Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem103.f |
|- ( ph -> F : RR --> RR ) |
2 |
|
fourierdlem103.xre |
|- ( ph -> X e. RR ) |
3 |
|
fourierdlem103.p |
|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) |
4 |
|
fourierdlem103.m |
|- ( ph -> M e. NN ) |
5 |
|
fourierdlem103.v |
|- ( ph -> V e. ( P ` M ) ) |
6 |
|
fourierdlem103.x |
|- ( ph -> X e. ran V ) |
7 |
|
fourierdlem103.fcn |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
8 |
|
fourierdlem103.fbdioo |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
9 |
|
fourierdlem103.fdvcn |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) |
10 |
|
fourierdlem103.fdvbd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) |
11 |
|
fourierdlem103.r |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) ) |
12 |
|
fourierdlem103.l |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) |
13 |
|
fourierdlem103.h |
|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |
14 |
|
fourierdlem103.k |
|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
15 |
|
fourierdlem103.u |
|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) |
16 |
|
fourierdlem103.s |
|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
17 |
|
fourierdlem103.g |
|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |
18 |
|
fourierdlem103.z |
|- Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) |
19 |
|
fourierdlem103.e |
|- E = ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) |
20 |
|
fourierdlem103.y |
|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) ) |
21 |
|
fourierdlem103.w |
|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) ) |
22 |
|
fourierdlem103.a |
|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) ) |
23 |
|
fourierdlem103.b |
|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) ) |
24 |
|
fourierdlem103.d |
|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
25 |
|
fourierdlem103.o |
|- O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) |
26 |
|
fourierdlem103.t |
|- T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) |
27 |
|
fourierdlem103.n |
|- N = ( ( # ` T ) - 1 ) |
28 |
|
fourierdlem103.j |
|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) ) |
29 |
|
fourierdlem103.q |
|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) |
30 |
|
fourierdlem103.1 |
|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) |
31 |
|
fourierdlem103.ch |
|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
32 |
|
eqid |
|- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 ) |
33 |
|
1zzd |
|- ( ph -> 1 e. ZZ ) |
34 |
|
nfv |
|- F/ n ph |
35 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ n ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) |
36 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ n ( n e. NN |-> _pi ) |
37 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ n ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) |
38 |
19 37
|
nfcxfr |
|- F/_ n E |
39 |
|
nnuz |
|- NN = ( ZZ>= ` 1 ) |
40 |
|
pire |
|- _pi e. RR |
41 |
40
|
renegcli |
|- -u _pi e. RR |
42 |
41
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR ) |
43 |
|
elioore |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d e. RR ) |
44 |
43
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. RR ) |
45 |
|
ioossre |
|- ( X (,) +oo ) C_ RR |
46 |
45
|
a1i |
|- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR ) |
47 |
1 46
|
fssresd |
|- ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR ) |
48 |
|
ioosscn |
|- ( X (,) +oo ) C_ CC |
49 |
48
|
a1i |
|- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC ) |
50 |
|
eqid |
|- ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld ) |
51 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
52 |
51
|
a1i |
|- ( ph -> +oo e. RR* ) |
53 |
2
|
ltpnfd |
|- ( ph -> X < +oo ) |
54 |
50 52 2 53
|
lptioo1cn |
|- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) ) |
55 |
47 49 54 20
|
limcrecl |
|- ( ph -> Y e. RR ) |
56 |
|
ioossre |
|- ( -oo (,) X ) C_ RR |
57 |
56
|
a1i |
|- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR ) |
58 |
1 57
|
fssresd |
|- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR ) |
59 |
|
ioosscn |
|- ( -oo (,) X ) C_ CC |
60 |
59
|
a1i |
|- ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC ) |
61 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
62 |
61
|
a1i |
|- ( ph -> -oo e. RR* ) |
63 |
2
|
mnfltd |
|- ( ph -> -oo < X ) |
64 |
50 62 2 63
|
lptioo2cn |
|- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) ) |
65 |
58 60 64 21
|
limcrecl |
|- ( ph -> W e. RR ) |
66 |
1 2 55 65 13 14 15
|
fourierdlem55 |
|- ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
67 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
68 |
67
|
a1i |
|- ( ph -> RR C_ CC ) |
69 |
66 68
|
fssd |
|- ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC ) |
70 |
69
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC ) |
71 |
41
|
a1i |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR ) |
72 |
40
|
a1i |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> _pi e. RR ) |
73 |
71
|
leidd |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ -u _pi ) |
74 |
|
0red |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR ) |
75 |
41
|
rexri |
|- -u _pi e. RR* |
76 |
|
0xr |
|- 0 e. RR* |
77 |
|
iooltub |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 ) |
78 |
75 76 77
|
mp3an12 |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < 0 ) |
79 |
|
pipos |
|- 0 < _pi |
80 |
79
|
a1i |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 < _pi ) |
81 |
43 74 72 78 80
|
lttrd |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < _pi ) |
82 |
43 72 81
|
ltled |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d <_ _pi ) |
83 |
|
iccss |
|- ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ _pi ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
84 |
71 72 73 82 83
|
syl22anc |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
85 |
84
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
86 |
70 85
|
fssresd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) |
87 |
25
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ) |
88 |
87
|
feq1d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( O : ( -u _pi [,] d ) --> CC <-> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) ) |
89 |
86 88
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) |
90 |
41
|
elexi |
|- -u _pi e. _V |
91 |
90
|
prid1 |
|- -u _pi e. { -u _pi , d } |
92 |
|
elun1 |
|- ( -u _pi e. { -u _pi , d } -> -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) ) |
93 |
91 92
|
ax-mp |
|- -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) |
94 |
93 26
|
eleqtrri |
|- -u _pi e. T |
95 |
94
|
ne0ii |
|- T =/= (/) |
96 |
95
|
a1i |
|- ( ph -> T =/= (/) ) |
97 |
|
prfi |
|- { -u _pi , d } e. Fin |
98 |
97
|
a1i |
|- ( ph -> { -u _pi , d } e. Fin ) |
99 |
|
fzfi |
|- ( 0 ... M ) e. Fin |
100 |
29
|
rnmptfi |
|- ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin ) |
101 |
99 100
|
ax-mp |
|- ran Q e. Fin |
102 |
101
|
a1i |
|- ( ph -> ran Q e. Fin ) |
103 |
|
infi |
|- ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin ) |
104 |
102 103
|
syl |
|- ( ph -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin ) |
105 |
|
unfi |
|- ( ( { -u _pi , d } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin ) |
106 |
98 104 105
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin ) |
107 |
26 106
|
eqeltrid |
|- ( ph -> T e. Fin ) |
108 |
|
hashnncl |
|- ( T e. Fin -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) ) |
109 |
107 108
|
syl |
|- ( ph -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) ) |
110 |
96 109
|
mpbird |
|- ( ph -> ( # ` T ) e. NN ) |
111 |
|
nnm1nn0 |
|- ( ( # ` T ) e. NN -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 ) |
112 |
110 111
|
syl |
|- ( ph -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 ) |
113 |
27 112
|
eqeltrid |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
114 |
113
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN0 ) |
115 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR ) |
116 |
|
1red |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR ) |
117 |
114
|
nn0red |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. RR ) |
118 |
|
0lt1 |
|- 0 < 1 |
119 |
118
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < 1 ) |
120 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
121 |
120
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 e. RR ) |
122 |
110
|
nnred |
|- ( ph -> ( # ` T ) e. RR ) |
123 |
122
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` T ) e. RR ) |
124 |
|
ioogtlb |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d ) |
125 |
75 76 124
|
mp3an12 |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi < d ) |
126 |
71 125
|
ltned |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi =/= d ) |
127 |
126
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi =/= d ) |
128 |
|
hashprg |
|- ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) ) |
129 |
42 44 128
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) ) |
130 |
127 129
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) |
131 |
130
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 = ( # ` { -u _pi , d } ) ) |
132 |
107
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T e. Fin ) |
133 |
|
ssun1 |
|- { -u _pi , d } C_ ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) |
134 |
133 26
|
sseqtrri |
|- { -u _pi , d } C_ T |
135 |
|
hashssle |
|- ( ( T e. Fin /\ { -u _pi , d } C_ T ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) ) |
136 |
132 134 135
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) ) |
137 |
131 136
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 <_ ( # ` T ) ) |
138 |
121 123 116 137
|
lesub1dd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( # ` T ) - 1 ) ) |
139 |
|
1e2m1 |
|- 1 = ( 2 - 1 ) |
140 |
138 139 27
|
3brtr4g |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 <_ N ) |
141 |
115 116 117 119 140
|
ltletrd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < N ) |
142 |
141
|
gt0ne0d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N =/= 0 ) |
143 |
114 142
|
jca |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) ) |
144 |
|
elnnne0 |
|- ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) ) |
145 |
143 144
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN ) |
146 |
73
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ -u _pi ) |
147 |
71 43 125
|
ltled |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ d ) |
148 |
147
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ d ) |
149 |
42 44 42 146 148
|
eliccd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) ) |
150 |
44
|
leidd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d <_ d ) |
151 |
42 44 44 148 150
|
eliccd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. ( -u _pi [,] d ) ) |
152 |
149 151
|
jca |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) ) |
153 |
|
vex |
|- d e. _V |
154 |
90 153
|
prss |
|- ( ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) <-> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
155 |
152 154
|
sylib |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
156 |
|
inss2 |
|- ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d ) |
157 |
156
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d ) ) |
158 |
|
ioossicc |
|- ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d ) |
159 |
157 158
|
sstrdi |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
160 |
155 159
|
unssd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
161 |
26 160
|
eqsstrid |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
162 |
94
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. T ) |
163 |
153
|
prid2 |
|- d e. { -u _pi , d } |
164 |
|
elun1 |
|- ( d e. { -u _pi , d } -> d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) ) |
165 |
163 164
|
ax-mp |
|- d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) |
166 |
165 26
|
eleqtrri |
|- d e. T |
167 |
166
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. T ) |
168 |
132 27 28 42 44 161 162 167
|
fourierdlem52 |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) /\ ( J ` N ) = d ) ) |
169 |
168
|
simpld |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) ) |
170 |
169
|
simpld |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) ) |
171 |
169
|
simprd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` 0 ) = -u _pi ) |
172 |
168
|
simprd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` N ) = d ) |
173 |
|
elfzoelz |
|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ZZ ) |
174 |
173
|
zred |
|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. RR ) |
175 |
174
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. RR ) |
176 |
175
|
ltp1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k < ( k + 1 ) ) |
177 |
71 43
|
jca |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) ) |
178 |
90 153
|
prss |
|- ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) <-> { -u _pi , d } C_ RR ) |
179 |
177 178
|
sylib |
|- ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> { -u _pi , d } C_ RR ) |
180 |
179
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ RR ) |
181 |
|
ioossre |
|- ( -u _pi (,) d ) C_ RR |
182 |
156 181
|
sstri |
|- ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR |
183 |
182
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR ) |
184 |
180 183
|
unssd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ RR ) |
185 |
26 184
|
eqsstrid |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ RR ) |
186 |
132 185 28 27
|
fourierdlem36 |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) ) |
187 |
186
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) ) |
188 |
|
elfzofz |
|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ( 0 ... N ) ) |
189 |
188
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) ) |
190 |
|
fzofzp1 |
|- ( k e. ( 0 ..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) |
191 |
190
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) |
192 |
|
isorel |
|- ( ( J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
193 |
187 189 191 192
|
syl12anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
194 |
176 193
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) |
195 |
66
