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Theorem fourierdlem41

Description: Lemma used to prove that every real is a limit point for the domain of the derivative of the periodic function to be approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem41.a φ A
fourierdlem41.b φ B
fourierdlem41.altb φ A < B
fourierdlem41.t T = B A
fourierdlem41.dper φ x D k x + k T D
fourierdlem41.x φ X
fourierdlem41.z Z = x B x T T
fourierdlem41.e E = x x + Z x
fourierdlem41.p P = m p 0 m | p 0 = A p m = B i 0 ..^ m p i < p i + 1
fourierdlem41.m φ M
fourierdlem41.q φ Q P M
fourierdlem41.qssd φ i 0 ..^ M Q i Q i + 1 D
Assertion fourierdlem41 φ y y < X y X D y X < y X y D

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem41.a φ A
2 fourierdlem41.b φ B
3 fourierdlem41.altb φ A < B
4 fourierdlem41.t T = B A
5 fourierdlem41.dper φ x D k x + k T D
6 fourierdlem41.x φ X
7 fourierdlem41.z Z = x B x T T
8 fourierdlem41.e E = x x + Z x
9 fourierdlem41.p P = m p 0 m | p 0 = A p m = B i 0 ..^ m p i < p i + 1
10 fourierdlem41.m φ M
11 fourierdlem41.q φ Q P M
12 fourierdlem41.qssd φ i 0 ..^ M Q i Q i + 1 D
13 simpr φ E X ran Q E X ran Q
14 9 fourierdlem2 M Q P M Q 0 M Q 0 = A Q M = B i 0 ..^ M Q i < Q i + 1
15 10 14 syl φ Q P M Q 0 M Q 0 = A Q M = B i 0 ..^ M Q i < Q i + 1
16 11 15 mpbid φ Q 0 M Q 0 = A Q M = B i 0 ..^ M Q i < Q i + 1
17 16 simpld φ Q 0 M
18 elmapi Q 0 M Q : 0 M
19 ffn Q : 0 M Q Fn 0 M
20 17 18 19 3syl φ Q Fn 0 M
21 20 adantr φ E X ran Q Q Fn 0 M
22 fvelrnb Q Fn 0 M E X ran Q j 0 M Q j = E X
23 21 22 syl φ E X ran Q E X ran Q j 0 M Q j = E X
24 13 23 mpbid φ E X ran Q j 0 M Q j = E X
25 0zd φ j 0 M Q j = E X 0
26 elfzelz j 0 M j
27 26 3ad2ant2 φ j 0 M Q j = E X j
28 1zzd φ j 0 M Q j = E X 1
29 27 28 zsubcld φ j 0 M Q j = E X j 1
30 simpll φ j 0 M ¬ 0 < j φ
31 elfzle1 j 0 M 0 j
32 31 anim1i j 0 M ¬ 0 < j 0 j ¬ 0 < j
33 0red j 0 M ¬ 0 < j 0
34 26 zred j 0 M j
35 34 adantr j 0 M ¬ 0 < j j
36 33 35 eqleltd j 0 M ¬ 0 < j 0 = j 0 j ¬ 0 < j
37 32 36 mpbird j 0 M ¬ 0 < j 0 = j
38 37 eqcomd j 0 M ¬ 0 < j j = 0
39 38 adantll φ j 0 M ¬ 0 < j j = 0
40 fveq2 j = 0 Q j = Q 0
41 16 simprld φ Q 0 = A Q M = B
42 41 simpld φ Q 0 = A
43 40 42 sylan9eqr φ j = 0 Q j = A
44 30 39 43 syl2anc φ j 0 M ¬ 0 < j Q j = A
45 44 3adantl3 φ j 0 M Q j = E X ¬ 0 < j Q j = A
46 simpr φ Q j = E X Q j = E X
47 1 rexrd φ A *
48 2 rexrd φ B *
49 eqid x x + B x T T = x x + B x T T
50 1 2 3 4 49 fourierdlem4 φ x x + B x T T : A B
51 8 a1i φ E = x x + Z x
52 simpr φ x x
53 2 adantr φ x B
54 53 52 resubcld φ x B x
55 2 1 resubcld φ B A
56 4 55 eqeltrid φ T
57 56 adantr φ x T
58 0red φ 0
59 1 2 posdifd φ A < B 0 < B A
60 3 59 mpbid φ 0 < B A
61 4 eqcomi B A = T
62 61 a1i φ B A = T
63 60 62 breqtrd φ 0 < T
64 58 63 gtned φ T 0
65 64 adantr φ x T 0
66 54 57 65 redivcld φ x B x T
67 66 flcld φ x B x T
68 67 zred φ x B x T
69 68 57 remulcld φ x B x T T
70 7 fvmpt2 x B x T T Z x = B x T T
71 52 69 70 syl2anc φ x Z x = B x T T
72 71 oveq2d φ x x + Z x = x + B x T T
73 72 mpteq2dva φ x x + Z x = x x + B x T T
74 51 73 eqtrd φ E = x x + B x T T
75 74 feq1d φ E : A B x x + B x T T : A B
76 50 75 mpbird φ E : A B
77 76 6 ffvelrnd φ E X A B
78 iocgtlb A * B * E X A B A < E X
79 47 48 77 78 syl3anc φ A < E X
80 1 79 gtned φ E X A
81 80 adantr φ Q j = E X E X A
82 46 81 eqnetrd φ Q j = E X Q j A
83 82 adantr φ Q j = E X ¬ 0 < j Q j A
84 83 3adantl2 φ j 0 M Q j = E X ¬ 0 < j Q j A
85 84 neneqd φ j 0 M Q j = E X ¬ 0 < j ¬ Q j = A
86 45 85 condan φ j 0 M Q j = E X 0 < j
87 zltlem1 0 j 0 < j 0 j 1
88 25 27 87 syl2anc φ j 0 M Q j = E X 0 < j 0 j 1
89 86 88 mpbid φ j 0 M Q j = E X 0 j 1
90 eluz2 j 1 0 0 j 1 0 j 1
91 25 29 89 90 syl3anbrc φ j 0 M Q j = E X j 1 0
92 elfzel2 j 0 M M
93 92 3ad2ant2 φ j 0 M Q j = E X M
94 1red j 0 M 1
95 34 94 resubcld j 0 M j 1
96 92 zred j 0 M M
97 34 ltm1d j 0 M j 1 < j
