poimirlem27

Description: Lemma for poimir showing that the difference between admissible faces in the whole cube and admissible faces on the back face is even. Equation (7) of Kulpa p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
	poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
	poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
	poimirlem28.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝐵 < 𝑛 )
	poimirlem28.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → 𝐵 ≠ ( 𝑛 − 1 ) )
Assertion	poimirlem27	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
2		poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
3		poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
4		poimirlem28.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝐵 < 𝑛 )
5		poimirlem28.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → 𝐵 ≠ ( 𝑛 − 1 ) )
6		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝐾 ) ∈ Fin
7		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin
8		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
9	6 7 8	mp2an	⊢ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
10		fzfi	⊢ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin
11		mapfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin )
12	9 10 11	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin
13	12	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin )
14		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i	⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℤ )
16		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin
17		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
18	16 7 17	mp2an	⊢ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
19		mapfi	⊢ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
20	7 7 19	mp2an	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
21		f1of	⊢ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) )
22	21	ss2abi	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
23		ovex	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ V
24	23 23	mapval	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) = { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
25	22 24	sseqtrri	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) )
26		ssfi	⊢ ( ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin )
27	20 25 26	mp2an	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin
28		xpfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin )
29	18 27 28	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin
30		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin
31		xpfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
32	29 30 31	mp2an	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
33		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin )
34	32 33	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin
35		hashcl	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℕ₀ )
36	35	nn0zd	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℤ )
37	34 36	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℤ )
38		dfrex2	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ↔ ¬ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
39		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
40		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 2
41		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ∥
42		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ♯
43		nfrab1	⊢ Ⅎ 𝑡 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) }
44	42 43	nffv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
45	40 41 44	nfbr	⊢ Ⅎ 𝑡 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
46		neq0	⊢ ( ¬ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ ↔ ∃ 𝑠 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
47		iddvds	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2 )
48	14 47	ax-mp	⊢ 2 ∥ 2
49		vex	⊢ 𝑠 ∈ V
50		hashsng	⊢ ( 𝑠 ∈ V → ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) = 1 )
51	49 50	ax-mp	⊢ ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) = 1
52	51	oveq2i	⊢ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( 1 + 1 )
53		df-2	⊢ 2 = ( 1 + 1 )
54	52 53	eqtr4i	⊢ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = 2
55	48 54	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) )
56		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∈ Fin )
57		diffi	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∈ Fin → ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin )
58	32 56 57	mp2b	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin
59		snfi	⊢ { 𝑠 } ∈ Fin
60		incom	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ( { 𝑠 } ∩ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) )
61		disjdif	⊢ ( { 𝑠 } ∩ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = ∅
62	60 61	eqtri	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ∅
63		hashun	⊢ ( ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin ∧ { 𝑠 } ∈ Fin ∧ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ∅ ) → ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
64	58 59 62 63	mp3an	⊢ ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) )
65		difsnid	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
66	65	fveq2d	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
67	64 66	eqtr3id	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
68	67	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
69	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑁 ∈ ℕ )
70		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑢 ) )
71	70	breq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
72	71	ifbid	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) )
73	72	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
74		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) )
75		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) )
76	75	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
77	76	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
78	75	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
79	78	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
80	77 79	uneq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
81	74 80	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
82	81	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
83	73 82	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
84	83	mpteq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
85		breq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ↔ 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
86		id	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤 )
87		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 + 1 ) = ( 𝑤 + 1 ) )
88	85 86 87	ifbieq12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) )
89	88	csbeq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
90		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 1 ... 𝑗 ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
91	90	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
92	91	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) )
93		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
94	93	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) )
95	94	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
96	95	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
97	92 96	uneq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
98	97	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
99	98	cbvcsbv	⊢ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
100	89 99	eqtrdi	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
101	100	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
102	84 101	eqtrdi	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
103	102	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
104	103	cbvrabv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = { 𝑢 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) }
105		elmapi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑥 : ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⟶ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
106	105	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑥 : ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⟶ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
107		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
108		simpl	⊢ ( ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
109	108	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
110	109	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
111		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) )
112	111	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
113	112	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
114		fveq1	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) )
115	114	neeq1d	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
116	115	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
117	113 116	bitrdi	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
118	117	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
119	110 118	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
120		simpr	⊢ ( ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
121	120	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
122	121	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
123	111	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
124	123	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
125	114	neeq1d	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ↔ ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
126	125	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
127	124 126	bitrdi	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
128	127	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
129	122 128	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
130	69 104 106 107 119 129	poimirlem22	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 )
131		eldifsn	⊢ ( 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ↔ ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
132	131	eubii	⊢ ( ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ↔ ∃! 𝑧 ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
133	58	elexi	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ V