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
196 |
195 85
|
feqresmpt |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( U ` s ) ) ) |
197 |
85
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
198 |
1 2 55 65 13
|
fourierdlem9 |
|- ( ph -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
199 |
198
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
200 |
199 197
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) e. RR ) |
201 |
14
|
fourierdlem43 |
|- K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR |
202 |
201
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
203 |
202 197
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) e. RR ) |
204 |
200 203
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) |
205 |
15
|
fvmpt2 |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) |
206 |
197 204 205
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) |
207 |
41
|
a1i |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR ) |
208 |
43
|
adantr |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR ) |
209 |
|
simpr |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) ) |
210 |
|
eliccre |
|- ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR ) |
211 |
207 208 209 210
|
syl3anc |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR ) |
212 |
|
0red |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 0 e. RR ) |
213 |
75
|
a1i |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR* ) |
214 |
208
|
rexrd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR* ) |
215 |
|
iccleub |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d ) |
216 |
213 214 209 215
|
syl3anc |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d ) |
217 |
78
|
adantr |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < 0 ) |
218 |
211 208 212 216 217
|
lelttrd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < 0 ) |
219 |
211 218
|
ltned |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 ) |
220 |
219
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 ) |
221 |
220
|
neneqd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 ) |
222 |
221
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) |
223 |
211 212 218
|
ltnsymd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s ) |
224 |
223
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s ) |
225 |
224
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W ) |
226 |
225
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) |
227 |
226
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
228 |
222 227
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
229 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> F : RR --> RR ) |
230 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> X e. RR ) |
231 |
|
iccssre |
|- ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR ) |
232 |
41 40 231
|
mp2an |
|- ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR |
233 |
232 197
|
sseldi |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR ) |
234 |
230 233
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( X + s ) e. RR ) |
235 |
229 234
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR ) |
236 |
65
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> W e. RR ) |
237 |
235 236
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. RR ) |
238 |
237 233 220
|
redivcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. RR ) |
239 |
228 238
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) |
240 |
13
|
fvmpt2 |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |
241 |
197 239 240
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |
242 |
241 222 227
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
243 |
40
|
a1i |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> _pi e. RR ) |
244 |
243
|
renegcld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR ) |
245 |
|
iccgelb |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s ) |
246 |
213 214 209 245
|
syl3anc |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s ) |
247 |
81
|
adantr |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < _pi ) |
248 |
211 208 243 216 247
|
lelttrd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < _pi ) |
249 |
211 243 248
|
ltled |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ _pi ) |
250 |
244 243 211 246 249
|
eliccd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
251 |
219
|
neneqd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 ) |
252 |
251
|
iffalsed |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
253 |
120
|
a1i |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. RR ) |
254 |
211
|
rehalfcld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. RR ) |
255 |
254
|
resincld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR ) |
256 |
253 255
|
remulcld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR ) |
257 |
|
2cn |
|- 2 e. CC |
258 |
257
|
a1i |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC ) |
259 |
211
|
recnd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC ) |
260 |
259
|
halfcld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC ) |
261 |
260
|
sincld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC ) |
262 |
|
2ne0 |
|- 2 =/= 0 |
263 |
262
|
a1i |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 =/= 0 ) |
264 |
|
fourierdlem44 |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 ) |
265 |
250 219 264
|
syl2anc |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 ) |
266 |
258 261 263 265
|
mulne0d |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) |
267 |
211 256 266
|
redivcld |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR ) |
268 |
252 267
|
eqeltrd |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) |
269 |
14
|
fvmpt2 |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
270 |
250 268 269
|
syl2anc |
|- ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
271 |
270
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
272 |
242 271
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
273 |
221
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
274 |
273
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
275 |
206 272 274
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
276 |
275
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
277 |
87 196 276
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
278 |
277
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
279 |
278
|
reseq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
280 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR ) |
281 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR ) |
282 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> M e. NN ) |
283 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> V e. ( P ` M ) ) |
284 |
7
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
285 |
11
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) ) |
286 |
12
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) |
287 |
125
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d ) |
288 |
75
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR* ) |
289 |
76
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* ) |
290 |
78
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 ) |
291 |
288 44 289 290
|
gtnelicc |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 e. ( -u _pi [,] d ) ) |
292 |
65
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> W e. RR ) |
293 |
|
eqid |
|- ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
294 |
|
eqid |
|- ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) |
295 |
|
eqid |
|- ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) |
296 |
|
fveq2 |
|- ( l = i -> ( Q ` l ) = ( Q ` i ) ) |
297 |
|
oveq1 |
|- ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) ) |
298 |
297
|
fveq2d |
|- ( l = i -> ( Q ` ( l + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |
299 |
296 298
|
oveq12d |
|- ( l = i -> ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
300 |
299
|
sseq2d |
|- ( l = i -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
301 |
300
|
cbvriotavw |
|- ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = ( iota_ i e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
302 |
280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301
|
fourierdlem86 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) /\ ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) |
303 |
302
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
304 |
279 303
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
305 |
302
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) ) |
306 |
305
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
307 |
278
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = O ) |
308 |
307
|
reseq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
309 |
308
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
310 |
306 309
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
311 |
305
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) |
312 |
308
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) |
313 |
311 312
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) |
314 |
|
eqid |
|- ( RR _D O ) = ( RR _D O ) |
315 |
89
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) |
316 |
41
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi e. RR ) |
317 |
44
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. RR ) |
318 |
|
elioore |
|- ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -> s e. RR ) |
319 |
318
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. RR ) |
320 |
85 232
|
sstrdi |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR ) |
321 |
320
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR ) |
322 |
170
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) ) |
323 |
322 189
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) ) |
324 |
321 323
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR ) |
325 |
324
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR ) |
326 |
75
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* ) |
327 |
44
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR ) |
328 |
327
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR* ) |
329 |
|
iccgelb |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) ) |
330 |
326 328 323 329
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) ) |
331 |
330
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) ) |
332 |
325
|
rexrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR* ) |
333 |
322 191
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) ) |
334 |
321 333
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR ) |
335 |
334
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) |
336 |
335
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* ) |
337 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
338 |
|
ioogtlb |
|- ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s ) |
339 |
332 336 337 338
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s ) |
340 |
316 325 319 331 339
|
lelttrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi < s ) |
341 |
316 319 340
|
ltled |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ s ) |
342 |
334
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR ) |
343 |
|
iooltub |
|- ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) ) |
344 |
332 336 337 343
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) ) |
345 |
|
iccleub |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d ) |
346 |
326 328 333 345
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d ) |
347 |
346
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d ) |
348 |
319 342 317 344 347
|
ltletrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < d ) |
349 |
319 317 348
|
ltled |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s <_ d ) |
350 |
316 317 319 341 349
|
eliccd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) ) |
351 |
350
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) ) |
352 |
|
dfss3 |
|- ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) <-> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) ) |
353 |
351 352
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
354 |
315 353
|
feqresmpt |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) ) |
355 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph ) |
356 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
357 |
25
|
fveq1i |
|- ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) |
358 |
357
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) ) |
359 |
|
fvres |
|- ( s e. ( -u _pi [,] d ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) ) |
360 |
359
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) ) |
361 |
271 273
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
362 |
242 361
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
363 |
237
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. CC ) |
364 |
259
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC ) |
365 |
257
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC ) |
366 |
364
|
halfcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC ) |
367 |
366
|
sincld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC ) |
368 |
365 367
|
mulcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC ) |
369 |
266
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 ) |
370 |
363 364 368 220 369
|
dmdcan2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
371 |
206 362 370
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
372 |
358 360 371
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
373 |
355 356 350 372
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
374 |
355 356 350 370
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
375 |
374
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
376 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ) |
377 |
|
oveq2 |
|- ( t = s -> ( X + t ) = ( X + s ) ) |
378 |
377
|
fveq2d |
|- ( t = s -> ( F ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + s ) ) ) |
379 |
378
|
oveq1d |
|- ( t = s -> ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) ) |
380 |
|
id |
|- ( t = s -> t = s ) |
381 |
379 380
|
oveq12d |
|- ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
382 |
381
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
383 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
