Theorem binomcxplemnotnn0

Description: Lemma for binomcxp . When C is not a nonnegative integer, the generalized sum in binomcxplemnn0 —which we will call P —is a convergent power series: its base b is always of smaller absolute value than the radius of convergence.

pserdv2 gives the derivative of P , which by dvradcnv also converges in that radius. When A is fixed at one, ( A + b ) times that derivative equals ( C x. P ) and fraction ( P / ( ( A + b ) ^c C ) ) is always defined with derivative zero, so the fraction is a constant—specifically one, because ( ( 1 + 0 ) ^c C ) = 1 . Thus ( ( 1 + b ) ^c C ) = ( Pb ) .

Finally, let b be ( B / A ) , and multiply both the binomial ( ( 1 + ( B / A ) ) ^c C ) and the sum ( P( B / A ) ) by ( A ^c C ) to get the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	binomcxp.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+ )
	binomcxp.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
	binomcxp.lt	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐵 ) < ( abs ‘ 𝐴 ) )
	binomcxp.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( 𝐶 C𝑐 𝑗 ) )
	binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
	binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < )
	binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
	binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) )
	binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) )
Assertion	binomcxplemnotnn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑𝑐 𝐶 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+ )
2		binomcxp.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ )
3		binomcxp.lt	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐵 ) < ( abs ‘ 𝐴 ) )
4		binomcxp.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
5		binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( 𝐶 C𝑐 𝑗 ) )
6		binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
7		binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < )
8		binomcxplem.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
9		binomcxplem.d	⊢ 𝐷 = ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) )
10		binomcxplem.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) )
11		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ◡ abs
12		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 0
13		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 [,)
14		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 +
15		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
16	6 15	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑆
17		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑟
18	16 17	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑆 ‘ 𝑟 )
19	12 14 18	nfseq	⊢ Ⅎ 𝑏 seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) )
20	19	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑏 seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝
21		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ℝ
22	20 21	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑏 { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ }
23		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ℝ*
24		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 <
25	22 23 24	nfsup	⊢ Ⅎ 𝑏 sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < )
26	7 25	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑅
27	12 13 26	nfov	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 0 [,) 𝑅 )
28	11 27	nfima	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) )
29	9 28	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑏 𝐷
30		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐷
31		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 )
32		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ℕ0
33		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑥
34	16 33	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑆 ‘ 𝑥 )
35		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑘
36	34 35	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 )
37	32 36	nfsum	⊢ Ⅎ 𝑏 Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 )
38		simpl	⊢ ( ( 𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑏 = 𝑥 )
39	38	fveq2d	⊢ ( ( 𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) )
40	39	fveq1d	⊢ ( ( 𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
41	40	sumeq2dv	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
42	29 30 31 37 41	cbvmptf	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
43	10 42	eqtri	⊢ 𝑃 = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
44	43	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) )
45		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) )
46	45	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
47	46	fveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) )
48	47	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) )
49	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
50	49	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
51	1	rpcnd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
52	51	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
53		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℝ )
54	50	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
55	52	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
56	50	absge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( abs ‘ 𝐵 ) )
57	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐵 ) < ( abs ‘ 𝐴 ) )
58	53 54 55 56 57	lelttrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 < ( abs ‘ 𝐴 ) )
59	58	gt0ne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ≠ 0 )
60	52	abs00ad	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ) )
61	60	necon3bid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0 ) )
62	59 61	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
63	50 52 62	divcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ )
64	63	abscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ℝ )
65	63	absge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
66	55	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
67	66	mulridd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) · 1 ) = ( abs ‘ 𝐴 ) )
68	57 67	breqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐵 ) < ( ( abs ‘ 𝐴 ) · 1 ) )
69		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℝ )
70	55 58	elrpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ )
71	54 69 70	ltdivmuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐵 ) / ( abs ‘ 𝐴 ) ) < 1 ↔ ( abs ‘ 𝐵 ) < ( ( abs ‘ 𝐴 ) · 1 ) ) )
72	68 71	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( abs ‘ 𝐵 ) / ( abs ‘ 𝐴 ) ) < 1 )
73	50 52 62	absdivd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐵 ) / ( abs ‘ 𝐴 ) ) )
74	1 2 3 4 5 6 7	binomcxplemradcnv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑅 = 1 )
75	72 73 74	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) < 𝑅 )
76		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
77		ssrab2	⊢ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
78		ressxr	⊢ ℝ ⊆ ℝ*
79	77 78	sstri	⊢ { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
80		supxrcl	⊢ ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* → sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < ) ∈ ℝ* )
81	79 80	ax-mp	⊢ sup ( { 𝑟 ∈ ℝ ∣ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑟 ) ) ∈ dom ⇝ } , ℝ* , < ) ∈ ℝ*
82	7 81	eqeltri	⊢ 𝑅 ∈ ℝ*
83		elico2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) < 𝑅 ) ) )
84	76 82 83	mp2an	⊢ ( ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) < 𝑅 ) )
85	64 65 75 84	syl3anbrc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) )
86	9	eleq2i	⊢ ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ 𝐷 ↔ ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) )
87		absf	⊢ abs : ℂ ⟶ ℝ
88		ffn	⊢ ( abs : ℂ ⟶ ℝ → abs Fn ℂ )
89		elpreima	⊢ ( abs Fn ℂ → ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ↔ ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ) )
90	87 88 89	mp2b	⊢ ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ↔ ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ) )
91	86 90	bitri	⊢ ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ) )
92	63 85 91	sylanbrc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ 𝐷 )
93		sumex	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ V
94	93	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
95	44 48 92 94	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑃 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) )
96		eqid	⊢ ( abs ∘ − ) = ( abs ∘ − )
97	96	cnbl0	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ* → ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) = ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) )
98	82 97	ax-mp	⊢ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) = ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 )
99	9 98	eqtri	⊢ 𝐷 = ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 )
100		0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℂ )
101	82	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑅 ∈ ℝ* )
102		mulcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℂ )
103	102	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℂ )
104		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 )
105	29	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑥 ∈ 𝐷
106	104 105	nfan	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 )
107	37	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑏 Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ
108	106 107	nfim	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
109		eleq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ 𝐷 ) )
110	109	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ) )
111	41	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ↔ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) )
112	110 111	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ) )
113		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
114		0zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 0 ∈ ℤ )
115		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) )
116		cnvimass	⊢ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ⊆ dom abs
117	9 116	eqsstri	⊢ 𝐷 ⊆ dom abs
118	87	fdmi	⊢ dom abs = ℂ
