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Theorem fourierdlem103

Description: The half lower part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the left limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses fourierdlem103.f
|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem103.xre
|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem103.p
|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem103.m
|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem103.v
|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem103.x
|- ( ph -> X e. ran V )
fourierdlem103.fcn
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem103.fbdioo
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
fourierdlem103.fdvcn
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem103.fdvbd
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
fourierdlem103.r
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
fourierdlem103.l
|- ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem103.h
|- H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem103.k
|- K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem103.u
|- U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem103.s
|- S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem103.g
|- G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
fourierdlem103.z
|- Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )
fourierdlem103.e
|- E = ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
fourierdlem103.y
|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
fourierdlem103.w
|- ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
fourierdlem103.a
|- ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
fourierdlem103.b
|- ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
fourierdlem103.d
|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem103.o
|- O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) )
fourierdlem103.t
|- T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
fourierdlem103.n
|- N = ( ( # ` T ) - 1 )
fourierdlem103.j
|- J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
fourierdlem103.q
|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem103.1
|- C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
fourierdlem103.ch
|- ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
Assertion fourierdlem103
|- ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fourierdlem103.f
 |-  ( ph -> F : RR --> RR )
2 fourierdlem103.xre
 |-  ( ph -> X e. RR )
3 fourierdlem103.p
 |-  P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4 fourierdlem103.m
 |-  ( ph -> M e. NN )
5 fourierdlem103.v
 |-  ( ph -> V e. ( P ` M ) )
6 fourierdlem103.x
 |-  ( ph -> X e. ran V )
7 fourierdlem103.fcn
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
8 fourierdlem103.fbdioo
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
9 fourierdlem103.fdvcn
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
10 fourierdlem103.fdvbd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
11 fourierdlem103.r
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
12 fourierdlem103.l
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
13 fourierdlem103.h
 |-  H = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
14 fourierdlem103.k
 |-  K = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
15 fourierdlem103.u
 |-  U = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
16 fourierdlem103.s
 |-  S = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
17 fourierdlem103.g
 |-  G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
18 fourierdlem103.z
 |-  Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s )
19 fourierdlem103.e
 |-  E = ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
20 fourierdlem103.y
 |-  ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
21 fourierdlem103.w
 |-  ( ph -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
22 fourierdlem103.a
 |-  ( ph -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
23 fourierdlem103.b
 |-  ( ph -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
24 fourierdlem103.d
 |-  D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. _pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. _pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. _pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
25 fourierdlem103.o
 |-  O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) )
26 fourierdlem103.t
 |-  T = ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
27 fourierdlem103.n
 |-  N = ( ( # ` T ) - 1 )
28 fourierdlem103.j
 |-  J = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
29 fourierdlem103.q
 |-  Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
30 fourierdlem103.1
 |-  C = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
31 fourierdlem103.ch
 |-  ( ch <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
32 eqid
 |-  ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
33 1zzd
 |-  ( ph -> 1 e. ZZ )
34 nfv
 |-  F/ n ph
35 nfmpt1
 |-  F/_ n ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
36 nfmpt1
 |-  F/_ n ( n e. NN |-> _pi )
37 nfmpt1
 |-  F/_ n ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
38 19 37 nfcxfr
 |-  F/_ n E
39 nnuz
 |-  NN = ( ZZ>= ` 1 )
40 pire
 |-  _pi e. RR
41 40 renegcli
 |-  -u _pi e. RR
42 41 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR )
43 elioore
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d e. RR )
44 43 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. RR )
45 ioossre
 |-  ( X (,) +oo ) C_ RR
46 45 a1i
 |-  ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )
47 1 46 fssresd
 |-  ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
48 ioosscn
 |-  ( X (,) +oo ) C_ CC
49 48 a1i
 |-  ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )
50 eqid
 |-  ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld )
51 pnfxr
 |-  +oo e. RR*
52 51 a1i
 |-  ( ph -> +oo e. RR* )
53 2 ltpnfd
 |-  ( ph -> X < +oo )
54 50 52 2 53 lptioo1cn
 |-  ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )
55 47 49 54 20 limcrecl
 |-  ( ph -> Y e. RR )
56 ioossre
 |-  ( -oo (,) X ) C_ RR
57 56 a1i
 |-  ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ RR )
58 1 57 fssresd
 |-  ( ph -> ( F |` ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
59 ioosscn
 |-  ( -oo (,) X ) C_ CC
60 59 a1i
 |-  ( ph -> ( -oo (,) X ) C_ CC )
61 mnfxr
 |-  -oo e. RR*
62 61 a1i
 |-  ( ph -> -oo e. RR* )
63 2 mnfltd
 |-  ( ph -> -oo < X )
64 50 62 2 63 lptioo2cn
 |-  ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` CCfld ) ) ` ( -oo (,) X ) ) )
65 58 60 64 21 limcrecl
 |-  ( ph -> W e. RR )
66 1 2 55 65 13 14 15 fourierdlem55
 |-  ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
67 ax-resscn
 |-  RR C_ CC
68 67 a1i
 |-  ( ph -> RR C_ CC )
69 66 68 fssd
 |-  ( ph -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )
70 69 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> CC )
71 41 a1i
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR )
72 40 a1i
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> _pi e. RR )
73 71 leidd
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ -u _pi )
74 0red
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
75 41 rexri
 |-  -u _pi e. RR*
76 0xr
 |-  0 e. RR*
77 iooltub
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 )
78 75 76 77 mp3an12
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < 0 )
79 pipos
 |-  0 < _pi
80 79 a1i
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 < _pi )
81 43 74 72 78 80 lttrd
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d < _pi )
82 43 72 81 ltled
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> d <_ _pi )
83 iccss
 |-  ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ _pi ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
84 71 72 73 82 83 syl22anc
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
85 84 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
86 70 85 fssresd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC )
87 25 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) )
88 87 feq1d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( O : ( -u _pi [,] d ) --> CC <-> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) )
89 86 88 mpbird
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC )
90 41 elexi
 |-  -u _pi e. _V
91 90 prid1
 |-  -u _pi e. { -u _pi , d }
92 elun1
 |-  ( -u _pi e. { -u _pi , d } -> -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) )
93 91 92 ax-mp
 |-  -u _pi e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
94 93 26 eleqtrri
 |-  -u _pi e. T
95 94 ne0ii
 |-  T =/= (/)
96 95 a1i
 |-  ( ph -> T =/= (/) )
97 prfi
 |-  { -u _pi , d } e. Fin
98 97 a1i
 |-  ( ph -> { -u _pi , d } e. Fin )
99 fzfi
 |-  ( 0 ... M ) e. Fin
100 29 rnmptfi
 |-  ( ( 0 ... M ) e. Fin -> ran Q e. Fin )
101 99 100 ax-mp
 |-  ran Q e. Fin
102 101 a1i
 |-  ( ph -> ran Q e. Fin )
103 infi
 |-  ( ran Q e. Fin -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin )
104 102 103 syl
 |-  ( ph -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin )
105 unfi
 |-  ( ( { -u _pi , d } e. Fin /\ ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) e. Fin ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin )
106 98 104 105 syl2anc
 |-  ( ph -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) e. Fin )
107 26 106 eqeltrid
 |-  ( ph -> T e. Fin )
108 hashnncl
 |-  ( T e. Fin -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )
109 107 108 syl
 |-  ( ph -> ( ( # ` T ) e. NN <-> T =/= (/) ) )
110 96 109 mpbird
 |-  ( ph -> ( # ` T ) e. NN )
111 nnm1nn0
 |-  ( ( # ` T ) e. NN -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )
112 110 111 syl
 |-  ( ph -> ( ( # ` T ) - 1 ) e. NN0 )
113 27 112 eqeltrid
 |-  ( ph -> N e. NN0 )
114 113 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN0 )
115 0red
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
116 1red
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
117 114 nn0red
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )
118 0lt1
 |-  0 < 1
119 118 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < 1 )
120 2re
 |-  2 e. RR
121 120 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 e. RR )
122 110 nnred
 |-  ( ph -> ( # ` T ) e. RR )
123 122 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` T ) e. RR )
124 ioogtlb
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d )
125 75 76 124 mp3an12
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi < d )
126 71 125 ltned
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi =/= d )
127 126 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi =/= d )
128 hashprg
 |-  ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) )
129 42 44 128 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi =/= d <-> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 ) )
130 127 129 mpbid
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) = 2 )
131 130 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 = ( # ` { -u _pi , d } ) )
132 107 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T e. Fin )
133 ssun1
 |-  { -u _pi , d } C_ ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
134 133 26 sseqtrri
 |-  { -u _pi , d } C_ T
135 hashssle
 |-  ( ( T e. Fin /\ { -u _pi , d } C_ T ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) )
136 132 134 135 sylancl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( # ` { -u _pi , d } ) <_ ( # ` T ) )
137 131 136 eqbrtrd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 2 <_ ( # ` T ) )
138 121 123 116 137 lesub1dd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 2 - 1 ) <_ ( ( # ` T ) - 1 ) )
139 1e2m1
 |-  1 = ( 2 - 1 )
140 138 139 27 3brtr4g
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 <_ N )
141 115 116 117 119 140 ltletrd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 < N )
142 141 gt0ne0d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N =/= 0 )
143 114 142 jca
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
144 elnnne0
 |-  ( N e. NN <-> ( N e. NN0 /\ N =/= 0 ) )
145 143 144 sylibr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> N e. NN )
146 73 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ -u _pi )
147 71 43 125 ltled
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi <_ d )
148 147 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi <_ d )
149 42 44 42 146 148 eliccd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) )
150 44 leidd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d <_ d )
151 42 44 44 148 150 eliccd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. ( -u _pi [,] d ) )
152 149 151 jca
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) )
153 vex
 |-  d e. _V
154 90 153 prss
 |-  ( ( -u _pi e. ( -u _pi [,] d ) /\ d e. ( -u _pi [,] d ) ) <-> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) )
155 152 154 sylib
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ ( -u _pi [,] d ) )
156 inss2
 |-  ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d )
157 156 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi (,) d ) )
158 ioossicc
 |-  ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d )
159 157 158 sstrdi
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
160 155 159 unssd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
161 26 160 eqsstrid
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ ( -u _pi [,] d ) )
162 94 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. T )
163 153 prid2
 |-  d e. { -u _pi , d }
164 elun1
 |-  ( d e. { -u _pi , d } -> d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) )
165 163 164 ax-mp
 |-  d e. ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) )
166 165 26 eleqtrri
 |-  d e. T
167 166 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d e. T )
168 132 27 28 42 44 161 162 167 fourierdlem52
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) /\ ( J ` N ) = d ) )
169 168 simpld
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) /\ ( J ` 0 ) = -u _pi ) )
170 169 simpld
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) )
171 169 simprd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` 0 ) = -u _pi )
172 168 simprd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( J ` N ) = d )
173 elfzoelz
 |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ZZ )
174 173 zred
 |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. RR )
175 174 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. RR )
176 175 ltp1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k < ( k + 1 ) )
177 71 43 jca
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) )
178 90 153 prss
 |-  ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR ) <-> { -u _pi , d } C_ RR )
179 177 178 sylib
 |-  ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) -> { -u _pi , d } C_ RR )
180 179 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> { -u _pi , d } C_ RR )
181 ioossre
 |-  ( -u _pi (,) d ) C_ RR
182 156 181 sstri
 |-  ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR
183 182 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) C_ RR )
184 180 183 unssd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( { -u _pi , d } u. ( ran Q i^i ( -u _pi (,) d ) ) ) C_ RR )
185 26 184 eqsstrid
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> T C_ RR )
186 132 185 28 27 fourierdlem36
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
187 186 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) )
188 elfzofz
 |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> k e. ( 0 ... N ) )