98 elfzle2 j 0 M j M
99 95 34 96 97 98 ltletrd j 0 M j 1 < M
100 99 3ad2ant2 φ j 0 M Q j = E X j 1 < M
101 elfzo2 j 1 0 ..^ M j 1 0 M j 1 < M
102 91 93 100 101 syl3anbrc φ j 0 M Q j = E X j 1 0 ..^ M
103 17 18 syl φ Q : 0 M
104 103 3ad2ant1 φ j 0 M Q j = E X Q : 0 M
105 95 96 99 ltled j 0 M j 1 M
106 105 3ad2ant2 φ j 0 M Q j = E X j 1 M
107 25 93 29 89 106 elfzd φ j 0 M Q j = E X j 1 0 M
108 104 107 ffvelrnd φ j 0 M Q j = E X Q j 1
109 108 rexrd φ j 0 M Q j = E X Q j 1 *
110 34 recnd j 0 M j
111 1cnd j 0 M 1
112 110 111 npcand j 0 M j - 1 + 1 = j
113 112 fveq2d j 0 M Q j - 1 + 1 = Q j
114 113 adantl φ j 0 M Q j - 1 + 1 = Q j
115 103 ffvelrnda φ j 0 M Q j
116 115 rexrd φ j 0 M Q j *
117 114 116 eqeltrd φ j 0 M Q j - 1 + 1 *
118 117 3adant3 φ j 0 M Q j = E X Q j - 1 + 1 *
119 id x = X x = X
120 fveq2 x = X Z x = Z X
121 119 120 oveq12d x = X x + Z x = X + Z X
122 121 adantl φ x = X x + Z x = X + Z X
123 7 a1i φ Z = x B x T T
124 oveq2 x = X B x = B X
125 124 oveq1d x = X B x T = B X T
126 125 fveq2d x = X B x T = B X T
127 126 oveq1d x = X B x T T = B X T T
128 127 adantl φ x = X B x T T = B X T T
129 2 6 resubcld φ B X
130 129 56 64 redivcld φ B X T
131 130 flcld φ B X T
132 131 zred φ B X T
133 132 56 remulcld φ B X T T
134 123 128 6 133 fvmptd φ Z X = B X T T
135 134 133 eqeltrd φ Z X
136 6 135 readdcld φ X + Z X
137 51 122 6 136 fvmptd φ E X = X + Z X
138 137 136 eqeltrd φ E X
139 138 rexrd φ E X *
140 139 3ad2ant1 φ j 0 M Q j = E X E X *
141 simp1 φ j 0 M Q j = E X φ
142 ovex j 1 V
143 eleq1 i = j 1 i 0 ..^ M j 1 0 ..^ M
144 143 anbi2d i = j 1 φ i 0 ..^ M φ j 1 0 ..^ M
145 fveq2 i = j 1 Q i = Q j 1
146 oveq1 i = j 1 i + 1 = j - 1 + 1
147 146 fveq2d i = j 1 Q i + 1 = Q j - 1 + 1
148 145 147 breq12d i = j 1 Q i < Q i + 1 Q j 1 < Q j - 1 + 1
149 144 148 imbi12d i = j 1 φ i 0 ..^ M Q i < Q i + 1 φ j 1 0 ..^ M Q j 1 < Q j - 1 + 1
150 16 simprrd φ i 0 ..^ M Q i < Q i + 1
151 150 r19.21bi φ i 0 ..^ M Q i < Q i + 1
152 142 149 151 vtocl φ j 1 0 ..^ M Q j 1 < Q j - 1 + 1
153 141 102 152 syl2anc φ j 0 M Q j = E X Q j 1 < Q j - 1 + 1
154 113 3ad2ant2 φ j 0 M Q j = E X Q j - 1 + 1 = Q j
155 153 154 breqtrd φ j 0 M Q j = E X Q j 1 < Q j
156 simp3 φ j 0 M Q j = E X Q j = E X
157 155 156 breqtrd φ j 0 M Q j = E X Q j 1 < E X
158 138 leidd φ E X E X
159 158 adantr φ Q j = E X E X E X
160 46 eqcomd φ Q j = E X E X = Q j
161 159 160 breqtrd φ Q j = E X E X Q j
162 161 3adant2 φ j 0 M Q j = E X E X Q j
163 112 eqcomd j 0 M j = j - 1 + 1
164 163 fveq2d j 0 M Q j = Q j - 1 + 1
165 164 3ad2ant2 φ j 0 M Q j = E X Q j = Q j - 1 + 1
166 162 165 breqtrd φ j 0 M Q j = E X E X Q j - 1 + 1
167 109 118 140 157 166 eliocd φ j 0 M Q j = E X E X Q j 1 Q j - 1 + 1
168 145 147 oveq12d i = j 1 Q i Q i + 1 = Q j 1 Q j - 1 + 1
169 168 eleq2d i = j 1 E X Q i Q i + 1 E X Q j 1 Q j - 1 + 1
170 169 rspcev j 1 0 ..^ M E X Q j 1 Q j - 1 + 1 i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
171 102 167 170 syl2anc φ j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
172 171 3exp φ j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
173 172 adantr φ E X ran Q j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
174 173 rexlimdv φ E X ran Q j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
175 24 174 mpd φ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
176 10 adantr φ ¬ E X ran Q M
177 103 adantr φ ¬ E X ran Q Q : 0 M
178 iocssicc Q 0 Q M Q 0 Q M
179 41 simprd φ Q M = B
180 42 179 oveq12d φ Q 0 Q M = A B
181 77 180 eleqtrrd φ E X Q 0 Q M
182 178 181 sseldi φ E X Q 0 Q M
183 182 adantr φ ¬ E X ran Q E X Q 0 Q M
184 simpr φ ¬ E X ran Q ¬ E X ran Q
185 fveq2 k = j Q k = Q j
186 185 breq1d k = j Q k < E X Q j < E X
187 186 cbvrabv k 0 ..^ M | Q k < E X = j 0 ..^ M | Q j < E X
188 187 supeq1i sup k 0 ..^ M | Q k < E X < = sup j 0 ..^ M | Q j < E X <
