Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem103.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem103.xre |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem103.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) |
4 |
|
fourierdlem103.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
5 |
|
fourierdlem103.v |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
6 |
|
fourierdlem103.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 ) |
7 |
|
fourierdlem103.fcn |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
8 |
|
fourierdlem103.fbdioo |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
9 |
|
fourierdlem103.fdvcn |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ) |
10 |
|
fourierdlem103.fdvbd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
11 |
|
fourierdlem103.r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) |
12 |
|
fourierdlem103.l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
13 |
|
fourierdlem103.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
14 |
|
fourierdlem103.k |
⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
15 |
|
fourierdlem103.u |
⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
16 |
|
fourierdlem103.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
17 |
|
fourierdlem103.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
18 |
|
fourierdlem103.z |
⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
19 |
|
fourierdlem103.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
20 |
|
fourierdlem103.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
21 |
|
fourierdlem103.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
22 |
|
fourierdlem103.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
23 |
|
fourierdlem103.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
24 |
|
fourierdlem103.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
25 |
|
fourierdlem103.o |
⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
26 |
|
fourierdlem103.t |
⊢ 𝑇 = ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) |
27 |
|
fourierdlem103.n |
⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) |
28 |
|
fourierdlem103.j |
⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ) |
29 |
|
fourierdlem103.q |
⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
30 |
|
fourierdlem103.1 |
⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) |
31 |
|
fourierdlem103.ch |
⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
33 |
|
1zzd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ ) |
34 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑 |
35 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
36 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) |
37 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
38 |
19 37
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝐸 |
39 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
40 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
41 |
40
|
renegcli |
⊢ - π ∈ ℝ |
42 |
41
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ℝ ) |
43 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
44 |
43
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
45 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ |
46 |
45
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ) |
47 |
1 46
|
fssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) : ( 𝑋 (,) +∞ ) ⟶ ℝ ) |
48 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ |
49 |
48
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ ) |
50 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
51 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
52 |
51
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* ) |
53 |
2
|
ltpnfd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < +∞ ) |
54 |
50 52 2 53
|
lptioo1cn |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) ) |
55 |
47 49 54 20
|
limcrecl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
56 |
|
ioossre |
⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ |
57 |
56
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ ) |
58 |
1 57
|
fssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) : ( -∞ (,) 𝑋 ) ⟶ ℝ ) |
59 |
|
ioosscn |
⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ |
60 |
59
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ ) |
61 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
62 |
61
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* ) |
63 |
2
|
mnfltd |
⊢ ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 ) |
64 |
50 62 2 63
|
lptioo2cn |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) ) |
65 |
58 60 64 21
|
limcrecl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ ) |
66 |
1 2 55 65 13 14 15
|
fourierdlem55 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
67 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
68 |
67
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ ) |
69 |
66 68
|
fssd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ ) |
71 |
41
|
a1i |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ ) |
72 |
40
|
a1i |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → π ∈ ℝ ) |
73 |
71
|
leidd |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≤ - π ) |
74 |
|
0red |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
75 |
41
|
rexri |
⊢ - π ∈ ℝ* |
76 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
77 |
|
iooltub |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 < 0 ) |
78 |
75 76 77
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 < 0 ) |
79 |
|
pipos |
⊢ 0 < π |
80 |
79
|
a1i |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 < π ) |
81 |
43 74 72 78 80
|
lttrd |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 < π ) |
82 |
43 72 81
|
ltled |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑑 ≤ π ) |
83 |
|
iccss |
⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 𝑑 ≤ π ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
84 |
71 72 73 82 83
|
syl22anc |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
85 |
84
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
86 |
70 85
|
fssresd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) |
87 |
25
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ) |
88 |
87
|
feq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) ) |
89 |
86 88
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) |
90 |
41
|
elexi |
⊢ - π ∈ V |
91 |
90
|
prid1 |
⊢ - π ∈ { - π , 𝑑 } |
92 |
|
elun1 |
⊢ ( - π ∈ { - π , 𝑑 } → - π ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ) |
93 |
91 92
|
ax-mp |
⊢ - π ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) |
94 |
93 26
|
eleqtrri |
⊢ - π ∈ 𝑇 |
95 |
94
|
ne0ii |
⊢ 𝑇 ≠ ∅ |
96 |
95
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ ∅ ) |
97 |
|
prfi |
⊢ { - π , 𝑑 } ∈ Fin |
98 |
97
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { - π , 𝑑 } ∈ Fin ) |
99 |
|
fzfi |
⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin |
100 |
29
|
rnmptfi |
⊢ ( ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin ) |
101 |
99 100
|
ax-mp |
⊢ ran 𝑄 ∈ Fin |
102 |
101
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ran 𝑄 ∈ Fin ) |
103 |
|
infi |
⊢ ( ran 𝑄 ∈ Fin → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin ) |
104 |
102 103
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin ) |
105 |
|
unfi |
⊢ ( ( { - π , 𝑑 } ∈ Fin ∧ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ∈ Fin ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ∈ Fin ) |
106 |
98 104 105
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ∈ Fin ) |
107 |
26 106
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin ) |
108 |
|
hashnncl |
⊢ ( 𝑇 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) ) |
109 |
107 108
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) ) |
110 |
96 109
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ) |
111 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
112 |
110 111
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
113 |
27 112
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
114 |
113
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
115 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
116 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
117 |
114
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
118 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
119 |
118
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 < 1 ) |
120 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
121 |
120
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
122 |
110
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
123 |
122
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
124 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π < 𝑑 ) |
125 |
75 76 124
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π < 𝑑 ) |
126 |
71 125
|
ltned |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≠ 𝑑 ) |
127 |
126
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≠ 𝑑 ) |
128 |
|
hashprg |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) → ( - π ≠ 𝑑 ↔ ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) ) |
129 |
42 44 128
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π ≠ 𝑑 ↔ ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) ) |
130 |
127 129
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) = 2 ) |
131 |
130
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 = ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ) |
132 |
107
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ∈ Fin ) |
133 |
|
ssun1 |
⊢ { - π , 𝑑 } ⊆ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) |
134 |
133 26
|
sseqtrri |
⊢ { - π , 𝑑 } ⊆ 𝑇 |
135 |
|
hashssle |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ { - π , 𝑑 } ⊆ 𝑇 ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) |
136 |
132 134 135
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ♯ ‘ { - π , 𝑑 } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) |
137 |
131 136
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) |
138 |
121 123 116 137
|
lesub1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 2 − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ) |
139 |
|
1e2m1 |
⊢ 1 = ( 2 − 1 ) |
140 |
138 139 27
|
3brtr4g |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ≤ 𝑁 ) |
141 |
115 116 117 119 140
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 < 𝑁 ) |
142 |
141
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
143 |
114 142
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) |
144 |
|
elnnne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) |
145 |
143 144
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
146 |
73
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≤ - π ) |
147 |
71 43 125
|
ltled |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ≤ 𝑑 ) |
148 |
147
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ≤ 𝑑 ) |
149 |
42 44 42 146 148
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
150 |
44
|
leidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ≤ 𝑑 ) |
151 |
42 44 44 148 150
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
152 |
149 151
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ) |
153 |
|
vex |
⊢ 𝑑 ∈ V |
154 |
90 153
|
prss |
⊢ ( ( - π ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ↔ { - π , 𝑑 } ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
155 |
152 154
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
156 |
|
inss2 |
⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π (,) 𝑑 ) |
157 |
156
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π (,) 𝑑 ) ) |
158 |
|
ioossicc |
⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) |
159 |
157 158
|
sstrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
160 |
155 159
|
unssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
161 |