189 188 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
190 fzofzp1
 |-  ( k e. ( 0 ..^ N ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
191 190 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
192 isorel
 |-  ( ( J Isom < , < ( ( 0 ... N ) , T ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... N ) ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
193 187 189 191 192 syl12anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
194 176 193 mpbid
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) < ( J ` ( k + 1 ) ) )
195 66 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
196 195 85 feqresmpt
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( U ` s ) ) )
197 85 sselda
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
198 1 2 55 65 13 fourierdlem9
 |-  ( ph -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
199 198 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> H : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
200 199 197 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
201 14 fourierdlem43
 |-  K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR
202 201 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> K : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
203 202 197 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
204 200 203 remulcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
205 15 fvmpt2
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
206 197 204 205 syl2anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
207 41 a1i
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR )
208 43 adantr
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR )
209 simpr
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )
210 eliccre
 |-  ( ( -u _pi e. RR /\ d e. RR /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )
211 207 208 209 210 syl3anc
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )
212 0red
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 0 e. RR )
213 75 a1i
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR* )
214 208 rexrd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d e. RR* )
215 iccleub
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d )
216 213 214 209 215 syl3anc
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ d )
217 78 adantr
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < 0 )
218 211 208 212 216 217 lelttrd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < 0 )
219 211 218 ltned
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 )
220 219 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s =/= 0 )
221 220 neneqd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 )
222 221 iffalsed
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
223 211 212 218 ltnsymd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s )
224 223 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. 0 < s )
225 224 iffalsed
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
226 225 oveq2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
227 226 oveq1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
228 222 227 eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
229 1 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> F : RR --> RR )
230 2 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> X e. RR )
231 iccssre
 |-  ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) -> ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR )
232 41 40 231 mp2an
 |-  ( -u _pi [,] _pi ) C_ RR
233 232 197 sseldi
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. RR )
234 230 233 readdcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( X + s ) e. RR )
235 229 234 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
236 65 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> W e. RR )
237 235 236 resubcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. RR )
238 237 233 220 redivcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. RR )
239 228 238 eqeltrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
240 13 fvmpt2
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
241 197 239 240 syl2anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
242 241 222 227 3eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
243 40 a1i
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> _pi e. RR )
244 243 renegcld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi e. RR )
245 iccgelb
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s )
246 213 214 209 245 syl3anc
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ s )
247 81 adantr
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> d < _pi )
248 211 208 243 216 247 lelttrd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s < _pi )
249 211 243 248 ltled
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s <_ _pi )
250 244 243 211 246 249 eliccd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
251 219 neneqd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -. s = 0 )
252 251 iffalsed
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
253 120 a1i
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. RR )
254 211 rehalfcld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. RR )
255 254 resincld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
256 253 255 remulcld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
257 2cn
 |-  2 e. CC
258 257 a1i
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC )
259 211 recnd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC )
260 259 halfcld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
261 260 sincld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
262 2ne0
 |-  2 =/= 0
263 262 a1i
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 =/= 0 )
264 fourierdlem44
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
265 250 219 264 syl2anc
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
266 258 261 263 265 mulne0d
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
267 211 256 266 redivcld
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
268 252 267 eqeltrd
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
269 14 fvmpt2
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
270 250 268 269 syl2anc
 |-  ( ( d e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
271 270 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
272 242 271 oveq12d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
273 221 iffalsed
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
274 273 oveq2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
275 206 272 274 3eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
276 275 mpteq2dva
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
277 87 196 276 3eqtrd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
278 277 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
279 278 reseq1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
280 1 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR )
281 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR )
282 4 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> M e. NN )
283 5 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> V e. ( P ` M ) )
284 7 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
285 11 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
286 12 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
287 125 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi < d )
288 75 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi e. RR* )
289 76 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR* )
290 78 adantl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d < 0 )
291 288 44 289 290 gtnelicc
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 e. ( -u _pi [,] d ) )
292 65 adantr
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> W e. RR )
293 eqid
 |-  ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
294 eqid
 |-  ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
295 eqid
 |-  ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )
296 fveq2
 |-  ( l = i -> ( Q ` l ) = ( Q ` i ) )
297 oveq1
 |-  ( l = i -> ( l + 1 ) = ( i + 1 ) )
298 297 fveq2d
 |-  ( l = i -> ( Q ` ( l + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
299 296 298 oveq12d
 |-  ( l = i -> ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
300 299 sseq2d
 |-  ( l = i -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
301 300 cbvriotavw
 |-  ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = ( iota_ i e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
302 280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301 fourierdlem86
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) /\ ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
303 302 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
304 279 303 eqeltrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
305 302 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) /\ ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) ) )
306 305 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
307 278 eqcomd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = O )
308 307 reseq1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
309 308 oveq1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
310 306 309 eleqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
311 305 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
312 308 oveq1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) = ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
313 311 312 eleqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) e. ( ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) limCC ( J ` k ) ) )
314 eqid
 |-  ( RR _D O ) = ( RR _D O )
315 89 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> O : ( -u _pi [,] d ) --> CC )
316 41 a1i
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi e. RR )
317 44 ad2antrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. RR )
318 elioore
 |-  ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -> s e. RR )
319 318 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. RR )
320 85 232 sstrdi
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR )
321 320 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ RR )
322 170 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> ( -u _pi [,] d ) )
323 322 189 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) )
324 321 323 sseldd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR )
325 324 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR )
326 75 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* )
327 44 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR )
328 327 rexrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d e. RR* )
329 iccgelb
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` k ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )
330 326 328 323 329 syl3anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )
331 330 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ ( J ` k ) )
332 325 rexrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )
333 322 191 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) )
334 321 333 sseldd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )
335 334 rexrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
336 335 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* )
337 simpr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
338 ioogtlb
 |-  ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )
339 332 336 337 338 syl3anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` k ) < s )
340 316 325 319 331 339 lelttrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi < s )
341 316 319 340 ltled
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> -u _pi <_ s )
342 334 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR )
343 iooltub
 |-  ( ( ( J ` k ) e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. RR* /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )
344 332 336 337 343 syl3anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < ( J ` ( k + 1 ) ) )
345 iccleub
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ d e. RR* /\ ( J ` ( k + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )
346 326 328 333 345 syl3anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )
347 346 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ d )
348 319 342 317 344 347 ltletrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s < d )
349 319 317 348 ltled
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s <_ d )
350 316 317 319 341 349 eliccd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )
351 350 ralrimiva
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) )
352 dfss3
 |-  ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) <-> A. s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) s e. ( -u _pi [,] d ) )
353 351 352 sylibr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
354 315 353 feqresmpt
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) )
355 simplll
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ph )
356 simpllr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
357 25 fveq1i
 |-  ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s )
358 357 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) )
359 fvres
 |-  ( s e. ( -u _pi [,] d ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
360 359 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
361 271 273 eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( K ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
362 242 361 oveq12d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
363 237 recnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) e. CC )
364 259 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> s e. CC )
365 257 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> 2 e. CC )
366 364 halfcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( s / 2 ) e. CC )
367 366 sincld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
368 365 367 mulcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
369 266 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
370 363 364 368 220 369 dmdcan2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
371 206 362 370 3eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
372 358 360 371 3eqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
373 355 356 350 372 syl21anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
374 355 356 350 370 syl21anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
375 374 eqcomd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
376 eqidd
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) )
377 oveq2
 |-  ( t = s -> ( X + t ) = ( X + s ) )
378 377 fveq2d
 |-  ( t = s -> ( F ` ( X + t ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
379 378 oveq1d
 |-  ( t = s -> ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) )
380 id
 |-  ( t = s -> t = s )
381 379 380 oveq12d
 |-  ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
382 381 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
383 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
384 ovex
 |-  ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V
385 384 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) e. _V )
386 376 382 383 385 fvmptd
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
387 eqidd
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) )
388 oveq1
 |-  ( t = s -> ( t / 2 ) = ( s / 2 ) )
389 388 fveq2d
