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## Theorem fourierdlem103

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem103.f
`|- ( ph -> F : RR --> RR )`
fourierdlem103.xre
`|- ( ph -> X e. RR )`
fourierdlem103.p
`|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )`
fourierdlem103.m
`|- ( ph -> M e. NN )`
fourierdlem103.v
`|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )`
fourierdlem103.x
`|- ( ph -> X e. ran V )`
fourierdlem103.fcn
`|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
fourierdlem103.fbdioo
`|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
fourierdlem103.fdvcn
`|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )`
fourierdlem103.fdvbd
`|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
fourierdlem103.r
`|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )`
fourierdlem103.l
`|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )`
fourierdlem103.h
`|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )`
fourierdlem103.k
`|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
fourierdlem103.u
`|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )`
fourierdlem103.s
`|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
fourierdlem103.g
`|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )`
fourierdlem103.z
`|- Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )`
fourierdlem103.e
`|- E = ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )`
fourierdlem103.y
`|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )`
fourierdlem103.w
`|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )`
fourierdlem103.a
`|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )`
fourierdlem103.b
`|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )`
fourierdlem103.d
`|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
fourierdlem103.o
`|- O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) )`
fourierdlem103.t
`|- T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )`
fourierdlem103.n
`|- N = ( ( # ` T ) - 1 )`
fourierdlem103.j
`|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )`
fourierdlem103.q
`|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )`
fourierdlem103.1
`|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )`
fourierdlem103.ch
`|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
Assertion fourierdlem103
`|- ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem103.f
` |-  ( ph -> F : RR --> RR )`
2 fourierdlem103.xre
` |-  ( ph -> X e. RR )`
3 fourierdlem103.p
` |-  P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )`
4 fourierdlem103.m
` |-  ( ph -> M e. NN )`
5 fourierdlem103.v
` |-  ( ph -> V e. ( P ` M ) )`
6 fourierdlem103.x
` |-  ( ph -> X e. ran V )`
7 fourierdlem103.fcn
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
8 fourierdlem103.fbdioo
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
9 fourierdlem103.fdvcn
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )`
10 fourierdlem103.fdvbd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
11 fourierdlem103.r
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )`
12 fourierdlem103.l
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )`
13 fourierdlem103.h
` |-  H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )`
14 fourierdlem103.k
` |-  K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
15 fourierdlem103.u
` |-  U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )`
16 fourierdlem103.s
` |-  S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
17 fourierdlem103.g
` |-  G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )`
18 fourierdlem103.z
` |-  Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )`
19 fourierdlem103.e
` |-  E = ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )`
20 fourierdlem103.y
` |-  ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )`
21 fourierdlem103.w
` |-  ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )`
22 fourierdlem103.a
` |-  ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )`
23 fourierdlem103.b
` |-  ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )`
24 fourierdlem103.d
` |-  D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
25 fourierdlem103.o
` |-  O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) )`
26 fourierdlem103.t
` |-  T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )`
27 fourierdlem103.n
` |-  N = ( ( # ` T ) - 1 )`
28 fourierdlem103.j
` |-  J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )`
29 fourierdlem103.q
` |-  Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )`
30 fourierdlem103.1
` |-  C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )`
31 fourierdlem103.ch
` |-  ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
32 eqid
` |-  ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )`
33 1zzd
` |-  ( ph -> 1 e. ZZ )`
34 nfv
` |-  F/ n ph`
35 nfmpt1
` |-  F/_ n ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )`
36 nfmpt1
` |-  F/_ n ( n e. NN |-> _pi )`
37 nfmpt1
` |-  F/_ n ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )`
38 19 37 nfcxfr
` |-  F/_ n E`
39 nnuz
` |-  NN = ( ZZ>= ` 1 )`
40 pire
` |-  _pi e. RR`
41 40 renegcli
` |-  -u _pi e. RR`
42 41 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR )`
43 elioore
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. RR )`
45 ioossre
` |-  ( X (,) +oo ) C_ RR`
46 45 a1i
` |-  ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )`
47 1 46 fssresd
` |-  ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )`
48 ioosscn
` |-  ( X (,) +oo ) C_ CC`
49 48 a1i
` |-  ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )`
50 eqid
` |-  ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld )`
51 pnfxr
` |-  +oo e. RR*`
52 51 a1i
` |-  ( ph -> +oo e. RR* )`
53 2 ltpnfd
` |-  ( ph -> X < +oo )`
54 50 52 2 53 lptioo1cn
` |-  ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )`
55 47 49 54 20 limcrecl
` |-  ( ph -> Y e. RR )`
56 ioossre
` |-  ( -oo (,) X ) C_ RR`
57 56 a1i
` |-  ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )`
58 1 57 fssresd
` |-  ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )`
59 ioosscn
` |-  ( -oo (,) X ) C_ CC`
60 59 a1i
` |-  ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )`
61 mnfxr
` |-  -oo e. RR*`
62 61 a1i
` |-  ( ph -> -oo e. RR* )`
63 2 mnfltd
` |-  ( ph -> -oo < X )`
64 50 62 2 63 lptioo2cn
` |-  ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )`
65 58 60 64 21 limcrecl
` |-  ( ph -> W e. RR )`
66 1 2 55 65 13 14 15 fourierdlem55
` |-  ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
67 ax-resscn
` |-  RR C_ CC`
68 67 a1i
` |-  ( ph -> RR C_ CC )`
69 66 68 fssd
` |-  ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )`
71 41 a1i
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR )`
72 40 a1i
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> _pi e. RR )`
73 71 leidd
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ -u _pi )`
74 0red
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )`
75 41 rexri
` |-  -u _pi e. RR*`
76 0xr
` |-  0 e. RR*`
77 iooltub
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 )`
78 75 76 77 mp3an12
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < 0 )`
79 pipos
` |-  0 < _pi`
80 79 a1i
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 < _pi )`
81 43 74 72 78 80 lttrd
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < _pi )`
82 43 72 81 ltled
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d <_ _pi )`
83 iccss
` |-  ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ _pi ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
84 71 72 73 82 83 syl22anc
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
86 70 85 fssresd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC )`
87 25 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) )`
88 87 feq1d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( O : ( -u _pi [,] d ) --> CC <-> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) )`
89 86 88 mpbird
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC )`
90 41 elexi
` |-  -u _pi e. _V`
91 90 prid1
` |-  -u _pi e. { -u _pi , d }`
92 elun1
` |-  ( -u _pi e. { -u _pi , d } -> -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) )`
93 91 92 ax-mp
` |-  -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )`
94 93 26 eleqtrri
` |-  -u _pi e. T`
95 94 ne0ii
` |-  T =/= (/)`
96 95 a1i
` |-  ( ph -> T =/= (/) )`
97 prfi
` |-  { -u _pi , d } e. Fin`
98 97 a1i
` |-  ( ph -> { -u _pi , d } e. Fin )`
99 fzfi
` |-  ( 0 ... M ) e. Fin`
100 29 rnmptfi
` |-  ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )`
101 99 100 ax-mp
` |-  ran Q e. Fin`
102 101 a1i
` |-  ( ph -> ran Q e. Fin )`
103 infi
` |-  ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin )`
104 102 103 syl
` |-  ( ph -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin )`
105 unfi
` |-  ( ( { -u _pi , d } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin )`
106 98 104 105 syl2anc
` |-  ( ph -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin )`
107 26 106 eqeltrid
` |-  ( ph -> T e. Fin )`
108 hashnncl
` |-  ( T e. Fin -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )`
109 107 108 syl
` |-  ( ph -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )`
110 96 109 mpbird
` |-  ( ph -> ( # ` T ) e. NN )`
111 nnm1nn0
` |-  ( ( # ` T ) e. NN -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )`
112 110 111 syl
` |-  ( ph -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )`
113 27 112 eqeltrid
` |-  ( ph -> N e. NN0 )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN0 )`
115 0red
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )`
116 1red
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )`
117 114 nn0red
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )`
118 0lt1
` |-  0 < 1`
119 118 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < 1 )`
120 2re
` |-  2 e. RR`
121 120 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 e. RR )`
122 110 nnred
` |-  ( ph -> ( # ` T ) e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` T ) e. RR )`
124 ioogtlb
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d )`
125 75 76 124 mp3an12
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi < d )`
126 71 125 ltned
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi =/= d )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi =/= d )`
128 hashprg
` |-  ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) )`
129 42 44 128 syl2anc
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) )`
130 127 129 mpbid
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 )`
131 130 eqcomd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 = ( # ` { -u _pi , d } ) )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T e. Fin )`
133 ssun1
` |-  { -u _pi , d } C_ ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )`
134 133 26 sseqtrri
` |-  { -u _pi , d } C_ T`
135 hashssle
` |-  ( ( T e. Fin /\ { -u _pi , d } C_ T ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) )`
136 132 134 135 sylancl
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) )`
137 131 136 eqbrtrd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 <_ ( # ` T ) )`
138 121 123 116 137 lesub1dd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( # ` T ) - 1 ) )`
139 1e2m1
` |-  1 = ( 2 - 1 )`
140 138 139 27 3brtr4g
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 <_ N )`
141 115 116 117 119 140 ltletrd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < N )`
142 141 gt0ne0d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N =/= 0 )`
143 114 142 jca
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )`
144 elnnne0
` |-  ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )`
145 143 144 sylibr
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ -u _pi )`
147 71 43 125 ltled
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ d )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ d )`
149 42 44 42 146 148 eliccd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) )`
150 44 leidd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d <_ d )`
151 42 44 44 148 150 eliccd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. ( -u _pi [,] d ) )`
152 149 151 jca
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) )`
153 vex
` |-  d e. _V`
` |-  ( ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) <-> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) )`
155 152 154 sylib
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) )`
156 inss2
` |-  ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d )`
157 156 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d ) )`
158 ioossicc
` |-  ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d )`
159 157 158 sstrdi
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )`
160 155 159 unssd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )`
161 26 160 eqsstrid
