poimirlem26

Description: Lemma for poimir showing an even difference between the number of admissible faces and the number of admissible simplices. Equation (6) of Kulpa p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
	poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
	poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
Assertion	poimirlem26	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
2		poimirlem28.1	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 )
3		poimirlem28.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
4		fzofi	⊢ ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin
5		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin
6		mapfi	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
7	4 5 6	mp2an	⊢ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
8		mapfi	⊢ ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
9	5 5 8	mp2an	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
10		f1of	⊢ ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) )
11	10	ss2abi	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
12		ovex	⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ∈ V
13	12 12	mapval	⊢ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) = { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) }
14	11 13	sseqtrri	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) )
15		ssfi	⊢ ( ( ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ⊆ ( ( 1 ... 𝑁 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin )
16	9 14 15	mp2an	⊢ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin
17	7 16	pm3.2i	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin )
18		xpfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ∈ Fin ) → ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin )
19	17 18	mp1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin )
20		2z	⊢ 2 ∈ ℤ
21	20	a1i	⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℤ )
22		snfi	⊢ { 𝑥 } ∈ Fin
23		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin
24		rabfi	⊢ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin → { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin )
25	23 24	ax-mp	⊢ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin
26		xpfi	⊢ ( ( { 𝑥 } ∈ Fin ∧ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin ) → ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ Fin )
27	22 25 26	mp2an	⊢ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ Fin
28		hashcl	⊢ ( ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ∈ ℕ₀ )
29	27 28	ax-mp	⊢ ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ∈ ℕ₀
30	29	nn0zi	⊢ ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ∈ ℤ
31	30	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ∈ ℤ )
32	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
33		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
34		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑗 ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
35	34	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝐵 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
36	33 35	nfim	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
37		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 1 ... 𝑗 ) = ( 1 ... 𝑘 ) )
38	37	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) )
39	38	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) )
40		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑘 + 1 ) )
41	40	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) = ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) )
42	41	imaeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
43	42	xpeq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
44	39 43	uneq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
45	44	oveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
46	45	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ↔ 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
47		csbeq1a	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
48	47	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝐵 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
49	46 48	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
50		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
51		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑠 ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
52	51	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑠 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
53	50 52	nfim	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
54		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( 1^st ‘ 𝑠 ) = ( 1^st ‘ 𝑡 ) )
55		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( 2^nd ‘ 𝑠 ) = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) )
56	55	imaeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) )
57	56	xpeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) )
58	55	imaeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
59	58	xpeq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) = ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) )
60	57 59	uneq12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) = ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) )
61	54 60	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) )
62	61	eqeq2d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ↔ 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) ) )
63		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → 𝐶 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
64	63	eqeq2d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( 𝐵 = 𝐶 ↔ 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
65	62 64	imbi12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑡 → ( ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑠 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑠 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = 𝐶 ) ↔ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
66	53 65 2	chvarfv	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑗 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑗 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
67	36 49 66	chvarfv	⊢ ( 𝑝 = ( ( 1^st ‘ 𝑡 ) ∘_f + ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( 1 ... 𝑘 ) ) × { 1 } ) ∪ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) “ ( ( 𝑘 + 1 ) ... 𝑁 ) ) × { 0 } ) ) ) → 𝐵 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
68	3	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑝 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ... 𝐾 ) ) → 𝐵 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
69		xp1st	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) )
70		elmapi	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
71	69 70	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
72	71	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ ( 0 ..^ 𝐾 ) )
73		xp2nd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } )
74		fvex	⊢ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ V
75		f1oeq1	⊢ ( 𝑓 = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) → ( 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) ) )
76	74 75	elab	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
77	73 76	sylib	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
78	77	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
79		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑁
80		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑥
81	80 34	nfcsbw	⊢ Ⅎ 𝑗 ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
82	79 81	nfne	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
83		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑡 𝐶
84	83 51 63	cbvcsbw	⊢ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
85	47	csbeq2dv	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
86	84 85	syl5eq	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
87	86	neeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
88	82 87	rspc	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
89	88	impcom	⊢ ( ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
90	89	adantll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
91		1st2nd2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → 𝑥 = ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ )
92	91	csbeq1d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
93	92	ad3antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
94	90 93	neeqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ≠ ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
95	32 67 68 72 78 94	poimirlem25	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) )
96		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶
97	81	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶
98	86	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
99	96 97 98	cbvrexw	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
100	92	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