 |-  ( t = s -> ( sin ` ( t / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
390 389 oveq2d
 |-  ( t = s -> ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
391 380 390 oveq12d
 |-  ( t = s -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
392 391 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ t = s ) -> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
393 ovex
 |-  ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V
394 393 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. _V )
395 387 392 383 394 fvmptd
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
396 386 395 oveq12d
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
397 396 eqcomd
 |-  ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
398 397 adantllr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
399 373 375 398 3eqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( O ` s ) = ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
400 399 mpteq2dva
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( O ` s ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) )
401 354 400 eqtr2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
402 401 oveq2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) = ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
403 67 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ CC )
404 353 321 sstrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR )
405 50 tgioo2
 |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
406 50 405 dvres
 |-  ( ( ( RR C_ CC /\ O : ( -u _pi [,] d ) --> CC ) /\ ( ( -u _pi [,] d ) C_ RR /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
407 403 315 321 404 406 syl22anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( O |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
408 ioontr
 |-  ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) )
409 408 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
410 409 reseq2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
411 402 407 410 3eqtrrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) )
412 1 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> RR )
413 2 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> X e. RR )
414 4 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> M e. NN )
415 5 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V e. ( P ` M ) )
416 9 ad4ant14
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) )
417 85 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( -u _pi [,] d ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
418 353 417 sstrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
419 324 rexrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` k ) e. RR* )
420 76 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR* )
421 0red
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> 0 e. RR )
422 78 ad2antlr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> d < 0 )
423 334 327 421 346 422 lelttrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) < 0 )
424 419 334 420 423 gtnelicc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -. 0 e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
425 65 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> W e. RR )
426 41 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR )
427 125 ad2antlr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi < d )
428 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> k e. ( 0 ..^ N ) )
429 biid
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ v e. ( 0 ..^ M ) ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` v ) (,) ( Q ` ( v + 1 ) ) ) ) )
430 413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429 fourierdlem50
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) /\ ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
431 430 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) e. ( 0 ..^ M ) )
432 430 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
433 381 cbvmptv
 |-  ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) )
434 391 cbvmptv
 |-  ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
435 eqid
 |-  ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) )
436 412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435 fourierdlem72
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / t ) ) ` s ) x. ( ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( t / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) ` s ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
437 411 436 eqeltrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D O ) |` ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
438 eqid
 |-  ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
439 eqid
 |-  ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
440 30 431 eqeltrid
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )
441 simpll
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ph )
442 441 440 jca
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )
443 eleq1
 |-  ( i = C -> ( i e. ( 0 ..^ M ) <-> C e. ( 0 ..^ M ) ) )
444 443 anbi2d
 |-  ( i = C -> ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) <-> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) ) )
445 fveq2
 |-  ( i = C -> ( V ` i ) = ( V ` C ) )
446 oveq1
 |-  ( i = C -> ( i + 1 ) = ( C + 1 ) )
447 446 fveq2d
 |-  ( i = C -> ( V ` ( i + 1 ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
448 445 447 oveq12d
 |-  ( i = C -> ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
449 raleq
 |-  ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
450 448 449 syl
 |-  ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
451 450 rexbidv
 |-  ( i = C -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w <-> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
452 444 451 imbi12d
 |-  ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) ) )
453 452 8 vtoclg
 |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
454 440 442 453 sylc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
455 nfv
 |-  F/ t ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) )
456 nfra1
 |-  F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w
457 455 456 nfan
 |-  F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
458 simplr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
459 41 a1i
 |-  ( ph -> -u _pi e. RR )
460 459 2 readdcld
 |-  ( ph -> ( -u _pi + X ) e. RR )
461 40 a1i
 |-  ( ph -> _pi e. RR )
462 461 2 readdcld
 |-  ( ph -> ( _pi + X ) e. RR )
463 460 462 iccssred
 |-  ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )
464 ressxr
 |-  RR C_ RR*
465 463 464 sstrdi
 |-  ( ph -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )
466 465 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR* )
467 3 414 415 fourierdlem15
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
468 elfzofz
 |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> C e. ( 0 ... M ) )
469 440 468 syl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> C e. ( 0 ... M ) )
470 467 469 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
471 466 470 sseldd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )
472 471 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR* )
473 fzofzp1
 |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
474 440 473 syl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( C + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
475 467 474 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) )
476 466 475 sseldd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )
477 476 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR* )
478 elioore
 |-  ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> t e. RR )
479 478 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. RR )
480 40 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> _pi e. RR )
481 426 480 413 3 414 415 469 29 fourierdlem13
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) /\ ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) ) )
482 481 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )
483 482 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) = ( X + ( Q ` C ) ) )
484 463 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( -u _pi + X ) [,] ( _pi + X ) ) C_ RR )
485 484 470 sseldd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` C ) e. RR )
486 485 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) e. RR )
487 483 486 eqeltrrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) e. RR )
488 413 324 readdcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )
489 488 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR )
490 481 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) = ( ( V ` C ) - X ) )
491 485 413 resubcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` C ) - X ) e. RR )
492 490 491 eqeltrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) e. RR )
493 426 480 413 3 414 415 474 29 fourierdlem13
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) /\ ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) ) )
494 493 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) = ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) )
495 484 475 sseldd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) e. RR )
496 495 413 resubcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( V ` ( C + 1 ) ) - X ) e. RR )
497 494 496 eqeltrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` ( C + 1 ) ) e. RR )
498 30 eqcomi
 |-  ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) = C
499 498 fveq2i
 |-  ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` C )
500 498 oveq1i
 |-  ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( C + 1 )
501 500 fveq2i
 |-  ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( C + 1 ) )
502 499 501 oveq12i
 |-  ( ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) (,) ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) )
503 432 502 sseqtrdi
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` C ) (,) ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
504 492 497 324 334 194 503 fourierdlem10
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) /\ ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
505 504 simpld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( Q ` C ) <_ ( J ` k ) )
506 492 324 413 505 leadd2dd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )
507 506 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) <_ ( X + ( J ` k ) ) )
508 489 rexrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) e. RR* )
509 413 334 readdcld
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
510 509 rexrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )
511 510 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* )
512 simpr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
513 ioogtlb
 |-  ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )
514 508 511 512 513 syl3anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` k ) ) < t )
515 487 489 479 507 514 lelttrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` C ) ) < t )
516 483 515 eqbrtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( V ` C ) < t )
517 509 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
518 493 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( V ` ( C + 1 ) ) = ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
519 518 495 eqeltrrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )
520 519 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) e. RR )
521 iooltub
 |-  ( ( ( X + ( J ` k ) ) e. RR* /\ ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) e. RR* /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
522 508 511 512 521 syl3anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
523 504 simprd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( J ` ( k + 1 ) ) <_ ( Q ` ( C + 1 ) ) )
524 334 497 413 523 leadd2dd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
525 524 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
526 479 517 520 522 525 ltletrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) )
527 518 eqcomd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
528 527 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( X + ( Q ` ( C + 1 ) ) ) = ( V ` ( C + 1 ) ) )
529 526 528 breqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t < ( V ` ( C + 1 ) ) )
530 472 477 479 516 529 eliood
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
531 530 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
532 rspa
 |-  ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
533 458 531 532 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
534 533 ex
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
535 457 534 ralrimi
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
536 535 ex
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
537 536 reximdv
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. w e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
538 454 537 mpd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. w e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
539 448 raleqdv
 |-  ( i = C -> ( A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
540 539 rexbidv
 |-  ( i = C -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z <-> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
541 444 540 imbi12d
 |-  ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) ) )
542 541 10 vtoclg
 |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) )
543 440 442 542 sylc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
544 nfra1
 |-  F/ t A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z
545 455 544 nfan
 |-  F/ t ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
546 1 68 fssd
 |-  ( ph -> F : RR --> CC )
547 ssid
 |-  RR C_ RR
548 547 a1i
 |-  ( ph -> RR C_ RR )
549 ioossre
 |-  ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR
550 549 a1i
 |-  ( ph -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )
551 50 405 dvres
 |-  ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
552 68 546 548 550 551 syl22anc
 |-  ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
553 ioontr
 |-  ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
554 553 reseq2i
 |-  ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
555 554 a1i
 |-  ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
556 552 555 eqtrd
 |-  ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
557 556 fveq1d
 |-  ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) )
558 fvres
 |-  ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
559 557 558 sylan9eq
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
560 559 ad4ant14
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
561 560 fveq2d
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
562 561 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
563 simplr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
564 530 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
565 rspa
 |-  ( ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
566 563 564 565 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
567 562 566 eqbrtrd
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
568 567 ex
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
569 545 568 ralrimi
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
570 569 ex
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
571 570 reximdv
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
572 543 571 mpd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