189 176 177 183 184 188 fourierdlem25 φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
190 ioossioc Q i Q i + 1 Q i Q i + 1
191 190 a1i φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M Q i Q i + 1 Q i Q i + 1
192 191 sseld φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
193 192 reximdva φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
194 189 193 mpd φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
195 175 194 pm2.61dan φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
196 103 adantr φ i 0 ..^ M Q : 0 M
197 elfzofz i 0 ..^ M i 0 M
198 197 adantl φ i 0 ..^ M i 0 M
199 196 198 ffvelrnd φ i 0 ..^ M Q i
200 199 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i
201 135 3ad2ant1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Z X
202 200 201 resubcld φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i Z X
203 138 3ad2ant1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X
204 200 rexrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i *
205 fzofzp1 i 0 ..^ M i + 1 0 M
206 205 adantl φ i 0 ..^ M i + 1 0 M
207 196 206 ffvelrnd φ i 0 ..^ M Q i + 1
208 207 rexrd φ i 0 ..^ M Q i + 1 *
209 208 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i + 1 *
210 simp3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
211 iocgtlb Q i * Q i + 1 * E X Q i Q i + 1 Q i < E X
212 204 209 210 211 syl3anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i < E X
213 200 203 201 212 ltsub1dd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i Z X < E X Z X
214 137 oveq1d φ E X Z X = X + Z X - Z X
215 6 recnd φ X
216 135 recnd φ Z X
217 215 216 pncand φ X + Z X - Z X = X
218 214 217 eqtrd φ E X Z X = X
219 218 3ad2ant1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Z X = X
220 213 219 breqtrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i Z X < X
221 elioore y Q i Z X X y
222 134 oveq2d φ y + Z X = y + B X T T
223 132 recnd φ B X T
224 56 recnd φ T
225 223 224 mulneg1d φ B X T T = B X T T
226 222 225 oveq12d φ y + Z X + B X T T = y + B X T T + B X T T
227 226 adantr φ y y + Z X + B X T T = y + B X T T + B X T T
228 simpr φ y y
229 133 adantr φ y B X T T
230 228 229 readdcld φ y y + B X T T
231 230 recnd φ y y + B X T T
232 229 recnd φ y B X T T
233 231 232 negsubd φ y y + B X T T + B X T T = y + B X T T - B X T T
234 228 recnd φ y y
235 234 232 pncand φ y y + B X T T - B X T T = y
236 227 233 235 3eqtrrd φ y y = y + Z X + B X T T
237 221 236 sylan2 φ y Q i Z X X y = y + Z X + B X T T
238 237 3ad2antl1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y = y + Z X + B X T T
239 simpl1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X φ
240 12 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i Q i + 1 D
241 240 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X Q i Q i + 1 D
242 204 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X Q i *
243 209 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X Q i + 1 *
244 221 adantl φ y Q i Z X X y
245 135 adantr φ y Q i Z X X Z X
246 244 245 readdcld φ y Q i Z X X y + Z X
247 246 3ad2antl1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y + Z X
248 135 adantr φ i 0 ..^ M Z X
249 199 248 resubcld φ i 0 ..^ M Q i Z X
250 249 rexrd φ i 0 ..^ M Q i Z X *
251 250 adantr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Q i Z X *
252 6 rexrd φ X *
253 252 ad2antrr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X X *
254 simpr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X y Q i Z X X
255 ioogtlb Q i Z X * X * y Q i Z X X Q i Z X < y
256 251 253 254 255 syl3anc φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Q i Z X < y
257 199 adantr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Q i
258 135 ad2antrr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Z X
259 221 adantl φ i 0 ..^ M y Q i Z X X y
