poimirlem27

Description: Lemma for poimir showing that the difference between admissible faces in the whole cube and admissible faces on the back face is even. Equation (7) of Kulpa p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
	poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
	poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
	poimirlem28.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝐵 < 𝑛 )
	poimirlem28.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → 𝐵 ≠ ( 𝑛 − 1 ) )
Assertion	poimirlem27	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
2		poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
3		poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
4		poimirlem28.3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝐵 < 𝑛 )
5		poimirlem28.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → 𝐵 ≠ ( 𝑛 − 1 ) )
6		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝐾 ) ∈ Fin
7		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin
8		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
9	6 7 8	mp2an	⊢ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
10		fzfi	⊢ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin
11		mapfi	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin )
12	9 10 11	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin
13	12	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∈ Fin )
14		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i	⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℤ )
16		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin
17		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
18	16 7 17	mp2an	⊢ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
19		mapfi	⊢ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
20	7 7 19	mp2an	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
21		f1of	⊢ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) )
22	21	ss2abi	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
23		ovex	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ V
24	23 23	mapval	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) = { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
25	22 24	sseqtrri	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) )
26		ssfi	⊢ ( ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin )
27	20 25 26	mp2an	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin
28		xpfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin )
29	18 27 28	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin
30		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin
31		xpfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
32	29 30 31	mp2an	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
33		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin )
34	32 33	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin
35		hashcl	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℕ₀ )
36	35	nn0zd	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℤ )
37	34 36	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ∈ ℤ )
38		dfrex2	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ↔ ¬ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
39		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
40		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 2
41		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ∥
42		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 ♯
43		nfrab1	⊢ Ⅎ 𝑡 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) }
44	42 43	nffv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
45	40 41 44	nfbr	⊢ Ⅎ 𝑡 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
46		neq0	⊢ ( ¬ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ ↔ ∃ 𝑠 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
47		iddvds	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2 )
48	14 47	ax-mp	⊢ 2 ∥ 2
49		vex	⊢ 𝑠 ∈ V
50		hashsng	⊢ ( 𝑠 ∈ V → ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) = 1 )
51	49 50	ax-mp	⊢ ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) = 1
52	51	oveq2i	⊢ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( 1 + 1 )
53		df-2	⊢ 2 = ( 1 + 1 )
54	52 53	eqtr4i	⊢ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = 2
55	48 54	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) )
56		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∈ Fin )
57		diffi	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∈ Fin → ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin )
58	32 56 57	mp2b	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin
59		snfi	⊢ { 𝑠 } ∈ Fin
60		disjdifr	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ∅
61		hashun	⊢ ( ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ Fin ∧ { 𝑠 } ∈ Fin ∧ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∩ { 𝑠 } ) = ∅ ) → ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
62	58 59 60 61	mp3an	⊢ ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) )
63		difsnid	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
64	63	fveq2d	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ♯ ‘ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∪ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
65	62 64	eqtr3id	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
66	65	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
67	1	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑁 ∈ ℕ )
68		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑢 ) )
69	68	breq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
70	69	ifbid	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) )
71	70	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
72		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) )
73		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) )
74	73	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
75	74	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
76	73	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
77	76	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
78	75 77	uneq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
79	72 78	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
80	79	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
81	71 80	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
82	81	mpteq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
83		breq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ↔ 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) ) )
84		id	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤 )
85		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 + 1 ) = ( 𝑤 + 1 ) )
86	83 84 85	ifbieq12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) )
87	86	csbeq1d	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
88		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 1 ... 𝑗 ) = ( 1 ... 𝑖 ) )
89	88	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) )
90	89	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) )
91		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
92	91	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) )
93	92	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
94	93	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
95	90 94	uneq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
96	95	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
97	96	cbvcsbv	⊢ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
98	87 97	eqtrdi	⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
99	98	cbvmptv	⊢ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
100	82 99	eqtrdi	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
101	100	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑢 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
102	101	cbvrabv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = { 𝑢 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑤 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑤 < ( 2^nd ‘ 𝑢 ) , 𝑤 , ( 𝑤 + 1 ) ) / 𝑖 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( 1 ... 𝑖 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑢 ) ) “ ( ( 𝑖 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) }
103		elmapi	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑥 : ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⟶ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
104	103	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑥 : ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⟶ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
105		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
106		simpl	⊢ ( ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
107	106	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
108	107	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
109		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) )
110	109	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
111	110	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
112		fveq1	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) )