26 160
|
eqsstrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
162 |
94
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ 𝑇 ) |
163 |
153
|
prid2 |
⊢ 𝑑 ∈ { - π , 𝑑 } |
164 |
|
elun1 |
⊢ ( 𝑑 ∈ { - π , 𝑑 } → 𝑑 ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ) |
165 |
163 164
|
ax-mp |
⊢ 𝑑 ∈ ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) |
166 |
165 26
|
eleqtrri |
⊢ 𝑑 ∈ 𝑇 |
167 |
166
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 ∈ 𝑇 ) |
168 |
132 27 28 42 44 161 162 167
|
fourierdlem52 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = 𝑑 ) ) |
169 |
168
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) ) |
170 |
169
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
171 |
169
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 ‘ 0 ) = - π ) |
172 |
168
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = 𝑑 ) |
173 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
174 |
173
|
zred |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
175 |
174
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
176 |
175
|
ltp1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ) |
177 |
71 43
|
jca |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) ) |
178 |
90 153
|
prss |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ) ↔ { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ ) |
179 |
177 178
|
sylib |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ ) |
180 |
179
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → { - π , 𝑑 } ⊆ ℝ ) |
181 |
|
ioossre |
⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ℝ |
182 |
156 181
|
sstri |
⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ℝ |
183 |
182
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ⊆ ℝ ) |
184 |
180 183
|
unssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( { - π , 𝑑 } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( - π (,) 𝑑 ) ) ) ⊆ ℝ ) |
185 |
26 184
|
eqsstrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑇 ⊆ ℝ ) |
186 |
132 185 28 27
|
fourierdlem36 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ) |
187 |
186
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ) |
188 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
189 |
188
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
190 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
191 |
190
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
192 |
|
isorel |
⊢ ( ( 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
193 |
187 189 191 192
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
194 |
176 193
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
195 |
66
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
196 |
195 85
|
feqresmpt |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) ) |
197 |
85
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
198 |
1 2 55 65 13
|
fourierdlem9 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
199 |
198
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
200 |
199 197
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
201 |
14
|
fourierdlem43 |
⊢ 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ |
202 |
201
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
203 |
202 197
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
204 |
200 203
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
205 |
15
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
206 |
197 204 205
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
207 |
41
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ ) |
208 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
209 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
210 |
|
eliccre |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
211 |
207 208 209 210
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
212 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
213 |
75
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ* ) |
214 |
208
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* ) |
215 |
|
iccleub |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 ) |
216 |
213 214 209 215
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 ) |
217 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 < 0 ) |
218 |
211 208 212 216 217
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 < 0 ) |
219 |
211 218
|
ltned |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
220 |
219
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
221 |
220
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
222 |
221
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) |
223 |
211 212 218
|
ltnsymd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 ) |
224 |
223
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 ) |
225 |
224
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 ) |
226 |
225
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ) |
227 |
226
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
228 |
222 227
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
229 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
230 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
231 |
|
iccssre |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ ) |
232 |
41 40 231
|
mp2an |
⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ |
233 |
232 197
|
sseldi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
234 |
230 233
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
235 |
229 234
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
236 |
65
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
237 |
235 236
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ∈ ℝ ) |
238 |
237 233 220
|
redivcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
239 |
228 238
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
240 |
13
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
241 |
197 239 240
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
242 |
241 222 227
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
243 |
40
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → π ∈ ℝ ) |
244 |
243
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ∈ ℝ ) |
245 |
|
iccgelb |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ 𝑠 ) |
246 |
213 214 209 245
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ 𝑠 ) |
247 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑑 < π ) |
248 |
211 208 243 216 247
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 < π ) |
249 |
211 243 248
|
ltled |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ≤ π ) |
250 |
244 243 211 246 249
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
251 |
219
|
neneqd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
252 |
251
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
253 |
120
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
254 |
211
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ ) |
255 |
254
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
256 |
253 255
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
257 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
258 |
257
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
259 |
211
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
260 |
259
|
halfcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
261 |
260
|
sincld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
262 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
263 |
262
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
264 |
|
fourierdlem44 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
265 |
250 219 264
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
266 |
258 261 263 265
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
267 |
211 256 266
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
268 |
252 267
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
269 |
14
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
270 |
250 268 269
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
271 |
270
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
272 |
242 271
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
273 |
221
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
274 |
273
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
275 |
206 272 274
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
276 |
275
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
277 |
87 196 276
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
278 |
277
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
279 |
278
|
reseq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
280 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
281 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
282 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
283 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
284 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
285 |
11
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) |
286 |
12
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
287 |
125
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π < 𝑑 ) |
288 |
75
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π ∈ ℝ* ) |
289 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
290 |
78
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 < 0 ) |
291 |
288 44 289 290
|
gtnelicc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ¬ 0 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
292 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
293 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
294 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) |
295 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) |
296 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) |
297 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑙 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) ) |
298 |
297
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
299 |
296 298
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
300 |
299
|
sseq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
301 |
300
|
cbvriotavw |
⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
302 |
280 281 3 282 283 284 285 286 42 44 287 85 291 292 293 29 26 27 28 294 295 301
|
fourierdlem86 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ) |
303 |
302
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
304 |
279 303
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
305 |
302
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
306 |
305
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
307 |
278
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝑂 ) |
308 |
307
|
reseq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
309 |
308
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
310 |
306 309
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
311 |
305
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
312 |
308
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
313 |
311 312
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
314 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D 𝑂 ) |
315 |
89
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) |
316 |
41
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ∈ ℝ ) |
317 |
44
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
318 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
319 |
318
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
320 |
85 232
|
sstrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ ) |
321 |
320
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ ) |
322 |
170
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
323 |
322 189
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
324 |
321 323
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
325 |
324
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
326 |
75