260 257 258 259 ltsubaddd φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Q i Z X < y Q i < y + Z X
261 256 260 mpbid φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Q i < y + Z X
262 261 3adantl3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X Q i < y + Z X
263 239 138 syl φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X E X
264 207 adantr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X Q i + 1
265 264 3adantl3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X Q i + 1
266 6 ad2antrr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X X
267 iooltub Q i Z X * X * y Q i Z X X y < X
268 251 253 254 267 syl3anc φ i 0 ..^ M y Q i Z X X y < X
269 259 266 258 268 ltadd1dd φ i 0 ..^ M y Q i Z X X y + Z X < X + Z X
270 137 eqcomd φ X + Z X = E X
271 270 ad2antrr φ i 0 ..^ M y Q i Z X X X + Z X = E X
272 269 271 breqtrd φ i 0 ..^ M y Q i Z X X y + Z X < E X
273 272 3adantl3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y + Z X < E X
274 iocleub Q i * Q i + 1 * E X Q i Q i + 1 E X Q i + 1
275 204 209 210 274 syl3anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i + 1
276 275 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X E X Q i + 1
277 247 263 265 273 276 ltletrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y + Z X < Q i + 1
278 242 243 247 262 277 eliood φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y + Z X Q i Q i + 1
279 241 278 sseldd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y + Z X D
280 239 130 syl φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X B X T
281 280 flcld φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X B X T
282 281 znegcld φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X B X T
283 negex B X T V
284 eleq1 k = B X T k B X T
285 284 3anbi3d k = B X T φ y + Z X D k φ y + Z X D B X T
286 oveq1 k = B X T k T = B X T T
287 286 oveq2d k = B X T y + Z X + k T = y + Z X + B X T T
288 287 eleq1d k = B X T y + Z X + k T D y + Z X + B X T T D
289 285 288 imbi12d k = B X T φ y + Z X D k y + Z X + k T D φ y + Z X D B X T y + Z X + B X T T D
290 ovex y + Z X V
291 eleq1 x = y + Z X x D y + Z X D
292 291 3anbi2d x = y + Z X φ x D k φ y + Z X D k
293 oveq1 x = y + Z X x + k T = y + Z X + k T
294 293 eleq1d x = y + Z X x + k T D y + Z X + k T D
295 292 294 imbi12d x = y + Z X φ x D k x + k T D φ y + Z X D k y + Z X + k T D
296 290 295 5 vtocl φ y + Z X D k y + Z X + k T D
297 283 289 296 vtocl φ y + Z X D B X T y + Z X + B X T T D
298 239 279 282 297 syl3anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y + Z X + B X T T D
299 238 298 eqeltrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y D
300 299 ralrimiva φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y Q i Z X X y D
301 dfss3 Q i Z X X D y Q i Z X X y D
302 300 301 sylibr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i Z X X D
303 breq1 y = Q i Z X y < X Q i Z X < X
304 oveq1 y = Q i Z X y X = Q i Z X X
305 304 sseq1d y = Q i Z X y X D Q i Z X X D
306 303 305 anbi12d y = Q i Z X y < X y X D Q i Z X < X Q i Z X X D
307 306 rspcev Q i Z X Q i Z X < X Q i Z X X D y y < X y X D
308 202 220 302 307 syl12anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y y < X y X D
309 308 3exp φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y y < X y X D
310 309 rexlimdv φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y y < X y X D
311 195 310 mpd φ y y < X y X D
312 0zd φ 0
313 10 nnzd φ M
314 1zzd φ 1
315 0le1 0 1
316 315 a1i φ 0 1
317 10 nnge1d φ 1 M
318 312 313 314 316 317 elfzd φ 1 0 M
319 103 318 ffvelrnd φ Q 1
320 135 56 resubcld φ Z X T
321 319 320 resubcld φ Q 1 Z X T
322 321 adantr φ E X = B Q 1 Z X T
323 1 recnd φ A
324 323 224 pncand φ A + T - T = A
325 324 adantr φ E X = B A + T - T = A
326 4 oveq2i A + T = A + B - A
327 326 a1i φ E X = B A + T = A + B - A
328 2 recnd φ B
329 323 328 pncan3d φ A + B - A = B