101	100	rexbidv	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
102	99 101	bitr2id	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
103	102	ralbidv	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
104		iba	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
105	103 104	sylan9bb	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
106	105	rabbidv	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 } = { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
107	106	fveq2d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) = ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
108	107	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ ⟨ ( 1^st ‘ 𝑥 ) , ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ⟩ / 𝑡 ⦌ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) = ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
109	95 108	breqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
110	109	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
111		dvds0	⊢ ( 2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0 )
112	20 111	ax-mp	⊢ 2 ∥ 0
113		hash0	⊢ ( ♯ ‘ ∅ ) = 0
114	112 113	breqtrri	⊢ 2 ∥ ( ♯ ‘ ∅ )
115		simpr	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
116	115	con3i	⊢ ( ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ¬ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
117	116	ralrimivw	⊢ ( ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
118		rabeq0	⊢ ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } = ∅ ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
119	117 118	sylibr	⊢ ( ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } = ∅ )
120	119	fveq2d	⊢ ( ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = ( ♯ ‘ ∅ ) )
121	114 120	breqtrrid	⊢ ( ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
122	110 121	pm2.61d1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
123		hashxp	⊢ ( ( { 𝑥 } ∈ Fin ∧ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) · ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
124	22 25 123	mp2an	⊢ ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) · ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
125		vex	⊢ 𝑥 ∈ V
126		hashsng	⊢ ( 𝑥 ∈ V → ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) = 1 )
127	125 126	ax-mp	⊢ ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) = 1
128	127	oveq1i	⊢ ( ( ♯ ‘ { 𝑥 } ) · ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( 1 · ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
129		hashcl	⊢ ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin → ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ ℕ₀ )
130	25 129	ax-mp	⊢ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ ℕ₀
131	130	nn0cni	⊢ ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ ℂ
132	131	mulid2i	⊢ ( 1 · ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
133	124 128 132	3eqtri	⊢ ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ♯ ‘ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
134	122 133	breqtrrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → 2 ∥ ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
135	19 21 31 134	fsumdvds	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
136	7 16 18	mp2an	⊢ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin
137		xpfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) → ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin )
138	136 23 137	mp2an	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin
139		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin )
140	138 139	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin
141	1	nncnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
142		npcan1	⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
143	141 142	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
144		nnm1nn0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ₀ )
145	1 144	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ₀ )
146	145	nn0zd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
147		uzid	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
148		peano2uz	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
149	146 147 148	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
150	143 149	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) )
151		fzss2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) )
152		ssralv	⊢ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
153	150 151 152	3syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
154	153	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
155		raldifb	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
156		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝜑
157		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑗 ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
158	157	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
159	156 158	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
160		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
161	159 160	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
162		nnel	⊢ ( ¬ 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ↔ 𝑗 ∈ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } )
163		velsn	⊢ ( 𝑗 ∈ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ↔ 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) )
164	162 163	bitri	⊢ ( ¬ 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ↔ 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) )
165		csbeq1a	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
166	165	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
167	166	biimparc	⊢ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ) → 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
168	1	nnred	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ )
169	168	ltm1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 )
170	145	nn0red	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ )
171	170 168	ltnled	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
172	169 171	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑁 ≤ ( 𝑁 − 1 ) )
173		elfzle2	⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑁 − 1 ) )
174	172 173	nsyl	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
175		eleq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
176	175	notbid	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( ¬ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
177	174 176	syl5ibrcom	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 = 𝑁 → ¬ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
178	177	con2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ¬ 𝑖 = 𝑁 ) )
179	178	imp	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ¬ 𝑖 = 𝑁 )
180		eqeq2	⊢ ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( 𝑖 = 𝑁 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
181	180	notbid	⊢ ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ¬ 𝑖 = 𝑁 ↔ ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
182	179 181	syl5ibcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
183	167 182	syl5	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ) → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
184	183	expdimp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
185	184	an32s	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
186	164 185	syl5bi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ¬ 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
187		idd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
188	186 187	jad	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
189	188	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
190	161 189	ralimdaa	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑗 ∉ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } → ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
191	155 190	syl5bir	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
192	191	con3d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
193		dfrex2	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
194		dfrex2	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ ∀ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ¬ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
195	192 193 194	3imtr4g	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
196	195	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
197	154 196	syld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
198	197	expimpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
199	198	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
200	199	ss2rabdv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } )
201		hashssdif	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∈ Fin ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
202	140 200 201	sylancr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
203		xp2nd	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
204		df-ne	⊢ ( 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
205	204	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