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ ( -u _pi [,] d ) )`
162 94 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. T )`
163 153 prid2
` |-  d e. { -u _pi , d }`
164 elun1
` |-  ( d e. { -u _pi , d } -> d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) )`
165 163 164 ax-mp
` |-  d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )`
166 165 26 eleqtrri
` |-  d e. T`
167 166 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. T )`
168 132 27 28 42 44 161 162 167 fourierdlem52
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) /\ ( J ` N ) = d ) )`
169 168 simpld
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) )`
170 169 simpld
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) )`
171 169 simprd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` 0 ) = -u _pi )`
172 168 simprd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` N ) = d )`
173 elfzoelz
` |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ZZ )`
174 173 zred
` |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. RR )`
176 175 ltp1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k < ( k + 1 ) )`
177 71 43 jca
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) )`
` |-  ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) <-> { -u _pi , d } C_ RR )`
179 177 178 sylib
` |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> { -u _pi , d } C_ RR )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ RR )`
181 ioossre
` |-  ( -u _pi (,) d ) C_ RR`
182 156 181 sstri
` |-  ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR`
183 182 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR )`
184 180 183 unssd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ RR )`
185 26 184 eqsstrid
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ RR )`
186 132 185 28 27 fourierdlem36
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )`
188 elfzofz
` |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ( 0 ... N ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )`
190 fzofzp1
` |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )`
192 isorel
` |-  ( ( J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
193 187 189 191 192 syl12anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
194 176 193 mpbid
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
196 195 85 feqresmpt
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( U ` s ) ) )`
197 85 sselda
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
198 1 2 55 65 13 fourierdlem9
` |-  ( ph -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
200 199 197 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) e. RR )`
201 14 fourierdlem43
` |-  K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR`
202 201 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
203 202 197 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) e. RR )`
204 200 203 remulcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )`
205 15 fvmpt2
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )`
206 197 204 205 syl2anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )`
207 41 a1i
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR )`
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR )`
209 simpr
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )`
210 eliccre
` |-  ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )`
211 207 208 209 210 syl3anc
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )`
212 0red
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 0 e. RR )`
213 75 a1i
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR* )`
214 208 rexrd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR* )`
215 iccleub
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d )`
216 213 214 209 215 syl3anc
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d )`
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < 0 )`
218 211 208 212 216 217 lelttrd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < 0 )`
219 211 218 ltned
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 )`
221 220 neneqd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 )`
222 221 iffalsed
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )`
223 211 212 218 ltnsymd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s )`
225 224 iffalsed
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )`
226 225 oveq2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )`
227 226 oveq1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
228 222 227 eqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> F : RR --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> X e. RR )`
231 iccssre
` |-  ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR )`
232 41 40 231 mp2an
` |-  ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR`
233 232 197 sseldi
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( X + s ) e. RR )`
235 229 234 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> W e. RR )`
237 235 236 resubcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. RR )`
238 237 233 220 redivcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. RR )`
239 228 238 eqeltrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )`
240 13 fvmpt2
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )`
241 197 239 240 syl2anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )`
242 241 222 227 3eqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
243 40 a1i
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> _pi e. RR )`
244 243 renegcld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR )`
245 iccgelb
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s )`
246 213 214 209 245 syl3anc
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s )`
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < _pi )`
248 211 208 243 216 247 lelttrd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < _pi )`
249 211 243 248 ltled
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ _pi )`
250 244 243 211 246 249 eliccd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
251 219 neneqd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 )`
252 251 iffalsed
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
253 120 a1i
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. RR )`
254 211 rehalfcld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )`
255 254 resincld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )`
256 253 255 remulcld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )`
257 2cn
` |-  2 e. CC`
258 257 a1i
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC )`
259 211 recnd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC )`
260 259 halfcld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )`
261 260 sincld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )`
262 2ne0
` |-  2 =/= 0`
263 262 a1i
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 =/= 0 )`
264 fourierdlem44
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )`
265 250 219 264 syl2anc
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )`
266 258 261 263 265 mulne0d
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )`
267 211 256 266 redivcld
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )`
268 252 267 eqeltrd
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )`
269 14 fvmpt2
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
270 250 268 269 syl2anc
` |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
272 242 271 oveq12d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
273 221 iffalsed
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
274 273 oveq2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
275 206 272 274 3eqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
276 275 mpteq2dva
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
277 87 196 276 3eqtrd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
279 278 reseq1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> M e. NN )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> V e. ( P ` M ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d )`
288 75 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR* )`
289 76 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 )`
291 288 44 289 290 gtnelicc
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 e. ( -u _pi [,] d ) )`
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> W e. RR )`
293 eqid
` |-  ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
294 eqid
` |-  ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )`
295 eqid
` |-  ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )`
296 fveq2
` |-  ( l = i -> ( Q ` l ) = ( Q ` i ) )`
297 oveq1
` |-  ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )`
298 297 fveq2d
` |-  ( l = i -> ( Q ` ( l + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )`
299 296 298 oveq12d
` |-  ( l = i -> ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
300 299 sseq2d
` |-  ( l = i -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )`
301 300 cbvriotavw
` |-  ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = ( iota_ i e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
302 280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301 fourierdlem86
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) /\ ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )`
303 302 simprd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
304 279 303 eqeltrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
305 302 simpld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) )`
306 305 simpld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
307 278 eqcomd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = O )`
308 307 reseq1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
309 308 oveq1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
310 306 309 eleqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
311 305 simprd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )`
312 308 oveq1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )`
313 311 312 eleqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )`
314 eqid
` |-  ( RR _D O ) = ( RR _D O )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC )`
316 41 a1i
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )`
318 elioore
` |-  ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -> s e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )`
320 85 232 sstrdi
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) )`
323 322 189 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) )`
324 321 323 sseldd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR )`
326 75 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR )`
328 327 rexrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR* )`
329 iccgelb
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )`
330 326 328 323 329 syl3anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )`
332 325 rexrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )`
333 322 191 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) )`
334 321 333 sseldd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )`
335 334 rexrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )`
337 simpr
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
338 ioogtlb
` |-  ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )`
339 332 336 337 338 syl3anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )`
340 316 325 319 331 339 lelttrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi < s )`
341 316 319 340 ltled
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ s )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )`
343 iooltub
` |-  ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )`
344 332 336 337 343 syl3anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )`
345 iccleub
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )`
346 326 328 333 345 syl3anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )`
348 319 342 317 344 347 ltletrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < d )`
349 319 317 348 ltled
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s <_ d )`
350 316 317 319 341 349 eliccd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )`
351 350 ralrimiva
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) )`
352 dfss3
` |-  ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) <-> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) )`
353 351 352 sylibr
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )`
354 315 353 feqresmpt
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) )`
355 simplll
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )`
356 simpllr
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
357 25 fveq1i
` |-  ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s )`
358 357 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) )`
359 fvres