330 329 adantr φ E X = B A + B - A = B
331 id E X = B E X = B
332 331 eqcomd E X = B B = E X
333 332 adantl φ E X = B B = E X
334 327 330 333 3eqtrrd φ E X = B E X = A + T
335 334 oveq1d φ E X = B E X T = A + T - T
336 42 adantr φ E X = B Q 0 = A
337 325 335 336 3eqtr4rd φ E X = B Q 0 = E X T
338 337 oveq1d φ E X = B Q 0 Z X T = E X - T - Z X T
339 138 recnd φ E X
340 339 216 224 nnncan2d φ E X - T - Z X T = E X Z X
341 340 adantr φ E X = B E X - T - Z X T = E X Z X
342 218 adantr φ E X = B E X Z X = X
343 338 341 342 3eqtrrd φ E X = B X = Q 0 Z X T
344 42 1 eqeltrd φ Q 0
345 10 nngt0d φ 0 < M
346 fzolb 0 0 ..^ M 0 M 0 < M
347 312 313 345 346 syl3anbrc φ 0 0 ..^ M
348 0re 0
349 eleq1 i = 0 i 0 ..^ M 0 0 ..^ M
350 349 anbi2d i = 0 φ i 0 ..^ M φ 0 0 ..^ M
351 fveq2 i = 0 Q i = Q 0
352 oveq1 i = 0 i + 1 = 0 + 1
353 352 fveq2d i = 0 Q i + 1 = Q 0 + 1
354 351 353 breq12d i = 0 Q i < Q i + 1 Q 0 < Q 0 + 1
355 350 354 imbi12d i = 0 φ i 0 ..^ M Q i < Q i + 1 φ 0 0 ..^ M Q 0 < Q 0 + 1
356 355 151 vtoclg 0 φ 0 0 ..^ M Q 0 < Q 0 + 1
357 348 356 ax-mp φ 0 0 ..^ M Q 0 < Q 0 + 1
358 347 357 mpdan φ Q 0 < Q 0 + 1
359 0p1e1 0 + 1 = 1
360 359 fveq2i Q 0 + 1 = Q 1
361 360 a1i φ Q 0 + 1 = Q 1
362 358 361 breqtrd φ Q 0 < Q 1
363 344 319 320 362 ltsub1dd φ Q 0 Z X T < Q 1 Z X T
364 363 adantr φ E X = B Q 0 Z X T < Q 1 Z X T
365 343 364 eqbrtrd φ E X = B X < Q 1 Z X T
366 elioore y X Q 1 Z X T y
367 134 eqcomd φ B X T T = Z X
368 367 negeqd φ B X T T = Z X
369 225 368 eqtrd φ B X T T = Z X
370 224 mulid2d φ 1 T = T
371 369 370 oveq12d φ B X T T + 1 T = - Z X + T
372 223 negcld φ B X T
373 1cnd φ 1
374 372 373 224 adddird φ - B X T + 1 T = B X T T + 1 T
375 216 224 negsubdid φ Z X T = - Z X + T
376 371 374 375 3eqtr4d φ - B X T + 1 T = Z X T
377 376 oveq2d φ y + Z X T + - B X T + 1 T = y + Z X T + Z X T
378 377 adantr φ y y + Z X T + - B X T + 1 T = y + Z X T + Z X T
379 320 adantr φ y Z X T
380 228 379 readdcld φ y y + Z X - T
381 380 recnd φ y y + Z X - T
382 379 recnd φ y Z X T
383 381 382 negsubd φ y y + Z X T + Z X T = y + Z X T - Z X T
384 234 382 pncand φ y y + Z X T - Z X T = y
385 378 383 384 3eqtrrd φ y y = y + Z X T + - B X T + 1 T
386 366 385 sylan2 φ y X Q 1 Z X T y = y + Z X T + - B X T + 1 T
387 386 adantlr φ E X = B y X Q 1 Z X T y = y + Z X T + - B X T + 1 T
388 simpll φ E X = B y X Q 1 Z X T φ
389 361 eqcomd φ Q 1 = Q 0 + 1
390 389 oveq2d φ Q 0 Q 1 = Q 0 Q 0 + 1
391 351 353 oveq12d i = 0 Q i Q i + 1 = Q 0 Q 0 + 1
392 391 sseq1d i = 0 Q i Q i + 1 D Q 0 Q 0 + 1 D
393 350 392 imbi12d i = 0 φ i 0 ..^ M Q i Q i + 1 D φ 0 0 ..^ M Q 0 Q 0 + 1 D
394 393 12 vtoclg 0 φ 0 0 ..^ M Q 0 Q 0 + 1 D
395 348 394 ax-mp φ 0 0 ..^ M Q 0 Q 0 + 1 D
396 347 395 mpdan φ Q 0 Q 0 + 1 D
397 390 396 eqsstrd φ Q 0 Q 1 D
398 397 ad2antrr φ E X = B y X Q 1 Z X T Q 0 Q 1 D
399 42 47 eqeltrd φ Q 0 *
400 399 ad2antrr φ E X = B y X Q 1 Z X T Q 0 *
401 319 rexrd φ Q 1 *
402 401 ad2antrr φ E X = B y X Q 1 Z X T Q 1 *
403 366 380 sylan2 φ y X Q 1 Z X T y + Z X - T
404 403 adantlr φ E X = B y X Q 1 Z X T y + Z X - T
405 339 215 216 subaddd φ E X X = Z X X + Z X = E X
406 270 405 mpbird φ E X X = Z X
407 oveq1 E X = B E X X = B X
408 406 407 sylan9req φ E X = B Z X = B X
409 408 oveq1d φ E X = B Z X T = B - X - T
410 409 oveq2d φ E X = B X + Z X - T = X + B X - T
411 129 recnd φ B X
412 215 411 224 addsubassd φ X + B X - T = X + B X - T
413 412 eqcomd φ X + B X - T = X + B X - T
414 413 adantr φ E X = B X + B X - T = X + B X - T
415 328 224 323 subsub23d φ B T = A B A = T
416 62 415 mpbird φ B T = A
417 215 328 pncan3d φ X + B - X = B
418 417 oveq1d φ X + B X - T = B T
419 416 418 42 3eqtr4d φ X + B X - T = Q 0
420 419 adantr φ E X = B X + B X - T = Q 0
421 410 414 420 3eqtrrd φ E X = B Q 0 = X + Z X - T
422 421 adantr φ E X = B y X Q 1 Z X T Q 0 = X + Z X - T
423 6 adantr φ y X Q 1 Z X T X