206		ralnex	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ¬ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
207	205 206	bitri	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
208	1	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀ )
209		nn0uz	⊢ ℕ₀ = ( ℤ_≥ ‘ 0 )
210	208 209	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
211	143 210	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) )
212		fzsplit2	⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 0 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ_≥ ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
213	211 150 212	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) )
214	143	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) = ( 𝑁 ... 𝑁 ) )
215	1	nnzd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
216		fzsn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 ... 𝑁 ) = { 𝑁 } )
217	215 216	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ... 𝑁 ) = { 𝑁 } )
218	214 217	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) = { 𝑁 } )
219	218	uneq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
220	213 219	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
221	220	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
222		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
223		difss	⊢ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 )
224		ssrexv	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
225	223 224	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
226	225	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
227	226	biantrurd	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
228	222 227	bitr4id	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
229	221 228	sylan9bb	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
230	229	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
231		nn0fz0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
232	208 231	sylib	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
233	232	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
234		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
235	234	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
236	235	rspcva	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
237		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
238		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
239		nfre1	⊢ Ⅎ 𝑗 ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
240	238 239	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑗 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
241	237 240	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
242		eleq1	⊢ ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
243	242	notbid	⊢ ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ¬ 𝑁 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ¬ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
244	174 243	syl5ibcom	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ¬ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
245	244	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ¬ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
246		eldifsn	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ≠ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ) )
247		diffi	⊢ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∈ Fin )
248	23 247	ax-mp	⊢ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∈ Fin
249		ssrab2	⊢ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ⊆ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } )
250		ssdomg	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∈ Fin → ( { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ⊆ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) → { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ≼ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) )
251	248 249 250	mp2	⊢ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ≼ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } )
252		hashdifsn	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ... 𝑁 ) ) − 1 ) )
253	23 252	mpan	⊢ ( ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ♯ ‘ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 0 ... 𝑁 ) ) − 1 ) )
254		1cnd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ )
255	141 254 254	addsubd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) )
256		hashfz0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ₀ → ( ♯ ‘ ( 0 ... 𝑁 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) )
257	208 256	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ... 𝑁 ) ) = ( 𝑁 + 1 ) )
258	257	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ... 𝑁 ) ) − 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 1 ) )
259		hashfz0	⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ₀ → ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) )
260	145 259	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) )
261	255 258 260	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ... 𝑁 ) ) − 1 ) = ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
262	253 261	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ♯ ‘ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) = ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
263		fzfi	⊢ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin
264		hashen	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) = ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ↔ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
265	248 263 264	mp2an	⊢ ( ( ♯ ‘ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) = ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ↔ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
266	262 265	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
267		rabfi	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∈ Fin → { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∈ Fin )
268	248 267	ax-mp	⊢ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∈ Fin
269		eleq1	⊢ ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
270	269	biimpac	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
271		rabid	⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↔ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∧ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
272	271	simplbi2com	⊢ ( ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) → 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) )
273	270 272	syl	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) → 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) )
274	273	impancom	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) )
275	274	ancrd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
276	275	expimpd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
277	276	reximdv2	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
278	271	simplbi	⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } → 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) )
279	274	pm4.71rd	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
280		df-mpt	⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) = { ⟨ 𝑘 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
281		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
282		nfrab1	⊢ Ⅎ 𝑗 { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) }
283	282	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) }
284		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑗 ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
285	284	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
286	283 285	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
287		eleq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↔ 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) )
288		csbeq1a	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
289	288	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
290	287 289	anbi12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
291	281 286 290	cbvopab1	⊢ { ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } = { ⟨ 𝑘 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
292	280 291	eqtr4i	⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) = { ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
293	292	breqi	⊢ ( 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ↔ 𝑗 { ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } 𝑖 )
294		df-br	⊢ ( 𝑗 { ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } 𝑖 ↔ ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∈ { ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
295		opabidw	⊢ ( ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∈ { ⟨ 𝑗 , 𝑖 ⟩ ∣ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ↔ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
296	293 294 295	3bitri	⊢ ( 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ↔ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∧ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