573 426 rexrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> -u _pi e. RR* )
574 573 328 322 428 fourierdlem8
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
575 145 ad2antrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> N e. NN )
576 170 320 fssd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )
577 576 ad2antrr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> J : ( 0 ... N ) --> RR )
578 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( -u _pi [,] d ) )
579 171 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -u _pi = ( J ` 0 ) )
580 172 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> d = ( J ` N ) )
581 579 580 oveq12d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
582 581 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> ( -u _pi [,] d ) = ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
583 578 582 eleqtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
584 583 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> r e. ( ( J ` 0 ) [,] ( J ` N ) ) )
585 simpr
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> -. r e. ran J )
586 fveq2
 |-  ( j = k -> ( J ` j ) = ( J ` k ) )
587 586 breq1d
 |-  ( j = k -> ( ( J ` j ) < r <-> ( J ` k ) < r ) )
588 587 cbvrabv
 |-  { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } = { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r }
589 588 supeq1i
 |-  sup ( { j e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` j ) < r } , RR , < ) = sup ( { k e. ( 0 ..^ N ) | ( J ` k ) < r } , RR , < )
590 575 577 584 585 589 fourierdlem25
 |-  ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ r e. ( -u _pi [,] d ) ) /\ -. r e. ran J ) -> E. m e. ( 0 ..^ N ) r e. ( ( J ` m ) (,) ( J ` ( m + 1 ) ) ) )
591 554 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
592 546 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> F : RR --> CC )
593 547 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> RR C_ RR )
594 549 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ RR )
595 403 592 593 594 551 syl22anc
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
596 530 ralrimiva
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
597 dfss3
 |-  ( ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) t e. ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
598 596 597 sylibr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) C_ ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) )
599 598 resabs1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
600 591 595 599 3eqtr4rd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
601 simpr
 |-  ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> C e. ( 0 ..^ M ) )
602 id
 |-  ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) )
603 448 reseq2d
 |-  ( i = C -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) )
604 603 448 feq12d
 |-  ( i = C -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR <-> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )
605 444 604 imbi12d
 |-  ( i = C -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) ) )
606 cncff
 |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> RR ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
607 9 606 syl
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
608 605 607 vtoclg
 |-  ( C e. ( 0 ..^ M ) -> ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR ) )
609 601 602 608 sylc
 |-  ( ( ph /\ C e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )
610 442 609 syl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) --> RR )
611 610 598 fssresd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` C ) (,) ( V ` ( C + 1 ) ) ) ) |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )
612 600 611 feq1dd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) --> RR )
613 379 390 oveq12d
 |-  ( t = s -> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
614 613 cbvmptv
 |-  ( t e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + t ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( t / 2 ) ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
615 biid
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) <-> ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) )
616 fveq2
 |-  ( r = t -> ( F ` r ) = ( F ` t ) )
617 616 fveq2d
 |-  ( r = t -> ( abs ` ( F ` r ) ) = ( abs ` ( F ` t ) ) )
618 617 breq1d
 |-  ( r = t -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
619 618 cbvralvw
 |-  ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w )
620 615 619 anbi12i
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) )
621 fveq2
 |-  ( r = t -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) = ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) )
622 621 fveq2d
 |-  ( r = t -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) )
623 622 breq1d
 |-  ( r = t -> ( ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
624 623 cbvralvw
 |-  ( A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z <-> A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
625 620 624 anbi12i
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` r ) ) <_ w ) /\ A. r e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` r ) ) <_ z ) <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. ( 0 ..^ N ) ) /\ w e. RR ) /\ z e. RR ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( F ` t ) ) <_ w ) /\ A. t e. ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( X + ( J ` k ) ) (,) ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
626 280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625 fourierdlem80
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b )
627 370 mpteq2dva
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
628 277 627 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> O = ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
629 628 oveq2d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( RR _D O ) = ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
630 629 dmeqd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
631 nfcv
 |-  F/_ s dom ( RR _D O )
632 nfcv
 |-  F/_ s RR
633 nfcv
 |-  F/_ s _D
634 nfmpt1
 |-  F/_ s ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
635 632 633 634 nfov
 |-  F/_ s ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
636 635 nfdm
 |-  F/_ s dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
637 631 636 raleqf
 |-  ( dom ( RR _D O ) = dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )
638 630 637 syl
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b ) )
639 629 fveq1d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( RR _D O ) ` s ) = ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) )
640 639 fveq2d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) = ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) )
641 640 breq1d
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
642 641 ralbidv
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
643 638 642 bitrd
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
644 643 rexbidv
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b <-> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( s e. ( -u _pi [,] d ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - W ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) ` s ) ) <_ b ) )
645 626 644 mpbird
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. b e. RR A. s e. dom ( RR _D O ) ( abs ` ( ( RR _D O ) ` s ) ) <_ b )
646 eqid
 |-  ( l e. RR+ |-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( l e. RR+ |-> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
647 eqeq1
 |-  ( t = s -> ( t = ( J ` k ) <-> s = ( J ` k ) ) )
648 fveq2
 |-  ( h = l -> ( Q ` h ) = ( Q ` l ) )
649 oveq1
 |-  ( h = l -> ( h + 1 ) = ( l + 1 ) )
650 649 fveq2d
 |-  ( h = l -> ( Q ` ( h + 1 ) ) = ( Q ` ( l + 1 ) ) )
651 648 650 oveq12d
 |-  ( h = l -> ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) = ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
652 651 sseq2d
 |-  ( h = l -> ( ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) <-> ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )
653 652 cbvriotavw
 |-  ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) )
654 653 fveq2i
 |-  ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) )
655 654 eqeq2i
 |-  ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) )
656 655 a1i
 |-  ( T. -> ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) <-> ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) ) )
657 csbeq1
 |-  ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )
658 653 657 ax-mp
 |-  [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R
659 658 a1i
 |-  ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R )
660 656 659 ifbieq1d
 |-  ( T. -> if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) )
661 660 mptru
 |-  if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) = if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) )
662 661 oveq1i
 |-  ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W )
663 662 oveq1i
 |-  ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) = ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) )
664 663 oveq1i
 |-  ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) )
665 664 a1i
 |-  ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) )
666 eqeq1
 |-  ( t = s -> ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) <-> s = ( J ` ( k + 1 ) ) ) )
667 653 oveq1i
 |-  ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 )
668 667 fveq2i
 |-  ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
669 668 eqeq2i
 |-  ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
670 669 a1i
 |-  ( T. -> ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) <-> ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
671 csbeq1
 |-  ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) = ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )
672 653 671 ax-mp
 |-  [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L
673 672 a1i
 |-  ( T. -> [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L = [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L )
674 670 673 ifbieq1d
 |-  ( T. -> if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
675 674 mptru
 |-  if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) )
676 675 oveq1i
 |-  ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) = ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W )
677 676 oveq1i
 |-  ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) )
678 677 oveq1i
 |-  ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
679 678 a1i
 |-  ( t = s -> ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
680 fveq2
 |-  ( t = s -> ( O ` t ) = ( O ` s ) )
681 666 679 680 ifbieq12d
 |-  ( t = s -> if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) = if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) )
682 647 665 681 ifbieq12d
 |-  ( t = s -> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) = if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )
683 682 cbvmptv
 |-  ( t e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( t = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( t = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ h e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` h ) (,) ( Q ` ( h + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` t ) ) ) ) = ( s e. ( ( J ` k ) [,] ( J ` ( k + 1 ) ) ) |-> if ( s = ( J ` k ) , ( ( ( if ( ( J ` k ) = ( Q ` ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ R , ( F ` ( X + ( J ` k ) ) ) ) - W ) / ( J ` k ) ) x. ( ( J ` k ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` k ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( s = ( J ` ( k + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( J ` ( k + 1 ) ) = ( Q ` ( ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , [_ ( iota_ l e. ( 0 ..^ M ) ( ( J ` k ) (,) ( J ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` l ) (,) ( Q ` ( l + 1 ) ) ) ) / i ]_ L , ( F ` ( X + ( J ` ( k + 1 ) ) ) ) ) - W ) / ( J ` ( k + 1 ) ) ) x. ( ( J ` ( k + 1 ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( ( J ` ( k + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( O ` s ) ) ) )
684 42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683 fourierdlem73
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e )
685 breq2
 |-  ( e = a -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )
686 685 rexralbidv
 |-  ( e = a -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a ) )
687 686 cbvralvw
 |-  ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < e <-> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
688 684 687 sylib
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
689 688 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a )
690 rphalfcl
 |-  ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
691 690 ad2antlr
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
692 breq2
 |-  ( a = ( e / 2 ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
693 692 rexralbidv
 |-  ( a = ( e / 2 ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a <-> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
694 693 rspccva
 |-  ( ( A. a e. RR+ E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < a /\ ( e / 2 ) e. RR+ ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
695 689 691 694 syl2anc
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
696 357 a1i
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( O ` s ) = ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) )
697 158 a1i
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi [,] d ) )
698 697 sselda
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi [,] d ) )
699 698 359 syl
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U |` ( -u _pi [,] d ) ) ` s ) = ( U ` s ) )
700 696 699 eqtr2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( U ` s ) = ( O ` s ) )
701 700 oveq1d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) )
702 701 itgeq2dv
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
703 702 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s )
704 703 fveq2d
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) )
705 simpr
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
706 704 705 eqbrtrd
 |-  ( ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
707 706 ex
 |-  ( ( ph /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
708 707 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
709 708 ralimdv
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
710 709 reximdv
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( O ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
711 695 710 mpd
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
712 711 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
713 nfv
 |-  F/ k ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
714 nfra1
 |-  F/ k A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )
715 713 714 nfan
 |-  F/ k ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
716 nfv
 |-  F/ k j e. NN
717 715 716 nfan
 |-  F/ k ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN )
718 nfv
 |-  F/ k A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 )
719 717 718 nfan
 |-  F/ k ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
720 simpll
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) )
721 eluznn
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
722 721 adantll
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
723 720 722 jca
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) )