` |-  ( s e. ( -u _pi [,] d ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )`
361 271 273 eqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
362 242 361 oveq12d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
363 237 recnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. CC )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC )`
365 257 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC )`
366 364 halfcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )`
367 366 sincld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )`
368 365 367 mulcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )`
370 363 364 368 220 369 dmdcan2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
371 206 362 370 3eqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
372 358 360 371 3eqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
373 355 356 350 372 syl21anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
374 355 356 350 370 syl21anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
375 374 eqcomd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
376 eqidd
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) )`
377 oveq2
` |-  ( t = s -> ( X + t ) = ( X + s ) )`
378 377 fveq2d
` |-  ( t = s -> ( F ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )`
379 378 oveq1d
` |-  ( t = s -> ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )`
380 id
` |-  ( t = s -> t = s )`
381 379 380 oveq12d
` |-  ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
383 simpr
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
384 ovex
` |-  ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V`
385 384 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V )`
386 376 382 383 385 fvmptd
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
387 eqidd
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) )`
388 oveq1
` |-  ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )`
389 388 fveq2d
` |-  ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )`
390 389 oveq2d
` |-  ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )`
391 380 390 oveq12d
` |-  ( t = s -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
393 ovex
` |-  ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V`
394 393 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V )`
395 387 392 383 394 fvmptd
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
396 386 395 oveq12d
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
397 396 eqcomd
` |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )`
399 373 375 398 3eqtrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )`
400 399 mpteq2dva
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) )`
401 354 400 eqtr2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
402 401 oveq2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) = ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
403 67 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ CC )`
404 353 321 sstrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )`
405 50 tgioo2
` |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )`
406 50 405 dvres
` |-  ( ( ( RR C_ CC /\ O : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) /\ ( ( -u _pi [,] d ) C_ RR /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
407 403 315 321 404 406 syl22anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
408 ioontr
` |-  ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) )`
409 408 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
410 409 reseq2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
411 402 407 410 3eqtrrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> X e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> M e. NN )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V e. ( P ` M ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
418 353 417 sstrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
419 324 rexrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )`
420 76 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR* )`
421 0red
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d < 0 )`
423 334 327 421 346 422 lelttrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) < 0 )`
424 419 334 420 423 gtnelicc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -. 0 e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> W e. RR )`
426 41 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi < d )`
428 simpr
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ..^ N ) )`
429 biid
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) )`
430 413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429 fourierdlem50
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )`
431 430 simpld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) )`
432 430 simprd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )`
433 381 cbvmptv
` |-  ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )`
434 391 cbvmptv
` |-  ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
435 eqid
` |-  ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )`
436 412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435 fourierdlem72
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
437 411 436 eqeltrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
438 eqid
` |-  ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
439 eqid
` |-  ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
440 30 431 eqeltrid
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )`
441 simpll
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ph )`
442 441 440 jca
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )`
443 eleq1
` |-  ( i = C -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> C e. ( 0 ..^ M ) ) )`
444 443 anbi2d
` |-  ( i = C -> ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) <-> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) )`
445 fveq2
` |-  ( i = C -> ( V ` i ) = ( V ` C ) )`
446 oveq1
` |-  ( i = C -> ( i + 1 ) = ( C + 1 ) )`
447 446 fveq2d
` |-  ( i = C -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )`
448 445 447 oveq12d
` |-  ( i = C -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
449 raleq
` |-  ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
450 448 449 syl
` |-  ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
451 450 rexbidv
` |-  ( i = C -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
452 444 451 imbi12d
` |-  ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) )`
453 452 8 vtoclg
` |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
454 440 442 453 sylc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
455 nfv
` |-  F/ t ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) )`
456 nfra1
` |-  F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w`
457 455 456 nfan
` |-  F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
458 simplr
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
459 41 a1i
` |-  ( ph -> -u _pi e. RR )`
` |-  ( ph -> ( -u _pi + X ) e. RR )`
461 40 a1i
` |-  ( ph -> _pi e. RR )`
` |-  ( ph -> ( _pi + X ) e. RR )`
463 460 462 iccssred
` |-  ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )`
464 ressxr
` |-  RR C_ RR*`
465 463 464 sstrdi
` |-  ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )`
467 3 414 415 fourierdlem15
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )`
468 elfzofz
` |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> C e. ( 0 ... M ) )`
469 440 468 syl
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ... M ) )`
470 467 469 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )`
471 466 470 sseldd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )`
473 fzofzp1
` |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )`
474 440 473 syl
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )`
475 467 474 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )`
476 466 475 sseldd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )`
478 elioore
` |-  ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. RR )`
480 40 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> _pi e. RR )`
481 426 480 413 3 414 415 469 29 fourierdlem13
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) /\ ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) )`
482 481 simprd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )`
485 484 470 sseldd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR )`
487 483 486 eqeltrrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )`
490 481 simpld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) )`
491 485 413 resubcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` C ) - X ) e. RR )`
492 490 491 eqeltrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) e. RR )`
493 426 480 413 3 414 415 474 29 fourierdlem13
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) /\ ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) )`
494 493 simpld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) )`
495 484 475 sseldd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR )`
496 495 413 resubcld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) e. RR )`
497 494 496 eqeltrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) e. RR )`
498 30 eqcomi
` |-  ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = C`
499 498 fveq2i
` |-  ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` C )`
500 498 oveq1i
` |-  ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( C + 1 )`
501 500 fveq2i
` |-  ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( C + 1 ) )`
502 499 501 oveq12i
` |-  ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) )`
503 432 502 sseqtrdi
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )`
504 492 497 324 334 194 503 fourierdlem10
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) /\ ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )`
505 504 simpld
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) )`
506 492 324 413 505 leadd2dd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )`
508 489 rexrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR* )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )`
510 509 rexrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )`
512 simpr
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
513 ioogtlb
` |-  ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )`
514 508 511 512 513 syl3anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )`
515 487 489 479 507 514 lelttrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) < t )`
516 483 515 eqbrtrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) < t )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )`
518 493 simprd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )`
519 518 495 eqeltrrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )`
521 iooltub
` |-  ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
522 508 511 512 521 syl3anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
523 504 simprd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) )`
524 334 497 413 523 leadd2dd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )`
526 479 517 520 522 525 ltletrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )`
527 518 eqcomd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )`
529 526 528 breqtrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( V ` ( C + 1 ) ) )`
530 472 477 479 516 529 eliood
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
532 rspa
` |-  ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
533 458 531 532 syl2anc
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
534 533 ex
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
535 457 534 ralrimi
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
536 535 ex
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
537 536 reximdv
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
538 454 537 mpd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
539 448 raleqdv
` |-  ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )`
540 539 rexbidv
` |-  ( i = C -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )`
541 444 540 imbi12d
` |-  ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) )`
542 541 10 vtoclg
` |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )`
543 440 442 542 sylc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
544 nfra1
` |-  F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z`
545 455 544 nfan
` |-  F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
546 1 68 fssd
` |-  ( ph -> F : RR --> CC )`
547 ssid
` |-  RR C_ RR`
548 547 a1i
` |-  ( ph -> RR C_ RR )`
549 ioossre
` |-  ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR`
550 549 a1i
` |-  ( ph -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )`
551 50 405 dvres
` |-  ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )`
552 68 546 548 550 551 syl22anc
` |-  ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )`