113	112	neeq1d	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
114	113	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
115	111 114	bitrdi	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 ) )
116	115	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
117	108 116	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 0 )
118		simpr	⊢ ( ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
119	118	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
120	119	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
121	109	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
122	121	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
123	112	neeq1d	⊢ ( 𝑝 = 𝑞 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ↔ ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
124	123	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
125	122 124	bitrdi	⊢ ( 𝑛 = 𝑚 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ↔ ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 ) )
126	125	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
127	120 126	sylan	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ∧ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ran 𝑥 ( 𝑞 ‘ 𝑚 ) ≠ 𝐾 )
128	67 102 104 105 117 127	poimirlem22	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 )
129		eldifsn	⊢ ( 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ↔ ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
130	129	eubii	⊢ ( ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ↔ ∃! 𝑧 ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
131	58	elexi	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ V
132		euhash1	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ∈ V → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 ↔ ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) )
133	131 132	ax-mp	⊢ ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 ↔ ∃! 𝑧 𝑧 ∈ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) )
134		df-reu	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 ↔ ∃! 𝑧 ( 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∧ 𝑧 ≠ 𝑠 ) )
135	130 133 134	3bitr4ri	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } 𝑧 ≠ 𝑠 ↔ ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 )
136	128 135	sylib	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) = 1 )
137	136	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ∖ { 𝑠 } ) ) + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) = ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
138	66 137	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( 1 + ( ♯ ‘ { 𝑠 } ) ) )
139	55 138	breqtrrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ∧ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
140	139	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
141	140	exlimdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ∃ 𝑠 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
142	46 141	biimtrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ¬ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
143		dvds0	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0 )
144	14 143	ax-mp	⊢ 2 ∥ 0
145		hash0	⊢ ( ♯ ‘ ∅ ) = 0
146	144 145	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( ♯ ‘ ∅ )
147		fveq2	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
148	146 147	breqtrrid	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = ∅ → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
149	142 148	pm2.61d2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) )
150	149	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
151	150	adantld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ) )
152		iba	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
153	152	rabbidv	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
154	153	fveq2d	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
155	154	breq2d	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ) ↔ 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
156	151 155	mpbidi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
157	156	a1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) ) )
158	39 45 157	rexlimd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
159	38 158	biimtrrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ¬ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) ) )
160		simpr	⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
161	160	con3i	⊢ ( ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
162	161	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
163		rabeq0	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
164	162 163	sylibr	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ∅ )
165	164	fveq2d	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
166	146 165	breqtrrid	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ¬ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
167	159 166	pm2.61d2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
168	13 15 37 167	fsumdvds	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
169		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin )
170	32 169	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin
171		simp1	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
172		sneq	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } = { 𝑁 } )
173	172	difeq2d	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) )
174		difun2	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } )
175	1	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀ )
176		nn0uz	⊢ ℕ₀ = ( ℤ_≥ ‘ 0 )
177	175 176	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
178		fzm1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
179	177 178	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
180		elun	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) )
181		velsn	⊢ ( 𝑛 ∈ { 𝑁 } ↔ 𝑛 = 𝑁 )
182	181	orbi2i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
183	180 182	bitri	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
184	179 183	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝑛 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ) )
185	184	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
186	185	difeq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) )
187	1	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
188		uzid	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑁 ) )
189		uznfz	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 𝑁 ) → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
190	187 188 189	3syl	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
191		disjsn	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
192		disj3	⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
193	191 192	bitr3i	⊢ ( ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
194	190 193	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) )
195	174 186 194	3eqtr4a	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
196	173 195	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
197	196	rexeqdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
198	197	biimprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
199	198	ralimdv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
200	199	expimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
201	171 200	sylan2i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
202	201	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
203	202	ss2rabdv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } )
204		hashssdif	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
205	170 203 204	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
206	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
207	3	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
208		xp1st	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
209		xp1st	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
210		elmapi	⊢ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
211	208 209 210	3syl	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
212	211	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
213		xp2nd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } )
214		fvex	⊢ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ V
215		f1oeq1	⊢ ( 𝑓 = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ) )
216	214 215	elab	⊢ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ↔ ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
217	213 216	sylib	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
218	208 217	syl	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
219	218	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
220		xp2nd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
221	220	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
222	206 2 207 212 219 221	poimirlem24	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
223	208	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
224		1st2nd2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ )
225	224	csbeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