119	117 118	sseqtri	⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
120	119	sseli	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ )
121	6	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
122		nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V
123	122	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V
124	123	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V )
125	121 124	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
126		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V )
127	125 126	fvmpt2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
128	5	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐹 = ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( 𝐶 C𝑐 𝑗 ) ) )
129		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑗 = 𝑘 ) → 𝑗 = 𝑘 )
130	129	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑗 = 𝑘 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑗 ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
131		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
132		ovexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ V )
133	128 130 131 132	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
134	133	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
135	134	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
136	127 135	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
137	120 136	sylanl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
138	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
139		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
140	138 139	bcccl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
141	120	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
142	141 139	expcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ )
143	140 142	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
144	137 143	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
145	144	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
146		eleq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑏 ∈ 𝐷 ) )
147	146	anbi2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ) )
148		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) )
149	148	seqeq3d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ) = seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) )
150	149	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
151		fveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) )
152	151	seqeq3d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ) = seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) )
153	152	eleq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
154	150 153	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ↔ ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) )
155	147 154	imbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) ) )
156	1 2 3 4 5 6 7 8 9	binomcxplemcvg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
157	155 156	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
158	157	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ )
159	158	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ )
160	113 114 115 145 159	isumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
161	108 112 160	chvarfv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
162	161 43	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 : 𝐷 ⟶ ℂ )
163		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → 1 ∈ ℂ )
164	119	sseli	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ )
165	164	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → 𝑥 ∈ ℂ )
166	163 165	addcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑥 ) ∈ ℂ )
167	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
168	167	negcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → - 𝐶 ∈ ℂ )
169	166 168	cxpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ ℂ )
170		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 )
171		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 )
172		oveq2	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( 1 + 𝑏 ) = ( 1 + 𝑥 ) )
173	172	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) = ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) )
174	29 30 170 171 173	cbvmptf	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) )
175	169 174	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) : 𝐷 ⟶ ℂ )
176		cnex	⊢ ℂ ∈ V
177		fex	⊢ ( ( abs : ℂ ⟶ ℝ ∧ ℂ ∈ V ) → abs ∈ V )
178	87 176 177	mp2an	⊢ abs ∈ V
179	178	cnvex	⊢ ◡ abs ∈ V
180		imaexg	⊢ ( ◡ abs ∈ V → ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ∈ V )
181	179 180	ax-mp	⊢ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ∈ V
182	9 181	eqeltri	⊢ 𝐷 ∈ V
183	182	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐷 ∈ V )
184		inidm	⊢ ( 𝐷 ∩ 𝐷 ) = 𝐷
185	103 162 175 183 183 184	off	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) : 𝐷 ⟶ ℂ )
186		1ex	⊢ 1 ∈ V
187	186	fconst	⊢ ( 𝐷 × { 1 } ) : 𝐷 ⟶ { 1 }
188		fconstmpt	⊢ ( 𝐷 × { 1 } ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1 )
189		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 1
190		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 1
191		eqidd	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → 1 = 1 )
192	30 29 189 190 191	cbvmptf	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 )
193	188 192	eqtri	⊢ ( 𝐷 × { 1 } ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 )
194	193	feq1i	⊢ ( ( 𝐷 × { 1 } ) : 𝐷 ⟶ { 1 } ↔ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) : 𝐷 ⟶ { 1 } )
195	187 194	mpbi	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) : 𝐷 ⟶ { 1 }
196		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
197		snssi	⊢ ( 1 ∈ ℂ → { 1 } ⊆ ℂ )
198	196 197	ax-mp	⊢ { 1 } ⊆ ℂ
199		fss	⊢ ( ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) : 𝐷 ⟶ { 1 } ∧ { 1 } ⊆ ℂ ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) : 𝐷 ⟶ ℂ )
200	195 198 199	mp2an	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) : 𝐷 ⟶ ℂ
201	200	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) : 𝐷 ⟶ ℂ )
202		cnelprrecn	⊢ ℂ ∈ { ℝ , ℂ }
203	202	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ℂ ∈ { ℝ , ℂ } )
204	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	binomcxplemdvsum	⊢ ( 𝜑 → ( ℂ D 𝑃 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
205	204	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D 𝑃 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
206		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 )
207		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ℕ
208		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
209	8 208	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑏 𝐸
210	209 33	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝐸 ‘ 𝑥 )
211	210 35	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 )
212	207 211	nfsum	⊢ Ⅎ 𝑏 Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 )
213		simpl	⊢ ( ( 𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑏 = 𝑥 )
214	213	fveq2d	⊢ ( ( 𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) = ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) )
215	214	fveq1d	⊢ ( ( 𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
216	215	sumeq2dv	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
217	29 30 206 212 216	cbvmptf	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) )
218	205 217	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D 𝑃 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) )
219		sumex	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V
220	219	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
221	218 220	fmpt3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D 𝑃 ) : 𝐷 ⟶ V )
222	221	fdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → dom ( ℂ D 𝑃 ) = 𝐷 )
223	1 2 3 4 5 6 7 8 9	binomcxplemdvbinom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) )
224		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) )
225		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) )
226	172	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) = ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) )
227	226	oveq2d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) = ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) )
228	29 30 224 225 227	cbvmptf	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) )
229	223 228	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) )
230	168 163	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( - 𝐶 − 1 ) ∈ ℂ )
231	166 230	cxpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ∈ ℂ )
232	168 231	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
233	229 232	fmpt3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) : 𝐷 ⟶ ℂ )
234	233	fdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → dom ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = 𝐷 )
235	203 162 175 222 234	dvmulf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) = ( ( ( ℂ D 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f + ( ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ) )
236	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
237	236	mulridd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · 1 ) = 𝐶 )
238	237	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 · 1 ) + ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝐶 + ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
239		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 1 ∈ ℂ )
240		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
241		1zzd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 1 ∈ ℤ )
242		nnnn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0 )
243	242 137	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
244	243	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
245	4	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
246		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
247	245 246	bcccl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
248	242 247	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
249	120	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
250	249	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑏 ∈ ℂ )
251	250 246	expcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ )
252	242 251	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ )
253	248 252	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
254		1nn0	⊢ 1 ∈ ℕ0
255	254	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 1 ∈ ℕ0 )
256	113 255 144	iserex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 1 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
257	158 256	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ )
258	257	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ )
259	240 241 244 253 258	isumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
260	236 239 259	adddid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · ( 1 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝐶 · 1 ) + ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
261	8	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) )
262		nnex	⊢ ℕ ∈ V
263	262	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ V
264	263	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ V )
265	261 264	fvmpt2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
266	120 265	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
267	266	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
268		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ V )
269	267 268	fmpt3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) : ℕ ⟶ V )
270	269	feqmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
271		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ V )
272	265 271	fvmpt2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
273	242 133	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
274	273	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) )
275	274	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
276	275	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
277	272 276	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
278	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
279		nnm1nn0	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 )
280	279	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 )
281	278 280	bccp1k	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) )
282	242	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
283	282	nn0cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
284		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 1 ∈ ℂ )
285	283 284	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
286	285	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
287	285	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / 𝑘 ) )
288	287	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / 𝑘 ) ) )
289	281 286 288	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / 𝑘 ) ) )
290	289	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) = ( 𝑘 · ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / 𝑘 ) ) ) )
291	278 280	bcccl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
292	283 284	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℂ )
293	278 292	subcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
294		nnne0	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0 )
295	294	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ≠ 0 )
296	291 293 283 295	divassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) / 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / 𝑘 ) ) )
297	296	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · ( ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) / 𝑘 ) ) = ( 𝑘 · ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) / 𝑘 ) ) ) )
298	291 293	mulcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
299	298 283 295	divcan2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · ( ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
300	290 297 299	3eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
301	300	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
302	301	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
303	291	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
304	293	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
305	303 304	mulcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
306	305	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
307	277 302 306	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
308	120 307	sylanl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
309	308	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
310	309	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
311	270 310	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
312	311	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) = ( ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) shift - 1 ) )
313		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
314		ovex	⊢ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ V
315		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − - 1 ) → ( 𝑘 − 1 ) = ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) )
316	315	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − - 1 ) → ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) )
317	315	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − - 1 ) → ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) )
318	316 317	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − - 1 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) )
319	315	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − - 1 ) → ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) )
320	318 319	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 𝑗 − - 1 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) )
321		1pneg1e0	⊢ ( 1 + - 1 ) = 0
322	321	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 1 + - 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 0 )
323	113 322	eqtr4i	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ ( 1 + - 1 ) )
324	241	znegcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → - 1 ∈ ℤ )
325	313 314 320 240 323 241 324	uzmptshftfval	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) shift - 1 ) = ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) ) )
326		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 − - 1 ) = ( 𝑘 − - 1 ) )
327	326	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) = ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) )
328	327	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) )
329	327	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) )
330	328 329	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) )
331	327	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) )
332	330 331	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) )
333	332	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) )
334	333	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑗 − - 1 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) ) )
335	312 325 334	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) ) )
336		nn0cn	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ )
337		1cnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ )
338	336 337	subnegd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( 𝑘 − - 1 ) = ( 𝑘 + 1 ) )
339	338	oveq1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) = ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) )
340	336 337	pncand	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
341	339 340	eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
342	341	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
343	342	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 − 𝑘 ) )
344	342	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
345	343 344	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) )
346	342	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) )
347	345 346	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
348	347	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − - 1 ) − 1 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
349	335 348	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
350		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V )
351	349 350	fvmpt2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
352	242 351	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
353	336	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
354	245 353	subcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
355	354 247	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
356	355 251	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
357	242 356	sylan2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
358		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) )
359	358	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) )
360	359	cbvmptv	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) )
361	309	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑏 · ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
362	249	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑏 ∈ ℂ )
363	4	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
364		nncn	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ )
365	364	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
366		1cnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 1 ∈ ℂ )
367	365 366	subcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℂ )
368	363 367	subcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
369	279	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℕ0 )
370	363 369	bcccl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
371	368 370	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
372	362 369	expcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
373	362 371 372	mul12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 · ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
374	362 372	mulcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · 𝑏 ) )
375	362 369	expp1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) · 𝑏 ) )
376	285	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
377	376	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
378	377	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 ↑ ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) )
379	374 375 378	3eqtr2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) )
380	379	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
381	373 380	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 · ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