553 ioontr
` |-  ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
554 553 reseq2i
` |-  ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
555 554 a1i
` |-  ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
556 552 555 eqtrd
` |-  ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
557 556 fveq1d
` |-  ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) )`
558 fvres
` |-  ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )`
559 557 558 sylan9eq
` |-  ( ( ph /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )`
561 560 fveq2d
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )`
563 simplr
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
565 rspa
` |-  ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
566 563 564 565 syl2anc
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )`
567 562 566 eqbrtrd
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )`
568 567 ex
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )`
569 545 568 ralrimi
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )`
570 569 ex
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )`
571 570 reximdv
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )`
572 543 571 mpd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )`
573 426 rexrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* )`
574 573 328 322 428 fourierdlem8
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> N e. NN )`
576 170 320 fssd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )`
578 simpr
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( -u _pi [,] d ) )`
579 171 eqcomd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi = ( J ` 0 ) )`
580 172 eqcomd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d = ( J ` N ) )`
581 579 580 oveq12d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )`
583 578 582 eleqtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )`
585 simpr
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> -. r e. ran J )`
586 fveq2
` |-  ( j = k -> ( J ` j ) = ( J ` k ) )`
587 586 breq1d
` |-  ( j = k -> ( ( J ` j ) < r <-> ( J ` k ) < r ) )`
588 587 cbvrabv
` |-  { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } = { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r }`
589 588 supeq1i
` |-  sup ( { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } , RR , < ) = sup ( { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r } , RR , < )`
590 575 577 584 585 589 fourierdlem25
` |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> E. m e. ( 0 ..^ N ) r e. ( ( J ` m ) (,) ( J ` ( m + 1 ) ) ) )`
591 554 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> CC )`
593 547 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ RR )`
594 549 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )`
595 403 592 593 594 551 syl22anc
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )`
596 530 ralrimiva
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
597 dfss3
` |-  ( ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
598 596 597 sylibr
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )`
599 598 resabs1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
600 591 595 599 3eqtr4rd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )`
601 simpr
` |-  ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )`
602 id
` |-  ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )`
603 448 reseq2d
` |-  ( i = C -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) )`
604 603 448 feq12d
` |-  ( i = C -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )`
605 444 604 imbi12d
` |-  ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) )`
606 cncff
` |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )`
607 9 606 syl
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )`
608 605 607 vtoclg
` |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )`
609 601 602 608 sylc
` |-  ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )`
610 442 609 syl
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )`
611 610 598 fssresd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )`
612 600 611 feq1dd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )`
613 379 390 oveq12d
` |-  ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
614 613 cbvmptv
` |-  ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
615 biid
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) <-> ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) )`
616 fveq2
` |-  ( r = t -> ( F ` r ) = ( F ` t ) )`
617 616 fveq2d
` |-  ( r = t -> ( abs ` ( F ` r ) ) = ( abs ` ( F ` t ) ) )`
618 617 breq1d
` |-  ( r = t -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
619 618 cbvralvw
` |-  ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )`
620 615 619 anbi12i
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )`
621 fveq2
` |-  ( r = t -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) )`
622 621 fveq2d
` |-  ( r = t -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) )`
623 622 breq1d
` |-  ( r = t -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )`
624 623 cbvralvw
` |-  ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )`
625 620 624 anbi12i
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )`
626 280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625 fourierdlem80
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )`
627 370 mpteq2dva
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
628 277 627 eqtrd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
629 628 oveq2d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
630 629 dmeqd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )`
631 nfcv
` |-  F/_ s dom ( RR _D O )`
632 nfcv
` |-  F/_ s RR`
633 nfcv
` |-  F/_ s _D`
634 nfmpt1
` |-  F/_ s ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )`
635 632 633 634 nfov
` |-  F/_ s ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
636 635 nfdm
` |-  F/_ s dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )`
637 631 636 raleqf
` |-  ( dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )`
638 630 637 syl
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )`
639 629 fveq1d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )`
640 639 fveq2d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )`
641 640 breq1d
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )`
642 641 ralbidv
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )`
643 638 642 bitrd
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )`
644 643 rexbidv
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )`
645 626 644 mpbird
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )`
646 eqid
` |-  ( l e. RR+ |-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( l e. RR+ |-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )`
647 eqeq1
` |-  ( t = s -> ( t = ( J ` k ) <-> s = ( J ` k ) ) )`
648 fveq2
` |-  ( h = l -> ( Q ` h ) = ( Q ` l ) )`
649 oveq1
` |-  ( h = l -> ( h + 1 ) = ( l + 1 ) )`
650 649 fveq2d
` |-  ( h = l -> ( Q ` ( h + 1 ) ) = ( Q ` ( l + 1 ) ) )`
651 648 650 oveq12d
` |-  ( h = l -> ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) = ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )`
652 651 sseq2d
` |-  ( h = l -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )`
653 652 cbvriotavw
` |-  ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )`
654 653 fveq2i
` |-  ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )`
655 654 eqeq2i
` |-  ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) )`
656 655 a1i
` |-  ( T. -> ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) ) )`
657 csbeq1
` |-  ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )`
658 653 657 ax-mp
` |-  [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R`
659 658 a1i
` |-  ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )`
660 656 659 ifbieq1d
` |-  ( T. -> if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) )`
661 660 mptru
` |-  if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) )`
662 661 oveq1i
` |-  ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W )`
663 662 oveq1i
` |-  ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) = ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) )`
664 663 oveq1i
` |-  ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )`
665 664 a1i
` |-  ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) )`
666 eqeq1
` |-  ( t = s -> ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) <-> s = ( J ` ( k + 1 ) ) ) )`
667 653 oveq1i
` |-  ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 )`
668 667 fveq2i
` |-  ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) )`
669 668 eqeq2i
` |-  ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )`
670 669 a1i
` |-  ( T. -> ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )`
671 csbeq1
` |-  ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )`
672 653 671 ax-mp
` |-  [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L`
673 672 a1i
` |-  ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )`
674 670 673 ifbieq1d
` |-  ( T. -> if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )`
675 674 mptru
` |-  if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )`
676 675 oveq1i
` |-  ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W )`
677 676 oveq1i
` |-  ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) )`
678 677 oveq1i
` |-  ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )`
679 678 a1i
` |-  ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )`
680 fveq2
` |-  ( t = s -> ( O ` t ) = ( O ` s ) )`
681 666 679 680 ifbieq12d
` |-  ( t = s -> if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) = if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) )`
682 647 665 681 ifbieq12d
` |-  ( t = s -> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) = if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )`
683 682 cbvmptv
` |-  ( t e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )`
684 42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683 fourierdlem73
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e )`
685 breq2
` |-  ( e = a -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )`
686 685 rexralbidv
` |-  ( e = a -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )`
687 686 cbvralvw
` |-  ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )`
688 684 687 sylib
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )`
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )`
690 rphalfcl
` |-  ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )`
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )`
692 breq2
` |-  ( a = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
693 692 rexralbidv
` |-  ( a = ( e / 2 ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
694 693 rspccva
` |-  ( ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a /\ ( e / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
695 689 691 694 syl2anc
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
696 357 a1i
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) )`
697 158 a1i
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d ) )`
698 697 sselda
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )`
699 698 359 syl
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )`
700 696 699 eqtr2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( U ` s ) = ( O ` s ) )`
701 700 oveq1d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) )`
702 701 itgeq2dv
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )`
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )`
704 703 fveq2d
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) )`
705 simpr
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
706 704 705 eqbrtrd
` |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
707 706 ex
` |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
709 708 ralimdv
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
710 709 reximdv
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
711 695 710 mpd
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
713 nfv
` |-  F/ k ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
714 nfra1
` |-  F/ k A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )`
715 713 714 nfan
` |-  F/ k ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
716 nfv
` |-  F/ k j e. NN`
717 715 716 nfan
` |-  F/ k ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN )`
718 nfv
` |-  F/ k A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )`
719 717 718 nfan
` |-  F/ k ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
720 simpll
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) )`
721 eluznn
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )`
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )`
723 720 722 jca
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) )`
