp2	⊢ ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
455		op2ndg	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 )
456	455	biantrurd	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
457		op1stg	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 )
458		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
459	458	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
460	459	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
461	457 460	syl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
462	461	eqeq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
463	462	rexbidv	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
464	463	ralbidv	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
465	457	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 1^st ‘ 𝑠 ) )
466	465	fveq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
467	466	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
468	457	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
469	468	fveq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
470	469	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
471	464 467 470	3anbi123d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
472	457	biantrud	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
473	456 471 472	3bitr3d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
474	49 454 473	sylancr	⊢ ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
475	474	biimpa	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) )
476		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ) )
477		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) )
478	477	csbeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
479	478	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
480	479	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
481	480	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
482		2fveq3	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) )
483	482	fveq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) )
484	483	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
485		2fveq3	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) )
486	485	fveq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) )
487	486	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
488	481 484 487	3anbi123d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
489	476 488	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
490		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) )
491	489 490	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
492	491	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
493	475 492	syldan	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
494	453 493	sylan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
495	494	expl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ) )
496	448 495	impbid2	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
497	427 496	syl5bb	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
498	497	abbidv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } )
499		dfimafn	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } )
500	405 410 499	mp2an	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 }
501		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁
502		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
503		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑠 ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
504	503	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑠 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
505	502 504	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
506	502 505	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑠 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
507		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0
508		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁
509	506 507 508	nf3an	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 )
510	501 509	nfan	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
511		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) )
512	510 511	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑠 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) }
513		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
514	512 513	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
515		nfv	⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠
516		eqeq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
517	516	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
518	514 515 517	cbvabw	⊢ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
519	500 518	eqtri	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
520		df-rab	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) }
521	498 519 520	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
522		foeq3	⊢ ( ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
523	521 522	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
524	412 523	mpbii	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
525		fof	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
526	524 525	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
527		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
528		fvres	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) )
529	527 528	eqeqan12d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) )
530		simpl	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 )
531	530	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) )
532	531	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 }
533	532	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } )
534	413	elrab	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
535	533 534	sylib	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
536	532	sseli	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } )
537		fveqeq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
538	537	elrab	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
539	536 538	sylib	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
540		eqtr3	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) )
541		xpopth	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑥 = 𝑦 ) )
542	541	biimpd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
543	542	ancomsd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
544	543	expdimp	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
545	540 544	sylan2	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
546	545	an4s	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
547	535 539 546	syl2an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
548	529 547	sylbid	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
549	548	rgen2	⊢ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 )
550	526 549	jctir	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
551		dff13	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
552	550 551	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
553		df-f1o	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
554	552 524 553	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
555		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin )
556	32 555	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin
557	556	elexi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ V
558	557	f1oen	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
559	554 558	syl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
560		rabfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin → { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin )
561	29 560	ax-mp	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin
562		hashen	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin ∧ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
563	556 561 562	mp2an	⊢ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
564	559 563	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
565	564	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )
566	205 402 565	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )
567	168 566	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )

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Theorem poimirlem27

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