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ* ) |
327 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
328 |
327
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* ) |
329 |
|
iccgelb |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
330 |
326 328 323 329
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
331 |
330
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
332 |
325
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ) |
333 |
322 191
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
334 |
321 333
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
335 |
334
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
336 |
335
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
337 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
338 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 ) |
339 |
332 336 337 338
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 ) |
340 |
316 325 319 331 339
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π < 𝑠 ) |
341 |
316 319 340
|
ltled |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → - π ≤ 𝑠 ) |
342 |
334
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
343 |
|
iooltub |
⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
344 |
332 336 337 343
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
345 |
|
iccleub |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 ) |
346 |
326 328 333 345
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 ) |
347 |
346
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ 𝑑 ) |
348 |
319 342 317 344 347
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < 𝑑 ) |
349 |
319 317 348
|
ltled |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ 𝑑 ) |
350 |
316 317 319 341 349
|
eliccd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
351 |
350
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
352 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
353 |
351 352
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
354 |
315 353
|
feqresmpt |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) |
355 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 ) |
356 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
357 |
25
|
fveq1i |
⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) |
358 |
357
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
359 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) |
360 |
359
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) |
361 |
271 273
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
362 |
242 361
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
363 |
237
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
364 |
259
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
365 |
257
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
366 |
364
|
halfcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
367 |
366
|
sincld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
368 |
365 367
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
369 |
266
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
370 |
363 364 368 220 369
|
dmdcan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
371 |
206 362 370
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
372 |
358 360 371
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
373 |
355 356 350 372
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
374 |
355 356 350 370
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
375 |
374
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
376 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ) |
377 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑡 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) ) |
378 |
377
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
379 |
378
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) ) |
380 |
|
id |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠 ) |
381 |
379 380
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
382 |
381
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
383 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
384 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ V |
385 |
384
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ∈ V ) |
386 |
376 382 383 385
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
387 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ) |
388 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) ) |
389 |
388
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
390 |
389
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
391 |
380 390
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
392 |
391
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
393 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V |
394 |
393
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V ) |
395 |
387 392 383 394
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
396 |
386 395
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
397 |
396
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
398 |
397
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
399 |
373 375 398
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
400 |
399
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
401 |
354 400
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
402 |
401
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
403 |
67
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ ) |
404 |
353 321
|
sstrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) |
405 |
50
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
406 |
50 405
|
dvres |
⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂 : ( - π [,] 𝑑 ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
407 |
403 315 321 404 406
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
408 |
|
ioontr |
⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
409 |
408
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
410 |
409
|
reseq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
411 |
402 407 410
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
412 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
413 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
414 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
415 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
416 |
9
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ) |
417 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
418 |
353 417
|
sstrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
419 |
324
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ) |
420 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
421 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
422 |
78
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 < 0 ) |
423 |
334 327 421 346 422
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) < 0 ) |
424 |
419 334 420 423
|
gtnelicc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
425 |
65
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
426 |
41
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ ) |
427 |
125
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π < 𝑑 ) |
428 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
429 |
|
biid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ) |
430 |
413 3 414 415 426 327 427 417 29 26 27 28 428 301 429
|
fourierdlem50 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) ) |
431 |
430
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
432 |
430
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
433 |
381
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) ) |
434 |
391
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
435 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
436 |
412 413 3 414 415 416 324 334 194 418 424 425 29 431 432 433 434 435
|
fourierdlem72 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
437 |
411 436
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
438 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
439 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
440 |
30 431
|
eqeltrid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
441 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 ) |
442 |
441 440
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
443 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
444 |
443
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) ) |
445 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ) |
446 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) ) |
447 |
446
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
448 |
445 447
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
449 |
|
raleq |
⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
450 |
448 449
|
syl |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
451 |
450
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
452 |
444 451
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) ) |
453 |
452 8
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
454 |
440 442 453
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
455 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
456 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 |
457 |
455 456
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
458 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
459 |
41
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ ) |
460 |
459 2
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
461 |
40
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ ) |
462 |
461 2
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
463 |
460 462
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ ) |
464 |
|
ressxr |
⊢ ℝ ⊆ ℝ* |
465 |
463 464
|
sstrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* ) |
466 |
465
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* ) |
467 |
3 414 415
|
fourierdlem15 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ) |
468 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
469 |
440 468
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
470 |
467 469
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ) |
471 |
466 470
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
472 |
471
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
473 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
474 |
440 473
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
475 |
467 474
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ) |
476 |
466 475
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
477 |
476
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
478 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
479 |
478
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
480 |
40
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ ) |
481 |
426 480 413 3 414 415 469 29
|
fourierdlem13 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) ) |
482 |
481
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) |
483 |
482
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) |
484 |
463
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ ) |
485 |
484 470
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
486 |
485
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
487 |
483 486
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
488 |
413 324
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
489 |
488
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
490 |
481
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ) |
491 |
485 413
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
492 |
490 491
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
493 |
426 480 413 3 414 415 474 29
|
fourierdlem13 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ) |
494 |
493
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
495 |
484 475
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