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) )`
725 simpllr
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )`
727 rspa
` |-  ( ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
728 725 726 727 syl2anc
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
729 724 728 jca
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
731 nnre
` |-  ( j e. NN -> j e. RR )`
732 731 rexrd
` |-  ( j e. NN -> j e. RR* )`
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR* )`
734 51 a1i
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> +oo e. RR* )`
735 eluzelre
` |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. RR )`
736 1re
` |-  1 e. RR`
737 736 rehalfcli
` |-  ( 1 / 2 ) e. RR`
738 737 a1i
` |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )`
` |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )`
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )`
743 eluzle
` |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )`
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )`
745 halfgt0
` |-  0 < ( 1 / 2 )`
746 745 a1i
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( 1 / 2 ) )`
747 737 a1i
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )`
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) )`
749 746 748 mpbid
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) )`
750 741 742 740 744 749 lelttrd
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j < ( k + ( 1 / 2 ) ) )`
751 740 ltpnfd
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) < +oo )`
752 733 734 740 750 751 eliood
` |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )`
` |-  ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )`
754 simplr
` |-  ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
755 oveq1
` |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( l x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )`
756 755 fveq2d
` |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( sin ` ( l x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
757 756 oveq2d
` |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )`
` |-  ( ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )`
759 758 itgeq2dv
` |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )`
760 759 fveq2d
` |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )`
761 760 breq1d
` |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
762 761 rspcv
` |-  ( ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
763 753 754 762 sylc
` |-  ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
765 730 764 jca
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
766 765 31 sylibr
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ch )`
767 41 a1i
` |-  ( ch -> -u _pi e. RR )`
768 0red
` |-  ( ch -> 0 e. RR )`
769 ioossicc
` |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] 0 )`
770 31 biimpi
` |-  ( ch -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
771 simp-4r
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
772 770 771 syl
` |-  ( ch -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
773 769 772 sseldi
` |-  ( ch -> d e. ( -u _pi [,] 0 ) )`
774 simp-5l
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ph )`
775 770 774 syl
` |-  ( ch -> ph )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
777 40 rexri
` |-  _pi e. RR*`
778 0re
` |-  0 e. RR`
779 778 40 79 ltleii
` |-  0 <_ _pi`
780 iooss2
` |-  ( ( _pi e. RR* /\ 0 <_ _pi ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi ) )`
781 777 779 780 mp2an
` |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi )`
782 ioossicc
` |-  ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi )`
783 781 782 sstri
` |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi )`
784 783 sseli
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
786 776 785 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )`
787 775 786 sylan
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )`
788 simpllr
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> k e. NN )`
789 770 788 syl
` |-  ( ch -> k e. NN )`
790 789 nnred
` |-  ( ch -> k e. RR )`
791 737 a1i
` |-  ( ch -> ( 1 / 2 ) e. RR )`
` |-  ( ch -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
794 elioore
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. RR )`
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )`
796 793 795 remulcld
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )`
797 796 resincld
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )`
798 787 797 remulcld
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )`
799 798 recnd
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. CC )`
800 75 a1i
` |-  ( ch -> -u _pi e. RR* )`
801 76 a1i
` |-  ( ch -> 0 e. RR* )`
802 767 leidd
` |-  ( ch -> -u _pi <_ -u _pi )`
803 ioossre
` |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ RR`
804 803 772 sseldi
` |-  ( ch -> d e. RR )`
805 800 801 772 77 syl3anc
` |-  ( ch -> d < 0 )`
806 804 768 805 ltled
` |-  ( ch -> d <_ 0 )`
807 ioossioo
` |-  ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )`
808 800 801 802 806 807 syl22anc
` |-  ( ch -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )`
809 ioombl
` |-  ( -u _pi (,) d ) e. dom vol`
810 809 a1i
` |-  ( ch -> ( -u _pi (,) d ) e. dom vol )`
811 eleq1
` |-  ( n = k -> ( n e. NN <-> k e. NN ) )`
812 811 anbi2d
` |-  ( n = k -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ k e. NN ) ) )`
813 simpl
` |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n = k )`
814 813 oveq1d
` |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )`
815 814 oveq1d
` |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )`
816 815 fveq2d
` |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
817 816 oveq2d
` |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )`
818 817 mpteq2dva
` |-  ( n = k -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )`
819 818 eleq1d
` |-  ( n = k -> ( ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 <-> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) )`
820 812 819 imbi12d
` |-  ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) ) )`
821 783 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
822 ioombl
` |-  ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol`
823 822 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol )`
824 66 ffvelrnda
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )`
826 nnre
` |-  ( n e. NN -> n e. RR )`
` |-  ( ( n e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
828 826 737 827 sylancl
` |-  ( n e. NN -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
` |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
830 simpr
` |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
831 232 830 sseldi
` |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )`
832 829 831 remulcld
` |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )`
833 832 resincld
` |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )`
835 825 834 remulcld
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )`
836 17 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )`
837 16 fvmpt2
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
838 830 833 837 syl2anc
` |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
840 839 oveq2d
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )`
841 840 mpteq2dva
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )`
842 836 841 eqtr2d
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = G )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. ran V )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> V e. ( P ` M ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )`
853 eqid
` |-  ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )`
854 eqid
` |-  ( RR _D F ) = ( RR _D F )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )`
858 3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857 fourierdlem88
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )`
859 842 858 eqeltrd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )`
860 821 823 835 859 iblss
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )`
861 820 860 chvarvv
` |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )`
862 775 789 861 syl2anc
` |-  ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )`
863 808 810 798 862 iblss
` |-  ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) d ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )`
864 772 125 syl
` |-  ( ch -> -u _pi < d )`
865 767 804 864 ltled
` |-  ( ch -> -u _pi <_ d )`
866 768 leidd
` |-  ( ch -> 0 <_ 0 )`
867 ioossioo
` |-  ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ d /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )`
868 800 801 865 866 867 syl22anc
` |-  ( ch -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )`
869 ioombl
` |-  ( d (,) 0 ) e. dom vol`
870 869 a1i
` |-  ( ch -> ( d (,) 0 ) e. dom vol )`
871 868 870 798 862 iblss
` |-  ( ch -> ( s e. ( d (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )`
872 767 768 773 799 863 871 itgsplitioo
` |-  ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )`
873 808 sselda
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
874 873 798 syldan
` |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )`
875 874 863 itgcl
` |-  ( ch -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )`
876 868 sselda
` |-  ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
877 876 798 syldan
` |-  ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )`
878 877 871 itgcl
` |-  ( ch -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )`
` |-  ( ch -> ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )`
880 872 879 eqtrd
` |-  ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )`
881 880 fveq2d
` |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )`
` |-  ( ch -> ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. CC )`
883 882 abscld
` |-  ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )`
884 878 abscld
` |-  ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )`
885 875 abscld
` |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )`
` |-  ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )`
887 simp-5r
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> e e. RR+ )`
888 770 887 syl
` |-  ( ch -> e e. RR+ )`
889 888 rpred
` |-  ( ch -> e e. RR )`
890 878 875 abstrid
` |-  ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) <_ ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )`
891 simplr
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
892 770 891 syl
` |-  ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
893 770 simprd
` |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
894 884 885 889 892 893 lt2halvesd
` |-  ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )`
895 883 886 889 890 894 lelttrd
` |-  ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )`
896 881 895 eqbrtrd
` |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )`
897 766 896 syl
` |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )`
898 897 ex
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )`
899 719 898 ralrimi
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )`
900 899 ex
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )`
901 900 reximdva
` |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )`
902 712 901 mpd
` |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )`
903 negpilt0
` |-  -u _pi < 0`
904 41 778 40 lttri
` |-  ( ( -u _pi < 0 /\ 0 < _pi ) -> -u _pi < _pi )`
905 903 79 904 mp2an
` |-  -u _pi < _pi`
906 41 40 905 ltleii
` |-  -u _pi <_ _pi`
907 906 a1i
` |-  ( ph -> -u _pi <_ _pi )`
908 3 fourierdlem2
` |-  ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )`
909 4 908 syl
` |-  ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )`
910 5 909 mpbid
` |-  ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )`
911 910 simpld
` |-  ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )`
912 elmapi
` |-  ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )`
913 911 912 syl
` |-  ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )`
914 913 ffvelrnda
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )`
916 914 915 resubcld
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )`
917 916 29 fmptd
` |-  ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )`
918 29 a1i
` |-  ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )`
919 fveq2
` |-  ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )`
920 919 oveq1d
` |-  ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )`
` |-  ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )`
922 4 nnnn0d
` |-  ( ph -> M e. NN0 )`
923 nn0uz
` |-  NN0 = ( ZZ>= ` 0 )`
924 922 923 eleqtrdi
` |-  ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )`
925 eluzfz1
` |-  ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )`
926 924 925 syl
` |-  ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )`