384 |
|
ovex |
|- ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V |
385 |
384
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V ) |
386 |
376 382 383 385
|
fvmptd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
387 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ) |
388 |
|
oveq1 |
|- ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) ) |
389 |
388
|
fveq2d |
|- ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) ) |
390 |
389
|
oveq2d |
|- ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) |
391 |
380 390
|
oveq12d |
|- ( t = s -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
392 |
391
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
393 |
|
ovex |
|- ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V |
394 |
393
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V ) |
395 |
387 392 383 394
|
fvmptd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
396 |
386 395
|
oveq12d |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
397 |
396
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) |
398 |
397
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) |
399 |
373 375 398
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) |
400 |
399
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) |
401 |
354 400
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
402 |
401
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) = ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
403 |
67
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ CC ) |
404 |
353 321
|
sstrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR ) |
405 |
50
|
tgioo2 |
|- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR ) |
406 |
50 405
|
dvres |
|- ( ( ( RR C_ CC /\ O : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) /\ ( ( -u _pi [,] d ) C_ RR /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
407 |
403 315 321 404 406
|
syl22anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
408 |
|
ioontr |
|- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |
409 |
408
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
410 |
409
|
reseq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
411 |
402 407 410
|
3eqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) ) |
412 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> RR ) |
413 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> X e. RR ) |
414 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> M e. NN ) |
415 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V e. ( P ` M ) ) |
416 |
9
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) ) |
417 |
85
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
418 |
353 417
|
sstrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
419 |
324
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR* ) |
420 |
76
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR* ) |
421 |
|
0red |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR ) |
422 |
78
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d < 0 ) |
423 |
334 327 421 346 422
|
lelttrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) < 0 ) |
424 |
419 334 420 423
|
gtnelicc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -. 0 e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
425 |
65
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> W e. RR ) |
426 |
41
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR ) |
427 |
125
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi < d ) |
428 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ..^ N ) ) |
429 |
|
biid |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) ) |
430 |
413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429
|
fourierdlem50 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) ) |
431 |
430
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) ) |
432 |
430
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
433 |
381
|
cbvmptv |
|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) ) |
434 |
391
|
cbvmptv |
|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
435 |
|
eqid |
|- ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) |
436 |
412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435
|
fourierdlem72 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
437 |
411 436
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
438 |
|
eqid |
|- ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
439 |
|
eqid |
|- ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
440 |
30 431
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) ) |
441 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ph ) |
442 |
441 440
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) |
443 |
|
eleq1 |
|- ( i = C -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> C e. ( 0 ..^ M ) ) ) |
444 |
443
|
anbi2d |
|- ( i = C -> ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) <-> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) ) |
445 |
|
fveq2 |
|- ( i = C -> ( V ` i ) = ( V ` C ) ) |
446 |
|
oveq1 |
|- ( i = C -> ( i + 1 ) = ( C + 1 ) ) |
447 |
446
|
fveq2d |
|- ( i = C -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) ) |
448 |
445 447
|
oveq12d |
|- ( i = C -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
449 |
|
raleq |
|- ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
450 |
448 449
|
syl |
|- ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
451 |
450
|
rexbidv |
|- ( i = C -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
452 |
444 451
|
imbi12d |
|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) ) |
453 |
452 8
|
vtoclg |
|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
454 |
440 442 453
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
455 |
|
nfv |
|- F/ t ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) |
456 |
|
nfra1 |
|- F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w |
457 |
455 456
|
nfan |
|- F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
458 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
459 |
41
|
a1i |
|- ( ph -> -u _pi e. RR ) |
460 |
459 2
|
readdcld |
|- ( ph -> ( -u _pi + X ) e. RR ) |
461 |
40
|
a1i |
|- ( ph -> _pi e. RR ) |
462 |
461 2
|
readdcld |
|- ( ph -> ( _pi + X ) e. RR ) |
463 |
460 462
|
iccssred |
|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR ) |
464 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
465 |
463 464
|
sstrdi |
|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* ) |
466 |
465
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* ) |
467 |
3 414 415
|
fourierdlem15 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) ) |
468 |
|
elfzofz |
|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> C e. ( 0 ... M ) ) |
469 |
440 468
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ... M ) ) |
470 |
467 469
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) ) |
471 |
466 470
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR* ) |
472 |
471
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR* ) |
473 |
|
fzofzp1 |
|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) |
474 |
440 473
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) |
475 |
467 474
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) ) |
476 |
466 475
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* ) |
477 |
476
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* ) |
478 |
|
elioore |
|- ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR ) |
479 |
478
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. RR ) |
480 |
40
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> _pi e. RR ) |
481 |
426 480 413 3 414 415 469 29
|
fourierdlem13 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) /\ ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) ) |
482 |
481
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) |
483 |
482
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) |
484 |
463
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR ) |
485 |
484 470
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR ) |
486 |
485
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR ) |
487 |
483 486
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) e. RR ) |
488 |
413 324
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR ) |
489 |
488
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR ) |
490 |
481
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) ) |
491 |
485 413
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` C ) - X ) e. RR ) |
492 |
490 491
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) e. RR ) |
493 |
426 480 413 3 414 415 474 29
|
fourierdlem13 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) /\ ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) ) |
494 |
493
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) ) |
495 |
484 475
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR ) |
496 |
495 413
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) e. RR ) |
497 |
494 496
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) e. RR ) |
498 |
30
|
eqcomi |
|- ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = C |
499 |
498
|
fveq2i |
|- ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` C ) |
500 |
498
|
oveq1i |
|- ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( C + 1 ) |
501 |
500
|
fveq2i |
|- ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( C + 1 ) ) |
502 |
499 501
|
oveq12i |
|- ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) ) |
503 |
432 502
|
sseqtrdi |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) |
504 |
492 497 324 334 194 503
|
fourierdlem10 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) /\ ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) |
505 |
504
|
simpld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) ) |
506 |
492 324 413 505
|
leadd2dd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) ) |
507 |
506
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) ) |
508 |
489
|
rexrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR* ) |
509 |
413 334
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
510 |
509
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* ) |
511 |
510
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* ) |
512 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
513 |
|
ioogtlb |
|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t ) |
514 |
508 511 512 513
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t ) |
515 |
487 489 479 507 514
|
lelttrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) < t ) |
516 |
483 515
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) < t ) |
517 |
509
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
518 |
493
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) |
519 |
518 495
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR ) |
520 |
519
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR ) |
521 |
|
iooltub |
|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
522 |
508 511 512 521
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
523 |
504
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) ) |
524 |
334 497 413 523
|
leadd2dd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) |
525 |
524
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) |
526 |
479 517 520 522 525
|
ltletrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) |
527 |
518
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) ) |
528 |
527
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) ) |
529 |
526 528
|
breqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( V ` ( C + 1 ) ) ) |
530 |
472 477 479 516 529
|
eliood |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
531 |
530
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
532 |
|
rspa |
|- ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
533 |
458 531 532
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
534 |
533
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
535 |
457 534
|
ralrimi |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
536 |
535
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
537 |
536
|
reximdv |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
538 |
454 537
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
539 |
448
|
raleqdv |
|- ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) |
540 |
539
|
rexbidv |
|- ( i = C -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) |
541 |
444 540
|
imbi12d |
|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) ) |
542 |
541 10
|
vtoclg |
|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) |
543 |
440 442 542
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) |
544 |
|
nfra1 |
|- F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z |
545 |
455 544
|
nfan |
|- F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) |
546 |
1 68
|
fssd |
|- ( ph -> F : RR --> CC ) |
547 |
|
ssid |
|- RR C_ RR |
548 |
547
|
a1i |
|- ( ph -> RR C_ RR ) |
549 |
|
ioossre |
|- ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR |
550 |
549
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) |
551 |
50 405
|
dvres |
|- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
552 |
68 546 548 550 551
|
syl22anc |
|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
553 |
|
ioontr |
|- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
554 |
553
|
reseq2i |
|- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
555 |
554
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
556 |
552 555
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
557 |
556
|
fveq1d |
|- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) |
558 |
|
fvres |
|- ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) |
559 |
557 558
|
sylan9eq |
|- ( ( ph /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) |
560 |
559
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) |
561 |
560
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) ) |
562 |
561
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) ) |
563 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) |
564 |
530
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
565 |
|
rspa |
|- ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) |
566 |
563 564 565
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) |
567 |
562 566
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) |
568 |
567
|