424 366 adantl φ y X Q 1 Z X T y
425 320 adantr φ y X Q 1 Z X T Z X T
426 252 adantr φ y X Q 1 Z X T X *
427 321 rexrd φ Q 1 Z X T *
428 427 adantr φ y X Q 1 Z X T Q 1 Z X T *
429 simpr φ y X Q 1 Z X T y X Q 1 Z X T
430 ioogtlb X * Q 1 Z X T * y X Q 1 Z X T X < y
431 426 428 429 430 syl3anc φ y X Q 1 Z X T X < y
432 423 424 425 431 ltadd1dd φ y X Q 1 Z X T X + Z X - T < y + Z X - T
433 432 adantlr φ E X = B y X Q 1 Z X T X + Z X - T < y + Z X - T
434 422 433 eqbrtrd φ E X = B y X Q 1 Z X T Q 0 < y + Z X - T
435 iooltub X * Q 1 Z X T * y X Q 1 Z X T y < Q 1 Z X T
436 426 428 429 435 syl3anc φ y X Q 1 Z X T y < Q 1 Z X T
437 319 adantr φ y X Q 1 Z X T Q 1
438 424 425 437 ltaddsubd φ y X Q 1 Z X T y + Z X - T < Q 1 y < Q 1 Z X T
439 436 438 mpbird φ y X Q 1 Z X T y + Z X - T < Q 1
440 439 adantlr φ E X = B y X Q 1 Z X T y + Z X - T < Q 1
441 400 402 404 434 440 eliood φ E X = B y X Q 1 Z X T y + Z X - T Q 0 Q 1
442 398 441 sseldd φ E X = B y X Q 1 Z X T y + Z X - T D
443 131 znegcld φ B X T
444 443 peano2zd φ - B X T + 1
445 444 ad2antrr φ E X = B y X Q 1 Z X T - B X T + 1
446 ovex - B X T + 1 V
447 eleq1 k = - B X T + 1 k - B X T + 1
448 447 3anbi3d k = - B X T + 1 φ y + Z X - T D k φ y + Z X - T D - B X T + 1
449 oveq1 k = - B X T + 1 k T = - B X T + 1 T
450 449 oveq2d k = - B X T + 1 y + Z X T + k T = y + Z X T + - B X T + 1 T
451 450 eleq1d k = - B X T + 1 y + Z X T + k T D y + Z X T + - B X T + 1 T D
452 448 451 imbi12d k = - B X T + 1 φ y + Z X - T D k y + Z X T + k T D φ y + Z X - T D - B X T + 1 y + Z X T + - B X T + 1 T D
453 ovex y + Z X - T V
454 eleq1 x = y + Z X - T x D y + Z X - T D
455 454 3anbi2d x = y + Z X - T φ x D k φ y + Z X - T D k
456 oveq1 x = y + Z X - T x + k T = y + Z X T + k T
457 456 eleq1d x = y + Z X - T x + k T D y + Z X T + k T D
458 455 457 imbi12d x = y + Z X - T φ x D k x + k T D φ y + Z X - T D k y + Z X T + k T D
459 453 458 5 vtocl φ y + Z X - T D k y + Z X T + k T D
460 446 452 459 vtocl φ y + Z X - T D - B X T + 1 y + Z X T + - B X T + 1 T D
461 388 442 445 460 syl3anc φ E X = B y X Q 1 Z X T y + Z X T + - B X T + 1 T D
462 387 461 eqeltrd φ E X = B y X Q 1 Z X T y D
463 462 ralrimiva φ E X = B y X Q 1 Z X T y D
464 dfss3 X Q 1 Z X T D y X Q 1 Z X T y D
465 463 464 sylibr φ E X = B X Q 1 Z X T D
466 breq2 y = Q 1 Z X T X < y X < Q 1 Z X T
467 oveq2 y = Q 1 Z X T X y = X Q 1 Z X T
468 467 sseq1d y = Q 1 Z X T X y D X Q 1 Z X T D
469 466 468 anbi12d y = Q 1 Z X T X < y X y D X < Q 1 Z X T X Q 1 Z X T D
470 469 rspcev Q 1 Z X T X < Q 1 Z X T X Q 1 Z X T D y X < y X y D
471 322 365 465 470 syl12anc φ E X = B y X < y X y D
472 24 adantlr φ E X B E X ran Q j 0 M Q j = E X
473 simp2 φ E X B j 0 M Q j = E X j 0 M
474 34 3ad2ant2 φ E X B j 0 M Q j = E X j
475 96 3ad2ant2 φ E X B j 0 M Q j = E X M
476 98 3ad2ant2 φ E X B j 0 M Q j = E X j M
477 id Q j = E X Q j = E X
478 477 eqcomd Q j = E X E X = Q j
479 478 adantr Q j = E X M = j E X = Q j
480 479 3ad2antl3 φ E X B j 0 M Q j = E X M = j E X = Q j
481 fveq2 M = j Q M = Q j
482 481 eqcomd M = j Q j = Q M
483 482 adantl φ E X B j 0 M Q j = E X M = j Q j = Q M
484 179 ad2antrr φ E X B M = j Q M = B
485 484 3ad2antl1 φ E X B j 0 M Q j = E X M = j Q M = B
486 480 483 485 3eqtrd φ E X B j 0 M Q j = E X M = j E X = B
487 neneq E X B ¬ E X = B
488 487 ad2antlr φ E X B M = j ¬ E X = B
489 488 3ad2antl1 φ E X B j 0 M Q j = E X M = j ¬ E X = B
490 486 489 pm2.65da φ E X B j 0 M Q j = E X ¬ M = j
491 490 neqned φ E X B j 0 M Q j = E X M j
492 474 475 476 491 leneltd φ E X B j 0 M Q j = E X j < M
493 elfzfzo j 0 ..^ M j 0 M j < M
494 473 492 493 sylanbrc φ E X B j 0 M Q j = E X j 0 ..^ M
495 116 adantlr φ E X B j 0 M Q j *
496 495 3adant3 φ E X B j 0 M Q j = E X Q j *
497 simp1l φ E X B j 0 M Q j = E X φ
498 103 adantr φ j 0 ..^ M Q : 0 M
499 fzofzp1 j 0 ..^ M j + 1 0 M
500 499 adantl φ j 0 ..^ M j + 1 0 M