226	225	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
227	226	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
228	227	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
229	228	anbi1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
230	223 229	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) , ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ⟩ / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
231	222 230	bitr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
232	103	frnd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
233	232	anim2i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) )
234		dfss3	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) )
235		vex	⊢ 𝑛 ∈ V
236		eqid	⊢ ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 )
237	236	elrnmpt	⊢ ( 𝑛 ∈ V → ( 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
238	235 237	ax-mp	⊢ ( 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
239	238	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑛 ∈ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
240	234 239	sylbb	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
241		1eluzge0	⊢ 1 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 )
242		fzss1	⊢ ( 1 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
243		ssralv	⊢ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
244	241 242 243	mp2b	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 )
245	1	nncnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
246		npcan1	⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
247	245 246	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
248		peano2zm	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
249		uzid	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
250		peano2uz	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
251	187 248 249 250	4syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
252	247 251	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
253		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
254	252 253	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑁 ) )
255	254	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
256	255	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
257		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
258		ssel2	⊢ ( ( ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 ∈ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
259		elmapi	⊢ ( 𝑝 ∈ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
260	258 259	syl	⊢ ( ( ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
261	257 260	sylan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) )
262		elfzelz	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℤ )
263	262	zred	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
264	263	ltnrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ¬ 𝑛 < 𝑛 )
265		breq1	⊢ ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑛 < 𝑛 ↔ 𝐵 < 𝑛 ) )
266	265	notbid	⊢ ( 𝑛 = 𝐵 → ( ¬ 𝑛 < 𝑛 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑛 ) )
267	264 266	syl5ibcom	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑛 ) )
268	267	necon2ad	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
269	268	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
270	269	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → ( 𝐵 < 𝑛 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
271	4 270	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 ) ) → 𝑛 ≠ 𝐵 )
272	271	3exp2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) ) ) )
273	272	imp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 0 → 𝑛 ≠ 𝐵 ) )
274	273	necon2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
275	274	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
276	261 275	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → ( 𝑛 = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
277	276	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
278	256 277	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
279	278	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
280	279	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
281	244 280	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 )
282	281	biantrurd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
283		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ_≥ ‘ 1 )
284	1 283	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) )
285		fzm1	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 1 ) → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
286	284 285	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) ) )
287		elun	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) )
288	181	orbi2i	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
289	287 288	bitri	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ↔ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∨ 𝑛 = 𝑁 ) )
290	286 289	bitr4di	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ) )
291	290	eqrdv	⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) = ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
292	291	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
293		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) )
294	292 293	bitrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) ) )
295		fveq2	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) )
296	295	neeq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
297	296	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
298	297	ralsng	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
299	1 298	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) )
300	299	anbi2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
301	294 300	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
302	301	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) )
303		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
304		1z	⊢ 1 ∈ ℤ
305		fzshftral	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
306	303 304 305	mp3an13	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
307	187 248 306	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
308		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
309	308	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 + 1 ) = 1 )
310	309 247	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... 𝑁 ) )
311	310	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑚 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
312	307 311	bitrd	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) )
313		ovex	⊢ ( 𝑚 − 1 ) ∈ V
314		eqeq1	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 − 1 ) → ( 𝑛 = 𝐵 ↔ ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ) )
315	314	rexbidv	⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 − 1 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ) )
316	313 315	sbcie	⊢ ( [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 )
317	316	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 )
318		oveq1	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑚 − 1 ) = ( 𝑛 − 1 ) )
319	318	eqeq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
320	319	rexbidv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
321	320	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑚 − 1 ) = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
322	317 321	bitri	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) [ ( 𝑚 − 1 ) / 𝑛 ] ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
323	312 322	bitrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) )
324	323	biimpa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
325	324	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 )
326	5	necomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 ) ) → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 )
327	326	3exp2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 ) ) ) )
328	327	imp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = 𝐾 → ( 𝑛 − 1 ) ≠ 𝐵 ) )
329	328	necon2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
330	329	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
331	261 330	syldan	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ) → ( ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
332	331	reximdva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
333	332	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
334	333	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑛 − 1 ) = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
335	325 334	syldan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 )
336	335	biantrud	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
337		r19.26	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ↔ ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) )
338	336 337	bitr4di	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
339	282 302 338	3bitr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ran 𝑥 ⊆ ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 𝑛 = 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