ex |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) ) |
569 |
545 568
|
ralrimi |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) |
570 |
569
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) ) |
571 |
570
|
reximdv |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) ) |
572 |
543 571
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) |
573 |
426
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* ) |
574 |
573 328 322 428
|
fourierdlem8 |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
575 |
145
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> N e. NN ) |
576 |
170 320
|
fssd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR ) |
577 |
576
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR ) |
578 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( -u _pi [,] d ) ) |
579 |
171
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi = ( J ` 0 ) ) |
580 |
172
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d = ( J ` N ) ) |
581 |
579 580
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) ) |
582 |
581
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) ) |
583 |
578 582
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) ) |
584 |
583
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) ) |
585 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> -. r e. ran J ) |
586 |
|
fveq2 |
|- ( j = k -> ( J ` j ) = ( J ` k ) ) |
587 |
586
|
breq1d |
|- ( j = k -> ( ( J ` j ) < r <-> ( J ` k ) < r ) ) |
588 |
587
|
cbvrabv |
|- { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } = { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r } |
589 |
588
|
supeq1i |
|- sup ( { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } , RR , < ) = sup ( { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r } , RR , < ) |
590 |
575 577 584 585 589
|
fourierdlem25 |
|- ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> E. m e. ( 0 ..^ N ) r e. ( ( J ` m ) (,) ( J ` ( m + 1 ) ) ) ) |
591 |
554
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
592 |
546
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> CC ) |
593 |
547
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ RR ) |
594 |
549
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) |
595 |
403 592 593 594 551
|
syl22anc |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
596 |
530
|
ralrimiva |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
597 |
|
dfss3 |
|- ( ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
598 |
596 597
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |
599 |
598
|
resabs1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
600 |
591 595 599
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
601 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) ) |
602 |
|
id |
|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) |
603 |
448
|
reseq2d |
|- ( i = C -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) ) |
604 |
603 448
|
feq12d |
|- ( i = C -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) |
605 |
444 604
|
imbi12d |
|- ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) ) |
606 |
|
cncff |
|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) |
607 |
9 606
|
syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) |
608 |
605 607
|
vtoclg |
|- ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) |
609 |
601 602 608
|
sylc |
|- ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) |
610 |
442 609
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) |
611 |
610 598
|
fssresd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR ) |
612 |
600 611
|
feq1dd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR ) |
613 |
379 390
|
oveq12d |
|- ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
614 |
613
|
cbvmptv |
|- ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
615 |
|
biid |
|- ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) <-> ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) ) |
616 |
|
fveq2 |
|- ( r = t -> ( F ` r ) = ( F ` t ) ) |
617 |
616
|
fveq2d |
|- ( r = t -> ( abs ` ( F ` r ) ) = ( abs ` ( F ` t ) ) ) |
618 |
617
|
breq1d |
|- ( r = t -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
619 |
618
|
cbvralvw |
|- ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) |
620 |
615 619
|
anbi12i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) |
621 |
|
fveq2 |
|- ( r = t -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) |
622 |
621
|
fveq2d |
|- ( r = t -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) ) |
623 |
622
|
breq1d |
|- ( r = t -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) ) |
624 |
623
|
cbvralvw |
|- ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) |
625 |
620 624
|
anbi12i |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) ) |
626 |
280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625
|
fourierdlem80 |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) |
627 |
370
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
628 |
277 627
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
629 |
628
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
630 |
629
|
dmeqd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
631 |
|
nfcv |
|- F/_ s dom ( RR _D O ) |
632 |
|
nfcv |
|- F/_ s RR |
633 |
|
nfcv |
|- F/_ s _D |
634 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ s ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) |
635 |
632 633 634
|
nfov |
|- F/_ s ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
636 |
635
|
nfdm |
|- F/_ s dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |
637 |
631 636
|
raleqf |
|- ( dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) ) |
638 |
630 637
|
syl |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) ) |
639 |
629
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) |
640 |
639
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) ) |
641 |
640
|
breq1d |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) ) |
642 |
641
|
ralbidv |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) ) |
643 |
638 642
|
bitrd |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) ) |
644 |
643
|
rexbidv |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) ) |
645 |
626 644
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) |
646 |
|
eqid |
|- ( l e. RR+ |-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( l e. RR+ |-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) |
647 |
|
eqeq1 |
|- ( t = s -> ( t = ( J ` k ) <-> s = ( J ` k ) ) ) |
648 |
|
fveq2 |
|- ( h = l -> ( Q ` h ) = ( Q ` l ) ) |
649 |
|
oveq1 |
|- ( h = l -> ( h + 1 ) = ( l + 1 ) ) |
650 |
649
|
fveq2d |
|- ( h = l -> ( Q ` ( h + 1 ) ) = ( Q ` ( l + 1 ) ) ) |
651 |
648 650
|
oveq12d |
|- ( h = l -> ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) = ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) |
652 |
651
|
sseq2d |
|- ( h = l -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) |
653 |
652
|
cbvriotavw |
|- ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) |
654 |
653
|
fveq2i |
|- ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) |
655 |
654
|
eqeq2i |
|- ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) ) |
656 |
655
|
a1i |
|- ( T. -> ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
657 |
|
csbeq1 |
|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R ) |
658 |
653 657
|
ax-mp |
|- [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R |
659 |
658
|
a1i |
|- ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R ) |
660 |
656 659
|
ifbieq1d |
|- ( T. -> if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) ) |
661 |
660
|
mptru |
|- if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) |
662 |
661
|
oveq1i |
|- ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) |
663 |
662
|
oveq1i |
|- ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) = ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) |
664 |
663
|
oveq1i |
|- ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) |
665 |
664
|
a1i |
|- ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
666 |
|
eqeq1 |
|- ( t = s -> ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) <-> s = ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) |
667 |
653
|
oveq1i |
|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) |
668 |
667
|
fveq2i |
|- ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) |
669 |
668
|
eqeq2i |
|- ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) |
670 |
669
|
a1i |
|- ( T. -> ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
671 |
|
csbeq1 |
|- ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L ) |
672 |
653 671
|
ax-mp |
|- [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L |
673 |
672
|
a1i |
|- ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L ) |
674 |
670 673
|
ifbieq1d |
|- ( T. -> if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
675 |
674
|
mptru |
|- if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
676 |
675
|
oveq1i |
|- ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) |
677 |
676
|
oveq1i |
|- ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) |
678 |
677
|
oveq1i |
|- ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) |
679 |
678
|
a1i |
|- ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
680 |
|
fveq2 |
|- ( t = s -> ( O ` t ) = ( O ` s ) ) |
681 |
666 679 680
|
ifbieq12d |
|- ( t = s -> if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) = if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) |
682 |
647 665 681
|
ifbieq12d |
|- ( t = s -> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) = if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) ) |
683 |
682
|
cbvmptv |
|- ( t e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) ) |
684 |
42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683
|
fourierdlem73 |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
685 |
|
breq2 |
|- ( e = a -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) ) |
686 |
685
|
rexralbidv |
|- ( e = a -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) ) |
687 |
686
|
cbvralvw |
|- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) |
688 |
684 687
|
sylib |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) |
689 |
688
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) |
690 |
|
rphalfcl |
|- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ ) |
691 |
690
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( e / 2 ) e. RR+ ) |
692 |
|
breq2 |
|- ( a = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
693 |
692
|
rexralbidv |
|- ( a = ( e / 2 ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
694 |
693
|
rspccva |
|- ( ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a /\ ( e / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
695 |
689 691 694
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
696 |
357
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) ) |
697 |
158
|
a1i |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d ) ) |
698 |
697
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) ) |
699 |
698 359
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) ) |
700 |
696 699
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( U ` s ) = ( O ` s ) ) |
701 |
700
|
oveq1d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) ) |
702 |
701
|
itgeq2dv |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) |
703 |
702
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) |
704 |
703
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) ) |
705 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
706 |
704 705
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
707 |
706
|
ex |
|- ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
708 |
707
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
709 |
708
|
ralimdv |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
710 |
709
|
reximdv |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
711 |
695 710
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
712 |
711
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
713 |
|
nfv |
|- F/ k ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
714 |
|
nfra1 |
|- F/ k A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) |
715 |
713 714
|
nfan |
|- F/ k ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
716 |
|
nfv |
|- F/ k j e. NN |
717 |
715 716
|
nfan |
|- F/ k ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) |
718 |
|
nfv |
|- F/ k A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) |
719 |
717 718
|
nfan |
|- F/ k ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
720 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) ) |
721 |
|
eluznn |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN ) |
722 |
721
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN ) |
723 |
720 722
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) ) |
724 |
723
|
adantllr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) ) |
725 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
726 |
721
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN ) |
727 |
|
rspa |
|- ( ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
728 |
725 726 727
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
729 |
724 728
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
730 |
729
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
731 |
|
nnre |
|- ( j e. NN -> j e. RR ) |
732 |
731
|
rexrd |
|- ( j e. NN -> j e. RR* ) |
733 |
732
|
adantr |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR* ) |
734 |
51
|
a1i |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> +oo e. RR* ) |
735 |
|
eluzelre |
|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. RR ) |
736 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
737 |
736
|
rehalfcli |
|- ( 1 / 2 ) e. RR |
738 |
737
|
a1i |
|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( 1 / 2 ) e. RR ) |
739 |
735 738
|
readdcld |
|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
740 |
739
|
adantl |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
741 |
731
|
adantr |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR ) |
742 |
735
|
adantl |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR ) |
743 |
|
eluzle |
|- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k ) |
744 |
743
|
adantl |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k ) |