297	279 296	bitr4di	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
298	278 297	sylan2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
299	298	rexbidva	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
300		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑝 { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) }
301		nfv	⊢ Ⅎ 𝑝 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖
302		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑝
303	282 284	nfmpt	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
304		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑖
305	302 303 304	nfbr	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖
306		breq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑝 → ( 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ↔ 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
307	282 300 301 305 306	cbvrexfw	⊢ ( ∃ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑗 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ↔ ∃ 𝑝 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 )
308	299 307	bitrdi	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑝 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
309	277 308	sylibd	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃ 𝑝 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
310	309	ralimia	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 )
311		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) = ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
312		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑘
313		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } )
314	284	nfel1	⊢ Ⅎ 𝑗 ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
315	288	eleq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
316	312 313 314 315	elrabf	⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↔ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∧ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
317	316	simprbi	⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } → ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
318	311 317	fmpti	⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) : { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ⟶ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) )
319	310 318	jctil	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) : { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ⟶ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
320		dffo4	⊢ ( ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) : { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } –onto→ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) : { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ⟶ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑝 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } 𝑝 ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) 𝑖 ) )
321	319 320	sylibr	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) : { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } –onto→ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
322		fodomfi	⊢ ( ( { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ∈ Fin ∧ ( 𝑘 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↦ ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) : { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } –onto→ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ≼ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } )
323	268 321 322	sylancr	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ≼ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } )
324		endomtr	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ≼ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≼ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } )
325	266 323 324	syl2an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≼ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } )
326		sbth	⊢ ( ( { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ≼ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∧ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ≼ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ) → { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ≈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) )
327	251 325 326	sylancr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ≈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) )
328		fisseneq	⊢ ( ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∈ Fin ∧ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ⊆ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∧ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ≈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } = ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) )
329	248 249 327 328	mp3an12i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } = ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) )
330	329	eleq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } ↔ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) )
331	330	biimpar	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } )
332	288	equcoms	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
333	332	eqcomd	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
334	333	eleq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
335	334 317	vtoclga	⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ∣ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) } → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
336	331 335	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
337	246 336	sylan2br	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ≠ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ) ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
338	337	expr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑗 ≠ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
339	338	necon1bd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ¬ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ) )
340	245 339	syld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ) )
341	340	imp	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑡 ) )
342	341 165	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
343		eqtr	⊢ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
344	343	ex	⊢ ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ( ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
345	344	adantl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
346	342 345	mpd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
347	346	exp31	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
348	241 158 347	rexlimd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
349	236 348	syl5	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
350	233 349	mpand	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
351	350	pm4.71rd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
352	235	ralsng	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
353	1 352	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
354	353	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ { 𝑁 } ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
355	230 351 354	3bitr3rd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
356	355	notbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ¬ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
357	207 356	syl5bb	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ¬ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
358	357	pm5.32da	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
359	203 358	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
360	359	rabbidva	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) } )
361		nfv	⊢ Ⅎ 𝑦 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩
362		nfv	⊢ Ⅎ 𝑦 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } )
363		nfrab1	⊢ Ⅎ 𝑦 { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
364	363	nfcri	⊢ Ⅎ 𝑦 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
365	362 364	nfan	⊢ Ⅎ 𝑦 ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
366	361 365	nfan	⊢ Ⅎ 𝑦 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
367		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
368		opeq2	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ )
369	368	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ ↔ 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ) )
370		eleq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ( 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ↔ 𝑦 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
371		rabid	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
372	370 371	bitrdi	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ( 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ↔ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
373	372	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) ) )
374		3anass	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