927 913 926 ffvelrnd
` |-  ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )`
928 927 2 resubcld
` |-  ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )`
929 918 921 926 928 fvmptd
` |-  ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )`
930 910 simprd
` |-  ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )`
931 930 simpld
` |-  ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) )`
932 931 simpld
` |-  ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) )`
933 932 oveq1d
` |-  ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u _pi + X ) - X ) )`
934 459 recnd
` |-  ( ph -> -u _pi e. CC )`
935 2 recnd
` |-  ( ph -> X e. CC )`
936 934 935 pncand
` |-  ( ph -> ( ( -u _pi + X ) - X ) = -u _pi )`
937 929 933 936 3eqtrd
` |-  ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u _pi )`
938 459 461 2 3 853 4 5 29 fourierdlem14
` |-  ( ph -> Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )`
939 853 fourierdlem2
` |-  ( M e. NN -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )`
940 4 939 syl
` |-  ( ph -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )`
941 938 940 mpbid
` |-  ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )`
942 941 simprd
` |-  ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
943 942 simpld
` |-  ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) )`
944 943 simprd
` |-  ( ph -> ( Q ` M ) = _pi )`
945 942 simprd
` |-  ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )`
946 945 r19.21bi
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> F : RR --> RR )`
948 853 4 938 fourierdlem15
` |-  ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )`
950 elfzofz
` |-  ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )`
952 949 951 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
953 fzofzp1
` |-  ( i e. ( 0 ..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )`
955 949 954 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. RR )`
957 ffn
` |-  ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> V Fn ( 0 ... M ) )`
958 911 912 957 3syl
` |-  ( ph -> V Fn ( 0 ... M ) )`
959 fvelrnb
` |-  ( V Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )`
960 958 959 syl
` |-  ( ph -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )`
961 6 960 mpbid
` |-  ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X )`
962 oveq1
` |-  ( ( V ` i ) = X -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )`
964 935 subidd
` |-  ( ph -> ( X - X ) = 0 )`
` |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )`
966 963 965 eqtr2d
` |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) )`
967 966 ex
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) = X -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )`
968 967 reximdva
` |-  ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )`
969 961 968 mpd
` |-  ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )`
970 29 elrnmpt
` |-  ( 0 e. RR -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )`
971 778 970 ax-mp
` |-  ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )`
972 969 971 sylibr
` |-  ( ph -> 0 e. ran Q )`
973 853 4 938 972 fourierdlem12
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -. 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )`
975 974 951 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )`
976 975 956 resubcld
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )`
977 29 fvmpt2
` |-  ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )`
978 951 976 977 syl2anc
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )`
979 978 oveq1d
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )`
980 975 recnd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. CC )`
982 980 981 npcand
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )`
983 979 982 eqtrd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( V ` i ) )`
984 fveq2
` |-  ( j = i -> ( V ` j ) = ( V ` i ) )`
985 984 oveq1d
` |-  ( j = i -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` i ) - X ) )`
986 985 cbvmptv
` |-  ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )`
987 29 986 eqtr4i
` |-  Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )`
988 987 a1i
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )`
989 fveq2
` |-  ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )`
990 989 oveq1d
` |-  ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )`
992 974 954 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )`
993 992 956 resubcld
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )`
994 988 991 954 993 fvmptd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )`
995 994 oveq1d
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) )`
996 992 recnd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )`
997 996 981 npcand
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )`
998 995 997 eqtrd
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )`
999 983 998 oveq12d
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) = ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )`
1000 999 reseq2d
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) = ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )`
1001 999 oveq1d
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
1002 7 1000 1001 3eltr4d
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Y e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> W e. RR )`
1005 947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13 fourierdlem40
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )`
1006 id
` |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )`
1007 67 a1i
` |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> RR C_ CC )`
1008 1006 1007 fssd
` |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )`
1009 9 606 1008 3syl
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )`
1010 eqid
` |-  if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) )`
1011 2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010 fourierdlem75
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) )`
1012 eqid
` |-  if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
1013 2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012 fourierdlem74
` |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
1014 fveq2
` |-  ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )`
1015 oveq1
` |-  ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )`
1016 1015 fveq2d
` |-  ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )`
1017 1014 1016 oveq12d
` |-  ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
1018 1017 cbvmptv
` |-  ( j e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )`
1019 459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018 fourierdlem70
` |-  ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x )`
1020 eqid
` |-  ( ( e / 3 ) / y ) = ( ( e / 3 ) / y )`
1021 fveq2
` |-  ( t = s -> ( G ` t ) = ( G ` s ) )`
1022 1021 fveq2d
` |-  ( t = s -> ( abs ` ( G ` t ) ) = ( abs ` ( G ` s ) ) )`
1023 1022 breq1d
` |-  ( t = s -> ( ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )`
1024 1023 cbvralvw
` |-  ( A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )`
1025 1024 ralbii
` |-  ( A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )`
1026 1025 3anbi3i
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) <-> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )`
1027 1026 anbi1i
` |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) <-> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) )`
1028 1027 anbi1i
` |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) )`
1029 1028 anbi1i
` |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) )`
1030 1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029 fourierdlem87
` |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1031 iftrue
` |-  ( c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )`
1032 1031 negeqd
` |-  ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c )`
1034 75 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi e. RR* )`
1035 76 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 e. RR* )`
1036 rpre
` |-  ( c e. RR+ -> c e. RR )`
1037 1036 renegcld
` |-  ( c e. RR+ -> -u c e. RR )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. RR )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c e. RR )`
1040 40 rehalfcli
` |-  ( _pi / 2 ) e. RR`
1041 1040 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) e. RR )`
1042 40 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> _pi e. RR )`
1043 simpr
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ ( _pi / 2 ) )`
1044 halfpos
` |-  ( _pi e. RR -> ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi ) )`
1045 40 1044 ax-mp
` |-  ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi )`
1046 79 1045 mpbi
` |-  ( _pi / 2 ) < _pi`
1047 1046 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) < _pi )`
1048 1039 1041 1042 1043 1047 lelttrd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c < _pi )`
1049 1039 1042 ltnegd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c < _pi <-> -u _pi < -u c ) )`
1050 1048 1049 mpbid
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi < -u c )`
1051 rpgt0
` |-  ( c e. RR+ -> 0 < c )`
1052 1036 lt0neg2d
` |-  ( c e. RR+ -> ( 0 < c <-> -u c < 0 ) )`
1053 1051 1052 mpbid
` |-  ( c e. RR+ -> -u c < 0 )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c < 0 )`
1055 1034 1035 1038 1050 1054 eliood
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
1056 1033 1055 eqeltrd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
1057 iffalse
` |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )`
1058 1057 negeqd
` |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u ( _pi / 2 ) )`
1059 1040 renegcli
` |-  -u ( _pi / 2 ) e. RR`
1060 1059 rexri
` |-  -u ( _pi / 2 ) e. RR*`
1061 75 76 1060 3pm3.2i
` |-  ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* )`
1062 1040 40 ltnegi
` |-  ( ( _pi / 2 ) < _pi <-> -u _pi < -u ( _pi / 2 ) )`
1063 1046 1062 mpbi
` |-  -u _pi < -u ( _pi / 2 )`
1064 2pos
` |-  0 < 2`
1065 40 120 79 1064 divgt0ii
` |-  0 < ( _pi / 2 )`
1066 lt0neg2
` |-  ( ( _pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 ) )`
1067 1040 1066 ax-mp
` |-  ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 )`
1068 1065 1067 mpbi
` |-  -u ( _pi / 2 ) < 0`
1069 1063 1068 pm3.2i
` |-  ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 )`
1070 elioo3g
` |-  ( -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) <-> ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* ) /\ ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 ) ) )`
1071 1061 1069 1070 mpbir2an
` |-  -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 )`
1072 1071 a1i
` |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
1073 1058 1072 eqeltrd
` |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
1075 1056 1074 pm2.61dan
` |-  ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
1077 ioombl
` |-  ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol`
1078 1077 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol )`
1079 simpr
` |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1080 1078 1079 jca
` |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )`
1081 ioossicc
` |-  ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 )`
1082 1081 a1i
` |-  ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) )`
1083 41 a1i
` |-  ( c e. RR+ -> -u _pi e. RR )`
1084 40 a1i
` |-  ( c e. RR+ -> _pi e. RR )`
1085 1039 1042 1048 ltled
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ _pi )`
1086 1039 1042 lenegd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c <_ _pi <-> -u _pi <_ -u c ) )`
1087 1085 1086 mpbid
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u c )`
1088 1032 eqcomd
` |-  ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1090 1087 1089 breqtrd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1091 41 1059 1063 ltleii
` |-  -u _pi <_ -u ( _pi / 2 )`
1092 1091 a1i
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u ( _pi / 2 ) )`
1093 1058 eqcomd
` |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1095 1092 1094 breqtrd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1096 1090 1095 pm2.61dan
` |-  ( c e. RR+ -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1097 779 a1i
` |-  ( c e. RR+ -> 0 <_ _pi )`
1098 iccss
` |-  ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) /\ 0 <_ _pi ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
1099 1083 1084 1096 1097 1098 syl22anc
` |-  ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
1100 1082 1099 sstrd
` |-  ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )`
1101 803 1075 sseldi
` |-  ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )`
1102 0red
` |-  ( c e. RR+ -> 0 e. RR )`
1103 rpge0
` |-  ( c e. RR+ -> 0 <_ c )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ c )`