745 |
|
halfgt0 |
|- 0 < ( 1 / 2 ) |
746 |
745
|
a1i |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( 1 / 2 ) ) |
747 |
737
|
a1i |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR ) |
748 |
747 742
|
ltaddposd |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) ) |
749 |
746 748
|
mpbid |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) |
750 |
741 742 740 744 749
|
lelttrd |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) |
751 |
740
|
ltpnfd |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) < +oo ) |
752 |
733 734 740 750 751
|
eliood |
|- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) ) |
753 |
752
|
adantlr |
|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) ) |
754 |
|
simplr |
|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
755 |
|
oveq1 |
|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( l x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) |
756 |
755
|
fveq2d |
|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( sin ` ( l x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
757 |
756
|
oveq2d |
|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) |
758 |
757
|
adantr |
|- ( ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) |
759 |
758
|
itgeq2dv |
|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) |
760 |
759
|
fveq2d |
|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) |
761 |
760
|
breq1d |
|- ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
762 |
761
|
rspcv |
|- ( ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
763 |
753 754 762
|
sylc |
|- ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
764 |
763
|
adantlll |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
765 |
730 764
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
766 |
765 31
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ch ) |
767 |
41
|
a1i |
|- ( ch -> -u _pi e. RR ) |
768 |
|
0red |
|- ( ch -> 0 e. RR ) |
769 |
|
ioossicc |
|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] 0 ) |
770 |
31
|
biimpi |
|- ( ch -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
771 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
772 |
770 771
|
syl |
|- ( ch -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
773 |
769 772
|
sseldi |
|- ( ch -> d e. ( -u _pi [,] 0 ) ) |
774 |
|
simp-5l |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ph ) |
775 |
770 774
|
syl |
|- ( ch -> ph ) |
776 |
66
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
777 |
40
|
rexri |
|- _pi e. RR* |
778 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
779 |
778 40 79
|
ltleii |
|- 0 <_ _pi |
780 |
|
iooss2 |
|- ( ( _pi e. RR* /\ 0 <_ _pi ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi ) ) |
781 |
777 779 780
|
mp2an |
|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi ) |
782 |
|
ioossicc |
|- ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) |
783 |
781 782
|
sstri |
|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) |
784 |
783
|
sseli |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
785 |
784
|
adantl |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
786 |
776 785
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR ) |
787 |
775 786
|
sylan |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR ) |
788 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> k e. NN ) |
789 |
770 788
|
syl |
|- ( ch -> k e. NN ) |
790 |
789
|
nnred |
|- ( ch -> k e. RR ) |
791 |
737
|
a1i |
|- ( ch -> ( 1 / 2 ) e. RR ) |
792 |
790 791
|
readdcld |
|- ( ch -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
793 |
792
|
adantr |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
794 |
|
elioore |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. RR ) |
795 |
794
|
adantl |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR ) |
796 |
793 795
|
remulcld |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR ) |
797 |
796
|
resincld |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) |
798 |
787 797
|
remulcld |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR ) |
799 |
798
|
recnd |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. CC ) |
800 |
75
|
a1i |
|- ( ch -> -u _pi e. RR* ) |
801 |
76
|
a1i |
|- ( ch -> 0 e. RR* ) |
802 |
767
|
leidd |
|- ( ch -> -u _pi <_ -u _pi ) |
803 |
|
ioossre |
|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ RR |
804 |
803 772
|
sseldi |
|- ( ch -> d e. RR ) |
805 |
800 801 772 77
|
syl3anc |
|- ( ch -> d < 0 ) |
806 |
804 768 805
|
ltled |
|- ( ch -> d <_ 0 ) |
807 |
|
ioossioo |
|- ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) ) |
808 |
800 801 802 806 807
|
syl22anc |
|- ( ch -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) ) |
809 |
|
ioombl |
|- ( -u _pi (,) d ) e. dom vol |
810 |
809
|
a1i |
|- ( ch -> ( -u _pi (,) d ) e. dom vol ) |
811 |
|
eleq1 |
|- ( n = k -> ( n e. NN <-> k e. NN ) ) |
812 |
811
|
anbi2d |
|- ( n = k -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ k e. NN ) ) ) |
813 |
|
simpl |
|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n = k ) |
814 |
813
|
oveq1d |
|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) ) |
815 |
814
|
oveq1d |
|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) |
816 |
815
|
fveq2d |
|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
817 |
816
|
oveq2d |
|- ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) |
818 |
817
|
mpteq2dva |
|- ( n = k -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) ) |
819 |
818
|
eleq1d |
|- ( n = k -> ( ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 <-> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) ) |
820 |
812 819
|
imbi12d |
|- ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) ) ) |
821 |
783
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
822 |
|
ioombl |
|- ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol |
823 |
822
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol ) |
824 |
66
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR ) |
825 |
824
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR ) |
826 |
|
nnre |
|- ( n e. NN -> n e. RR ) |
827 |
|
readdcl |
|- ( ( n e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
828 |
826 737 827
|
sylancl |
|- ( n e. NN -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
829 |
828
|
adantr |
|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
830 |
|
simpr |
|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
831 |
232 830
|
sseldi |
|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR ) |
832 |
829 831
|
remulcld |
|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR ) |
833 |
832
|
resincld |
|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) |
834 |
833
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) |
835 |
825 834
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR ) |
836 |
17
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) ) |
837 |
16
|
fvmpt2 |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
838 |
830 833 837
|
syl2anc |
|- ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
839 |
838
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
840 |
839
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) |
841 |
840
|
mpteq2dva |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) ) |
842 |
836 841
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = G ) |
843 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR ) |
844 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. ran V ) |
845 |
20
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) ) |
846 |
21
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) ) |
847 |
826
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR ) |
848 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN ) |
849 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> V e. ( P ` M ) ) |
850 |
7
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
851 |
11
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) ) |
852 |
12
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) |
853 |
|
eqid |
|- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) |
854 |
|
eqid |
|- ( RR _D F ) = ( RR _D F ) |
855 |
607
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) |
856 |
22
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) ) |
857 |
23
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) ) |
858 |
3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857
|
fourierdlem88 |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 ) |
859 |
842 858
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) |
860 |
821 823 835 859
|
iblss |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) |
861 |
820 860
|
chvarvv |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) |
862 |
775 789 861
|
syl2anc |
|- ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) |
863 |
808 810 798 862
|
iblss |
|- ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) d ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) |
864 |
772 125
|
syl |
|- ( ch -> -u _pi < d ) |
865 |
767 804 864
|
ltled |
|- ( ch -> -u _pi <_ d ) |
866 |
768
|
leidd |
|- ( ch -> 0 <_ 0 ) |
867 |
|
ioossioo |
|- ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ d /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) ) |
868 |
800 801 865 866 867
|
syl22anc |
|- ( ch -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) ) |
869 |
|
ioombl |
|- ( d (,) 0 ) e. dom vol |
870 |
869
|
a1i |
|- ( ch -> ( d (,) 0 ) e. dom vol ) |
871 |
868 870 798 862
|
iblss |
|- ( ch -> ( s e. ( d (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) |
872 |
767 768 773 799 863 871
|
itgsplitioo |
|- ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) |
873 |
808
|
sselda |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
874 |
873 798
|
syldan |
|- ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR ) |
875 |
874 863
|
itgcl |
|- ( ch -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) |
876 |
868
|
sselda |
|- ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
877 |
876 798
|
syldan |
|- ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR ) |
878 |
877 871
|
itgcl |
|- ( ch -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) |
879 |
875 878
|
addcomd |
|- ( ch -> ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) |
880 |
872 879
|
eqtrd |
|- ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) |
881 |
880
|
fveq2d |
|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) ) |
882 |
878 875
|
addcld |
|- ( ch -> ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. CC ) |
883 |
882
|
abscld |
|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR ) |
884 |
878
|
abscld |
|- ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR ) |
885 |
875
|
abscld |
|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR ) |
886 |
884 885
|
readdcld |
|- ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR ) |
887 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> e e. RR+ ) |
888 |
770 887
|
syl |
|- ( ch -> e e. RR+ ) |
889 |
888
|
rpred |
|- ( ch -> e e. RR ) |
890 |
878 875
|
abstrid |
|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) <_ ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) ) |
891 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
892 |
770 891
|
syl |
|- ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
893 |
770
|
simprd |
|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
894 |
884 885 889 892 893
|
lt2halvesd |
|- ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e ) |
895 |
883 886 889 890 894
|
lelttrd |
|- ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e ) |
896 |
881 895
|
eqbrtrd |
|- ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
897 |
766 896
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
898 |
897
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) ) |
899 |
719 898
|
ralrimi |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
900 |
899
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) ) |
901 |
900
|
reximdva |
|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) ) |
902 |
712 901
|
mpd |
|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
903 |
|
negpilt0 |
|- -u _pi < 0 |
904 |
41 778 40
|
lttri |
|- ( ( -u _pi < 0 /\ 0 < _pi ) -> -u _pi < _pi ) |
905 |
903 79 904
|
mp2an |
|- -u _pi < _pi |
906 |
41 40 905
|
ltleii |
|- -u _pi <_ _pi |
907 |
906
|
a1i |
|- ( ph -> -u _pi <_ _pi ) |
908 |
3
|
fourierdlem2 |
|- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ) |
909 |
4 908
|
syl |
|- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ) |
910 |
5 909
|
mpbid |
|- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
911 |
910
|
simpld |
|- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) ) |
912 |
|
elmapi |
|- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR ) |
913 |
911 912
|
syl |
|- ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR ) |
914 |
913
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR ) |
915 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR ) |
916 |
914 915
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) |
917 |
916 29
|
fmptd |
|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR ) |
918 |
29
|
a1i |
|- ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) ) |
919 |
|
fveq2 |
|- ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) ) |
920 |
919
|
oveq1d |
|- ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) ) |
921 |
920
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) ) |
922 |
4
|
nnnn0d |
|- ( ph -> M e. NN0 ) |
923 |
|
nn0uz |
|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) |
924 |
922 923
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) ) |
925 |
|
eluzfz1 |
|- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) ) |
926 |
924 925
|
syl |
|- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) ) |
927 |
913 926
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR ) |
928 |
927 2
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR ) |
929 |
918 921 926 928
|
fvmptd |
|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) ) |
930 |
910
|
simprd |
|- ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) |
931 |
930
|
simpld |
|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) ) |
932 |
931
|
simpld |
|- ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) ) |
933 |
932
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u _pi + X ) - X ) ) |