496 |
495 413
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
497 |
494 496
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
498 |
30
|
eqcomi |
⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = 𝐶 |
499 |
498
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) |
500 |
498
|
oveq1i |
⊢ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) |
501 |
500
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) |
502 |
499 501
|
oveq12i |
⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
503 |
432 502
|
sseqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
504 |
492 497 324 334 194 503
|
fourierdlem10 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
505 |
504
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
506 |
492 324 413 505
|
leadd2dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
507 |
506
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
508 |
489
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ) |
509 |
413 334
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
510 |
509
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
511 |
510
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
512 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
513 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 ) |
514 |
508 511 512 513
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 ) |
515 |
487 489 479 507 514
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) < 𝑡 ) |
516 |
483 515
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) < 𝑡 ) |
517 |
509
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
518 |
493
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
519 |
518 495
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
520 |
519
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
521 |
|
iooltub |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
522 |
508 511 512 521
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
523 |
504
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
524 |
334 497 413 523
|
leadd2dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
525 |
524
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
526 |
479 517 520 522 525
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
527 |
518
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
528 |
527
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
529 |
526 528
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
530 |
472 477 479 516 529
|
eliood |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
531 |
530
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
532 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
533 |
458 531 532
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
534 |
533
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
535 |
457 534
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
536 |
535
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
537 |
536
|
reximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
538 |
454 537
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
539 |
448
|
raleqdv |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
540 |
539
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
541 |
444 540
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) ) |
542 |
541 10
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
543 |
440 442 542
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
544 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 |
545 |
455 544
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
546 |
1 68
|
fssd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) |
547 |
|
ssid |
⊢ ℝ ⊆ ℝ |
548 |
547
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℝ ) |
549 |
|
ioossre |
⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ |
550 |
549
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) |
551 |
50 405
|
dvres |
⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
552 |
68 546 548 550 551
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
553 |
|
ioontr |
⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
554 |
553
|
reseq2i |
⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
555 |
554
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
556 |
552 555
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
557 |
556
|
fveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) |
558 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) |
559 |
557 558
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) |
560 |
559
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) |
561 |
560
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
562 |
561
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
563 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
564 |
530
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
565 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
566 |
563 564 565
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
567 |
562 566
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
568 |
567
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
569 |
545 568
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
570 |
569
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
571 |
570
|
reximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
572 |
543 571
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
573 |
426
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ* ) |
574 |
573 328 322 428
|
fourierdlem8 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
575 |
145
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
576 |
170 320
|
fssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ ) |
577 |
576
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ ) |
578 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
579 |
171
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → - π = ( 𝐽 ‘ 0 ) ) |
580 |
172
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑑 = ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) |
581 |
579 580
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
582 |
581
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → ( - π [,] 𝑑 ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
583 |
578 582
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
584 |
583
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
585 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) |
586 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
587 |
586
|
breq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 ) ) |
588 |
587
|
cbvrabv |
⊢ { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } = { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } |
589 |
588
|
supeq1i |
⊢ sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) |
590 |
575 577 584 585 589
|
fourierdlem25 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑚 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) ) |
591 |
554
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
592 |
546
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) |
593 |
547
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℝ ) |
594 |
549
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) |
595 |
403 592 593 594 551
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
596 |
530
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
597 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
598 |
596 597
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
599 |
598
|
resabs1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
600 |
591 595 599
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
601 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
602 |
|
id |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
603 |
448
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ) |
604 |
603 448
|
feq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) |
605 |
444 604
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) ) |
606 |
|
cncff |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
607 |
9 606
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
608 |
605 607
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) |
609 |
601 602 608
|
sylc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
610 |
442 609
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
611 |
610 598
|
fssresd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ ) |
612 |
600 611
|
feq1dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ ) |
613 |
379 390
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
614 |
613
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
615 |
|
biid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ) |
616 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) |
617 |
616
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ) |
618 |
617
|
breq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
619 |
618
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
620 |
615 619
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
621 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) |
622 |
621
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
623 |
622
|
breq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
624 |
623
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
625 |
620 624
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
626 |
280 281 42 44 85 291 292 438 439 538 572 170 194 574 590 612 614 625
|
fourierdlem80 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) |
627 |
370
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
628 |
277 627
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
629 |
628
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
630 |
629
|
dmeqd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
631 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 ) |
632 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ |
633 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑠 D |
634 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
635 |
632 633 634
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
636 |
635
|
nfdm |
⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
637 |
631 636
|
raleqf |
⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
638 |
630 637
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
639 |
629
|
fveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
640 |
639
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
641 |
640
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
642 |
641
|
ralbidv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
643 |
638 642
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
644 |
643
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑊 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
645 |
626 644
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) |
646 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
647 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
648 |
|
fveq2 |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ℎ ) = ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) ) |
649 |
|
oveq1 |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ℎ + 1 ) = ( 𝑙 + 1 ) ) |
650 |
649
|
fveq2d |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) |
651 |
648 650
|
oveq12d |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) |
652 |
651
|
sseq2d |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) |
653 |
652
|
cbvriotavw |
⊢ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) |
654 |
653
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) |
655 |
654
|
eqeq2i |
⊢ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) |
656 |
655
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
657 |
|
csbeq1 |
⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 ) |
658 |
653 657
|
ax-mp |
⊢ ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 |
659 |
658
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 ) |