375	373 374	bitr4di	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
376	369 375	anbi12d	⊢ ( 𝑘 = 𝑦 → ( ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ↔ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) ) )
377	366 367 376	cbvexv1	⊢ ( ∃ 𝑘 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
378	377	exbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑘 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
379		eliunxp	⊢ ( 𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑘 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑘 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
380		elopab	⊢ ( 𝑡 ∈ { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∧ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
381	378 379 380	3bitr4i	⊢ ( 𝑡 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ 𝑡 ∈ { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) } )
382	381	eqriv	⊢ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) }
383		vex	⊢ 𝑦 ∈ V
384	125 383	op2ndd	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = 𝑦 )
385	384	sneqd	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } = { 𝑦 } )
386	385	difeq2d	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) = ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) )
387	125 383	op1std	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = 𝑥 )
388	387	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
389	388	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
390	386 389	rexeqbidv	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
391	390	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
392	388	neeq2d	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
393	392	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
394	391 393	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
395	394	rabxp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) }
396	382 395	eqtr4i	⊢ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
397		difrab	⊢ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ¬ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) }
398	360 396 397	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
399	398	fveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
400	27	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) → ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∈ Fin )
401		inxp	⊢ ( ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∩ ( { 𝑡 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( { 𝑥 } ∩ { 𝑡 } ) × ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∩ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
402		df-ne	⊢ ( 𝑥 ≠ 𝑡 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑡 )
403		disjsn2	⊢ ( 𝑥 ≠ 𝑡 → ( { 𝑥 } ∩ { 𝑡 } ) = ∅ )
404	402 403	sylbir	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑡 → ( { 𝑥 } ∩ { 𝑡 } ) = ∅ )
405	404	xpeq1d	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑡 → ( ( { 𝑥 } ∩ { 𝑡 } ) × ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∩ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ∅ × ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∩ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
406		0xp	⊢ ( ∅ × ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∩ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ∅
407	405 406	eqtrdi	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑡 → ( ( { 𝑥 } ∩ { 𝑡 } ) × ( { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∩ { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ∅ )
408	401 407	syl5eq	⊢ ( ¬ 𝑥 = 𝑡 → ( ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∩ ( { 𝑡 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ∅ )
409	408	orri	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 ∨ ( ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∩ ( { 𝑡 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ∅ )
410	409	rgen2w	⊢ ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( 𝑥 = 𝑡 ∨ ( ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∩ ( { 𝑡 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ∅ )
411		sneq	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → { 𝑥 } = { 𝑡 } )
412		csbeq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
413	412	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
414	413	rexbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
415	414	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
416	412	neeq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
417	416	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
418	415 417	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
419	418	rabbidv	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } = { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
420	411 419	xpeq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑡 → ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = ( { 𝑡 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
421	420	disjor	⊢ ( Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∀ 𝑡 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( 𝑥 = 𝑡 ∨ ( ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ∩ ( { 𝑡 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑡 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ∅ ) )
422	410 421	mpbir	⊢ Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
423	422	a1i	⊢ ( 𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
424	19 400 423	hashiun	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ∪ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
425	399 424	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ∖ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) )
426		fo1st	⊢ 1^st : V –onto→ V
427		fofun	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → Fun 1^st )
428	426 427	ax-mp	⊢ Fun 1^st
429		ssv	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ V
430		fof	⊢ ( 1^st : V –onto→ V → 1^st : V ⟶ V )
431	426 430	ax-mp	⊢ 1^st : V ⟶ V
432	431	fdmi	⊢ dom 1^st = V
433	429 432	sseqtrri	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ dom 1^st
434		fores	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) )
435	428 433 434	mp2an	⊢ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } )
436		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) )
437	436	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
438		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
439	438	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
440	439	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
441	437 440	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
442	441	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
443	439	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
444	443	rexbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
445	444	ralbidv	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
446	442 445	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
447	446	rexrab	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
448		xp1st	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
449	448	anim1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
450		eleq1	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ↔ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) )
451		csbeq1a	⊢ ( 𝑠 = ( 1^st ‘ 𝑥 ) → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
452	451	eqcoms	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
453	452	eqcomd	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = 𝐶 )
454	453	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑖 = 𝐶 ) )
455	454	rexbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) )
456	455	ralbidv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) )
457	450 456	anbi12d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
458	449 457	syl5ibcom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
459	458	adantrl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
460	459	expimpd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
461	460	rexlimiv	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) → ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) )
462		simplr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) )
463		ovex	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ∈ V
464	463	enref	⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ≈ ( 0 ... 𝑁 )
465		phpreu	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ≈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) )
466	23 464 465	mp2an	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 )
467	466	biimpi	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 )
468		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( 𝑖 = 𝐶 ↔ 𝑁 = 𝐶 ) )
469	468	reubidv	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ↔ ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) )
470	469	rspcva	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 )
471	232 467 470	syl2an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 )
472		riotacl	⊢ ( ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 → ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