934 |
459
|
recnd |
|- ( ph -> -u _pi e. CC ) |
935 |
2
|
recnd |
|- ( ph -> X e. CC ) |
936 |
934 935
|
pncand |
|- ( ph -> ( ( -u _pi + X ) - X ) = -u _pi ) |
937 |
929 933 936
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u _pi ) |
938 |
459 461 2 3 853 4 5 29
|
fourierdlem14 |
|- ( ph -> Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) ) |
939 |
853
|
fourierdlem2 |
|- ( M e. NN -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ) |
940 |
4 939
|
syl |
|- ( ph -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ) |
941 |
938 940
|
mpbid |
|- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
942 |
941
|
simprd |
|- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
943 |
942
|
simpld |
|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) ) |
944 |
943
|
simprd |
|- ( ph -> ( Q ` M ) = _pi ) |
945 |
942
|
simprd |
|- ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |
946 |
945
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |
947 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> F : RR --> RR ) |
948 |
853 4 938
|
fourierdlem15 |
|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) ) |
949 |
948
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) ) |
950 |
|
elfzofz |
|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) ) |
951 |
950
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) ) |
952 |
949 951
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
953 |
|
fzofzp1 |
|- ( i e. ( 0 ..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) |
954 |
953
|
adantl |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) |
955 |
949 954
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
956 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. RR ) |
957 |
|
ffn |
|- ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> V Fn ( 0 ... M ) ) |
958 |
911 912 957
|
3syl |
|- ( ph -> V Fn ( 0 ... M ) ) |
959 |
|
fvelrnb |
|- ( V Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) ) |
960 |
958 959
|
syl |
|- ( ph -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) ) |
961 |
6 960
|
mpbid |
|- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) |
962 |
|
oveq1 |
|- ( ( V ` i ) = X -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) ) |
963 |
962
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) ) |
964 |
935
|
subidd |
|- ( ph -> ( X - X ) = 0 ) |
965 |
964
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( X - X ) = 0 ) |
966 |
963 965
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) |
967 |
966
|
ex |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) = X -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) ) |
968 |
967
|
reximdva |
|- ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) ) |
969 |
961 968
|
mpd |
|- ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) |
970 |
29
|
elrnmpt |
|- ( 0 e. RR -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) ) |
971 |
778 970
|
ax-mp |
|- ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) |
972 |
969 971
|
sylibr |
|- ( ph -> 0 e. ran Q ) |
973 |
853 4 938 972
|
fourierdlem12 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -. 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
974 |
913
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR ) |
975 |
974 951
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR ) |
976 |
975 956
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) |
977 |
29
|
fvmpt2 |
|- ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) ) |
978 |
951 976 977
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) ) |
979 |
978
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) ) |
980 |
975
|
recnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC ) |
981 |
935
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. CC ) |
982 |
980 981
|
npcand |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) ) |
983 |
979 982
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( V ` i ) ) |
984 |
|
fveq2 |
|- ( j = i -> ( V ` j ) = ( V ` i ) ) |
985 |
984
|
oveq1d |
|- ( j = i -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` i ) - X ) ) |
986 |
985
|
cbvmptv |
|- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) |
987 |
29 986
|
eqtr4i |
|- Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) |
988 |
987
|
a1i |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) ) |
989 |
|
fveq2 |
|- ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) ) |
990 |
989
|
oveq1d |
|- ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) |
991 |
990
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) |
992 |
974 954
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR ) |
993 |
992 956
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR ) |
994 |
988 991 954 993
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) ) |
995 |
994
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) ) |
996 |
992
|
recnd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC ) |
997 |
996 981
|
npcand |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) ) |
998 |
995 997
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) ) |
999 |
983 998
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) = ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) |
1000 |
999
|
reseq2d |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) = ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) |
1001 |
999
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
1002 |
7 1000 1001
|
3eltr4d |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) ) |
1003 |
55
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Y e. RR ) |
1004 |
65
|
adantr |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> W e. RR ) |
1005 |
947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13
|
fourierdlem40 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) |
1006 |
|
id |
|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) |
1007 |
67
|
a1i |
|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> RR C_ CC ) |
1008 |
1006 1007
|
fssd |
|- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC ) |
1009 |
9 606 1008
|
3syl |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC ) |
1010 |
|
eqid |
|- if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) |
1011 |
2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010
|
fourierdlem75 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) ) |
1012 |
|
eqid |
|- if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
1013 |
2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012
|
fourierdlem74 |
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
1014 |
|
fveq2 |
|- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) ) |
1015 |
|
oveq1 |
|- ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) ) |
1016 |
1015
|
fveq2d |
|- ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |
1017 |
1014 1016
|
oveq12d |
|- ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
1018 |
1017
|
cbvmptv |
|- ( j e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) |
1019 |
459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018
|
fourierdlem70 |
|- ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x ) |
1020 |
|
eqid |
|- ( ( e / 3 ) / y ) = ( ( e / 3 ) / y ) |
1021 |
|
fveq2 |
|- ( t = s -> ( G ` t ) = ( G ` s ) ) |
1022 |
1021
|
fveq2d |
|- ( t = s -> ( abs ` ( G ` t ) ) = ( abs ` ( G ` s ) ) ) |
1023 |
1022
|
breq1d |
|- ( t = s -> ( ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) ) |
1024 |
1023
|
cbvralvw |
|- ( A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) |
1025 |
1024
|
ralbii |
|- ( A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) |
1026 |
1025
|
3anbi3i |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) <-> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) ) |
1027 |
1026
|
anbi1i |
|- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) <-> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) ) |
1028 |
1027
|
anbi1i |
|- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) ) |
1029 |
1028
|
anbi1i |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) ) |
1030 |
1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029
|
fourierdlem87 |
|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1031 |
|
iftrue |
|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c ) |
1032 |
1031
|
negeqd |
|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c ) |
1033 |
1032
|
adantl |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c ) |
1034 |
75
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi e. RR* ) |
1035 |
76
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 e. RR* ) |
1036 |
|
rpre |
|- ( c e. RR+ -> c e. RR ) |
1037 |
1036
|
renegcld |
|- ( c e. RR+ -> -u c e. RR ) |
1038 |
1037
|
adantr |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. RR ) |
1039 |
1036
|
adantr |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c e. RR ) |
1040 |
40
|
rehalfcli |
|- ( _pi / 2 ) e. RR |
1041 |
1040
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) e. RR ) |
1042 |
40
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> _pi e. RR ) |
1043 |
|
simpr |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ ( _pi / 2 ) ) |
1044 |
|
halfpos |
|- ( _pi e. RR -> ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi ) ) |
1045 |
40 1044
|
ax-mp |
|- ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi ) |
1046 |
79 1045
|
mpbi |
|- ( _pi / 2 ) < _pi |
1047 |
1046
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) < _pi ) |
1048 |
1039 1041 1042 1043 1047
|
lelttrd |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c < _pi ) |
1049 |
1039 1042
|
ltnegd |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c < _pi <-> -u _pi < -u c ) ) |
1050 |
1048 1049
|
mpbid |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi < -u c ) |
1051 |
|
rpgt0 |
|- ( c e. RR+ -> 0 < c ) |
1052 |
1036
|
lt0neg2d |
|- ( c e. RR+ -> ( 0 < c <-> -u c < 0 ) ) |
1053 |
1051 1052
|
mpbid |
|- ( c e. RR+ -> -u c < 0 ) |
1054 |
1053
|
adantr |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c < 0 ) |
1055 |
1034 1035 1038 1050 1054
|
eliood |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1056 |
1033 1055
|
eqeltrd |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1057 |
|
iffalse |
|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) ) |
1058 |
1057
|
negeqd |
|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u ( _pi / 2 ) ) |
1059 |
1040
|
renegcli |
|- -u ( _pi / 2 ) e. RR |
1060 |
1059
|
rexri |
|- -u ( _pi / 2 ) e. RR* |
1061 |
75 76 1060
|
3pm3.2i |
|- ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* ) |
1062 |
1040 40
|
ltnegi |
|- ( ( _pi / 2 ) < _pi <-> -u _pi < -u ( _pi / 2 ) ) |
1063 |
1046 1062
|
mpbi |
|- -u _pi < -u ( _pi / 2 ) |
1064 |
|
2pos |
|- 0 < 2 |
1065 |
40 120 79 1064
|
divgt0ii |
|- 0 < ( _pi / 2 ) |
1066 |
|
lt0neg2 |
|- ( ( _pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 ) ) |
1067 |
1040 1066
|
ax-mp |
|- ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 ) |
1068 |
1065 1067
|
mpbi |
|- -u ( _pi / 2 ) < 0 |
1069 |
1063 1068
|
pm3.2i |
|- ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 ) |
1070 |
|
elioo3g |
|- ( -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) <-> ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* ) /\ ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 ) ) ) |
1071 |
1061 1069 1070
|
mpbir2an |
|- -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) |
1072 |
1071
|
a1i |
|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1073 |
1058 1072
|
eqeltrd |
|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1074 |
1073
|
adantl |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1075 |
1056 1074
|
pm2.61dan |
|- ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1076 |
1075
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1077 |
|
ioombl |
|- ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol |
1078 |
1077
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol ) |
1079 |
|
simpr |
|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1080 |
1078 1079
|
jca |
|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) ) |
1081 |
|
ioossicc |
|- ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) |
1082 |
1081
|
a1i |
|- ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) ) |
1083 |
41
|
a1i |
|- ( c e. RR+ -> -u _pi e. RR ) |
1084 |
40
|
a1i |
|- ( c e. RR+ -> _pi e. RR ) |
1085 |
1039 1042 1048
|
ltled |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ _pi ) |
1086 |
1039 1042
|
lenegd |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c <_ _pi <-> -u _pi <_ -u c ) ) |
1087 |
1085 1086
|
mpbid |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u c ) |
1088 |
1032
|
eqcomd |
|- ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1089 |
1088
|
adantl |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1090 |
1087 1089
|
breqtrd |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1091 |
41 1059 1063
|
ltleii |
|- -u _pi <_ -u ( _pi / 2 ) |
1092 |
1091
|
a1i |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u ( _pi / 2 ) ) |
1093 |
1058
|
eqcomd |
|- ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1094 |
1093
|
adantl |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1095 |
1092 1094
|
breqtrd |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1096 |
1090 1095
|
pm2.61dan |
|- ( c e. RR+ -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1097 |
779
|
a1i |
|- ( c e. RR+ -> 0 <_ _pi ) |
1098 |
|
iccss |
|- ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) /\ 0 <_ _pi ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
1099 |
1083 1084 1096 1097 1098
|
syl22anc |
|- ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
1100 |
1082 1099
|
sstrd |
|- ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) |
1101 |
803 1075
|
sseldi |
|- ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR ) |
1102 |
|
0red |
|- ( c e. RR+ -> 0 e. RR ) |
1103 |
|
rpge0 |
|- ( c e. RR+ -> 0 <_ c ) |
1104 |
1103
|
adantr |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ c ) |
1105 |
1043
|
iftrued |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c ) |
1106 |
1104 1105
|
breqtrrd |
|- ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1107 |
778 1040 1065
|
ltleii |
|- 0 <_ ( _pi / 2 ) |
1108 |
|
simpr |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -. c <_ ( _pi / 2 ) ) |
1109 |
1108
|