340	233 240 339	syl2an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) )
341	340	pm5.32da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ↔ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) )
342	341	anbi2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
343	342	rexbidva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
344	343	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ) )
345	195	rexeqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
346	345	biimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
347	346	ralimdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
348	173	rexeqdv	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
349	348	ralbidv	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
350	349	imbi1d	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
351	347 350	syl5ibrcom	⊢ ( 𝜑 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
352	351	com23	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
353	352	imp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
354	353	adantrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
355	354	pm4.71rd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
356		an12	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
357		3anass	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
358	357	anbi2i	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
359	356 358	bitr4i	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
360	355 359	bitrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
361	360	notbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
362	361	pm5.32da	⊢ ( 𝜑 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
363	362	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
364	231 344 363	3bitr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) ) )
365	364	rabbidva	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) } )
366		iunrab	⊢ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) }
367		difrab	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) }
368	365 366 367	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } = ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) )
369	368	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) )
370	32 33	mp1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ∈ Fin )
371		simpl	⊢ ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
372	371	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) → 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
373	372	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) }
374	373	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } → 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } )
375		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
376	375	breq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ↔ 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ) )
377	376	ifbid	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) = if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) )
378	377	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
379		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) )
380		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) )
381	380	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
382	381	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
383	380	imaeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
384	383	xpeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
385	382 384	uneq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
386	379 385	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
387	386	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
388	378 387	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
389	388	mpteq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
390	389	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ) )
391		eqcom	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
392	390 391	bitrdi	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 ) )
393	392	elrab	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 ) )
394	393	simprbi	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
395	374 394	syl	⊢ ( 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 )
396	395	rgen	⊢ ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥
397	396	rgenw	⊢ ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥
398		invdisj	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∀ 𝑠 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑠 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑠 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) = 𝑥 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
399	397 398	mp1i	⊢ ( 𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } )
400	13 370 399	hashiun	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
401	369 400	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) )
402		fo1st	⊢ 1^st : V –onto→ V
403		fofun	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → Fun 1^st )
404	402 403	ax-mp	⊢ Fun 1^st
405		ssv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ V
406		fof	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → 1^st : V ⟶ V )
407	402 406	ax-mp	⊢ 1^st : V ⟶ V
408	407	fdmi	⊢ dom 1^st = V
409	405 408	sseqtrri	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st
410		fores	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) )
411	404 409 410	mp2an	⊢ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } )
412		fveqeq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
413		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
414	413	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
415	414	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
416	415	rexbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
417	416	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
418		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) )
419	418	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) )
420	419	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
421		2fveq3	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) )
422	421	fveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) )
423	422	eqeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
424	417 420 423	3anbi123d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
425	412 424	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
426	425	rexrab	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
427		xp1st	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
428	427	anim1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
429		eleq1	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ↔ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) )
430		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ 𝑥 ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
431	430	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
432	431	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
433	432	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
434	433	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
435	434	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
436		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 1^st ‘ 𝑠 ) )
437	436	fveq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
438	437	eqeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
439		fveq2	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
440	439	fveq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
441	440	eqeq1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
442	435 438 441	3anbi123d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
443	429 442	anbi12d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
444	428 443	syl5ibcom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
445	444	adantrl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
446	445	expimpd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
447	446	rexlimiv	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
448		nn0fz0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
449	175 448	sylib	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
450		opelxpi	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
451	449 450	sylan2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝜑 ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
452	451	ancoms	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
453		opelxp2	⊢ ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
454		op2ndg	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 )
455	454	biantrurd	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
456		op1stg	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 )
457		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
458	457	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
459	458	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
460	456 459	syl	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
461	460	eqeq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
462	461	rexbidv	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