382	361 381	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
383	382	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
384	360 383	eqtr3id	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
385		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V )
386	384 385	fvmpt2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
387	371 252	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
388		climrel	⊢ Rel ⇝
389	157	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ )
390	389	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ )
391		climdm	⊢ ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) )
392	390 391	sylib	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) )
393		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
394		neg1z	⊢ - 1 ∈ ℤ
395		fvex	⊢ ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ∈ V
396	395	seqshft	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ - 1 ∈ ℤ ) → seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) = ( seq ( 0 − - 1 ) ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 ) )
397	393 394 396	mp2an	⊢ seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) = ( seq ( 0 − - 1 ) ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 )
398		0cn	⊢ 0 ∈ ℂ
399	398 196	subnegi	⊢ ( 0 − - 1 ) = ( 0 + 1 )
400		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
401	399 400	eqtri	⊢ ( 0 − - 1 ) = 1
402		seqeq1	⊢ ( ( 0 − - 1 ) = 1 → seq ( 0 − - 1 ) ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) = seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) )
403	401 402	ax-mp	⊢ seq ( 0 − - 1 ) ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) = seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) )
404	403	oveq1i	⊢ ( seq ( 0 − - 1 ) ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 ) = ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 )
405	397 404	eqtri	⊢ seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) = ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 )
406	405	breq1i	⊢ ( seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) )
407		seqex	⊢ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ V
408		climshft	⊢ ( ( - 1 ∈ ℤ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ∈ V ) → ( ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
409	394 407 408	mp2an	⊢ ( ( seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) shift - 1 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) )
410	406 409	bitri	⊢ ( seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ↔ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) )
411	392 410	sylibr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) )
412		releldm	⊢ ( ( Rel ⇝ ∧ seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ∈ dom ⇝ )
413	388 411 412	sylancr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ∈ dom ⇝ )
414	254	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 1 ∈ ℕ0 )
415	351 356	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
416	113 414 415	iserex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 1 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
417	413 416	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ) ∈ dom ⇝ )
418	371 372	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
419	309 418	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
420	386 382	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
421	240 241 249 392 419 420	isermulc2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ⇝ ( 𝑏 · ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ) )
422		releldm	⊢ ( ( Rel ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ⇝ ( 𝑏 · ( ⇝ ‘ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ) → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ )
423	388 421 422	sylancr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 1 ( + , ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ( 𝑏 · ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑗 ) ) ) ) ∈ dom ⇝ )
424	240 241 352 357 386 387 417 423	isumadd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
425	424	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝐶 + ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
426	363 365	subcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
427	426 248	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
428	427 371 252	adddird	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
429	428	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
430	429	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
431	307	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
432	431	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
433	120 432	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
434	433	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
435	240 241 309 418 390	isumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
436	239 249 435	adddird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( ( 1 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) + ( 𝑏 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) )
437	435	mullidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
438	240 241 309 418 390 249	isummulc2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑏 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝑏 · ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) )
439	381	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝑏 · ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
440	438 439	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑏 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
441	437 440	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) + ( 𝑏 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
442	434 436 441	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
443	400	fveq2i	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
444	240 443	eqtr4i	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) )
445		oveq1	⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 𝑗 ) → ( 𝑘 − 1 ) = ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) )
446	445	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 𝑗 ) → ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) )
447	445	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 𝑗 ) → ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) )
448	446 447	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 𝑗 ) → ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) )
449	445	oveq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 𝑗 ) → ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) )
450	448 449	oveq12d	⊢ ( 𝑘 = ( 1 + 𝑗 ) → ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) )
451	113 444 450 241 114 418	isumshft	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) )
452		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 1 + 𝑗 ) = ( 1 + 𝑘 ) )
453	452	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) = ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) )
454	453	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) )
455	453	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) )
456	454 455	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
457	453	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) )
458	456 457	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
459	458	cbvsumv	⊢ Σ 𝑗 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) )
460	459	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑗 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑗 ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) )
461		1cnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℂ )
462	461 353	pncan2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) = 𝑘 )
463	462	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 − 𝑘 ) )
464	462	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
465	463 464	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) )
466	462	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) = ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) )
467	465 466	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
468	467	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( ( 1 + 𝑘 ) − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
469	451 460 468	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
470	113 114 351 356 413	isum1p	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 0 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
471		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → 𝑘 = 0 )
472	471	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 − 𝑘 ) = ( 𝐶 − 0 ) )
473	471	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 0 ) )
474	472 473	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) )
475	471	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) = ( 𝑏 ↑ 0 ) )
476	474 475	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) )
477		0nn0	⊢ 0 ∈ ℕ0
478	477	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 0 ∈ ℕ0 )
479		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) ∈ V )
480	349 476 478 479	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 0 ) = ( ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) )
481	236	subid1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 − 0 ) = 𝐶 )
482	236	bccn0	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 C𝑐 0 ) = 1 )
483	481 482	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) = ( 𝐶 · 1 ) )
484	483 237	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) = 𝐶 )
485	249	exp0d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑏 ↑ 0 ) = 1 )
486	484 485	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 − 0 ) · ( 𝐶 C𝑐 0 ) ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) = ( 𝐶 · 1 ) )
487	480 486 237	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 0 ) = 𝐶 )
488	444	eqcomi	⊢ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) = ℕ
489	488	sumeq1i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) )
490	489	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
491	487 490	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) shift - 1 ) ‘ 0 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
492	469 470 491	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