660 |
656 659
|
ifbieq1d |
⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
661 |
660
|
mptru |
⊢ if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
662 |
661
|
oveq1i |
⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) |
663 |
662
|
oveq1i |
⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
664 |
663
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) |
665 |
664
|
a1i |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
666 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
667 |
653
|
oveq1i |
⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) |
668 |
667
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) |
669 |
668
|
eqeq2i |
⊢ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) |
670 |
669
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
671 |
|
csbeq1 |
⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 ) |
672 |
653 671
|
ax-mp |
⊢ ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 |
673 |
672
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 ) |
674 |
670 673
|
ifbieq1d |
⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
675 |
674
|
mptru |
⊢ if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
676 |
675
|
oveq1i |
⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) |
677 |
676
|
oveq1i |
⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
678 |
677
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) |
679 |
678
|
a1i |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
680 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) |
681 |
666 679 680
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) |
682 |
647 665 681
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
683 |
682
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑊 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
684 |
42 44 89 145 170 171 172 194 304 310 313 314 437 645 646 683
|
fourierdlem73 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
685 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) ) |
686 |
685
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) ) |
687 |
686
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) |
688 |
684 687
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) |
689 |
688
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) |
690 |
|
rphalfcl |
⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
691 |
690
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
692 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
693 |
692
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
694 |
693
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ∧ ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
695 |
689 691 694
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
696 |
357
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
697 |
158
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
698 |
697
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] 𝑑 ) ) |
699 |
698 359
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( - π [,] 𝑑 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) |
700 |
696 699
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) |
701 |
700
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) ) |
702 |
701
|
itgeq2dv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
703 |
702
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
704 |
703
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
705 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
706 |
704 705
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
707 |
706
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
708 |
707
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
709 |
708
|
ralimdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
710 |
709
|
reximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
711 |
695 710
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
712 |
711
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
713 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
714 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) |
715 |
713 714
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
716 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗 ∈ ℕ |
717 |
715 716
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) |
718 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) |
719 |
717 718
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
720 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ) |
721 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
722 |
721
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
723 |
720 722
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) |
724 |
723
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) |
725 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
726 |
721
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
727 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
728 |
725 726 727
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
729 |
724 728
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
730 |
729
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
731 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ ) |
732 |
731
|
rexrd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ* ) |
733 |
732
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ* ) |
734 |
51
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → +∞ ∈ ℝ* ) |
735 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
736 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
737 |
736
|
rehalfcli |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
738 |
737
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
739 |
735 738
|
readdcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
740 |
739
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
741 |
731
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
742 |
735
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
743 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑘 ) |
744 |
743
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝑘 ) |
745 |
|
halfgt0 |
⊢ 0 < ( 1 / 2 ) |
746 |
745
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 0 < ( 1 / 2 ) ) |
747 |
737
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
748 |
747 742
|
ltaddposd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 0 < ( 1 / 2 ) ↔ 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) ) |
749 |
746 748
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
750 |
741 742 740 744 749
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
751 |
740
|
ltpnfd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) < +∞ ) |
752 |
733 734 740 750 751
|
eliood |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ) |
753 |
752
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ) |
754 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
755 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( 𝑙 · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
756 |
755
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
757 |
756
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
758 |
757
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
759 |
758
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
760 |
759
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
761 |
760
|
breq1d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
762 |
761
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
763 |
753 754 762
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
764 |
763
|
adantlll |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
765 |
730 764
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
766 |
765 31
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝜒 ) |
767 |
41
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → - π ∈ ℝ ) |
768 |
|
0red |
⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ ) |
769 |
|
ioossicc |
⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] 0 ) |
770 |
31
|
biimpi |
⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
771 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
772 |
770 771
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
773 |
769 772
|
sseldi |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( - π [,] 0 ) ) |
774 |
|
simp-5l |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝜑 ) |
775 |
770 774
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝜑 ) |
776 |
66
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
777 |
40
|
rexri |
⊢ π ∈ ℝ* |
778 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
779 |
778 40 79
|
ltleii |
⊢ 0 ≤ π |
780 |
|
iooss2 |
⊢ ( ( π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) ) |
781 |
777 779 780
|
mp2an |
⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) π ) |
782 |
|
ioossicc |
⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) |
783 |
781 782
|
sstri |
⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) |
784 |
783
|
sseli |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
785 |
784
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
786 |
776 785
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
787 |
775 786
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
788 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
789 |
770 788
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ ) |
790 |
789
|
nnred |
⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ ) |
791 |
737
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
792 |
790 791
|
readdcld |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
793 |
792
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
794 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
795 |
794
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
796 |
793 795
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
797 |
796
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
798 |
787 797
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
799 |
798
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
800 |
75
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → - π ∈ ℝ* ) |
801 |
76
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ* ) |
802 |
767
|
leidd |
⊢ ( 𝜒 → - π ≤ - π ) |
803 |
|
ioossre |
⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ℝ |
804 |
803 772
|
sseldi |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ ) |
805 |
800 801 772 77
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 < 0 ) |
806 |
804 768 805
|
ltled |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ≤ 0 ) |
807 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ∧ ( - π ≤ - π ∧ 𝑑 ≤ 0 ) ) → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) ) |
808 |
800 801 802 806 807
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜒 → ( - π (,) 𝑑 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) ) |
809 |
|
ioombl |
⊢ ( - π (,) 𝑑 ) ∈ dom vol |
810 |
809
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → ( - π (,) 𝑑 ) ∈ dom vol ) |
811 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ ) ) |
812 |
811
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) ) |
813 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑛 = 𝑘 ) |
814 |
813
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
815 |
814
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
816 |
815
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
817 |
816
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
818 |
817
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
819 |
818
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) |
820 |
812 819
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) ) |
821 |
783
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
822 |
|
ioombl |
⊢ ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol |
823 |
822
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol ) |
824 |
66