724 723 adantllr
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) )
725 simpllr
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
726 721 adantll
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
727 rspa
 |-  ( ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
728 725 726 727 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
729 724 728 jca
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
730 729 adantlr
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
731 nnre
 |-  ( j e. NN -> j e. RR )
732 731 rexrd
 |-  ( j e. NN -> j e. RR* )
733 732 adantr
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR* )
734 51 a1i
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> +oo e. RR* )
735 eluzelre
 |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. RR )
736 1re
 |-  1 e. RR
737 736 rehalfcli
 |-  ( 1 / 2 ) e. RR
738 737 a1i
 |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
739 735 738 readdcld
 |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
740 739 adantl
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
741 731 adantr
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
742 735 adantl
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
743 eluzle
 |-  ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
744 743 adantl
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
745 halfgt0
 |-  0 < ( 1 / 2 )
746 745 a1i
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( 1 / 2 ) )
747 737 a1i
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
748 747 742 ltaddposd
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) ) )
749 746 748 mpbid
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k < ( k + ( 1 / 2 ) ) )
750 741 742 740 744 749 lelttrd
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j < ( k + ( 1 / 2 ) ) )
751 740 ltpnfd
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) < +oo )
752 733 734 740 750 751 eliood
 |-  ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )
753 752 adantlr
 |-  ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) )
754 simplr
 |-  ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
755 oveq1
 |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( l x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
756 755 fveq2d
 |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( sin ` ( l x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
757 756 oveq2d
 |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
758 757 adantr
 |-  ( ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
759 758 itgeq2dv
 |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
760 759 fveq2d
 |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
761 760 breq1d
 |-  ( l = ( k + ( 1 / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
762 761 rspcv
 |-  ( ( k + ( 1 / 2 ) ) e. ( j (,) +oo ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
763 753 754 762 sylc
 |-  ( ( ( j e. NN /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
764 763 adantlll
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
765 730 764 jca
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
766 765 31 sylibr
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ch )
767 41 a1i
 |-  ( ch -> -u _pi e. RR )
768 0red
 |-  ( ch -> 0 e. RR )
769 ioossicc
 |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] 0 )
770 31 biimpi
 |-  ( ch -> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
771 simp-4r
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
772 770 771 syl
 |-  ( ch -> d e. ( -u _pi (,) 0 ) )
773 769 772 sseldi
 |-  ( ch -> d e. ( -u _pi [,] 0 ) )
774 simp-5l
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ph )
775 770 774 syl
 |-  ( ch -> ph )
776 66 adantr
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> U : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
777 40 rexri
 |-  _pi e. RR*
778 0re
 |-  0 e. RR
779 778 40 79 ltleii
 |-  0 <_ _pi
780 iooss2
 |-  ( ( _pi e. RR* /\ 0 <_ _pi ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi ) )
781 777 779 780 mp2an
 |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) _pi )
782 ioossicc
 |-  ( -u _pi (,) _pi ) C_ ( -u _pi [,] _pi )
783 781 782 sstri
 |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi )
784 783 sseli
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
785 784 adantl
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
786 776 785 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
787 775 786 sylan
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
788 simpllr
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> k e. NN )
789 770 788 syl
 |-  ( ch -> k e. NN )
790 789 nnred
 |-  ( ch -> k e. RR )
791 737 a1i
 |-  ( ch -> ( 1 / 2 ) e. RR )
792 790 791 readdcld
 |-  ( ch -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
793 792 adantr
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( k + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
794 elioore
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. RR )
795 794 adantl
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
796 793 795 remulcld
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
797 796 resincld
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
798 787 797 remulcld
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
799 798 recnd
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. CC )
800 75 a1i
 |-  ( ch -> -u _pi e. RR* )
801 76 a1i
 |-  ( ch -> 0 e. RR* )
802 767 leidd
 |-  ( ch -> -u _pi <_ -u _pi )
803 ioossre
 |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ RR
804 803 772 sseldi
 |-  ( ch -> d e. RR )
805 800 801 772 77 syl3anc
 |-  ( ch -> d < 0 )
806 804 768 805 ltled
 |-  ( ch -> d <_ 0 )
807 ioossioo
 |-  ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ -u _pi /\ d <_ 0 ) ) -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
808 800 801 802 806 807 syl22anc
 |-  ( ch -> ( -u _pi (,) d ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
809 ioombl
 |-  ( -u _pi (,) d ) e. dom vol
810 809 a1i
 |-  ( ch -> ( -u _pi (,) d ) e. dom vol )
811 eleq1
 |-  ( n = k -> ( n e. NN <-> k e. NN ) )
812 811 anbi2d
 |-  ( n = k -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ k e. NN ) ) )
813 simpl
 |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n = k )
814 813 oveq1d
 |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
815 814 oveq1d
 |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
816 815 fveq2d
 |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
817 816 oveq2d
 |-  ( ( n = k /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
818 817 mpteq2dva
 |-  ( n = k -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
819 818 eleq1d
 |-  ( n = k -> ( ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 <-> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) )
820 812 819 imbi12d
 |-  ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 ) ) )
821 783 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
822 ioombl
 |-  ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol
823 822 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol )
824 66 ffvelrnda
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
825 824 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
826 nnre
 |-  ( n e. NN -> n e. RR )
827 readdcl
 |-  ( ( n e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
828 826 737 827 sylancl
 |-  ( n e. NN -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
829 828 adantr
 |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
830 simpr
 |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
831 232 830 sseldi
 |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
832 829 831 remulcld
 |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
833 832 resincld
 |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
834 833 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
835 825 834 remulcld
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
836 17 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
837 16 fvmpt2
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
838 830 833 837 syl2anc
 |-  ( ( n e. NN /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
839 838 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
840 839 oveq2d
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
841 840 mpteq2dva
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) )
842 836 841 eqtr2d
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) = G )
843 1 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR )
844 6 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. ran V )
845 20 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
846 21 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
847 826 adantl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. RR )
848 4 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> M e. NN )
849 5 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> V e. ( P ` M ) )
850 7 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
851 11 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` i ) ) )
852 12 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
853 eqid
 |-  ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
854 eqid
 |-  ( RR _D F ) = ( RR _D F )
855 607 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
856 22 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) )
857 23 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) limCC X ) )
858 3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857 fourierdlem88
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. L^1 )
859 842 858 eqeltrd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
860 821 823 835 859 iblss
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
861 820 860 chvarvv
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
862 775 789 861 syl2anc
 |-  ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
863 808 810 798 862 iblss
 |-  ( ch -> ( s e. ( -u _pi (,) d ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
864 772 125 syl
 |-  ( ch -> -u _pi < d )
865 767 804 864 ltled
 |-  ( ch -> -u _pi <_ d )
866 768 leidd
 |-  ( ch -> 0 <_ 0 )
867 ioossioo
 |-  ( ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( -u _pi <_ d /\ 0 <_ 0 ) ) -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
868 800 801 865 866 867 syl22anc
 |-  ( ch -> ( d (,) 0 ) C_ ( -u _pi (,) 0 ) )
869 ioombl
 |-  ( d (,) 0 ) e. dom vol
870 869 a1i
 |-  ( ch -> ( d (,) 0 ) e. dom vol )
871 868 870 798 862 iblss
 |-  ( ch -> ( s e. ( d (,) 0 ) |-> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) ) e. L^1 )
872 767 768 773 799 863 871 itgsplitioo
 |-  ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
873 808 sselda
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )
874 873 798 syldan
 |-  ( ( ch /\ s e. ( -u _pi (,) d ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
875 874 863 itgcl
 |-  ( ch -> S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
876 868 sselda
 |-  ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )
877 876 798 syldan
 |-  ( ( ch /\ s e. ( d (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
878 877 871 itgcl
 |-  ( ch -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
879 875 878 addcomd
 |-  ( ch -> ( S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
880 872 879 eqtrd
 |-  ( ch -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
881 880 fveq2d
 |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )
882 878 875 addcld
 |-  ( ch -> ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. CC )
883 882 abscld
 |-  ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )
884 878 abscld
 |-  ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )
885 875 abscld
 |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) e. RR )
886 884 885 readdcld
 |-  ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) e. RR )
887 simp-5r
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> e e. RR+ )
888 770 887 syl
 |-  ( ch -> e e. RR+ )
889 888 rpred
 |-  ( ch -> e e. RR )
890 878 875 abstrid
 |-  ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) <_ ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) )
891 simplr
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ k e. NN ) /\ ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
892 770 891 syl
 |-  ( ch -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
893 770 simprd
 |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
894 884 885 889 892 893 lt2halvesd
 |-  ( ch -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) + ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )
895 883 886 889 890 894 lelttrd
 |-  ( ch -> ( abs ` ( S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s + S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) ) < e )
896 881 895 eqbrtrd
 |-  ( ch -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
897 766 896 syl
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
898 897 ex
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
899 719 898 ralrimi
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) /\ A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
900 899 ex
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) /\ j e. NN ) -> ( A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
901 900 reximdva
 |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> ( E. j e. NN A. l e. ( j (,) +oo ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) d ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( l x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
902 712 901 mpd
 |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ d e. ( -u _pi (,) 0 ) ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
903 negpilt0
 |-  -u _pi < 0
904 41 778 40 lttri
 |-  ( ( -u _pi < 0 /\ 0 < _pi ) -> -u _pi < _pi )
905 903 79 904 mp2an
 |-  -u _pi < _pi
906 41 40 905 ltleii
 |-  -u _pi <_ _pi
907 906 a1i
 |-  ( ph -> -u _pi <_ _pi )
908 3 fourierdlem2
 |-  ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
909 4 908 syl
 |-  ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
910 5 909 mpbid
 |-  ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
911 910 simpld
 |-  ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
912 elmapi
 |-  ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
913 911 912 syl
 |-  ( ph -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
914 913 ffvelrnda
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
915 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> X e. RR )
916 914 915 resubcld
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
917 916 29 fmptd
 |-  ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
918 29 a1i
 |-  ( ph -> Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) ) )
919 fveq2
 |-  ( i = 0 -> ( V ` i ) = ( V ` 0 ) )
920 919 oveq1d
 |-  ( i = 0 -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
921 920 adantl
 |-  ( ( ph /\ i = 0 ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
922 4 nnnn0d
 |-  ( ph -> M e. NN0 )
923 nn0uz
 |-  NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
924 922 923 eleqtrdi
 |-  ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
925 eluzfz1
 |-  ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
926 924 925 syl
 |-  ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
927 913 926 ffvelrnd
 |-  ( ph -> ( V ` 0 ) e. RR )
928 927 2 resubcld
 |-  ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) e. RR )
929 918 921 926 928 fvmptd
 |-  ( ph -> ( Q ` 0 ) = ( ( V ` 0 ) - X ) )
930 910 simprd
 |-  ( ph -> ( ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