473	471 472	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
474	473	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
475		opelxpi	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
476	462 474 475	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
477		riotasbc	⊢ ( ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 → [ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ] 𝑁 = 𝐶 )
478	471 477	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → [ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ] 𝑁 = 𝐶 )
479		riotaex	⊢ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ∈ V
480		sbceq2g	⊢ ( ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ∈ V → ( [ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ] 𝑁 = 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ) )
481	479 480	ax-mp	⊢ ( [ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ] 𝑁 = 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 )
482	478 481	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 )
483	482	expcom	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 → ( 𝜑 → 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ) )
484	483	imdistanri	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ( 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) )
485	484	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ( 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) )
486		vex	⊢ 𝑠 ∈ V
487	486 479	op2ndd	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) )
488	487	csbeq1d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 )
489		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑠
490		nfriota1	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 )
491	489 490	nfop	⊢ Ⅎ 𝑗 ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩
492	491	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩
493	486 479	op1std	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 )
494	493	eqcomd	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → 𝑠 = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
495	494 451	syl	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
496	492 495	csbeq2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
497	488 496	eqtr3d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
498	497	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
499	495	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( 𝑖 = 𝐶 ↔ 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
500	492 499	rexbid	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
501	500	ralbidv	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
502	498 501	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( ( 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
503	493	biantrud	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ) )
504	502 503	bitr2d	⊢ ( 𝑥 = ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ → ( ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
505	504	rspcev	⊢ ( ( ⟨ 𝑠 , ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) ⟩ ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( ℩ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = 𝐶 ) / 𝑗 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
506	476 485 505	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
507	506	expl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ) )
508	461 507	impbid2	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
509	447 508	syl5bb	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ↔ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) ) )
510	509	abbidv	⊢ ( 𝜑 → { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) } )
511		dfimafn	⊢ ( ( Fun 1^st ∧ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ dom 1^st ) → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } )
512	428 433 511	mp2an	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 }
513		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 2^nd ‘ 𝑡 )
514		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑠 ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
515	513 514	nfcsbw	⊢ Ⅎ 𝑠 ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
516	515	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑠 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
517		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 0 ... 𝑁 )
518	514	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑠 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
519	517 518	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
520	517 519	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑠 ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
521	516 520	nfan	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
522		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) )
523	521 522	nfrabw	⊢ Ⅎ 𝑠 { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) }
524		nfv	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
525	523 524	nfrex	⊢ Ⅎ 𝑠 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦
526		nfv	⊢ Ⅎ 𝑦 ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠
527		eqeq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
528	527	rexbidv	⊢ ( 𝑦 = 𝑠 → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 ) )
529	525 526 528	cbvabw	⊢ { 𝑦 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑦 } = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
530	512 529	eqtri	⊢ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑠 ∣ ∃ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( 1^st ‘ 𝑥 ) = 𝑠 }
531		df-rab	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } = { 𝑠 ∣ ( 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 ) }
532	510 530 531	3eqtr4g	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
533		foeq3	⊢ ( ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) )
534	532 533	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ ( 1^st “ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ↔ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) )
535	435 534	mpbii	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
536		fof	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
537	535 536	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
538		fvres	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑥 ) )
539		fvres	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑦 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) )
540	538 539	eqeqan12d	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑦 ) ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) )
541	540	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑦 ) ↔ ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ) )
542	446	elrab	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ↔ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
543		xp2nd	⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
544	543	anim1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
545	542 544	sylbi	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
546		simpl	⊢ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
547	546	a1i	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
548	547	ss2rabi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⊆ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 }
549	548	sseli	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } )
550		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ( 2^nd ‘ 𝑡 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) )
551	550	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
552		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ( 1^st ‘ 𝑡 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) )
553	552	csbeq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
554	553	csbeq2dv	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
555	551 554	eqtrd	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
556	555	eqeq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑦 → ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
557	556	elrab	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ↔ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
558		xp2nd	⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
559	558	anim1i	⊢ ( ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
560	557 559	sylbi	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } → ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
561	549 560	syl	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
562	545 561	anim12i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
563		an4	⊢ ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
564	563	anbi2i	⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
565		anass	⊢ ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
566		ancom	⊢ ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
567	565 566	bitr3i	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
568	567	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
569		anass	⊢ ( ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