463	462	ralbidv	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ) )
464	456	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 1^st ‘ 𝑠 ) )
465	464	fveq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
466	465	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
467	456	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) = ( 2^nd ‘ 𝑠 ) )
468	467	fveq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) )
469	468	eqeq1d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
470	463 466 469	3anbi123d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
471	456	biantrud	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
472	455 470 471	3bitr3d	⊢ ( ( 𝑠 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
473	49 453 472	sylancr	⊢ ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
474	473	biimpa	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) )
475		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ) )
476		fveq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) )
477	476	csbeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
478	477	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
479	478	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
480	479	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
481		2fveq3	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) )
482	481	fveq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) )
483	482	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ) )
484		2fveq3	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) = ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) )
485	484	fveq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) )
486	485	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ↔ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
487	480 483 486	3anbi123d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) )
488	475 487	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ↔ ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
489		fveqeq2	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) )
490	488 489	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) )
491	490	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( 2^nd ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ) = 𝑠 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
492	474 491	syldan	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , 𝑁 ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
493	452 492	sylan	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
494	493	expl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ) )
495	447 494	impbid2	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
496	426 495	bitrid	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) ) )
497	496	abbidv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } )
498		dfimafn	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } )
499	404 409 498	mp2an	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 }
500		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁
501		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
502		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑠 ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
503	502	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑠 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
504	501 503	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
505	501 504	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑠 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
506		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0
507		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁
508	505 506 507	nf3an	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 )
509	500 508	nfan	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) )
510		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) )
511	509 510	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑠 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) }
512		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
513	511 512	nfrexw	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
514		nfv	⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠
515		eqeq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
516	515	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
517	513 514 516	cbvabw	⊢ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
518	499 517	eqtri	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
519		df-rab	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) }
520	497 518 519	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
521		foeq3	⊢ ( ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
522	520 521	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
523	411 522	mpbii	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
524		fof	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
525	523 524	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
526		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
527		fvres	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) )
528	526 527	eqeqan12d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) )
529		simpl	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 )
530	529	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ) )
531	530	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 }
532	531	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } )
533	412	elrab	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
534	532 533	sylib	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) )
535	531	sseli	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } )
536		fveqeq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
537	536	elrab	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
538	535 537	sylib	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } → ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) )
539		eqtr3	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) )
540		xpopth	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑥 = 𝑦 ) )
541	540	biimpd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
542	541	ancomsd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
543	542	expdimp	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
544	539 543	sylan2	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
545	544	an4s	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑁 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
546	534 538 545	syl2an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
547	528 546	sylbid	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
548	547	rgen2	⊢ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 )
549	525 548	jctir	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
550		dff13	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
551	549 550	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
552		df-f1o	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∧ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
553	551 523 552	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
554		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin )
555	32 554	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin
556	555	elexi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ V
557	556	f1oen	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
558	553 557	syl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
559		rabfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin → { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin )
560	29 559	ax-mp	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin
561		hashen	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ∈ Fin ∧ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
562	555 560 561	mp2an	⊢ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } )
563	558 562	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) )
564	563	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑁 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )
565	205 401 564	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ... 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ↑_m ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑥 = ( 𝑦 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↦ ⦋ if ( 𝑦 < ( 2^nd ‘ 𝑡 ) , 𝑦 , ( 𝑦 + 1 ) ) / 𝑗 ⦌ ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑡 ) ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) ∧ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ran ( 𝑝 ∈ ran 𝑥 ↦ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑛 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 0 ∧ ∃ 𝑝 ∈ ran 𝑥 ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ≠ 𝐾 ) ) ) } ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )
566	168 565	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝑖 = 𝐶 ∧ ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 0 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) ‘ 𝑁 ) = 𝑁 ) } ) ) )

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Theorem poimirlem27

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