493	492	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
494	240 241 352 357 417	isumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
495	249 435	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑏 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
496	440 495	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
497	236 494 496	addassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐶 + ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
498	442 493 497	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 + ( Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
499	425 430 498	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
500		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
501	278 500	binomcxplemwb	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) = ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) )
502	501	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
503	502	sumeq2dv	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
504	503	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
505	504	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( ( ( 𝐶 − 𝑘 ) · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) + ( ( 𝐶 − ( 𝑘 − 1 ) ) · ( 𝐶 C𝑐 ( 𝑘 − 1 ) ) ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
506	363 248 252	mulassd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 · ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
507	506	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝐶 · ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
508	240 241 244 253 258 236	isummulc2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( 𝐶 · ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
509	507 508	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
510	509	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 · ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝐶 + ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
511	499 505 510	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 + ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
512	238 260 511	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 · ( 1 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
513	6	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑆 = ( 𝑏 ∈ ℂ ↦ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) )
514	123	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V )
515	513 514	fvmpt2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ ℂ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
516	120 515	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
517		ovexd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V )
518	516 517	fvmpt2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
519	518	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
520	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
521	520 131	bcccl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
522	133 521	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
523	522	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
524	523	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
525	524 251	mulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
526	113 114 518 525 159	isum1p	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 0 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
527	471	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐹 ‘ 0 ) )
528	527 475	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 0 ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) )
529		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 0 ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) ∈ V )
530	516 528 478 529	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 0 ) = ( ( 𝐹 ‘ 0 ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) )
531	5	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( 𝑗 ∈ ℕ0 ↦ ( 𝐶 C𝑐 𝑗 ) ) )
532		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → 𝑗 = 0 )
533	532	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 = 0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑗 ) = ( 𝐶 C𝑐 0 ) )
534	477	a1i	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℕ0 )
535		ovexd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 C𝑐 0 ) ∈ V )
536	531 533 534 535	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ‘ 0 ) = ( 𝐶 C𝑐 0 ) )
537	536	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐹 ‘ 0 ) = ( 𝐶 C𝑐 0 ) )
538	537 482	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐹 ‘ 0 ) = 1 )
539	538 485	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐹 ‘ 0 ) · ( 𝑏 ↑ 0 ) ) = ( 1 · 1 ) )
540	239	mulridd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 · 1 ) = 1 )
541	530 539 540	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 0 ) = 1 )
542	488	sumeq1i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) )
543	134	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
544	242 543	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
545	544	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
546	545	sumeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
547	542 546	eqtrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) )
548	541 547	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 0 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 1 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) )
549	519 526 548	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) )
550	549	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · ( 1 + Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
551	512 550	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
552	236 160	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
553	239 249	addcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑏 ) ∈ ℂ )
554		eqidd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) )
555	240 241 554 419 390	isumcl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
556	239 249	subnegd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 − - 𝑏 ) = ( 1 + 𝑏 ) )
557	249	negcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → - 𝑏 ∈ ℂ )
558		elpreima	⊢ ( abs Fn ℂ → ( 𝑏 ∈ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ ℂ ∧ ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ) )
559	87 88 558	mp2b	⊢ ( 𝑏 ∈ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑏 ∈ ℂ ∧ ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ) )
560	559	simprbi	⊢ ( 𝑏 ∈ ( ◡ abs “ ( 0 [,) 𝑅 ) ) → ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) )
561	560 9	eleq2s	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 → ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) )
562		elico2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( abs ‘ 𝑏 ) ∧ ( abs ‘ 𝑏 ) < 𝑅 ) ) )
563	76 82 562	mp2an	⊢ ( ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) ↔ ( ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( abs ‘ 𝑏 ) ∧ ( abs ‘ 𝑏 ) < 𝑅 ) )
564	563	simp3bi	⊢ ( ( abs ‘ 𝑏 ) ∈ ( 0 [,) 𝑅 ) → ( abs ‘ 𝑏 ) < 𝑅 )
565	561 564	syl	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 → ( abs ‘ 𝑏 ) < 𝑅 )
566	565	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( abs ‘ 𝑏 ) < 𝑅 )
567	249	absnegd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( abs ‘ - 𝑏 ) = ( abs ‘ 𝑏 ) )
568	567	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( abs ‘ 𝑏 ) = ( abs ‘ - 𝑏 ) )
569	74	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 = 1 )
570	566 568 569	3brtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( abs ‘ - 𝑏 ) < 1 )
571		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
572		abssubne0	⊢ ( ( - 𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ( abs ‘ - 𝑏 ) < 1 ) → ( 1 − - 𝑏 ) ≠ 0 )
573	571 572	mp3an2	⊢ ( ( - 𝑏 ∈ ℂ ∧ ( abs ‘ - 𝑏 ) < 1 ) → ( 1 − - 𝑏 ) ≠ 0 )
574	557 570 573	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 − - 𝑏 ) ≠ 0 )
575	556 574	eqnetrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑏 ) ≠ 0 )
576	552 553 555 575	divmuld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) / ( 1 + 𝑏 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ↔ ( ( 1 + 𝑏 ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
577	551 576	mpbird	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) / ( 1 + 𝑏 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) )
578	236 160 553 575	div23d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) / ( 1 + 𝑏 ) ) = ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
579	577 578	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
580	579	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝐸 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
581		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ∈ V )
582		sumex	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V
583	582	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
584		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) )
585	10	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
586	104 29 183 581 583 584 585	offval2f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
587	580 205 586	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D 𝑃 ) = ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) )
588	587	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ℂ D 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) )
589	223	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) = ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) ∘f · 𝑃 ) )
590	588 589	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ℂ D 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f + ( ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ) = ( ( ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f + ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ) )
591		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ∈ V )
592		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ V )
593		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ V )
594		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ V )
595		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) )
596	104 29 183 593 594 586 595	offval2f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) )
597		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ∈ V )
598		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) )