134		euhash1	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ V → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 ↔ ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) )
135	133 134	ax-mp	⊢ ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 ↔ ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) )
136		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 ↔ ∃! 𝑧 ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
137	132 135 136	3bitr4ri	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 ↔ ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 )
138	130 137	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 )
139	138	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
140	68 139	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
141	55 140	breqtrrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
142	141	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
143	142	exlimdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ∃ 𝑠 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
144	46 143	syl5bi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ¬ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
145		dvds0	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0 )
146	14 145	ax-mp	⊢ 2 ∥ 0
147		hash0	⊢ ( ♯ ‘ ∅ ) = 0
148	146 147	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( ♯ ‘ ∅ )
149		fveq2	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
150	148 149	breqtrrid	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
151	144 150	pm2.61d2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
152	151	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
153	152	adantld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
154		iba	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
155	154	rabbidv	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
156	155	fveq2d	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
157	156	breq2d	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ↔ 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
158	153 157	mpbidi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
159	158	a1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) ) )
160	39 45 159	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
161	38 160	syl5bir	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ¬ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
162		simpr	⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
163	162	con3i	⊢ ( ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
164	163	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
165		rabeq0	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
166	164 165	sylibr	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ∅ )
167	166	fveq2d	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
168	148 167	breqtrrid	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
169	161 168	pm2.61d2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
170	13 15 37 169	fsumdvds	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
171		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin )
172	32 171	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin
173		simp1	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
174		sneq	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } = { 𝑁 } )
175	174	difeq2d	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) )
176		difun2	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } )
177	1	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀ )
178		nn0uz	⊢ ℕ₀ = ( ℤ_≥ ‘ 0 )
179	177 178	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
180		fzm1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
181	179 180	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
182		elun	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) )
183		velsn	⊢ ( 𝑛 ∈ { 𝑁 } ↔ 𝑛 = 𝑁 )
184	183	orbi2i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
185	182 184	bitri	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
186	181 185	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ) )
187	186	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
188	187	difeq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) )
189	1	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
190		uzid	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑁 ) )
191		uznfz	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑁 ) → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
192	189 190 191	3syl	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
193		disjsn	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
194		disj3	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
195	193 194	bitr3i	⊢ ( ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
196	192 195	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
197	176 188 196	3eqtr4a	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
198	175 197	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
199	198	rexeqdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
200	199	biimprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
201	200	ralimdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
202	201	expimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
203	173 202	sylan2i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
204	203	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
205	204	ss2rabdv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } )
206		hashssdif	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
207	172 205 206	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
208	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
209	3	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
210		xp1st	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
211		xp1st	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
212		elmapi	⊢ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
213	210 211 212	3syl	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
214	213	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
215		xp2nd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } )
216		fvex	⊢ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ V
217		f1oeq1	⊢ ( 𝑓 = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ) )
218	216 217	elab	⊢ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ↔ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
219	215 218	sylib	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
220	210 219	syl	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
221	220	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
222		xp2nd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
223	222	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
224	208 2 209 214 221 223	poimirlem24	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
225	210	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
226		1st2nd2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ )
227	226	csbeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
228	227	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
229	228	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
230	229	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
231	230	anbi1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
232	225 231	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
233	224 232	bitr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
234	105	frnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
235	234	anim2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) )
236		dfss3	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) )
237		vex	⊢ 𝑛 ∈ V
238		eqid	⊢ ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 )
239	238	elrnmpt	⊢ ( 𝑛 ∈ V → ( 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
240	237 239	ax-mp	⊢ ( 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
241	240	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
242	236 241	sylbb	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
243		1eluzge0	⊢ 1 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 )
244		fzss1	⊢ ( 1 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
245		ssralv	⊢ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
246	243 244 245	mp2b	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
247	1	nncnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
248		npcan1	⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
249	247 248	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
250		peano2zm	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
251	189 250	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
252		uzid	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
253		peano2uz	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
254	251 252 253	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
255	249 254	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
256		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
257	255 256	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
258	257	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
259	258	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
260		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
261		ssel2	⊢ ( ( ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 ∈ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
262		elmapi	⊢ ( 𝑝 ∈ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
263	261 262	syl	⊢ ( ( ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
264	260 263	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
265		elfzelz	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℤ )
266	265	zred	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
267	266	ltnrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ¬ 𝑛 < 𝑛 )
268		breq1	⊢ ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑛 < 𝑛 ↔ 𝐵 < 𝑛 ) )
269	268	notbid	⊢ ( 𝑛 = 𝐵 → ( ¬ 𝑛 < 𝑛 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑛 ) )
270	267 269	syl5ibcom	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑛 ) )
271	270	necon2ad	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
272	271	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
273	272	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
274	4 273	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝑛 ≠ 𝐵 )
275	274	3exp2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) ) ) )
276	275	imp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