931 930 simpld
 |-  ( ph -> ( ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( _pi + X ) ) )
932 931 simpld
 |-  ( ph -> ( V ` 0 ) = ( -u _pi + X ) )
933 932 oveq1d
 |-  ( ph -> ( ( V ` 0 ) - X ) = ( ( -u _pi + X ) - X ) )
934 459 recnd
 |-  ( ph -> -u _pi e. CC )
935 2 recnd
 |-  ( ph -> X e. CC )
936 934 935 pncand
 |-  ( ph -> ( ( -u _pi + X ) - X ) = -u _pi )
937 929 933 936 3eqtrd
 |-  ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u _pi )
938 459 461 2 3 853 4 5 29 fourierdlem14
 |-  ( ph -> Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) )
939 853 fourierdlem2
 |-  ( M e. NN -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
940 4 939 syl
 |-  ( ph -> ( Q e. ( ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u _pi /\ ( p ` m ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
941 938 940 mpbid
 |-  ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
942 941 simprd
 |-  ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) /\ A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
943 942 simpld
 |-  ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = -u _pi /\ ( Q ` M ) = _pi ) )
944 943 simprd
 |-  ( ph -> ( Q ` M ) = _pi )
945 942 simprd
 |-  ( ph -> A. i e. ( 0 ..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
946 945 r19.21bi
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
947 1 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> F : RR --> RR )
948 853 4 938 fourierdlem15
 |-  ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )
949 948 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u _pi [,] _pi ) )
950 elfzofz
 |-  ( i e. ( 0 ..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
951 950 adantl
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
952 949 951 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )
953 fzofzp1
 |-  ( i e. ( 0 ..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
954 953 adantl
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
955 949 954 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( -u _pi [,] _pi ) )
956 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. RR )
957 ffn
 |-  ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> V Fn ( 0 ... M ) )
958 911 912 957 3syl
 |-  ( ph -> V Fn ( 0 ... M ) )
959 fvelrnb
 |-  ( V Fn ( 0 ... M ) -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
960 958 959 syl
 |-  ( ph -> ( X e. ran V <-> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X ) )
961 6 960 mpbid
 |-  ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X )
962 oveq1
 |-  ( ( V ` i ) = X -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
963 962 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( ( V ` i ) - X ) = ( X - X ) )
964 935 subidd
 |-  ( ph -> ( X - X ) = 0 )
965 964 ad2antrr
 |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> ( X - X ) = 0 )
966 963 965 eqtr2d
 |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) /\ ( V ` i ) = X ) -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
967 966 ex
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( V ` i ) = X -> 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
968 967 reximdva
 |-  ( ph -> ( E. i e. ( 0 ... M ) ( V ` i ) = X -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
969 961 968 mpd
 |-  ( ph -> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
970 29 elrnmpt
 |-  ( 0 e. RR -> ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) ) )
971 778 970 ax-mp
 |-  ( 0 e. ran Q <-> E. i e. ( 0 ... M ) 0 = ( ( V ` i ) - X ) )
972 969 971 sylibr
 |-  ( ph -> 0 e. ran Q )
973 853 4 938 972 fourierdlem12
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> -. 0 e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
974 913 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
975 974 951 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
976 975 956 resubcld
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` i ) - X ) e. RR )
977 29 fvmpt2
 |-  ( ( i e. ( 0 ... M ) /\ ( ( V ` i ) - X ) e. RR ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
978 951 976 977 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` i ) = ( ( V ` i ) - X ) )
979 978 oveq1d
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) )
980 975 recnd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` i ) e. CC )
981 935 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> X e. CC )
982 980 981 npcand
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` i ) - X ) + X ) = ( V ` i ) )
983 979 982 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) + X ) = ( V ` i ) )
984 fveq2
 |-  ( j = i -> ( V ` j ) = ( V ` i ) )
985 984 oveq1d
 |-  ( j = i -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` i ) - X ) )
986 985 cbvmptv
 |-  ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
987 29 986 eqtr4i
 |-  Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) )
988 987 a1i
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Q = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` j ) - X ) ) )
989 fveq2
 |-  ( j = ( i + 1 ) -> ( V ` j ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
990 989 oveq1d
 |-  ( j = ( i + 1 ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
991 990 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) /\ j = ( i + 1 ) ) -> ( ( V ` j ) - X ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
992 974 954 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. RR )
993 992 956 resubcld
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) e. RR )
994 988 991 954 993 fvmptd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) )
995 994 oveq1d
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) )
996 992 recnd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( V ` ( i + 1 ) ) e. CC )
997 996 981 npcand
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( V ` ( i + 1 ) ) - X ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
998 995 997 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) = ( V ` ( i + 1 ) ) )
999 983 998 oveq12d
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) = ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) )
1000 999 reseq2d
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) = ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
1001 999 oveq1d
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
1002 7 1000 1001 3eltr4d
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( F |` ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) ) e. ( ( ( ( Q ` i ) + X ) (,) ( ( Q ` ( i + 1 ) ) + X ) ) -cn-> CC ) )
1003 55 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> Y e. RR )
1004 65 adantr
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> W e. RR )
1005 947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13 fourierdlem40
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
1006 id
 |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
1007 67 a1i
 |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> RR C_ CC )
1008 1006 1007 fssd
 |-  ( ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> RR -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
1009 9 606 1008 3syl
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
1010 eqid
 |-  if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) )
1011 2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010 fourierdlem75
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , B , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` i ) ) )
1012 eqid
 |-  if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1013 2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012 fourierdlem74
 |-  ( ( ph /\ i e. ( 0 ..^ M ) ) -> if ( ( V ` ( i + 1 ) ) = X , A , ( ( L - if ( ( V ` ( i + 1 ) ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) limCC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1014 fveq2
 |-  ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
1015 oveq1
 |-  ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )
1016 1015 fveq2d
 |-  ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
1017 1014 1016 oveq12d
 |-  ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1018 1017 cbvmptv
 |-  ( j e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0 ..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
1019 459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018 fourierdlem70
 |-  ( ph -> E. x e. RR A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ x )
1020 eqid
 |-  ( ( e / 3 ) / y ) = ( ( e / 3 ) / y )
1021 fveq2
 |-  ( t = s -> ( G ` t ) = ( G ` s ) )
1022 1021 fveq2d
 |-  ( t = s -> ( abs ` ( G ` t ) ) = ( abs ` ( G ` s ) ) )
1023 1022 breq1d
 |-  ( t = s -> ( ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )
1024 1023 cbvralvw
 |-  ( A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )
1025 1024 ralbii
 |-  ( A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y <-> A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y )
1026 1025 3anbi3i
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) <-> ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) )
1027 1026 anbi1i
 |-  ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) <-> ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) )
1028 1027 anbi1i
 |-  ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) )
1029 1028 anbi1i
 |-  ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. t e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` t ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) <-> ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR+ /\ A. n e. NN A. s e. ( -u _pi [,] _pi ) ( abs ` ( G ` s ) ) <_ y ) /\ u e. dom vol ) /\ ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ ( ( e / 3 ) / y ) ) ) /\ n e. NN ) )
1030 1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029 fourierdlem87
 |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1031 iftrue
 |-  ( c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )
1032 1031 negeqd
 |-  ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c )
1033 1032 adantl
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u c )
1034 75 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi e. RR* )
1035 76 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 e. RR* )
1036 rpre
 |-  ( c e. RR+ -> c e. RR )
1037 1036 renegcld
 |-  ( c e. RR+ -> -u c e. RR )
1038 1037 adantr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. RR )
1039 1036 adantr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c e. RR )
1040 40 rehalfcli
 |-  ( _pi / 2 ) e. RR
1041 1040 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) e. RR )
1042 40 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> _pi e. RR )
1043 simpr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ ( _pi / 2 ) )
1044 halfpos
 |-  ( _pi e. RR -> ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi ) )
1045 40 1044 ax-mp
 |-  ( 0 < _pi <-> ( _pi / 2 ) < _pi )
1046 79 1045 mpbi
 |-  ( _pi / 2 ) < _pi
1047 1046 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( _pi / 2 ) < _pi )
1048 1039 1041 1042 1043 1047 lelttrd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c < _pi )
1049 1039 1042 ltnegd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c < _pi <-> -u _pi < -u c ) )
1050 1048 1049 mpbid
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi < -u c )
1051 rpgt0
 |-  ( c e. RR+ -> 0 < c )
1052 1036 lt0neg2d
 |-  ( c e. RR+ -> ( 0 < c <-> -u c < 0 ) )
1053 1051 1052 mpbid
 |-  ( c e. RR+ -> -u c < 0 )
1054 1053 adantr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c < 0 )
1055 1034 1035 1038 1050 1054 eliood
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1056 1033 1055 eqeltrd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1057 iffalse
 |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )
1058 1057 negeqd
 |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = -u ( _pi / 2 ) )
1059 1040 renegcli
 |-  -u ( _pi / 2 ) e. RR
1060 1059 rexri
 |-  -u ( _pi / 2 ) e. RR*
1061 75 76 1060 3pm3.2i
 |-  ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* )
1062 1040 40 ltnegi
 |-  ( ( _pi / 2 ) < _pi <-> -u _pi < -u ( _pi / 2 ) )
1063 1046 1062 mpbi
 |-  -u _pi < -u ( _pi / 2 )
1064 2pos
 |-  0 < 2
1065 40 120 79 1064 divgt0ii
 |-  0 < ( _pi / 2 )
1066 lt0neg2
 |-  ( ( _pi / 2 ) e. RR -> ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 ) )
1067 1040 1066 ax-mp
 |-  ( 0 < ( _pi / 2 ) <-> -u ( _pi / 2 ) < 0 )
1068 1065 1067 mpbi
 |-  -u ( _pi / 2 ) < 0
1069 1063 1068 pm3.2i
 |-  ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 )
1070 elioo3g
 |-  ( -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) <-> ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u ( _pi / 2 ) e. RR* ) /\ ( -u _pi < -u ( _pi / 2 ) /\ -u ( _pi / 2 ) < 0 ) ) )
1071 1061 1069 1070 mpbir2an
 |-  -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 )
1072 1071 a1i
 |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1073 1058 1072 eqeltrd
 |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1074 1073 adantl
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1075 1056 1074 pm2.61dan
 |-  ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1076 1075 3ad2ant2
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1077 ioombl
 |-  ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol
1078 1077 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol )
1079 simpr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1080 1078 1079 jca
 |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
1081 ioossicc
 |-  ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 )
1082 1081 a1i
 |-  ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) )
1083 41 a1i
 |-  ( c e. RR+ -> -u _pi e. RR )
1084 40 a1i
 |-  ( c e. RR+ -> _pi e. RR )
1085 1039 1042 1048 ltled
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> c <_ _pi )
1086 1039 1042 lenegd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> ( c <_ _pi <-> -u _pi <_ -u c ) )
1087 1085 1086 mpbid
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u c )
1088 1032 eqcomd
 |-  ( c <_ ( _pi / 2 ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1089 1088 adantl
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u c = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1090 1087 1089 breqtrd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1091 41 1059 1063 ltleii
 |-  -u _pi <_ -u ( _pi / 2 )
1092 1091 a1i
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u ( _pi / 2 ) )
1093 1058 eqcomd
 |-  ( -. c <_ ( _pi / 2 ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1094 1093 adantl
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u ( _pi / 2 ) = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1095 1092 1094 breqtrd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1096 1090 1095 pm2.61dan
 |-  ( c e. RR+ -> -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1097 779 a1i
 |-  ( c e. RR+ -> 0 <_ _pi )
1098 iccss
 |-  ( ( ( -u _pi e. RR /\ _pi e. RR ) /\ ( -u _pi <_ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) /\ 0 <_ _pi ) ) -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1099 1083 1084 1096 1097 1098 syl22anc
 |-  ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) [,] 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1100 1082 1099 sstrd
 |-  ( c e. RR+ -> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) )
1101 803 1075 sseldi
 |-  ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )
1102 0red
 |-  ( c e. RR+ -> 0 e. RR )
1103 rpge0
 |-  ( c e. RR+ -> 0 <_ c )
1104 1103 adantr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ c )