iffalsed |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) ) |
1110 |
1107 1109
|
breqtrrid |
|- ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1111 |
1106 1110
|
pm2.61dan |
|- ( c e. RR+ -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1112 |
1040
|
a1i |
|- ( c e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR ) |
1113 |
1036 1112
|
ifcld |
|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR ) |
1114 |
1113
|
le0neg2d |
|- ( c e. RR+ -> ( 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <-> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) ) |
1115 |
1111 1114
|
mpbid |
|- ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) |
1116 |
|
volioo |
|- ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) |
1117 |
1101 1102 1115 1116
|
syl3anc |
|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) |
1118 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
1119 |
1118
|
a1i |
|- ( c e. RR+ -> 0 e. CC ) |
1120 |
1113
|
recnd |
|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. CC ) |
1121 |
1119 1120
|
subnegd |
|- ( c e. RR+ -> ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) ) |
1122 |
1120
|
addid2d |
|- ( c e. RR+ -> ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1123 |
1117 1121 1122
|
3eqtrd |
|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) |
1124 |
|
min1 |
|- ( ( c e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c ) |
1125 |
1036 1040 1124
|
sylancl |
|- ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c ) |
1126 |
1123 1125
|
eqbrtrd |
|- ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) |
1127 |
1100 1126
|
jca |
|- ( c e. RR+ -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) |
1128 |
1127
|
adantr |
|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) |
1129 |
|
sseq1 |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) ) |
1130 |
|
fveq2 |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( vol ` u ) = ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) ) |
1131 |
1130
|
breq1d |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( vol ` u ) <_ c <-> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) |
1132 |
1129 1131
|
anbi12d |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) <-> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) ) |
1133 |
|
itgeq1 |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) |
1134 |
1133
|
fveq2d |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) |
1135 |
1134
|
breq1d |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1136 |
1135
|
ralbidv |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1137 |
1132 1136
|
imbi12d |
|- ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) ) |
1138 |
1137
|
rspcva |
|- ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1139 |
1080 1128 1138
|
sylc |
|- ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
1140 |
1139
|
3adant1 |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
1141 |
|
oveq1 |
|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( d (,) 0 ) = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) |
1142 |
1141
|
itgeq1d |
|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) |
1143 |
1142
|
fveq2d |
|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) |
1144 |
1143
|
breq1d |
|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1145 |
1144
|
ralbidv |
|- ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1146 |
1145
|
rspcev |
|- ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
1147 |
1076 1140 1146
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
1148 |
1147
|
rexlimdv3a |
|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) |
1149 |
1030 1148
|
mpd |
|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) |
1150 |
902 1149
|
r19.29a |
|- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
1151 |
1150
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) |
1152 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
1153 |
1152
|
mptex |
|- ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V |
1154 |
1153
|
a1i |
|- ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V ) |
1155 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ) |
1156 |
784
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
1157 |
786
|
ad4ant14 |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR ) |
1158 |
784
|
adantl |
|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
1159 |
|
simpr |
|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k ) |
1160 |
|
simpl |
|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> k e. NN ) |
1161 |
1159 1160
|
eqeltrd |
|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. NN ) |
1162 |
1161
|
nnred |
|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. RR ) |
1163 |
737
|
a1i |
|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 1 / 2 ) e. RR ) |
1164 |
1162 1163
|
readdcld |
|- ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
1165 |
1164
|
adantr |
|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
1166 |
232 1158
|
sseldi |
|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR ) |
1167 |
1165 1166
|
remulcld |
|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR ) |
1168 |
1167
|
resincld |
|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) |
1169 |
1158 1168 837
|
syl2anc |
|- ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
1170 |
1169
|
adantlll |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
1171 |
1162
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> n e. RR ) |
1172 |
1171
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n e. RR ) |
1173 |
|
1red |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR ) |
1174 |
1173
|
rehalfcld |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR ) |
1175 |
1172 1174
|
readdcld |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) |
1176 |
232 1156
|
sseldi |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR ) |
1177 |
1175 1176
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR ) |
1178 |
1177
|
resincld |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) |
1179 |
1170 1178
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) e. RR ) |
1180 |
1157 1179
|
remulcld |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) |
1181 |
17
|
fvmpt2 |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |
1182 |
1156 1180 1181
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |
1183 |
|
oveq1 |
|- ( n = k -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) ) |
1184 |
1183
|
oveq1d |
|- ( n = k -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) |
1185 |
1184
|
fveq2d |
|- ( n = k -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
1186 |
1185
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
1187 |
1170 1186
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) |
1188 |
1187
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) |
1189 |
1182 1188
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) |
1190 |
1189
|
itgeq2dv |
|- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) |
1191 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN ) |
1192 |
817
|
itgeq2dv |
|- ( n = k -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) |
1193 |
1192
|
eleq1d |
|- ( n = k -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC <-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) ) |
1194 |
812 1193
|
imbi12d |
|- ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) ) ) |
1195 |
786
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR ) |
1196 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN ) |
1197 |
1196 784 833
|
syl2an |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) |
1198 |
1195 1197
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR ) |
1199 |
1198 860
|
itgcl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) |
1200 |
1194 1199
|
chvarvv |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) |
1201 |
1155 1190 1191 1200
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` k ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) |
1202 |
39 33 1154 1201 1200
|
clim0c |
|- ( ph -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) ) |
1203 |
1151 1202
|
mpbird |
|- ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 ) |
1204 |
1152
|
mptex |
|- ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) e. _V |
1205 |
19 1204
|
eqeltri |
|- E e. _V |
1206 |
1205
|
a1i |
|- ( ph -> E e. _V ) |
1207 |
1152
|
mptex |
|- ( n e. NN |-> _pi ) e. _V |
1208 |
1207
|
a1i |
|- ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) e. _V ) |
1209 |
|
picn |
|- _pi e. CC |
1210 |
1209
|
a1i |
|- ( ph -> _pi e. CC ) |
1211 |
|
eqidd |
|- ( m e. NN -> ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi ) ) |
1212 |
|
eqidd |
|- ( ( m e. NN /\ n = m ) -> _pi = _pi ) |
1213 |
|
id |
|- ( m e. NN -> m e. NN ) |
1214 |
40
|
a1i |
|- ( m e. NN -> _pi e. RR ) |
1215 |
1211 1212 1213 1214
|
fvmptd |
|- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi ) |
1216 |
1215
|
adantl |
|- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi ) |
1217 |
39 33 1208 1210 1216
|
climconst |
|- ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) ~~> _pi ) |
1218 |
778 79
|
gtneii |
|- _pi =/= 0 |
1219 |
1218
|
a1i |
|- ( ph -> _pi =/= 0 ) |
1220 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR ) |
1221 |
55
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR ) |
1222 |
65
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR ) |
1223 |
843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17
|
fourierdlem67 |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
1224 |
1223
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR ) |
1225 |
821
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) |
1226 |
1224 1225
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) e. RR ) |
1227 |
1223
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR ) |
1228 |
1223
|
feqmptd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) ) |
1229 |
1228 858
|
eqeltrrd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 ) |
1230 |
821 823 1227 1229
|
iblss |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 ) |
1231 |
1226 1230
|
itgcl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC ) |
1232 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) |
1233 |
1232
|
fvmpt2 |
|- ( ( n e. NN /\ S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) |
1234 |
1196 1231 1233
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) |
1235 |
1234 1231
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) e. CC ) |
1236 |
|
id |
|- ( n e. NN -> n e. NN ) |
1237 |
|
eqid |
|- ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi ) |
1238 |
1237
|
fvmpt2 |
|- ( ( n e. NN /\ _pi e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi ) |
1239 |
1236 40 1238
|
sylancl |
|- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi ) |
1240 |
1209
|
a1i |
|- ( n e. NN -> _pi e. CC ) |
1241 |
1218
|
a1i |
|- ( n e. NN -> _pi =/= 0 ) |
1242 |
1240 1241
|
jca |
|- ( n e. NN -> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) ) |
1243 |
|
eldifsn |
|- ( _pi e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) ) |
1244 |
1242 1243
|
sylibr |
|- ( n e. NN -> _pi e. ( CC \ { 0 } ) ) |
1245 |
1239 1244
|
eqeltrd |
|- ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) ) |
1246 |
1245
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) ) |
1247 |
1209
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. CC ) |
1248 |
1218
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi =/= 0 ) |
1249 |
1231 1247 1248
|
divcld |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC ) |
1250 |
19
|
fvmpt2 |
|- ( ( n e. NN /\ ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) |
1251 |
1196 1249 1250
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) |
1252 |
1234
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) ) |
1253 |
1239
|
eqcomd |
|- ( n e. NN -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) |
1254 |
1253
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) |
1255 |
1252 1254
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) ) |
1256 |
1251 1255
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) ) |
1257 |
34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256
|
climdivf |
|- ( ph -> E ~~> ( 0 / _pi ) ) |
1258 |
1209 1218
|
div0i |
|- ( 0 / _pi ) = 0 |
1259 |
1258
|
a1i |
|- ( ph -> ( 0 / _pi ) = 0 ) |
1260 |
1257 1259
|
breqtrd |
|- ( ph -> E ~~> 0 ) |
1261 |
1152
|
mptex |
|- ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) e. _V |
1262 |
18 1261
|
eqeltri |
|- Z e. _V |
1263 |
1262
|
a1i |
|- ( ph -> Z e. _V ) |
1264 |
1152
|
mptex |
|- ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) e. _V |
1265 |
1264
|
a1i |
|- ( ph -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) e. _V ) |
1266 |
|
limccl |
|- ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) C_ CC |
1267 |
1266 21
|
sseldi |
|- ( ph -> W e. CC ) |
1268 |
1267
|
halfcld |
|- ( ph -> ( W / 2 ) e. CC ) |
1269 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) = ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ) |
1270 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m = n ) -> ( W / 2 ) = ( W / 2 ) ) |
1271 |
39
|
eqcomi |
|- ( ZZ>= ` 1 ) = NN |
1272 |
1271
|
eleq2i |
|- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> n e. NN ) |
1273 |
1272
|
biimpi |
|- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN ) |
1274 |
1273
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN ) |
1275 |
1268
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( W / 2 ) e. CC ) |
1276 |
1269 1270 1274 1275
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) = ( W / 2 ) ) |
1277 |
32 33 1265 1268 1276
|
climconst |
|- ( ph -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ~~> ( W / 2 ) ) |
1278 |
1249 19
|
fmptd |
|- ( ph -> E : NN --> CC ) |
1279 |
1278
|
adantr |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E : NN --> CC ) |
1280 |
1279 1274
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( E ` n ) e. CC ) |
1281 |
1276 1275
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) e. CC ) |
1282 |
1276
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) = ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) ) |
1283 |
822
|
a1i |
|- ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol ) |
1284 |
75
|
a1i |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR* ) |
1285 |
|