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
825 |
824
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
826 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ ) |
827 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
828 |
826 737 827
|
sylancl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
829 |
828
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
830 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
831 |
232 830
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
832 |
829 831
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
833 |
832
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
834 |
833
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
835 |
825 834
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
836 |
17
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
837 |
16
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
838 |
830 833 837
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
839 |
838
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
840 |
839
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
841 |
840
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
842 |
836 841
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = 𝐺 ) |
843 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
844 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉 ) |
845 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
846 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
847 |
826
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
848 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
849 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
850 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
851 |
11
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) |
852 |
12
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
853 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) |
854 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 ) |
855 |
607
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
856 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
857 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
858 |
3 843 844 845 846 13 14 15 847 16 17 848 849 850 851 852 29 853 854 855 856 857
|
fourierdlem88 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 ∈ 𝐿1 ) |
859 |
842 858
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
860 |
821 823 835 859
|
iblss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
861 |
820 860
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
862 |
775 789 861
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
863 |
808 810 798 862
|
iblss |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
864 |
772 125
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → - π < 𝑑 ) |
865 |
767 804 864
|
ltled |
⊢ ( 𝜒 → - π ≤ 𝑑 ) |
866 |
768
|
leidd |
⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 0 ) |
867 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ) ∧ ( - π ≤ 𝑑 ∧ 0 ≤ 0 ) ) → ( 𝑑 (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) ) |
868 |
800 801 865 866 867
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) 0 ) ⊆ ( - π (,) 0 ) ) |
869 |
|
ioombl |
⊢ ( 𝑑 (,) 0 ) ∈ dom vol |
870 |
869
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) 0 ) ∈ dom vol ) |
871 |
868 870 798 862
|
iblss |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
872 |
767 768 773 799 863 871
|
itgsplitioo |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
873 |
808
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
874 |
873 798
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
875 |
874 863
|
itgcl |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
876 |
868
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
877 |
876 798
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
878 |
877 871
|
itgcl |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
879 |
875 878
|
addcomd |
⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
880 |
872 879
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
881 |
880
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ) |
882 |
878 875
|
addcld |
⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
883 |
882
|
abscld |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
884 |
878
|
abscld |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
885 |
875
|
abscld |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
886 |
884 885
|
readdcld |
⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
887 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ ) |
888 |
770 887
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+ ) |
889 |
888
|
rpred |
⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ ) |
890 |
878 875
|
abstrid |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ) |
891 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
892 |
770 891
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
893 |
770
|
simprd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
894 |
884 885 889 892 893
|
lt2halvesd |
⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 ) |
895 |
883 886 889 890 894
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 ) |
896 |
881 895
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
897 |
766 896
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
898 |
897
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
899 |
719 898
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
900 |
899
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
901 |
900
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
902 |
712 901
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
903 |
|
negpilt0 |
⊢ - π < 0 |
904 |
41 778 40
|
lttri |
⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π ) |
905 |
903 79 904
|
mp2an |
⊢ - π < π |
906 |
41 40 905
|
ltleii |
⊢ - π ≤ π |
907 |
906
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - π ≤ π ) |
908 |
3
|
fourierdlem2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
909 |
4 908
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
910 |
5 909
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
911 |
910
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
912 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
913 |
911 912
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
914 |
913
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
915 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
916 |
914 915
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
917 |
916 29
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
918 |
29
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
919 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 0 ) ) |
920 |
919
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ) |
921 |
920
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ) |
922 |
4
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
923 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
924 |
922 923
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
925 |
|
eluzfz1 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
926 |
924 925
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
927 |
913 926
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) ∈ ℝ ) |
928 |
927 2
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
929 |
918 921 926 928
|
fvmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ) |
930 |
910
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
931 |
930
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ) |
932 |
931
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ) |
933 |
932
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) = ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) ) |
934 |
459
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ ) |
935 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
936 |
934 935
|
pncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) = - π ) |
937 |
929 933 936
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ) |
938 |
459 461 2 3 853 4 5 29
|
fourierdlem14 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ) |
939 |
853
|
fourierdlem2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
940 |
4 939
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
941 |
938 940
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
942 |
941
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
943 |
942
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ) |
944 |
943
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) |
945 |
942
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
946 |
945
|
r19.21bi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
947 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
948 |
853 4 938
|
fourierdlem15 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) ) |
949 |
948
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) ) |
950 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
951 |
950
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
952 |
949 951
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( - π [,] π ) ) |
953 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
954 |
953
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
955 |
949 954
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] π ) ) |
956 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
957 |
|
ffn |
⊢ ( 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) ) |
958 |
911 912 957
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) ) |
959 |
|
fvelrnb |
⊢ ( 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) ) |
960 |
958 959
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) ) |
961 |
6 960
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) |
962 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) ) |
963 |
962
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) ) |
964 |
935
|
subidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 ) |
965 |
964
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 ) |
966 |
963 965
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
967 |
966
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
968 |
967
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
969 |
961 968
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
970 |
29
|
elrnmpt |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
971 |
778 970
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
972 |
969 971
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄 ) |
973 |
853 4 938 972
|
fourierdlem12 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
974 |
913
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
975 |
974 951
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
976 |
975 956
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
977 |
29
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
978 |
951 976 977
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
979 |
978
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
980 |
975
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
981 |
935
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ ) |
982 |
980 981
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) |
983 |
979 982
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) |
984 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) |
985 |
984
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
986 |
985
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
987 |
29 986
|
eqtr4i |
⊢ 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) |
988 |
987
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ) |
989 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
990 |
989
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
991 |
990
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
992 |
974 954
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
993 |
992 956