570	568 569	bitri	⊢ ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
571		anass	⊢ ( ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) )
572	564 570 571	3bitr4i	⊢ ( ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
573	562 572	sylib	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) → ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
574		phpreu	⊢ ( ( ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ≈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
575	23 464 574	mp2an	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
576		reurmo	⊢ ( ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
577	576	ralimi	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃! 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
578	575 577	sylbi	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
579		eqeq1	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
580	579	rmobidv	⊢ ( 𝑖 = 𝑁 → ( ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
581	580	rspcva	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
582	232 578 581	syl2an	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
583		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
584	583	rmo3	⊢ ( ∃* 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑗 = 𝑘 ) )
585	582 584	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑗 = 𝑘 ) )
586		nfcsb1v	⊢ Ⅎ 𝑗 ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
587	586	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑗 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
588		nfs1v	⊢ Ⅎ 𝑗 [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶
589	587 588	nfan	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
590		nfv	⊢ Ⅎ 𝑗 ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑘
591	589 590	nfim	⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑘 )
592		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) )
593		csbeq1a	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
594	593	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
595	594	anbi1d	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
596		eqeq1	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) → ( 𝑗 = 𝑘 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑘 ) )
597	595 596	imbi12d	⊢ ( 𝑗 = ( 2^nd ‘ 𝑥 ) → ( ( ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑗 = 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑘 ) ) )
598		sbsbc	⊢ ( [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
599		vex	⊢ 𝑘 ∈ V
600		sbceq2g	⊢ ( 𝑘 ∈ V → ( [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
601	599 600	ax-mp	⊢ ( [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
602	598 601	bitri	⊢ ( [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
603		csbeq1	⊢ ( 𝑘 = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
604	603	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → ( 𝑁 = ⦋ 𝑘 / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
605	602 604	syl5bb	⊢ ( 𝑘 = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → ( [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
606	605	anbi2d	⊢ ( 𝑘 = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
607		eqeq2	⊢ ( 𝑘 = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑘 ↔ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) )
608	606 607	imbi12d	⊢ ( 𝑘 = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → ( ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 𝑘 ) ↔ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ) )
609	591 592 597 608	rspc2	⊢ ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∀ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ [ 𝑘 / 𝑗 ] 𝑁 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → 𝑗 = 𝑘 ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ) )
610	585 609	syl5com	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ) )
611	610	impr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) )
612		csbeq1	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
613	612	csbeq2dv	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 )
614	613	eqeq2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ↔ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) )
615	614	anbi2d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ↔ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) )
616	615	imbi1d	⊢ ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ) )
617	611 616	syl5ibcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ) )
618	617	com23	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ) )
619	618	impr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑥 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑦 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑦 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) )
620	573 619	sylan2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) )
621		elrabi	⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
622		elrabi	⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } → 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) )
623		xpopth	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑥 = 𝑦 ) )
624	623	biimpd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) ∧ ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
625	624	expd	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
626	621 622 625	syl2an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
627	626	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = ( 2^nd ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
628	620 627	mpdd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) → ( ( 1^st ‘ 𝑥 ) = ( 1^st ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
629	541 628	sylbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∧ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) → ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
630	629	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
631		dff13	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ⟶ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ∧ ∀ 𝑥 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ( ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
632	537 630 631	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
633		df-f1o	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ↔ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –1-1→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ∧ ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) )
634	632 535 633	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
635		rabfi	⊢ ( ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∈ Fin → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin )
636	138 635	ax-mp	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin
637	636	elexi	⊢ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ V
638	637	f1oen	⊢ ( ( 1^st ↾ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) : { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } –1-1-onto→ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
639	634 638	syl	⊢ ( 𝜑 → { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
640		rabfi	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∈ Fin → { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ∈ Fin )
641	136 640	ax-mp	⊢ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ∈ Fin
642		hashen	⊢ ( ( { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ∈ Fin ∧ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ∈ Fin ) → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) )
643	636 641 642	mp2an	⊢ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) ↔ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ≈ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } )
644	639 643	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) = ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) )
645	644	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ( 𝑁 = ⦋ ( 2^nd ‘ 𝑡 ) / 𝑗 ⦌ ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) ) )
646	202 425 645	3eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑥 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ( ♯ ‘ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∣ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { 𝑦 } ) 𝑖 = ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑁 ≠ ⦋ 𝑥 / 𝑠 ⦌ 𝐶 ) } ) ) = ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) ) )
647	135 646	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 2 ∥ ( ( ♯ ‘ { 𝑡 ∈ ( ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) × ( 0 ... 𝑁 ) ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∃ 𝑗 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ∖ { ( 2^nd ‘ 𝑡 ) } ) 𝑖 = ⦋ ( 1^st ‘ 𝑡 ) / 𝑠 ⦌ 𝐶 } ) − ( ♯ ‘ { 𝑠 ∈ ( ( ( 0 ..^ 𝐾 ) ↑_m ( 1 ... 𝑁 ) ) × { 𝑓 ∣ 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) } ) ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑖 = 𝐶 } ) ) )

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Theorem poimirlem26

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