599	104 29 183 597 583 598 585	offval2f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) ∘f · 𝑃 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
600	104 29 183 591 592 596 599	offval2f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f + ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ) ∘f · 𝑃 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) + ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
601	235 590 600	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) + ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
602	236 553 575	divcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) ∈ ℂ )
603	236	negcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → - 𝐶 ∈ ℂ )
604	553 603	cxpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ ℂ )
605	602 160 604	mul32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
606	236 553 604 575	div32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( 𝐶 · ( ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) / ( 1 + 𝑏 ) ) ) )
607	553 575 603 239	cxpsubd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) = ( ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 1 ) ) )
608	553	cxp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 1 ) = ( 1 + 𝑏 ) )
609	608	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 1 ) ) = ( ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) / ( 1 + 𝑏 ) ) )
610	607 609	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) / ( 1 + 𝑏 ) ) = ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) )
611	610	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · ( ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) / ( 1 + 𝑏 ) ) ) = ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) )
612	606 611	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) )
613	612	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
614	605 613	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
615	603 239	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( - 𝐶 − 1 ) ∈ ℂ )
616	553 615	cxpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ∈ ℂ )
617	236 616	mulneg1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) = - ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) )
618	617	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( - ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
619	236 616	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) ∈ ℂ )
620	619 160	mulneg1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( - ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = - ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
621	618 620	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) = - ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) )
622	614 621	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) + ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) )
623	619 160	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
624	623	negidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) + - ( ( 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = 0 )
625	622 624	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) + ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) = 0 )
626	625	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( ( ( 𝐶 / ( 1 + 𝑏 ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) + ( ( - 𝐶 · ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 ( - 𝐶 − 1 ) ) ) · Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0 ) )
627	601 626	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0 ) )
628		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 0
629		eqidd	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → 0 = 0 )
630	30 29 12 628 629	cbvmptf	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0 )
631	627 630	eqtr4di	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0 ) )
632		c0ex	⊢ 0 ∈ V
633	632	snid	⊢ 0 ∈ { 0 }
634	633	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → 0 ∈ { 0 } )
635	631 634	fmpt3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) : 𝐷 ⟶ { 0 } )
636	635	fdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → dom ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) = 𝐷 )
637		1cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → 1 ∈ ℂ )
638		0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → 0 ∈ ℂ )
639		dvconst	⊢ ( 1 ∈ ℂ → ( ℂ D ( ℂ × { 1 } ) ) = ( ℂ × { 0 } ) )
640	196 639	ax-mp	⊢ ( ℂ D ( ℂ × { 1 } ) ) = ( ℂ × { 0 } )
641		fconstmpt	⊢ ( ℂ × { 1 } ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 1 )
642	641	oveq2i	⊢ ( ℂ D ( ℂ × { 1 } ) ) = ( ℂ D ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 1 ) )
643		fconstmpt	⊢ ( ℂ × { 0 } ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 0 )
644	640 642 643	3eqtr3i	⊢ ( ℂ D ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 0 )
645	644	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ 0 ) )
646	119	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐷 ⊆ ℂ )
647		fvex	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ V
648		cnfldtps	⊢ ℂfld ∈ TopSp
649		cnfldbas	⊢ ℂ = ( Base ‘ ℂfld )
650		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
651	649 650	tpsuni	⊢ ( ℂfld ∈ TopSp → ℂ = ∪ ( TopOpen ‘ ℂfld ) )
652	648 651	ax-mp	⊢ ℂ = ∪ ( TopOpen ‘ ℂfld )
653	652	restid	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ V → ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℂ ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) )
654	647 653	ax-mp	⊢ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℂ ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
655	654	eqcomi	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℂ )
656	650	cnfldtop	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top
657		cnxmet	⊢ ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ )
658	650	cnfldtopn	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( MetOpen ‘ ( abs ∘ − ) )
659	658	blopn	⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld ) )
660	657 398 82 659	mp3an	⊢ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld )
661	99 660	eqeltri	⊢ 𝐷 ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld )
662		isopn3i	⊢ ( ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ∈ Top ∧ 𝐷 ∈ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) → ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝐷 ) = 𝐷 )
663	656 661 662	mp2an	⊢ ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝐷 ) = 𝐷
664	663	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( int ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ 𝐷 ) = 𝐷 )
665	203 637 638 645 646 655 650 664	dvmptres2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 0 ) )
666	192	oveq2i	⊢ ( ℂ D ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ) = ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) )
667	665 666 630	3eqtr3g	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 0 ) )
668	626 601 667	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ℂ D ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ) = ( ℂ D ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ) )
669		1rp	⊢ 1 ∈ ℝ+
670	74 669	eqeltrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑅 ∈ ℝ+ )
671		blcntr	⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) → 0 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) )
672	657 398 671	mp3an12	⊢ ( 𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) )
673	670 672	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑅 ) )
674	673 99	eleqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ 𝐷 )
675		0zd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℤ )
676		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) )
677		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝜑
678	29	nfel2	⊢ Ⅎ 𝑏 0 ∈ 𝐷
679	677 678	nfan	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 )
680		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑘 ∈ ℕ0
681	679 680	nfan	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 )
682	16 12	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑆 ‘ 0 )
683	682 35	nffv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 )
684	683	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ
685	681 684	nfim	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
686		eleq1	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↔ 0 ∈ 𝐷 ) )
687	686	anbi2d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ) )
688	687	anbi1d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ) )
689		fveq2	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) = ( 𝑆 ‘ 0 ) )
690	689	fveq1d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) )
691	690	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ↔ ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) )
692	688 691	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) ) )
693	685 632 692 144	vtoclf	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
694	674 693	syldanl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ )
695	12 14 682	nfseq	⊢ Ⅎ 𝑏 seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) )
696	695	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑏 seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) ∈ dom ⇝
697	679 696	nfim	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) ∈ dom ⇝ )
698	689	seqeq3d	⊢ ( 𝑏 = 0 → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) = seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) )
699	698	eleq1d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ↔ seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) ∈ dom ⇝ ) )
700	687 699	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 0 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 𝑏 ) ) ∈ dom ⇝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) ∈ dom ⇝ ) ) )
701	697 632 700 158	vtoclf	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) ∈ dom ⇝ )
702	674 701	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ 0 ) ) ∈ dom ⇝ )
703	113 675 676 694 702	isum1p	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 0 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ) )
704	133	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
705	704	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
706		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑏 = 0 )
707	706	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) = ( 0 ↑ 𝑘 ) )
708	705 707	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) )
709	708	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = 0 ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) ) )
710	122	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V
711	710	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V )
712	513 709 100 711	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑆 ‘ 0 ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) ) )
713		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → 𝑘 = 0 )
714	713	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 0 ) )
715	713	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( 0 ↑ 𝑘 ) = ( 0 ↑ 0 ) )
716	714 715	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 = 0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 0 ) · ( 0 ↑ 0 ) ) )
717	477	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ∈ ℕ0 )
718		ovexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 0 ) · ( 0 ↑ 0 ) ) ∈ V )
719	712 716 717 718	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 0 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 0 ) · ( 0 ↑ 0 ) ) )
720	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
721	720	bccn0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 0 ) = 1 )
722	100	exp0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 0 ↑ 0 ) = 1 )
723	721 722	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 0 ) · ( 0 ↑ 0 ) ) = ( 1 · 1 ) )
724		1t1e1	⊢ ( 1 · 1 ) = 1
725	724	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 1 · 1 ) = 1 )
726	719 723 725	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 0 ) = 1 )
727		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) ∈ V )
728	712 727	fvmpt2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) )
729	242 728	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) )
730		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
731	730	0expd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 0 ↑ 𝑘 ) = 0 )
732	731	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 0 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · 0 ) )
733	521	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
734	242 733	sylan2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
735	734	mul01d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · 0 ) = 0 )
736	729 732 735	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
737	736	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ 0 )
738	444	sumeq1i	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 )
739	240	eqimssi	⊢ ℕ ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 )
740	739	orci	⊢ ( ℕ ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ℕ ∈ Fin )
741		sumz	⊢ ( ( ℕ ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ∨ ℕ ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ 0 = 0 )
742	740 741	ax-mp	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ 0 = 0
743	737 738 742	3eqtr3g	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = 0 )
744	726 743	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 0 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ) = ( 1 + 0 ) )
745	703 744	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) = ( 1 + 0 ) )
746		1p0e1	⊢ ( 1 + 0 ) = 1
747	746	oveq1i	⊢ ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) = ( 1 ↑𝑐 - 𝐶 )
748	720	negcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → - 𝐶 ∈ ℂ )
749	748	1cxpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 1 ↑𝑐 - 𝐶 ) = 1 )
750	747 749	eqtrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) = 1 )
751	745 750	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) · ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( ( 1 + 0 ) · 1 ) )
752	746	oveq1i	⊢ ( ( 1 + 0 ) · 1 ) = ( 1 · 1 )
753	752 724	eqtri	⊢ ( ( 1 + 0 ) · 1 ) = 1
754	751 753	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) · ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = 1 )
755	162	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 Fn 𝐷 )
756	175	ffnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) Fn 𝐷 )
757	43	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → 𝑃 = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) ) )
758		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑥 = 0 )
759	758	fveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑆 ‘ 0 ) )
760	759	fveq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) )
761	760	sumeq2dv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 𝑥 ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) )
762		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → 0 ∈ 𝐷 )
763		sumex	⊢ Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V
764	763	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) ∈ V )
765	757 761 762 764	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑃 ‘ 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) )
766	174	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) )
767		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑥 = 0 )
768	767	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( 1 + 𝑥 ) = ( 1 + 0 ) )
769	768	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑥 = 0 ) → ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) = ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) )
770		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ V )
771	766 769 762 770	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ‘ 0 ) = ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) )
772	755 756 183 183 184 765 771	ofval	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 0 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ‘ 0 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) · ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) )
773	674 772	mpdan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ‘ 0 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ 0 ) ‘ 𝑘 ) · ( ( 1 + 0 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) )
774	193	fveq1i	⊢ ( ( 𝐷 × { 1 } ) ‘ 0 ) = ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ‘ 0 )
775	186	fvconst2	⊢ ( 0 ∈ 𝐷 → ( ( 𝐷 × { 1 } ) ‘ 0 ) = 1 )
776	674 775	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐷 × { 1 } ) ‘ 0 ) = 1 )
777	774 776	eqtr3id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ‘ 0 ) = 1 )
778	754 773 777	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ‘ 0 ) = ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ‘ 0 ) )
779	99 100 101 185 201 636 668 674 778	dv11cn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) )
780	779	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f / ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ∘f / ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) )
781		nfv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( 1 + 𝑥 ) ≠ 0
782	106 781	nfim	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑥 ) ≠ 0 )
783	172	neeq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( 1 + 𝑏 ) ≠ 0 ↔ ( 1 + 𝑥 ) ≠ 0 ) )
784	110 783	imbi12d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑏 ) ≠ 0 ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑥 ) ≠ 0 ) ) )
785	782 784 575	chvarfv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( 1 + 𝑥 ) ≠ 0 )
786	166 785 168	cxpne0d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ≠ 0 )
787		eldifsn	⊢ ( ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ≠ 0 ) )
788	169 786 787	sylanbrc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
789	788 174	fmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) : 𝐷 ⟶ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
790		ofdivcan4	⊢ ( ( 𝐷 ∈ V ∧ 𝑃 : 𝐷 ⟶ ℂ ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) : 𝐷 ⟶ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) → ( ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f / ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = 𝑃 )
791	183 162 789 790	syl3anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑃 ∘f · ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) ∘f / ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = 𝑃 )
792		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) )
793	104 29 183 239 604 792 595	offval2f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ 1 ) ∘f / ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 1 / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) )
794	780 791 793	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 1 / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) )
795	553 575 603	cxpnegd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - - 𝐶 ) = ( 1 / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) )
796	236	negnegd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → - - 𝐶 = 𝐶 )
797	796	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - - 𝐶 ) = ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 ) )
798	795 797	eqtr3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ) → ( 1 / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) = ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 ) )
799	798	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( 1 / ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 - 𝐶 ) ) ) = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 ) ) )
800	794 799	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 = ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 ) ) )
801		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 )
802		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 𝐶 )
803	172	oveq1d	⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 ) = ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 𝐶 ) )
804	29 30 801 802 803	cbvmptf	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑏 ) ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 𝐶 ) )
805	800 804	eqtrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 = ( 𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 𝐶 ) ) )
806		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) → 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) )
807	806	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) → ( 1 + 𝑥 ) = ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