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
994 |
988 991 954 993
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
995 |
994
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
996 |
992
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
997 |
996 981
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
998 |
995 997
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
999 |
983 998
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1000 |
999
|
reseq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
1001 |
999
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
1002 |
7 1000 1001
|
3eltr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) ) |
1003 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
1004 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
1005 |
947 952 955 956 973 1002 1003 1004 13
|
fourierdlem40 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
1006 |
|
id |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
1007 |
67
|
a1i |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ ) |
1008 |
1006 1007
|
fssd |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) |
1009 |
9 606 1008
|
3syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) |
1010 |
|
eqid |
⊢ if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) |
1011 |
2 3 1 6 20 65 13 4 5 11 29 853 854 1009 23 1010
|
fourierdlem75 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) |
1012 |
|
eqid |
⊢ if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1013 |
2 3 1 6 55 21 13 4 5 12 29 853 854 607 22 1012
|
fourierdlem74 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1014 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) |
1015 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) ) |
1016 |
1015
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
1017 |
1014 1016
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1018 |
1017
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1019 |
459 461 907 198 4 917 937 944 946 1005 1011 1013 1018
|
fourierdlem70 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑥 ) |
1020 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) = ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) |
1021 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) |
1022 |
1021
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1023 |
1022
|
breq1d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
1024 |
1023
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) |
1025 |
1024
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) |
1026 |
1025
|
3anbi3i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
1027 |
1026
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ) |
1028 |
1027
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ) |
1029 |
1028
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) |
1030 |
1 2 55 65 13 14 15 16 17 1019 858 1020 1029
|
fourierdlem87 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1031 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 ) |
1032 |
1031
|
negeqd |
⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - 𝑐 ) |
1033 |
1032
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - 𝑐 ) |
1034 |
75
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ∈ ℝ* ) |
1035 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
1036 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ ) |
1037 |
1036
|
renegcld |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - 𝑐 ∈ ℝ ) |
1038 |
1037
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 ∈ ℝ ) |
1039 |
1036
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
1040 |
40
|
rehalfcli |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ |
1041 |
1040
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
1042 |
40
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ ) |
1043 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) |
1044 |
|
halfpos |
⊢ ( π ∈ ℝ → ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) ) |
1045 |
40 1044
|
ax-mp |
⊢ ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) |
1046 |
79 1045
|
mpbi |
⊢ ( π / 2 ) < π |
1047 |
1046
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < π ) |
1048 |
1039 1041 1042 1043 1047
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 < π ) |
1049 |
1039 1042
|
ltnegd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( 𝑐 < π ↔ - π < - 𝑐 ) ) |
1050 |
1048 1049
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π < - 𝑐 ) |
1051 |
|
rpgt0 |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐 ) |
1052 |
1036
|
lt0neg2d |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 < 𝑐 ↔ - 𝑐 < 0 ) ) |
1053 |
1051 1052
|
mpbid |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - 𝑐 < 0 ) |
1054 |
1053
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 < 0 ) |
1055 |
1034 1035 1038 1050 1054
|
eliood |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1056 |
1033 1055
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1057 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) ) |
1058 |
1057
|
negeqd |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = - ( π / 2 ) ) |
1059 |
1040
|
renegcli |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ |
1060 |
1059
|
rexri |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* |
1061 |
75 76 1060
|
3pm3.2i |
⊢ ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* ) |
1062 |
1040 40
|
ltnegi |
⊢ ( ( π / 2 ) < π ↔ - π < - ( π / 2 ) ) |
1063 |
1046 1062
|
mpbi |
⊢ - π < - ( π / 2 ) |
1064 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
1065 |
40 120 79 1064
|
divgt0ii |
⊢ 0 < ( π / 2 ) |
1066 |
|
lt0neg2 |
⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ → ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 ) ) |
1067 |
1040 1066
|
ax-mp |
⊢ ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 ) |
1068 |
1065 1067
|
mpbi |
⊢ - ( π / 2 ) < 0 |
1069 |
1063 1068
|
pm3.2i |
⊢ ( - π < - ( π / 2 ) ∧ - ( π / 2 ) < 0 ) |
1070 |
|
elioo3g |
⊢ ( - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) ↔ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* ) ∧ ( - π < - ( π / 2 ) ∧ - ( π / 2 ) < 0 ) ) ) |
1071 |
1061 1069 1070
|
mpbir2an |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) |
1072 |
1071
|
a1i |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - ( π / 2 ) ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1073 |
1058 1072
|
eqeltrd |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1074 |
1073
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1075 |
1056 1074
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1076 |
1075
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1077 |
|
ioombl |
⊢ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol |
1078 |
1077
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ) |
1079 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1080 |
1078 1079
|
jca |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) ) |
1081 |
|
ioossicc |
⊢ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) |
1082 |
1081
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ) |
1083 |
41
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ ) |
1084 |
40
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ ) |
1085 |
1039 1042 1048
|
ltled |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ π ) |
1086 |
1039 1042
|
lenegd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( 𝑐 ≤ π ↔ - π ≤ - 𝑐 ) ) |
1087 |
1085 1086
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - 𝑐 ) |
1088 |
1032
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - 𝑐 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1089 |
1088
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - 𝑐 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1090 |
1087 1089
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1091 |
41 1059 1063
|
ltleii |
⊢ - π ≤ - ( π / 2 ) |
1092 |
1091
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - ( π / 2 ) ) |
1093 |
1058
|
eqcomd |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → - ( π / 2 ) = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1094 |
1093
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - ( π / 2 ) = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1095 |
1092 1094
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1096 |
1090 1095
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1097 |
779
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ π ) |
1098 |
|
iccss |
⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∧ 0 ≤ π ) ) → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
1099 |
1083 1084 1096 1097 1098
|
syl22anc |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) [,] 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
1100 |
1082 1099
|
sstrd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
1101 |
803 1075
|
sseldi |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1102 |
|
0red |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ ) |
1103 |
|
rpge0 |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑐 ) |
1104 |
1103
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ 𝑐 ) |
1105 |
1043
|
iftrued |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 ) |
1106 |
1104 1105
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1107 |
778 1040 1065
|
ltleii |
⊢ 0 ≤ ( π / 2 ) |
1108 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) |
1109 |
1108
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) ) |
1110 |
1107 1109
|
breqtrrid |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1111 |
1106 1110
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1112 |
1040
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
1113 |
1036 1112
|
ifcld |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1114 |
1113
|
le0neg2d |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ↔ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) ) |
1115 |
1111 1114
|
mpbid |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) |
1116 |
|
volioo |
⊢ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 0 ) → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) |
1117 |
1101 1102 1115 1116
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) |
1118 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
1119 |
1118
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℂ ) |
1120 |
1113
|
recnd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
1121 |
1119 1120
|
subnegd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 − - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) = ( 0 + if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) |
1122 |
1120
|
addid2d |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 + if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1123 |
1117 1121 1122
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1124 |
|
min1 |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 ) |
1125 |
1036 1040 1124
|
sylancl |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 ) |
1126 |
1123 1125
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) |
1127 |
1100 1126
|
jca |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) ) |
1128 |
1127
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) ) |
1129 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ↔ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ) ) |
1130 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( vol ‘ 𝑢 ) = ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ) |
1131 |
1130
|
breq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ↔ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) ) |
1132 |
1129 1131
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) ↔ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) ) ) |
1133 |
|
itgeq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1134 |
1133
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
1135 |
1134
|