501 498 500 ffvelrnd φ j 0 ..^ M Q j + 1
502 501 rexrd φ j 0 ..^ M Q j + 1 *
503 497 494 502 syl2anc φ E X B j 0 M Q j = E X Q j + 1 *
504 140 3adant1r φ E X B j 0 M Q j = E X E X *
505 46 159 eqbrtrd φ Q j = E X Q j E X
506 505 adantlr φ E X B Q j = E X Q j E X
507 506 3adant2 φ E X B j 0 M Q j = E X Q j E X
508 478 3ad2ant3 φ E X B j 0 M Q j = E X E X = Q j
509 eleq1 i = j i 0 ..^ M j 0 ..^ M
510 509 anbi2d i = j φ i 0 ..^ M φ j 0 ..^ M
511 fveq2 i = j Q i = Q j
512 oveq1 i = j i + 1 = j + 1
513 512 fveq2d i = j Q i + 1 = Q j + 1
514 511 513 breq12d i = j Q i < Q i + 1 Q j < Q j + 1
515 510 514 imbi12d i = j φ i 0 ..^ M Q i < Q i + 1 φ j 0 ..^ M Q j < Q j + 1
516 515 151 chvarvv φ j 0 ..^ M Q j < Q j + 1
517 497 494 516 syl2anc φ E X B j 0 M Q j = E X Q j < Q j + 1
518 508 517 eqbrtrd φ E X B j 0 M Q j = E X E X < Q j + 1
519 496 503 504 507 518 elicod φ E X B j 0 M Q j = E X E X Q j Q j + 1
520 511 513 oveq12d i = j Q i Q i + 1 = Q j Q j + 1
521 520 eleq2d i = j E X Q i Q i + 1 E X Q j Q j + 1
522 521 rspcev j 0 ..^ M E X Q j Q j + 1 i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
523 494 519 522 syl2anc φ E X B j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
524 523 3exp φ E X B j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
525 524 adantr φ E X B E X ran Q j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
526 525 rexlimdv φ E X B E X ran Q j 0 M Q j = E X i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
527 472 526 mpd φ E X B E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
528 ioossico Q i Q i + 1 Q i Q i + 1
529 simpr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
530 528 529 sseldi φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
531 530 ex φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
532 531 adantlr φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
533 532 reximdva φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
534 189 533 mpd φ ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
535 534 adantlr φ E X B ¬ E X ran Q i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
536 527 535 pm2.61dan φ E X B i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1
537 207 248 resubcld φ i 0 ..^ M Q i + 1 Z X
538 537 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i + 1 Z X
539 218 eqcomd φ X = E X Z X
540 539 3ad2ant1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 X = E X Z X
541 138 3ad2ant1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X
542 207 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i + 1
543 135 3ad2ant1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Z X
544 199 rexrd φ i 0 ..^ M Q i *
545 544 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i *
546 208 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i + 1 *
547 simp3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Q i Q i + 1
548 icoltub Q i * Q i + 1 * E X Q i Q i + 1 E X < Q i + 1
549 545 546 547 548 syl3anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X < Q i + 1
550 541 542 543 549 ltsub1dd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 E X Z X < Q i + 1 Z X
551 540 550 eqbrtrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 X < Q i + 1 Z X
552 elioore y X Q i + 1 Z X y
553 552 236 sylan2 φ y X Q i + 1 Z X y = y + Z X + B X T T
554 553 3ad2antl1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y = y + Z X + B X T T
555 simpl1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X φ
556 12 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i Q i + 1 D
557 556 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X Q i Q i + 1 D
558 545 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X Q i *
559 546 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X Q i + 1 *
560 552 adantl φ y X Q i + 1 Z X y
561 135 adantr φ y X Q i + 1 Z X Z X