277	276	necon2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
278	277	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
279	264 278	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
280	279	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
281	259 280	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
282	281	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
283	282	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
284	246 283	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
285	284	biantrurd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
286		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ_≥ ‘ 1 )
287	1 286	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) )
288		fzm1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
289	287 288	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
290		elun	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) )
291	183	orbi2i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
292	290 291	bitri	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
293	289 292	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ) )
294	293	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) = ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
295	294	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
296		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
297	295 296	bitrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) ) )
298		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) )
299	298	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
300	299	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
301	300	ralsng	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
302	1 301	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
303	302	anbi2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
304	297 303	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
305	304	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
306		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
307		1z	⊢ 1 ∈ ℤ
308		fzshftral	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
309	306 307 308	mp3an13	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
310	189 250 309	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
311		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
312	311	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 + 1 ) = 1 )
313	312 249	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝑁 ) )
314	313	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
315	310 314	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
316		ovex	⊢ ( 𝑚 − 1 ) ∈ V
317		eqeq1	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 − 1 ) → ( 𝑛 = 𝐵 ↔ ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ) )
318	317	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 − 1 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ) )
319	316 318	sbcie	⊢ ( [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 )
320	319	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 )
321		oveq1	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 𝑛 − 1 ) )
322	321	eqeq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
323	322	rexbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
324	323	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
325	320 324	bitri	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
326	315 325	bitrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
327	326	biimpa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
328	327	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
329	5	necomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 )
330	329	3exp2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 ) ) ) )
331	330	imp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 ) )
332	331	necon2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
333	332	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
334	264 333	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
335	334	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
336	335	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
337	336	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
338	328 337	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
339	338	biantrud	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
340		r19.26	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
341	339 340	bitr4di	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
342	285 305 341	3bitr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
343	235 242 342	syl2an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
344	343	pm5.32da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ↔ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
345	344	anbi2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
346	345	rexbidva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
347	346	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
348	197	rexeqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
349	348	biimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
350	349	ralimdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
351	175	rexeqdv	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
352	351	ralbidv	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
353	352	imbi1d	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
354	350 353	syl5ibrcom	⊢ ( 𝜑 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
355	354	com23	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
356	355	imp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
357	356	adantrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
358	357	pm4.71rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
359		an12	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
360		3anass	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
361	360	anbi2i	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
362	359 361	bitr4i	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
363	358 362	bitrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
364	363	notbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
365	364	pm5.32da	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
366	365	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
367	233 347 366	3bitr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
368	367	rabbidva	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) } )
369		iunrab	⊢ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) }
370		difrab	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) }
371	368 369 370	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) )
372	371	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
373	32 33	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin )
374		simpl	⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
375	374	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
376	375	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) }
377	376	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } → 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
378		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
379	378	breq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ) )
380	379	ifbid	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) )
381	380	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
382		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) )
383		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) )
384	383	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
385	384	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
386	383	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
387	386	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
388	385 387	uneq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
389	382 388	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
390	389	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
391	381 390	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
392	391	mpteq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
393	392	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
394		eqcom	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
395	393 394	bitrdi	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 ) )
396	395	elrab	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 ) )
397	396	simprbi	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
398	377 397	syl	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
399	398	rgen	⊢ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥
400	399	rgenw	⊢ ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥
401		invdisj	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
402	400 401	mp1i	⊢ ( 𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
403	13 373 402	hashiun	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
404	372 403	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
405		fo1st	⊢ 1^st : V –onto→ V
406		fofun	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → Fun 1^st )
407	405 406	ax-mp	⊢ Fun 1^st
408		ssv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ V
409		fof	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → 1^st : V ⟶ V )
410	405 409	ax-mp	⊢ 1^st : V ⟶ V
411	410	fdmi	⊢ dom 1^st = V
412	408 411	sseqtrri	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st
413		fores	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) )
414	407 412 413	mp2an	⊢ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } )
415		fveqeq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
416		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
417	416	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
418	417	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
419	418	rexbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
420	419	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
421		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) )
422	421	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) )
423	422	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
424		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) )
425	424	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) )
426	425	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
427	420 423 426	3anbi123d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