1105 1043 iftrued
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = c )
1106 1104 1105 breqtrrd
 |-  ( ( c e. RR+ /\ c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1107 778 1040 1065 ltleii
 |-  0 <_ ( _pi / 2 )
1108 simpr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> -. c <_ ( _pi / 2 ) )
1109 1108 iffalsed
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) = ( _pi / 2 ) )
1110 1107 1109 breqtrrid
 |-  ( ( c e. RR+ /\ -. c <_ ( _pi / 2 ) ) -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1111 1106 1110 pm2.61dan
 |-  ( c e. RR+ -> 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1112 1040 a1i
 |-  ( c e. RR+ -> ( _pi / 2 ) e. RR )
1113 1036 1112 ifcld
 |-  ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR )
1114 1113 le0neg2d
 |-  ( c e. RR+ -> ( 0 <_ if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <-> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) )
1115 1111 1114 mpbid
 |-  ( c e. RR+ -> -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 )
1116 volioo
 |-  ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. RR /\ 0 e. RR /\ -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1117 1101 1102 1115 1116 syl3anc
 |-  ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1118 0cn
 |-  0 e. CC
1119 1118 a1i
 |-  ( c e. RR+ -> 0 e. CC )
1120 1113 recnd
 |-  ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. CC )
1121 1119 1120 subnegd
 |-  ( c e. RR+ -> ( 0 - -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) )
1122 1120 addid2d
 |-  ( c e. RR+ -> ( 0 + if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1123 1117 1121 1122 3eqtrd
 |-  ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) )
1124 min1
 |-  ( ( c e. RR /\ ( _pi / 2 ) e. RR ) -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )
1125 1036 1040 1124 sylancl
 |-  ( c e. RR+ -> if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) <_ c )
1126 1123 1125 eqbrtrd
 |-  ( c e. RR+ -> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c )
1127 1100 1126 jca
 |-  ( c e. RR+ -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )
1128 1127 adantr
 |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )
1129 sseq1
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) <-> ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) ) )
1130 fveq2
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( vol ` u ) = ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) )
1131 1130 breq1d
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( vol ` u ) <_ c <-> ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) )
1132 1129 1131 anbi12d
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) <-> ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) ) )
1133 itgeq1
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1134 1133 fveq2d
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
1135 1134 breq1d
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1136 1135 ralbidv
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1137 1132 1136 imbi12d
 |-  ( u = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) -> ( ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) <-> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) )
1138 1137 rspcva
 |-  ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) e. dom vol /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> ( ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1139 1080 1128 1138 sylc
 |-  ( ( c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1140 1139 3adant1
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1141 oveq1
 |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( d (,) 0 ) = ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) )
1142 1141 itgeq1d
 |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1143 1142 fveq2d
 |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) = ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) )
1144 1143 breq1d
 |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1145 1144 ralbidv
 |-  ( d = -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) -> ( A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) <-> A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1146 1145 rspcev
 |-  ( ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) e. ( -u _pi (,) 0 ) /\ A. k e. NN ( abs ` S. ( -u if ( c <_ ( _pi / 2 ) , c , ( _pi / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1147 1076 1140 1146 syl2anc
 |-  ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. RR+ /\ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1148 1147 rexlimdv3a
 |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( vol ` u ) <_ c ) -> A. k e. NN ( abs ` S. u ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) ) )
1149 1030 1148 mpd
 |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. d e. ( -u _pi (,) 0 ) A. k e. NN ( abs ` S. ( d (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < ( e / 2 ) )
1150 902 1149 r19.29a
 |-  ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
1151 1150 ralrimiva
 |-  ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e )
1152 nnex
 |-  NN e. _V
1153 1152 mptex
 |-  ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V
1154 1153 a1i
 |-  ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) e. _V )
1155 eqidd
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) )
1156 784 adantl
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1157 786 ad4ant14
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
1158 784 adantl
 |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1159 simpr
 |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n = k )
1160 simpl
 |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> k e. NN )
1161 1159 1160 eqeltrd
 |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. NN )
1162 1161 nnred
 |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> n e. RR )
1163 737 a1i
 |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
1164 1162 1163 readdcld
 |-  ( ( k e. NN /\ n = k ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1165 1164 adantr
 |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1166 232 1158 sseldi
 |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1167 1165 1166 remulcld
 |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
1168 1167 resincld
 |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1169 1158 1168 837 syl2anc
 |-  ( ( ( k e. NN /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1170 1169 adantlll
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1171 1162 adantll
 |-  ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> n e. RR )
1172 1171 adantr
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> n e. RR )
1173 1red
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 1 e. RR )
1174 1173 rehalfcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
1175 1172 1174 readdcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
1176 232 1156 sseldi
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1177 1175 1176 remulcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
1178 1177 resincld
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1179 1170 1178 eqeltrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
1180 1157 1179 remulcld
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
1181 17 fvmpt2
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1182 1156 1180 1181 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
1183 oveq1
 |-  ( n = k -> ( n + ( 1 / 2 ) ) = ( k + ( 1 / 2 ) ) )
1184 1183 oveq1d
 |-  ( n = k -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
1185 1184 fveq2d
 |-  ( n = k -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1186 1185 ad2antlr
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1187 1170 1186 eqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
1188 1187 oveq2d
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
1189 1182 1188 eqtrd
 |-  ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
1190 1189 itgeq2dv
 |-  ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n = k ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1191 simpr
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
1192 817 itgeq2dv
 |-  ( n = k -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1193 1192 eleq1d
 |-  ( n = k -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC <-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) )
1194 812 1193 imbi12d
 |-  ( n = k -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) <-> ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC ) ) )
1195 786 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
1196 simpr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
1197 1196 784 833 syl2an
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
1198 1195 1197 remulcld
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) e. RR )
1199 1198 860 itgcl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
1200 1194 1199 chvarvv
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s e. CC )
1201 1155 1190 1191 1200 fvmptd
 |-  ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` k ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s )
1202 39 33 1154 1201 1200 clim0c
 |-  ( ph -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( U ` s ) x. ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) _d s ) < e ) )
1203 1151 1202 mpbird
 |-  ( ph -> ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ~~> 0 )
1204 1152 mptex
 |-  ( n e. NN |-> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) ) e. _V
1205 19 1204 eqeltri
 |-  E e. _V
1206 1205 a1i
 |-  ( ph -> E e. _V )
1207 1152 mptex
 |-  ( n e. NN |-> _pi ) e. _V
1208 1207 a1i
 |-  ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) e. _V )
1209 picn
 |-  _pi e. CC
1210 1209 a1i
 |-  ( ph -> _pi e. CC )
1211 eqidd
 |-  ( m e. NN -> ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi ) )
1212 eqidd
 |-  ( ( m e. NN /\ n = m ) -> _pi = _pi )
1213 id
 |-  ( m e. NN -> m e. NN )
1214 40 a1i
 |-  ( m e. NN -> _pi e. RR )
1215 1211 1212 1213 1214 fvmptd
 |-  ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi )
1216 1215 adantl
 |-  ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` m ) = _pi )
1217 39 33 1208 1210 1216 climconst
 |-  ( ph -> ( n e. NN |-> _pi ) ~~> _pi )
1218 778 79 gtneii
 |-  _pi =/= 0
1219 1218 a1i
 |-  ( ph -> _pi =/= 0 )
1220 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )
1221 55 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR )
1222 65 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )
1223 843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17 fourierdlem67
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
1224 1223 adantr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> G : ( -u _pi [,] _pi ) --> RR )
1225 821 sselda
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. ( -u _pi [,] _pi ) )
1226 1224 1225 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
1227 1223 ffvelrnda
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( G ` s ) e. RR )
1228 1223 feqmptd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> G = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) )
1229 1228 858 eqeltrrd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
1230 821 823 1227 1229 iblss
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( G ` s ) ) e. L^1 )
1231 1226 1230 itgcl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC )
1232 eqid
 |-  ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) = ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
1233 1232 fvmpt2
 |-  ( ( n e. NN /\ S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s e. CC ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
1234 1196 1231 1233 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s )
1235 1234 1231 eqeltrd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) e. CC )
1236 id
 |-  ( n e. NN -> n e. NN )
1237 eqid
 |-  ( n e. NN |-> _pi ) = ( n e. NN |-> _pi )
1238 1237 fvmpt2
 |-  ( ( n e. NN /\ _pi e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi )
1239 1236 40 1238 sylancl
 |-  ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) = _pi )
1240 1209 a1i
 |-  ( n e. NN -> _pi e. CC )
1241 1218 a1i
 |-  ( n e. NN -> _pi =/= 0 )
1242 1240 1241 jca
 |-  ( n e. NN -> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )
1243 eldifsn
 |-  ( _pi e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) )
1244 1242 1243 sylibr
 |-  ( n e. NN -> _pi e. ( CC \ { 0 } ) )
1245 1239 1244 eqeltrd
 |-  ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
1246 1245 adantl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) e. ( CC \ { 0 } ) )
1247 1209 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. CC )
1248 1218 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi =/= 0 )
1249 1231 1247 1248 divcld
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC )
1250 19 fvmpt2
 |-  ( ( n e. NN /\ ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) e. CC ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
1251 1196 1249 1250 syl2anc
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) )
1252 1234 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s = ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) )
1253 1239 eqcomd
 |-  ( n e. NN -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) )
1254 1253 adantl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi = ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) )
1255 1252 1254 oveq12d
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s / _pi ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) )
1256 1251 1255 eqtrd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E ` n ) = ( ( ( n e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( G ` s ) _d s ) ` n ) / ( ( n e. NN |-> _pi ) ` n ) ) )
1257 34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256 climdivf
 |-  ( ph -> E ~~> ( 0 / _pi ) )
1258 1209 1218 div0i
 |-  ( 0 / _pi ) = 0
1259 1258 a1i
 |-  ( ph -> ( 0 / _pi ) = 0 )
1260 1257 1259 breqtrd
 |-  ( ph -> E ~~> 0 )
1261 1152 mptex
 |-  ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) e. _V
1262 18 1261 eqeltri
 |-  Z e. _V
1263 1262 a1i
 |-  ( ph -> Z e. _V )
1264 1152 mptex
 |-  ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) e. _V
1265 1264 a1i
 |-  ( ph -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) e. _V )
1266 limccl
 |-  ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) limCC X ) C_ CC
1267 1266 21 sseldi
 |-  ( ph -> W e. CC )
1268 1267 halfcld
 |-  ( ph -> ( W / 2 ) e. CC )
1269 eqidd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) = ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) )
1270 eqidd
 |-  ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ m = n ) -> ( W / 2 ) = ( W / 2 ) )
1271 39 eqcomi
 |-  ( ZZ>= ` 1 ) = NN
1272 1271 eleq2i
 |-  ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> n e. NN )
1273 1272 biimpi
 |-  ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
1274 1273 adantl
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> n e. NN )
1275 1268 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( W / 2 ) e. CC )
1276 1269 1270 1274 1275 fvmptd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) = ( W / 2 ) )
1277 32 33 1265 1268 1276 climconst
 |-  ( ph -> ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ~~> ( W / 2 ) )
1278 1249 19 fmptd
 |-  ( ph -> E : NN --> CC )
1279 1278 adantr
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E : NN --> CC )
1280 1279 1274 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( E ` n ) e. CC )