562 560 561 readdcld φ y X Q i + 1 Z X y + Z X
563 562 3ad2antl1 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y + Z X
564 199 3adant3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i
565 564 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X Q i
566 555 138 syl φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X E X
567 icogelb Q i * Q i + 1 * E X Q i Q i + 1 Q i E X
568 545 546 547 567 syl3anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 Q i E X
569 568 adantr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X Q i E X
570 137 ad2antrr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X E X = X + Z X
571 6 ad2antrr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X X
572 552 adantl φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X y
573 135 ad2antrr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X Z X
574 252 ad2antrr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X X *
575 537 rexrd φ i 0 ..^ M Q i + 1 Z X *
576 575 adantr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X Q i + 1 Z X *
577 simpr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X y X Q i + 1 Z X
578 ioogtlb X * Q i + 1 Z X * y X Q i + 1 Z X X < y
579 574 576 577 578 syl3anc φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X X < y
580 571 572 573 579 ltadd1dd φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X X + Z X < y + Z X
581 570 580 eqbrtrd φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X E X < y + Z X
582 581 3adantl3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X E X < y + Z X
583 565 566 563 569 582 lelttrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X Q i < y + Z X
584 537 adantr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X Q i + 1 Z X
585 iooltub X * Q i + 1 Z X * y X Q i + 1 Z X y < Q i + 1 Z X
586 574 576 577 585 syl3anc φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X y < Q i + 1 Z X
587 572 584 573 586 ltadd1dd φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X y + Z X < Q i + 1 - Z X + Z X
588 207 recnd φ i 0 ..^ M Q i + 1
589 216 adantr φ i 0 ..^ M Z X
590 588 589 npcand φ i 0 ..^ M Q i + 1 - Z X + Z X = Q i + 1
591 590 adantr φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X Q i + 1 - Z X + Z X = Q i + 1
592 587 591 breqtrd φ i 0 ..^ M y X Q i + 1 Z X y + Z X < Q i + 1
593 592 3adantl3 φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y + Z X < Q i + 1
594 558 559 563 583 593 eliood φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y + Z X Q i Q i + 1
595 557 594 sseldd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y + Z X D
596 555 443 syl φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X B X T
597 555 595 596 297 syl3anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y + Z X + B X T T D
598 554 597 eqeltrd φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y D
599 598 ralrimiva φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X Q i + 1 Z X y D
600 dfss3 X Q i + 1 Z X D y X Q i + 1 Z X y D
601 599 600 sylibr φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 X Q i + 1 Z X D
602 breq2 y = Q i + 1 Z X X < y X < Q i + 1 Z X
603 oveq2 y = Q i + 1 Z X X y = X Q i + 1 Z X
604 603 sseq1d y = Q i + 1 Z X X y D X Q i + 1 Z X D
605 602 604 anbi12d y = Q i + 1 Z X X < y X y D X < Q i + 1 Z X X Q i + 1 Z X D
606 605 rspcev Q i + 1 Z X X < Q i + 1 Z X X Q i + 1 Z X D y X < y X y D
607 538 551 601 606 syl12anc φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X < y X y D
608 607 3exp φ i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X < y X y D
609 608 adantr φ E X B i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X < y X y D
610 609 rexlimdv φ E X B i 0 ..^ M E X Q i Q i + 1 y X < y X y D
611 536 610 mpd φ E X B y X < y X y D
612 471 611 pm2.61dane φ y X < y X y D
613 311 612 jca φ y y < X y X D y X < y X y D