1105 1043 iftrued
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )`
1106 1104 1105 breqtrrd
` |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1107 778 1040 1065 ltleii
` |-  0 <_ ( _pi / 2 )`
1108 simpr
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -. c <_ ( _pi / 2 ) )`
1109 1108 iffalsed
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )`
1110 1107 1109 breqtrrid
` |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1111 1106 1110 pm2.61dan
` |-  ( c e. RR+ -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1112 1040 a1i
` |-  ( c e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR )`
1113 1036 1112 ifcld
` |-  ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )`
1114 1113 le0neg2d
` |-  ( c e. RR+ -> ( 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <-> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) )`
1115 1111 1114 mpbid
` |-  ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 )`
1116 volioo
` |-  ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )`
1117 1101 1102 1115 1116 syl3anc
` |-  ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )`
1118 0cn
` |-  0 e. CC`
1119 1118 a1i
` |-  ( c e. RR+ -> 0 e. CC )`
1120 1113 recnd
` |-  ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. CC )`
1121 1119 1120 subnegd
` |-  ( c e. RR+ -> ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )`
` |-  ( c e. RR+ -> ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1123 1117 1121 1122 3eqtrd
` |-  ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )`
1124 min1
` |-  ( ( c e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )`
1125 1036 1040 1124 sylancl
` |-  ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )`
1126 1123 1125 eqbrtrd
` |-  ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c )`
1127 1100 1126 jca
` |-  ( c e. RR+ -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )`
` |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )`
1129 sseq1
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) )`
1130 fveq2
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( vol ` u ) = ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) )`
1131 1130 breq1d
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( vol ` u ) <_ c <-> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )`
1132 1129 1131 anbi12d
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) <-> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) )`
1133 itgeq1
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )`
1134 1133 fveq2d
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )`
1135 1134 breq1d
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1136 1135 ralbidv
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1137 1132 1136 imbi12d
` |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )`
1138 1137 rspcva
` |-  ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1139 1080 1128 1138 sylc
` |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
1141 oveq1
` |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( d (,) 0 ) = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) )`
1142 1141 itgeq1d
` |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )`
1143 1142 fveq2d
` |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )`
1144 1143 breq1d
` |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1145 1144 ralbidv
` |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1146 1145 rspcev
` |-  ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
1147 1076 1140 1146 syl2anc
` |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
1148 1147 rexlimdv3a
` |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )`
1149 1030 1148 mpd
` |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )`
1150 902 1149 r19.29a
` |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )`
1151 1150 ralrimiva
` |-  ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )`
1152 nnex
` |-  NN e. _V`
1153 1152 mptex
` |-  ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V`
1154 1153 a1i
` |-  ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V )`
1155 eqidd
` |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )`
` |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
1159 simpr
` |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )`
1160 simpl
` |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> k e. NN )`
1161 1159 1160 eqeltrd
` |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. NN )`
1162 1161 nnred
` |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. RR )`
1163 737 a1i
` |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )`
` |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
1166 232 1158 sseldi
` |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )`
1167 1165 1166 remulcld
` |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )`
1168 1167 resincld
` |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )`
1169 1158 1168 837 syl2anc
` |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> n e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n e. RR )`
1173 1red
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )`
1174 1173 rehalfcld
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )`
1176 232 1156 sseldi
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )`
1177 1175 1176 remulcld
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )`
1178 1177 resincld
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )`
1179 1170 1178 eqeltrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) e. RR )`
1180 1157 1179 remulcld
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )`
1181 17 fvmpt2
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )`
1182 1156 1180 1181 syl2anc
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )`
1183 oveq1
` |-  ( n = k -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )`
1184 1183 oveq1d
` |-  ( n = k -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )`
1185 1184 fveq2d
` |-  ( n = k -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
1187 1170 1186 eqtrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )`
1188 1187 oveq2d
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )`
1189 1182 1188 eqtrd
` |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )`
1190 1189 itgeq2dv
` |-  ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )`
1191 simpr
` |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )`
1192 817 itgeq2dv
` |-  ( n = k -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )`
1193 1192 eleq1d
` |-  ( n = k -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC <-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) )`
1194 812 1193 imbi12d
` |-  ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) ) )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )`
1196 simpr
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )`
1197 1196 784 833 syl2an
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )`
1198 1195 1197 remulcld
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )`
1199 1198 860 itgcl
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )`
1200 1194 1199 chvarvv
` |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )`
1201 1155 1190 1191 1200 fvmptd
` |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` k ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )`
1202 39 33 1154 1201 1200 clim0c
` |-  ( ph -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )`
1203 1151 1202 mpbird
` |-  ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 )`
1204 1152 mptex
` |-  ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) e. _V`
1205 19 1204 eqeltri
` |-  E e. _V`
1206 1205 a1i
` |-  ( ph -> E e. _V )`
1207 1152 mptex
` |-  ( n e. NN |-> _pi ) e. _V`
1208 1207 a1i
` |-  ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) e. _V )`
1209 picn
` |-  _pi e. CC`
1210 1209 a1i
` |-  ( ph -> _pi e. CC )`
1211 eqidd
` |-  ( m e. NN -> ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi ) )`
1212 eqidd
` |-  ( ( m e. NN /\ n = m ) -> _pi = _pi )`
1213 id
` |-  ( m e. NN -> m e. NN )`
1214 40 a1i
` |-  ( m e. NN -> _pi e. RR )`
1215 1211 1212 1213 1214 fvmptd
` |-  ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi )`
` |-  ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi )`
1217 39 33 1208 1210 1216 climconst
` |-  ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) ~~> _pi )`
1218 778 79 gtneii
` |-  _pi =/= 0`
1219 1218 a1i
` |-  ( ph -> _pi =/= 0 )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )`
1223 843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17 fourierdlem67
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )`
1225 821 sselda
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )`
1226 1224 1225 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) e. RR )`
1227 1223 ffvelrnda
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )`
1228 1223 feqmptd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) )`
1229 1228 858 eqeltrrd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )`
1230 821 823 1227 1229 iblss
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )`
1231 1226 1230 itgcl
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC )`
1232 eqid
` |-  ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )`
1233 1232 fvmpt2
` |-  ( ( n e. NN /\ S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )`
1234 1196 1231 1233 syl2anc
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )`
1235 1234 1231 eqeltrd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) e. CC )`
1236 id
` |-  ( n e. NN -> n e. NN )`
1237 eqid
` |-  ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi )`
1238 1237 fvmpt2
` |-  ( ( n e. NN /\ _pi e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi )`
1239 1236 40 1238 sylancl
` |-  ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi )`
1240 1209 a1i
` |-  ( n e. NN -> _pi e. CC )`
1241 1218 a1i
` |-  ( n e. NN -> _pi =/= 0 )`
1242 1240 1241 jca
` |-  ( n e. NN -> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )`
1243 eldifsn
` |-  ( _pi e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )`
1244 1242 1243 sylibr
` |-  ( n e. NN -> _pi e. ( CC \ { 0 } ) )`
1245 1239 1244 eqeltrd
` |-  ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )`
1247 1209 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. CC )`
1248 1218 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi =/= 0 )`
1249 1231 1247 1248 divcld
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC )`
1250 19 fvmpt2
` |-  ( ( n e. NN /\ ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )`
1251 1196 1249 1250 syl2anc
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )`
1252 1234 eqcomd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) )`
1253 1239 eqcomd
` |-  ( n e. NN -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) )`
1255 1252 1254 oveq12d
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) )`
1256 1251 1255 eqtrd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) )`
1257 34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256 climdivf
` |-  ( ph -> E ~~> ( 0 / _pi ) )`
1258 1209 1218 div0i
` |-  ( 0 / _pi ) = 0`
1259 1258 a1i
` |-  ( ph -> ( 0 / _pi ) = 0 )`
1260 1257 1259 breqtrd
` |-  ( ph -> E ~~> 0 )`
1261 1152 mptex
` |-  ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) e. _V`
1262 18 1261 eqeltri
` |-  Z e. _V`
1263 1262 a1i
` |-  ( ph -> Z e. _V )`
1264 1152 mptex
` |-  ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) e. _V`
1265 1264 a1i
` |-  ( ph -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) e. _V )`
1266 limccl
` |-  ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) C_ CC`
1267 1266 21 sseldi
` |-  ( ph -> W e. CC )`
1268 1267 halfcld
` |-  ( ph -> ( W / 2 ) e. CC )`
1269 eqidd
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) = ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) )`
1270 eqidd
` |-  ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m = n ) -> ( W / 2 ) = ( W / 2 ) )`
1271 39 eqcomi
` |-  ( ZZ>= ` 1 ) = NN`
1272 1271 eleq2i
` |-  ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> n e. NN )`
1273 1272 biimpi
` |-  ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )`
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )`
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( W / 2 ) e. CC )`
1276 1269 1270 1274 1275 fvmptd
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) = ( W / 2 ) )`
1277 32 33 1265 1268 1276 climconst
` |-  ( ph -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ~~> ( W / 2 ) )`
1278 1249 19 fmptd
` |-  ( ph -> E : NN --> CC )`
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E : NN --> CC )`
1280 1279 1274 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( E ` n ) e. CC )`
1281 1276 1275 eqeltrd
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) e. CC )`
1282 1276 oveq2d
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) = ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) )`