428	415 427	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
429	428	rexrab	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
430		xp1st	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
431	430	anim1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
432		eleq1	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ↔ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) )
433		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ 𝑥 ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
434	433	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
435	434	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
436	435	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
437	436	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
438	437	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
439		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 1^st ‘ 𝑠 ) )
440	439	fveq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
441	440	eqeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
442		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
443	442	fveq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
444	443	eqeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
445	438 441 444	3anbi123d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
446	432 445	anbi12d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
447	431 446	syl5ibcom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
448	447	adantrl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
449	448	expimpd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
450	449	rexlimiv	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
451		nn0fz0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
452	177 451	sylib	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
453		opelxpi	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
454	452 453	sylan2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝜑 ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
455	454	ancoms	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
456		opelxp2	⊢ ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
457		op2ndg	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 )
458	457	biantrurd	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
459		op1stg	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 )
460		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
461	460	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
462	461	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
463	459 462	syl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
464	463	eqeq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
465	464	rexbidv	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
466	465	ralbidv	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
467	459	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 1^st ‘ 𝑠 ) )
468	467	fveq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
469	468	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
470	459	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
471	470	fveq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
472	471	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
473	466 469 472	3anbi123d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
474	459	biantrud	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
475	458 473 474	3bitr3d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
476	49 456 475	sylancr	⊢ ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
477	476	biimpa	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) )
478		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ) )
479		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) )
480	479	csbeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
481	480	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
482	481	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
483	482	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
484		2fveq3	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) )
485	484	fveq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) )
486	485	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
487		2fveq3	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) )
488	487	fveq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) )
489	488	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
490	483 486 489	3anbi123d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
491	478 490	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
492		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) )
493	491 492	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
494	493	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
495	477 494	syldan	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
496	455 495	sylan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
497	496	expl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ) )
498	450 497	impbid2	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
499	429 498	syl5bb	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
500	499	abbidv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } )
501		dfimafn	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } )
502	407 412 501	mp2an	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 }
503		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁
504		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
505		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑠 ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
506	505	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑠 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
507	504 506	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
508	504 507	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑠 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
509		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0
510		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁
511	508 509 510	nf3an	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 )
512	503 511	nfan	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
513		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) )
514	512 513	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑠 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) }
515		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
516	514 515	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
517		nfv	⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠
518		eqeq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
519	518	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
520	516 517 519	cbvabw	⊢ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
521	502 520	eqtri	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
522		df-rab	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) }
523	500 521 522	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
524		foeq3	⊢ ( ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
525	523 524	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
526	414 525	mpbii	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
527		fof	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
528	526 527	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
529		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
530		fvres	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) )
531	529 530	eqeqan12d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) )
532		simpl	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 )
533	532	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) )
534	533	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 }
535	534	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } )
536	415	elrab	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
537	535 536	sylib	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
538	534	sseli	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } )
539		fveqeq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
540	539	elrab	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
541	538 540	sylib	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
542		eqtr3	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) )
543		xpopth	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑥 = 𝑦 ) )
544	543	biimpd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
545	544	ancomsd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
546	545	expdimp	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
547	542 546	sylan2	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
548	547	an4s	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
549	537 541 548	syl2an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
550	531 549	sylbid	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
551	550	rgen2	⊢ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 )
552	528 551	jctir	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
553		dff13	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
554	552 553	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
555		df-f1o	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
556	554 526 555	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
557		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin )
558	32 557	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin
559	558	elexi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ V
560	559	f1oen	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
561	556 560	syl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
562		rabfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin → { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin )
563	29 562	ax-mp	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin
564		hashen	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin ∧ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
565	558 563 564	mp2an	⊢ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
566	561 565	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
567	566	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )
568	207 404 567	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )
569	170 568	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )

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Theorem poimirlem27

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