0red |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR ) |
1286 |
1285
|
rexrd |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* ) |
1287 |
|
id |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) |
1288 |
|
iooltub |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s < 0 ) |
1289 |
1284 1286 1287 1288
|
syl3anc |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s < 0 ) |
1290 |
794 1289
|
ltned |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s =/= 0 ) |
1291 |
1290
|
neneqd |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s = 0 ) |
1292 |
|
velsn |
|- ( s e. { 0 } <-> s = 0 ) |
1293 |
1291 1292
|
sylnibr |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s e. { 0 } ) |
1294 |
784 1293
|
eldifd |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) ) |
1295 |
1294
|
ssriv |
|- ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) |
1296 |
1295
|
a1i |
|- ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) ) |
1297 |
794
|
adantl |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR ) |
1298 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR ) |
1299 |
794 1285 1289
|
ltled |
|- ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s <_ 0 ) |
1300 |
1299
|
adantl |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s <_ 0 ) |
1301 |
1297 1298 1300
|
lensymd |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 < s ) |
1302 |
1301
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W ) |
1303 |
|
eqid |
|- ( D ` n ) = ( D ` n ) |
1304 |
41
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi e. RR ) |
1305 |
|
0red |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR ) |
1306 |
41 778 903
|
ltleii |
|- -u _pi <_ 0 |
1307 |
1306
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi <_ 0 ) |
1308 |
|
eqid |
|- ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) |
1309 |
24 1196 1303 1304 1305 1307 1308
|
dirkeritg |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) ) |
1310 |
|
ubicc2 |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) ) |
1311 |
75 76 1306 1310
|
mp3an |
|- 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) |
1312 |
|
oveq1 |
|- ( s = 0 -> ( s / 2 ) = ( 0 / 2 ) ) |
1313 |
257 262
|
div0i |
|- ( 0 / 2 ) = 0 |
1314 |
1313
|
a1i |
|- ( s = 0 -> ( 0 / 2 ) = 0 ) |
1315 |
1312 1314
|
eqtrd |
|- ( s = 0 -> ( s / 2 ) = 0 ) |
1316 |
|
oveq2 |
|- ( s = 0 -> ( k x. s ) = ( k x. 0 ) ) |
1317 |
|
elfzelz |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. ZZ ) |
1318 |
1317
|
zcnd |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. CC ) |
1319 |
1318
|
mul01d |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. 0 ) = 0 ) |
1320 |
1316 1319
|
sylan9eq |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( k x. s ) = 0 ) |
1321 |
1320
|
fveq2d |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` 0 ) ) |
1322 |
|
sin0 |
|- ( sin ` 0 ) = 0 |
1323 |
1322
|
a1i |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` 0 ) = 0 ) |
1324 |
1321 1323
|
eqtrd |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = 0 ) |
1325 |
1324
|
oveq1d |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( 0 / k ) ) |
1326 |
|
0red |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 e. RR ) |
1327 |
|
1red |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 e. RR ) |
1328 |
1317
|
zred |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. RR ) |
1329 |
118
|
a1i |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < 1 ) |
1330 |
|
elfzle1 |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 <_ k ) |
1331 |
1326 1327 1328 1329 1330
|
ltletrd |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < k ) |
1332 |
1331
|
gt0ne0d |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> k =/= 0 ) |
1333 |
1318 1332
|
div0d |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( 0 / k ) = 0 ) |
1334 |
1333
|
adantl |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 0 / k ) = 0 ) |
1335 |
1325 1334
|
eqtrd |
|- ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 ) |
1336 |
1335
|
sumeq2dv |
|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 ) |
1337 |
|
fzfi |
|- ( 1 ... n ) e. Fin |
1338 |
1337
|
olci |
|- ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin ) |
1339 |
|
sumz |
|- ( ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 ) |
1340 |
1338 1339
|
ax-mp |
|- sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 |
1341 |
1340
|
a1i |
|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 ) |
1342 |
1336 1341
|
eqtrd |
|- ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 ) |
1343 |
1315 1342
|
oveq12d |
|- ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
1344 |
|
00id |
|- ( 0 + 0 ) = 0 |
1345 |
1344
|
a1i |
|- ( s = 0 -> ( 0 + 0 ) = 0 ) |
1346 |
1343 1345
|
eqtrd |
|- ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = 0 ) |
1347 |
1346
|
oveq1d |
|- ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( 0 / _pi ) ) |
1348 |
1258
|
a1i |
|- ( s = 0 -> ( 0 / _pi ) = 0 ) |
1349 |
1347 1348
|
eqtrd |
|- ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = 0 ) |
1350 |
778
|
elexi |
|- 0 e. _V |
1351 |
1349 1308 1350
|
fvmpt |
|- ( 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0 ) |
1352 |
1311 1351
|
ax-mp |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0 |
1353 |
|
lbicc2 |
|- ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) ) |
1354 |
75 76 1306 1353
|
mp3an |
|- -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) |
1355 |
|
oveq1 |
|- ( s = -u _pi -> ( s / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) ) |
1356 |
|
oveq2 |
|- ( s = -u _pi -> ( k x. s ) = ( k x. -u _pi ) ) |
1357 |
1356
|
fveq2d |
|- ( s = -u _pi -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) ) |
1358 |
1357
|
oveq1d |
|- ( s = -u _pi -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) |
1359 |
1358
|
sumeq2sdv |
|- ( s = -u _pi -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) |
1360 |
1355 1359
|
oveq12d |
|- ( s = -u _pi -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) ) |
1361 |
1360
|
oveq1d |
|- ( s = -u _pi -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) ) |
1362 |
|
ovex |
|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) e. _V |
1363 |
1361 1308 1362
|
fvmpt |
|- ( -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) ) |
1364 |
1354 1363
|
ax-mp |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) |
1365 |
|
mulneg12 |
|- ( ( k e. CC /\ _pi e. CC ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) ) |
1366 |
1318 1209 1365
|
sylancl |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) ) |
1367 |
1366
|
eqcomd |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) = ( -u k x. _pi ) ) |
1368 |
1367
|
oveq1d |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) ) |
1369 |
1318
|
negcld |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. CC ) |
1370 |
1209
|
a1i |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi e. CC ) |
1371 |
1218
|
a1i |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi =/= 0 ) |
1372 |
1369 1370 1371
|
divcan4d |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) = -u k ) |
1373 |
1368 1372
|
eqtrd |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = -u k ) |
1374 |
1317
|
znegcld |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. ZZ ) |
1375 |
1373 1374
|
eqeltrd |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) |
1376 |
|
negpicn |
|- -u _pi e. CC |
1377 |
1376
|
a1i |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> -u _pi e. CC ) |
1378 |
1318 1377
|
mulcld |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) e. CC ) |
1379 |
|
sineq0 |
|- ( ( k x. -u _pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) ) |
1380 |
1378 1379
|
syl |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) ) |
1381 |
1375 1380
|
mpbird |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 ) |
1382 |
1381
|
oveq1d |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = ( 0 / k ) ) |
1383 |
1382 1333
|
eqtrd |
|- ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0 ) |
1384 |
1383
|
sumeq2i |
|- sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 |
1385 |
1384 1340
|
eqtri |
|- sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0 |
1386 |
1385
|
oveq2i |
|- ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) |
1387 |
1386
|
oveq1i |
|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) |
1388 |
1376 257 262
|
divcli |
|- ( -u _pi / 2 ) e. CC |
1389 |
1388
|
addid1i |
|- ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = ( -u _pi / 2 ) |
1390 |
|
divneg |
|- ( ( _pi e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) ) |
1391 |
1209 257 262 1390
|
mp3an |
|- -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) |
1392 |
1389 1391
|
eqtr4i |
|- ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = -u ( _pi / 2 ) |
1393 |
1392
|
oveq1i |
|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) |
1394 |
1040
|
recni |
|- ( _pi / 2 ) e. CC |
1395 |
|
divneg |
|- ( ( ( _pi / 2 ) e. CC /\ _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) -> -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) ) |
1396 |
1394 1209 1218 1395
|
mp3an |
|- -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) |
1397 |
1396
|
eqcomi |
|- ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) |
1398 |
1209 257 1209 262 1218
|
divdiv32i |
|- ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( ( _pi / _pi ) / 2 ) |
1399 |
1209 1218
|
dividi |
|- ( _pi / _pi ) = 1 |
1400 |
1399
|
oveq1i |
|- ( ( _pi / _pi ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) |
1401 |
1398 1400
|
eqtri |
|- ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( 1 / 2 ) |
1402 |
1401
|
negeqi |
|- -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 ) |
1403 |
1393 1397 1402
|
3eqtri |
|- ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 ) |
1404 |
1364 1387 1403
|
3eqtri |
|- ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = -u ( 1 / 2 ) |
1405 |
1352 1404
|
oveq12i |
|- ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) |
1406 |
1405
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) ) |
1407 |
|
halfcn |
|- ( 1 / 2 ) e. CC |
1408 |
1118 1407
|
subnegi |
|- ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) ) |
1409 |
1407
|
addid2i |
|- ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
1410 |
1408 1409
|
eqtri |
|- ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
1411 |
1410
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) ) |
1412 |
1309 1406 1411
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) ) |
1413 |
1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412
|
fourierdlem95 |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) |
1414 |
1274 1413
|
syldan |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) |
1415 |
18
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) ) |
1416 |
|
fveq2 |
|- ( m = n -> ( D ` m ) = ( D ` n ) ) |
1417 |
1416
|
fveq1d |
|- ( m = n -> ( ( D ` m ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) ) |
1418 |
1417
|
oveq2d |
|- ( m = n -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |
1419 |
1418
|
adantr |
|- ( ( m = n /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |
1420 |
1419
|
itgeq2dv |
|- ( m = n -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) |
1421 |
1420
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = n ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) |
1422 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR ) |
1423 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR ) |
1424 |
1423 1297
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( X + s ) e. RR ) |
1425 |
1422 1424
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR ) |
1426 |
1425
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR ) |
1427 |
24
|
dirkerf |
|- ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR ) |
1428 |
1427
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR ) |
1429 |
794
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR ) |
1430 |
1428 1429
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR ) |
1431 |
1426 1430
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR ) |
1432 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> F : RR --> RR ) |
1433 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> X e. RR ) |
1434 |
232
|
sseli |
|- ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) -> s e. RR ) |
1435 |
1434
|
adantl |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR ) |
1436 |
1433 1435
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR ) |
1437 |
1432 1436
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR ) |
1438 |
1437
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR ) |
1439 |
1427
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR ) |
1440 |
1434
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR ) |
1441 |
1439 1440
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR ) |
1442 |
1438 1441
|
remulcld |
|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR ) |
1443 |
40
|
a1i |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. RR ) |
1444 |
24
|
dirkercncf |
|- ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) ) |
1445 |
1444
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) ) |
1446 |
|
eqid |
|- ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) |
1447 |
1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446
|
fourierdlem84 |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 ) |
1448 |
821 823 1442 1447
|
iblss |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 ) |
1449 |
1431 1448
|
itgrecl |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s e. RR ) |
1450 |
1415 1421 1196 1449
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( Z ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s ) |
1451 |
1450
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) ) |
1452 |
1274 1451
|
syldan |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) ) |
1453 |
1282 1414 1452
|
3eqtrrd |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( Z ` n ) = ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) ) |
1454 |
32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453
|
climadd |
|- ( ph -> Z ~~> ( 0 + ( W / 2 ) ) ) |
1455 |
1268
|
addid2d |
|- ( ph -> ( 0 + ( W / 2 ) ) = ( W / 2 ) ) |
1456 |
1454 1455
|
breqtrd |
|- ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) ) |