1283 822 a1i
` |-  ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol )`
1284 75 a1i
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR* )`
1285 0red
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )`
1286 1285 rexrd
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* )`
1287 id
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )`
1288 iooltub
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s < 0 )`
1289 1284 1286 1287 1288 syl3anc
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s < 0 )`
1290 794 1289 ltned
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s =/= 0 )`
1291 1290 neneqd
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s = 0 )`
1292 velsn
` |-  ( s e. { 0 } <-> s = 0 )`
1293 1291 1292 sylnibr
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s e. { 0 } )`
1294 784 1293 eldifd
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )`
1295 1294 ssriv
` |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } )`
1296 1295 a1i
` |-  ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )`
1298 0red
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )`
1299 794 1285 1289 ltled
` |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s <_ 0 )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s <_ 0 )`
1301 1297 1298 1300 lensymd
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 < s )`
1302 1301 iffalsed
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )`
1303 eqid
` |-  ( D ` n ) = ( D ` n )`
1304 41 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi e. RR )`
1305 0red
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )`
1306 41 778 903 ltleii
` |-  -u _pi <_ 0`
1307 1306 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi <_ 0 )`
1308 eqid
` |-  ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) )`
1309 24 1196 1303 1304 1305 1307 1308 dirkeritg
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) )`
1310 ubicc2
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) )`
1311 75 76 1306 1310 mp3an
` |-  0 e. ( -u _pi [,] 0 )`
1312 oveq1
` |-  ( s = 0 -> ( s / 2 ) = ( 0 / 2 ) )`
1313 257 262 div0i
` |-  ( 0 / 2 ) = 0`
1314 1313 a1i
` |-  ( s = 0 -> ( 0 / 2 ) = 0 )`
1315 1312 1314 eqtrd
` |-  ( s = 0 -> ( s / 2 ) = 0 )`
1316 oveq2
` |-  ( s = 0 -> ( k x. s ) = ( k x. 0 ) )`
1317 elfzelz
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. ZZ )`
1318 1317 zcnd
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. CC )`
1319 1318 mul01d
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. 0 ) = 0 )`
1320 1316 1319 sylan9eq
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( k x. s ) = 0 )`
1321 1320 fveq2d
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` 0 ) )`
1322 sin0
` |-  ( sin ` 0 ) = 0`
1323 1322 a1i
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` 0 ) = 0 )`
1324 1321 1323 eqtrd
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = 0 )`
1325 1324 oveq1d
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( 0 / k ) )`
1326 0red
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 e. RR )`
1327 1red
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 e. RR )`
1328 1317 zred
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. RR )`
1329 118 a1i
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < 1 )`
1330 elfzle1
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 <_ k )`
1331 1326 1327 1328 1329 1330 ltletrd
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < k )`
1332 1331 gt0ne0d
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k =/= 0 )`
1333 1318 1332 div0d
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( 0 / k ) = 0 )`
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 0 / k ) = 0 )`
1335 1325 1334 eqtrd
` |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )`
1336 1335 sumeq2dv
` |-  ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 )`
1337 fzfi
` |-  ( 1 ... n ) e. Fin`
1338 1337 olci
` |-  ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin )`
1339 sumz
` |-  ( ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )`
1340 1338 1339 ax-mp
` |-  sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0`
1341 1340 a1i
` |-  ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )`
1342 1336 1341 eqtrd
` |-  ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )`
1343 1315 1342 oveq12d
` |-  ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( 0 + 0 ) )`
1344 00id
` |-  ( 0 + 0 ) = 0`
1345 1344 a1i
` |-  ( s = 0 -> ( 0 + 0 ) = 0 )`
1346 1343 1345 eqtrd
` |-  ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = 0 )`
1347 1346 oveq1d
` |-  ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( 0 / _pi ) )`
1348 1258 a1i
` |-  ( s = 0 -> ( 0 / _pi ) = 0 )`
1349 1347 1348 eqtrd
` |-  ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = 0 )`
1350 778 elexi
` |-  0 e. _V`
1351 1349 1308 1350 fvmpt
` |-  ( 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0 )`
1352 1311 1351 ax-mp
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0`
1353 lbicc2
` |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) )`
1354 75 76 1306 1353 mp3an
` |-  -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 )`
1355 oveq1
` |-  ( s = -u _pi -> ( s / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) )`
1356 oveq2
` |-  ( s = -u _pi -> ( k x. s ) = ( k x. -u _pi ) )`
1357 1356 fveq2d
` |-  ( s = -u _pi -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) )`
1358 1357 oveq1d
` |-  ( s = -u _pi -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) )`
1359 1358 sumeq2sdv
` |-  ( s = -u _pi -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) )`
1360 1355 1359 oveq12d
` |-  ( s = -u _pi -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) )`
1361 1360 oveq1d
` |-  ( s = -u _pi -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) )`
1362 ovex
` |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) e. _V`
1363 1361 1308 1362 fvmpt
` |-  ( -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) )`
1364 1354 1363 ax-mp
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi )`
1365 mulneg12
` |-  ( ( k e. CC /\ _pi e. CC ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) )`
1366 1318 1209 1365 sylancl
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) )`
1367 1366 eqcomd
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) = ( -u k x. _pi ) )`
1368 1367 oveq1d
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) )`
1369 1318 negcld
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. CC )`
1370 1209 a1i
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi e. CC )`
1371 1218 a1i
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi =/= 0 )`
1372 1369 1370 1371 divcan4d
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) = -u k )`
1373 1368 1372 eqtrd
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = -u k )`
1374 1317 znegcld
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. ZZ )`
1375 1373 1374 eqeltrd
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ )`
1376 negpicn
` |-  -u _pi e. CC`
1377 1376 a1i
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> -u _pi e. CC )`
1378 1318 1377 mulcld
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) e. CC )`
1379 sineq0
` |-  ( ( k x. -u _pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )`
1380 1378 1379 syl
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )`
1381 1375 1380 mpbird
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 )`
1382 1381 oveq1d
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = ( 0 / k ) )`
1383 1382 1333 eqtrd
` |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0 )`
1384 1383 sumeq2i
` |-  sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0`
1385 1384 1340 eqtri
` |-  sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0`
1386 1385 oveq2i
` |-  ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + 0 )`
1387 1386 oveq1i
` |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi )`
1388 1376 257 262 divcli
` |-  ( -u _pi / 2 ) e. CC`
` |-  ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = ( -u _pi / 2 )`
1390 divneg
` |-  ( ( _pi e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) )`
1391 1209 257 262 1390 mp3an
` |-  -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 )`
1392 1389 1391 eqtr4i
` |-  ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = -u ( _pi / 2 )`
1393 1392 oveq1i
` |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi )`
1394 1040 recni
` |-  ( _pi / 2 ) e. CC`
1395 divneg
` |-  ( ( ( _pi / 2 ) e. CC /\ _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) -> -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) )`
1396 1394 1209 1218 1395 mp3an
` |-  -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi )`
1397 1396 eqcomi
` |-  ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( ( _pi / 2 ) / _pi )`
1398 1209 257 1209 262 1218 divdiv32i
` |-  ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( ( _pi / _pi ) / 2 )`
1399 1209 1218 dividi
` |-  ( _pi / _pi ) = 1`
1400 1399 oveq1i
` |-  ( ( _pi / _pi ) / 2 ) = ( 1 / 2 )`
1401 1398 1400 eqtri
` |-  ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( 1 / 2 )`
1402 1401 negeqi
` |-  -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 )`
1403 1393 1397 1402 3eqtri
` |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 )`
1404 1364 1387 1403 3eqtri
` |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = -u ( 1 / 2 )`
1405 1352 1404 oveq12i
` |-  ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) )`
1406 1405 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) )`
1407 halfcn
` |-  ( 1 / 2 ) e. CC`
1408 1118 1407 subnegi
` |-  ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) )`
` |-  ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )`
1410 1408 1409 eqtri
` |-  ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )`
1411 1410 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )`
1412 1309 1406 1411 3eqtrd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) )`
1413 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412 fourierdlem95
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )`
1414 1274 1413 syldan
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )`
1415 18 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) )`
1416 fveq2
` |-  ( m = n -> ( D ` m ) = ( D ` n ) )`
1417 1416 fveq1d
` |-  ( m = n -> ( ( D ` m ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) )`
1418 1417 oveq2d
` |-  ( m = n -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )`
` |-  ( ( m = n /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )`
1420 1419 itgeq2dv
` |-  ( m = n -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = n ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( X + s ) e. RR )`
1425 1422 1424 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )`
1427 24 dirkerf
` |-  ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )`
1430 1428 1429 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )`
1431 1426 1430 remulcld
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> F : RR --> RR )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> X e. RR )`
1434 232 sseli
` |-  ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) -> s e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )`
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )`
1437 1432 1436 ffvelrnd
` |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )`
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )`
1441 1439 1440 ffvelrnd
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )`
1442 1438 1441 remulcld
` |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )`
1443 40 a1i
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. RR )`
1444 24 dirkercncf
` |-  ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )`
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )`
1446 eqid
` |-  ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )`
1447 1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446 fourierdlem84
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )`
1448 821 823 1442 1447 iblss
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )`
1449 1431 1448 itgrecl
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s e. RR )`
1450 1415 1421 1196 1449 fvmptd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( Z ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )`
1451 1450 eqcomd
` |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )`
1452 1274 1451 syldan
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )`
1453 1282 1414 1452 3eqtrrd
` |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( Z ` n ) = ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) )`
1454 32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453 climadd
` |-  ( ph -> Z ~~> ( 0 + ( W / 2 ) ) )`
` |-  ( ph -> ( 0 + ( W / 2 ) ) = ( W / 2 ) )`
` |-  ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) )`