808	807	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑥 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) → ( ( 1 + 𝑥 ) ↑𝑐 𝐶 ) = ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) )
809		1cnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℂ )
810	809 63	addcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
811	810 720	cxpcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℂ )
812	805 808 92 811	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑃 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) )
813	704	adantlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) )
814		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑏 = ( 𝐵 / 𝐴 ) )
815	814	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) = ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) )
816	813 815	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
817	816	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑏 = ( 𝐵 / 𝐴 ) ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) · ( 𝑏 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) )
818	122	mptex	⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V
819	818	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) ∈ V )
820	513 817 63 819	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) )
821		ovexd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ∈ V )
822	820 821	fvmpt2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
823	822	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ‘ 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
824	95 812 823	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
825	824	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
826	2 1	rerpdivcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
827	826	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
828	69 827	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ℝ )
829		df-neg	⊢ - ( 𝐵 / 𝐴 ) = ( 0 − ( 𝐵 / 𝐴 ) )
830	826	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ )
831	830	negcld	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ )
832	831	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ∈ ℝ )
833		1red	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ )
834	830	absnegd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
835	1	rpne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
836	49 51 835	absdivd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐵 ) / ( abs ‘ 𝐴 ) ) )
837	834 836	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ) = ( ( abs ‘ 𝐵 ) / ( abs ‘ 𝐴 ) ) )
838	49	abscld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ )
839	669	a1i	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ+ )
840	51 835	absrpcld	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ )
841	838	recnd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ )
842	841	div1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ 𝐵 ) / 1 ) = ( abs ‘ 𝐵 ) )
843	842 3	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ 𝐵 ) / 1 ) < ( abs ‘ 𝐴 ) )
844	838 839 840 843	ltdiv23d	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ 𝐵 ) / ( abs ‘ 𝐴 ) ) < 1 )
845	837 844	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ) < 1 )
846	832 833 845	ltled	⊢ ( 𝜑 → ( abs ‘ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ≤ 1 )
847	826	renegcld	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
848	847 833	absled	⊢ ( 𝜑 → ( ( abs ‘ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ≤ 1 ↔ ( - 1 ≤ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ∧ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ≤ 1 ) ) )
849	846 848	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( - 1 ≤ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ∧ - ( 𝐵 / 𝐴 ) ≤ 1 ) )
850	849	simprd	⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐵 / 𝐴 ) ≤ 1 )
851	829 850	eqbrtrrid	⊢ ( 𝜑 → ( 0 − ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ≤ 1 )
852		0red	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ )
853	852 826 833	lesubaddd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 − ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ) )
854	851 853	mpbid	⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
855	854	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
856	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ∈ ℝ+ )
857	856	rpred	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ∈ ℝ )
858	856	rpge0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → 0 ≤ 𝐴 )
859	828 855 857 858 720	mulcxpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) · 𝐴 ) ↑𝑐 𝐶 ) = ( ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
860	809 63 52	adddird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) · 𝐴 ) = ( ( 1 · 𝐴 ) + ( ( 𝐵 / 𝐴 ) · 𝐴 ) ) )
861	52	mullidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 )
862	50 52 62	divcan1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 / 𝐴 ) · 𝐴 ) = 𝐵 )
863	861 862	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 · 𝐴 ) + ( ( 𝐵 / 𝐴 ) · 𝐴 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
864	860 863	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) · 𝐴 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
865	864	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) · 𝐴 ) ↑𝑐 𝐶 ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑𝑐 𝐶 ) )
866	859 865	eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 1 + ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ↑𝑐 𝐶 ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑𝑐 𝐶 ) )
867	63	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ ℂ )
868		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
869	867 868	expcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ )
870	733 869	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
871	1 2 3 4 5 6 7 8 9	binomcxplemcvg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ 𝐷 ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ) ∈ dom ⇝ ∧ seq 1 ( + , ( 𝐸 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ) ∈ dom ⇝ ) )
872	871	simpld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐵 / 𝐴 ) ∈ 𝐷 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ) ∈ dom ⇝ )
873	92 872	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → seq 0 ( + , ( 𝑆 ‘ ( 𝐵 / 𝐴 ) ) ) ∈ dom ⇝ )
874	52 720	cxpcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℂ )
875	113 675 822 870 873 874	isummulc1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
876	49	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
877	51	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
878	835	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
879	876 877 878	divrecd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 / 𝐴 ) = ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
880	879	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) ↑ 𝑘 ) )
881	877 878	reccld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℂ )
882	876 881 868	mulexpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
883	880 882	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
884	883	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) )
885	876 868	expcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ )
886	881 868	expcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ )
887	733 885 886	mulassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) )
888	884 887	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
889	888	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) )
890	733 885	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
891	874	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ∈ ℂ )
892	890 886 891	mul32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) )
893	890 891 886	mulassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) )
894	889 892 893	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) )
895	868	nn0cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
896	877 895	cxpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ∈ ℂ )
897	877 878 895	cxpne0d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ≠ 0 )
898	891 896 897	divrecd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) / ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( 1 / ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ) ) )
899	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
900	877 878 899 895	cxpsubd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) / ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ) )
901	868	nn0zd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
902	877 878 901	exprecd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) = ( 1 / ( 𝐴 ↑ 𝑘 ) ) )
903		cxpexp	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) = ( 𝐴 ↑ 𝑘 ) )
904	877 868 903	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) = ( 𝐴 ↑ 𝑘 ) )
905	904	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 1 / ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ) = ( 1 / ( 𝐴 ↑ 𝑘 ) ) )
906	902 905	eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) = ( 1 / ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ) )
907	906	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( 1 / ( 𝐴 ↑𝑐 𝑘 ) ) ) )
908	898 900 907	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) = ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) )
909	908	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) · ( ( 1 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) ) )
910	899 895	subcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐶 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
911	877 910	cxpcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
912	733 885 911	mul32d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) )
913	894 909 912	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) )
914	733 911 885	mulassd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
915	913 914	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
916	915	sumeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
917	875 916	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐵 / 𝐴 ) ↑ 𝑘 ) ) · ( 𝐴 ↑𝑐 𝐶 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )
918	825 866 917	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ↑𝑐 𝐶 ) = Σ 𝑘 ∈ ℕ0 ( ( 𝐶 C𝑐 𝑘 ) · ( ( 𝐴 ↑𝑐 ( 𝐶 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) )