1281 1276 1275 eqeltrd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) e. CC )
1282 1276 oveq2d
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) = ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) )
1283 822 a1i
 |-  ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) e. dom vol )
1284 75 a1i
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -u _pi e. RR* )
1285 0red
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
1286 1285 rexrd
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* )
1287 id
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( -u _pi (,) 0 ) )
1288 iooltub
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s < 0 )
1289 1284 1286 1287 1288 syl3anc
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s < 0 )
1290 794 1289 ltned
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s =/= 0 )
1291 1290 neneqd
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s = 0 )
1292 velsn
 |-  ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
1293 1291 1292 sylnibr
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> -. s e. { 0 } )
1294 784 1293 eldifd
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s e. ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )
1295 1294 ssriv
 |-  ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } )
1296 1295 a1i
 |-  ( ph -> ( -u _pi (,) 0 ) C_ ( ( -u _pi [,] _pi ) \ { 0 } ) )
1297 794 adantl
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1298 0red
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> 0 e. RR )
1299 794 1285 1289 ltled
 |-  ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) -> s <_ 0 )
1300 1299 adantl
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s <_ 0 )
1301 1297 1298 1300 lensymd
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> -. 0 < s )
1302 1301 iffalsed
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
1303 eqid
 |-  ( D ` n ) = ( D ` n )
1304 41 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi e. RR )
1305 0red
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )
1306 41 778 903 ltleii
 |-  -u _pi <_ 0
1307 1306 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> -u _pi <_ 0 )
1308 eqid
 |-  ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) )
1309 24 1196 1303 1304 1305 1307 1308 dirkeritg
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) )
1310 ubicc2
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) )
1311 75 76 1306 1310 mp3an
 |-  0 e. ( -u _pi [,] 0 )
1312 oveq1
 |-  ( s = 0 -> ( s / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1313 257 262 div0i
 |-  ( 0 / 2 ) = 0
1314 1313 a1i
 |-  ( s = 0 -> ( 0 / 2 ) = 0 )
1315 1312 1314 eqtrd
 |-  ( s = 0 -> ( s / 2 ) = 0 )
1316 oveq2
 |-  ( s = 0 -> ( k x. s ) = ( k x. 0 ) )
1317 elfzelz
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. ZZ )
1318 1317 zcnd
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. CC )
1319 1318 mul01d
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
1320 1316 1319 sylan9eq
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( k x. s ) = 0 )
1321 1320 fveq2d
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` 0 ) )
1322 sin0
 |-  ( sin ` 0 ) = 0
1323 1322 a1i
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` 0 ) = 0 )
1324 1321 1323 eqtrd
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( sin ` ( k x. s ) ) = 0 )
1325 1324 oveq1d
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( 0 / k ) )
1326 0red
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 e. RR )
1327 1red
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 e. RR )
1328 1317 zred
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. RR )
1329 118 a1i
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < 1 )
1330 elfzle1
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 <_ k )
1331 1326 1327 1328 1329 1330 ltletrd
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> 0 < k )
1332 1331 gt0ne0d
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> k =/= 0 )
1333 1318 1332 div0d
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( 0 / k ) = 0 )
1334 1333 adantl
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( 0 / k ) = 0 )
1335 1325 1334 eqtrd
 |-  ( ( s = 0 /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1336 1335 sumeq2dv
 |-  ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 )
1337 fzfi
 |-  ( 1 ... n ) e. Fin
1338 1337 olci
 |-  ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin )
1339 sumz
 |-  ( ( ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` .|| ) \/ ( 1 ... n ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )
1340 1338 1339 ax-mp
 |-  sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0
1341 1340 a1i
 |-  ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) 0 = 0 )
1342 1336 1341 eqtrd
 |-  ( s = 0 -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = 0 )
1343 1315 1342 oveq12d
 |-  ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( 0 + 0 ) )
1344 00id
 |-  ( 0 + 0 ) = 0
1345 1344 a1i
 |-  ( s = 0 -> ( 0 + 0 ) = 0 )
1346 1343 1345 eqtrd
 |-  ( s = 0 -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = 0 )
1347 1346 oveq1d
 |-  ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( 0 / _pi ) )
1348 1258 a1i
 |-  ( s = 0 -> ( 0 / _pi ) = 0 )
1349 1347 1348 eqtrd
 |-  ( s = 0 -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = 0 )
1350 778 elexi
 |-  0 e. _V
1351 1349 1308 1350 fvmpt
 |-  ( 0 e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0 )
1352 1311 1351 ax-mp
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) = 0
1353 lbicc2
 |-  ( ( -u _pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ -u _pi <_ 0 ) -> -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) )
1354 75 76 1306 1353 mp3an
 |-  -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 )
1355 oveq1
 |-  ( s = -u _pi -> ( s / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) )
1356 oveq2
 |-  ( s = -u _pi -> ( k x. s ) = ( k x. -u _pi ) )
1357 1356 fveq2d
 |-  ( s = -u _pi -> ( sin ` ( k x. s ) ) = ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) )
1358 1357 oveq1d
 |-  ( s = -u _pi -> ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) )
1359 1358 sumeq2sdv
 |-  ( s = -u _pi -> sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) )
1360 1355 1359 oveq12d
 |-  ( s = -u _pi -> ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) )
1361 1360 oveq1d
 |-  ( s = -u _pi -> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) )
1362 ovex
 |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) e. _V
1363 1361 1308 1362 fvmpt
 |-  ( -u _pi e. ( -u _pi [,] 0 ) -> ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) )
1364 1354 1363 ax-mp
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi )
1365 mulneg12
 |-  ( ( k e. CC /\ _pi e. CC ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) )
1366 1318 1209 1365 sylancl
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( -u k x. _pi ) = ( k x. -u _pi ) )
1367 1366 eqcomd
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) = ( -u k x. _pi ) )
1368 1367 oveq1d
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) )
1369 1318 negcld
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. CC )
1370 1209 a1i
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi e. CC )
1371 1218 a1i
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> _pi =/= 0 )
1372 1369 1370 1371 divcan4d
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( -u k x. _pi ) / _pi ) = -u k )
1373 1368 1372 eqtrd
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) = -u k )
1374 1317 znegcld
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> -u k e. ZZ )
1375 1373 1374 eqeltrd
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ )
1376 negpicn
 |-  -u _pi e. CC
1377 1376 a1i
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> -u _pi e. CC )
1378 1318 1377 mulcld
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( k x. -u _pi ) e. CC )
1379 sineq0
 |-  ( ( k x. -u _pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )
1380 1378 1379 syl
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 <-> ( ( k x. -u _pi ) / _pi ) e. ZZ ) )
1381 1375 1380 mpbird
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) = 0 )
1382 1381 oveq1d
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = ( 0 / k ) )
1383 1382 1333 eqtrd
 |-  ( k e. ( 1 ... n ) -> ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0 )
1384 1383 sumeq2i
 |-  sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) 0
1385 1384 1340 eqtri
 |-  sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) = 0
1386 1385 oveq2i
 |-  ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) = ( ( -u _pi / 2 ) + 0 )
1387 1386 oveq1i
 |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. -u _pi ) ) / k ) ) / _pi ) = ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi )
1388 1376 257 262 divcli
 |-  ( -u _pi / 2 ) e. CC
1389 1388 addid1i
 |-  ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = ( -u _pi / 2 )
1390 divneg
 |-  ( ( _pi e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 ) )
1391 1209 257 262 1390 mp3an
 |-  -u ( _pi / 2 ) = ( -u _pi / 2 )
1392 1389 1391 eqtr4i
 |-  ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) = -u ( _pi / 2 )
1393 1392 oveq1i
 |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi )
1394 1040 recni
 |-  ( _pi / 2 ) e. CC
1395 divneg
 |-  ( ( ( _pi / 2 ) e. CC /\ _pi e. CC /\ _pi =/= 0 ) -> -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) )
1396 1394 1209 1218 1395 mp3an
 |-  -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( -u ( _pi / 2 ) / _pi )
1397 1396 eqcomi
 |-  ( -u ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( ( _pi / 2 ) / _pi )
1398 1209 257 1209 262 1218 divdiv32i
 |-  ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( ( _pi / _pi ) / 2 )
1399 1209 1218 dividi
 |-  ( _pi / _pi ) = 1
1400 1399 oveq1i
 |-  ( ( _pi / _pi ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1401 1398 1400 eqtri
 |-  ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = ( 1 / 2 )
1402 1401 negeqi
 |-  -u ( ( _pi / 2 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 )
1403 1393 1397 1402 3eqtri
 |-  ( ( ( -u _pi / 2 ) + 0 ) / _pi ) = -u ( 1 / 2 )
1404 1364 1387 1403 3eqtri
 |-  ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) = -u ( 1 / 2 )
1405 1352 1404 oveq12i
 |-  ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) )
1406 1405 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` 0 ) - ( ( s e. ( -u _pi [,] 0 ) |-> ( ( ( s / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... n ) ( ( sin ` ( k x. s ) ) / k ) ) / _pi ) ) ` -u _pi ) ) = ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) )
1407 halfcn
 |-  ( 1 / 2 ) e. CC
1408 1118 1407 subnegi
 |-  ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) )
1409 1407 addid2i
 |-  ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1410 1408 1409 eqtri
 |-  ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
1411 1410 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 - -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
1412 1309 1406 1411 3eqtrd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( D ` n ) ` s ) _d s = ( 1 / 2 ) )
1413 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412 fourierdlem95
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1414 1274 1413 syldan
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( E ` n ) + ( W / 2 ) ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1415 18 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> Z = ( m e. NN |-> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s ) )
1416 fveq2
 |-  ( m = n -> ( D ` m ) = ( D ` n ) )
1417 1416 fveq1d
 |-  ( m = n -> ( ( D ` m ) ` s ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
1418 1417 oveq2d
 |-  ( m = n -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1419 1418 adantr
 |-  ( ( m = n /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1420 1419 itgeq2dv
 |-  ( m = n -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1421 1420 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = n ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` m ) ` s ) ) _d s = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1422 1 adantr
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> F : RR --> RR )
1423 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> X e. RR )
1424 1423 1297 readdcld
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( X + s ) e. RR )
1425 1422 1424 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1426 1425 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1427 24 dirkerf
 |-  ( n e. NN -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1428 1427 ad2antlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1429 794 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> s e. RR )
1430 1428 1429 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
1431 1426 1430 remulcld
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
1432 1 adantr
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> F : RR --> RR )
1433 2 adantr
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> X e. RR )
1434 232 sseli
 |-  ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) -> s e. RR )
1435 1434 adantl
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
1436 1433 1435 readdcld
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( X + s ) e. RR )
1437 1432 1436 ffvelrnd
 |-  ( ( ph /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1438 1437 adantlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
1439 1427 ad2antlr
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( D ` n ) : RR --> RR )
1440 1434 adantl
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> s e. RR )
1441 1439 1440 ffvelrnd
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
1442 1438 1441 remulcld
 |-  ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. ( -u _pi [,] _pi ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) e. RR )
1443 40 a1i
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> _pi e. RR )
1444 24 dirkercncf
 |-  ( n e. NN -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
1445 1444 adantl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. ( RR -cn-> RR ) )
1446 eqid
 |-  ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
1447 1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446 fourierdlem84
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi [,] _pi ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
1448 821 823 1442 1447 iblss
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( s e. ( -u _pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) e. L^1 )
1449 1431 1448 itgrecl
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s e. RR )
1450 1415 1421 1196 1449 fvmptd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( Z ` n ) = S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s )
1451 1450 eqcomd
 |-  ( ( ph /\ n e. NN ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )
1452 1274 1451 syldan
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> S. ( -u _pi (,) 0 ) ( ( F ` ( X + s ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) _d s = ( Z ` n ) )
1453 1282 1414 1452 3eqtrrd
 |-  ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( Z ` n ) = ( ( E ` n ) + ( ( m e. NN |-> ( W / 2 ) ) ` n ) ) )
1454 32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453 climadd
 |-  ( ph -> Z ~~> ( 0 + ( W / 2 ) ) )
1455 1268 addid2d
 |-  ( ph -> ( 0 + ( W / 2 ) ) = ( W / 2 ) )
1456 1454 1455 breqtrd
 |-  ( ph -> Z ~~> ( W / 2 ) )