breq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1136 |
1135
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1137 |
1132 1136
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑢 = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) → ( ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ↔ ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) ) |
1138 |
1137
|
rspcva |
⊢ ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1139 |
1080 1128 1138
|
sylc |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1140 |
1139
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1141 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( 𝑑 (,) 0 ) = ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ) |
1142 |
1141
|
itgeq1d |
⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1143 |
1142
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
1144 |
1143
|
breq1d |
⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1145 |
1144
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑑 = - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1146 |
1145
|
rspcev |
⊢ ( ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( - π (,) 0 ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( - if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1147 |
1076 1140 1146
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1148 |
1147
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1149 |
1030 1148
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑑 ∈ ( - π (,) 0 ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1150 |
902 1149
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
1151 |
1150
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
1152 |
|
nnex |
⊢ ℕ ∈ V |
1153 |
1152
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V |
1154 |
1153
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V ) |
1155 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ) |
1156 |
784
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
1157 |
786
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1158 |
784
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
1159 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 = 𝑘 ) |
1160 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
1161 |
1159 1160
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1162 |
1161
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
1163 |
737
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
1164 |
1162 1163
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1165 |
1164
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1166 |
232 1158
|
sseldi |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1167 |
1165 1166
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1168 |
1167
|
resincld |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1169 |
1158 1168 837
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1170 |
1169
|
adantlll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1171 |
1162
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
1172 |
1171
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
1173 |
|
1red |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
1174 |
1173
|
rehalfcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
1175 |
1172 1174
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1176 |
232 1156
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1177 |
1175 1176
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1178 |
1177
|
resincld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1179 |
1170 1178
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1180 |
1157 1179
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1181 |
17
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1182 |
1156 1180 1181
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1183 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
1184 |
1183
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
1185 |
1184
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1186 |
1185
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1187 |
1170 1186
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1188 |
1187
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
1189 |
1182 1188
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
1190 |
1189
|
itgeq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1191 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
1192 |
817
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1193 |
1192
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) |
1194 |
812 1193
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) ) |
1195 |
786
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1196 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1197 |
1196 784 833
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1198 |
1195 1197
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
1199 |
1198 860
|
itgcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
1200 |
1194 1199
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
1201 |
1155 1190 1191 1200
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑘 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1202 |
39 33 1154 1201 1200
|
clim0c |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
1203 |
1151 1202
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ) |
1204 |
1152
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) ∈ V |
1205 |
19 1204
|
eqeltri |
⊢ 𝐸 ∈ V |
1206 |
1205
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V ) |
1207 |
1152
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V |
1208 |
1207
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V ) |
1209 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
1210 |
1209
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ ) |
1211 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ) |
1212 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → π = π ) |
1213 |
|
id |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ ) |
1214 |
40
|
a1i |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ ) |
1215 |
1211 1212 1213 1214
|
fvmptd |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π ) |
1216 |
1215
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π ) |
1217 |
39 33 1208 1210 1216
|
climconst |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ⇝ π ) |
1218 |
778 79
|
gtneii |
⊢ π ≠ 0 |
1219 |
1218
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 ) |
1220 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
1221 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
1222 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
1223 |
843 1220 1221 1222 13 14 15 847 16 17
|
fourierdlem67 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
1224 |
1223
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
1225 |
821
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
1226 |
1224 1225
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1227 |
1223
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1228 |
1223
|
feqmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1229 |
1228 858
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1230 |
821 823 1227 1229
|
iblss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1231 |
1226 1230
|
itgcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
1232 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
1233 |
1232
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
1234 |
1196 1231 1233
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
1235 |
1234 1231
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
1236 |
|
id |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1237 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) |
1238 |
1237
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π ) |
1239 |
1236 40 1238
|
sylancl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π ) |
1240 |
1209
|
a1i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ ) |
1241 |
1218
|
a1i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 ) |
1242 |
1240 1241
|
jca |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) ) |
1243 |
|
eldifsn |
⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) ) |
1244 |
1242 1243
|
sylibr |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
1245 |
1239 1244
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
1246 |
1245
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
1247 |
1209
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℂ ) |
1248 |
1218
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ≠ 0 ) |
1249 |
1231 1247 1248
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) |
1250 |
19
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
1251 |
1196 1249 1250
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
1252 |
1234
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ) |
1253 |
1239
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) |
1254 |
1253
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) |
1255 |
1252 1254
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) ) |
1256 |
1251 1255
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) ) |
1257 |
34 35 36 38 39 33 1203 1206 1217 1219 1235 1246 1256
|
climdivf |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ ( 0 / π ) ) |
1258 |
1209 1218
|
div0i |
⊢ ( 0 / π ) = 0 |
1259 |
1258
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 / π ) = 0 ) |
1260 |
1257 1259
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ 0 ) |
1261 |
1152
|
mptex |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ∈ V |
1262 |
18 1261
|
eqeltri |
⊢ 𝑍 ∈ V |
1263 |
1262
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V ) |
1264 |
1152
|
mptex |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ∈ V |
1265 |
1264
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ∈ V ) |
1266 |
|
limccl |
⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ |
1267 |
1266 21
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ ) |
1268 |
1267
|
halfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑊 / 2 ) ∈ ℂ ) |
1269 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ) |
1270 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ( 𝑊 / 2 ) = ( 𝑊 / 2 ) ) |
1271 |
39
|
eqcomi |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ℕ |
1272 |
1271
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) |
1273 |
1272
|
biimpi |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1274 |
1273
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1275 |
1268
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑊 / 2 ) ∈ ℂ ) |
1276 |
1269 1270 1274 1275
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑊 / 2 ) ) |
1277 |
32 33 1265 1268 1276
|
climconst |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ⇝ ( 𝑊 / 2 ) ) |
1278 |
1249 19
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ ) |
1279 |
1278
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ ) |
1280 |
1279 1274
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
1281 |
1276 1275
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
1282 |
1276
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) ) |
1283 |
822
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) 0 ) ∈ dom vol ) |
1284 |
75
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → - π ∈ ℝ* ) |
1285 |
|
0red |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ ) |
1286 |
1285
|
rexrd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 0 ∈ ℝ* ) |
1287 |
|
id |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) |
1288 |
|
iooltub |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 < 0 ) |
1289 |
1284 1286 1287 1288
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 < 0 ) |
1290 |
794 1289
|
ltned |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
1291 |
1290
|
neneqd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
1292 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 ) |
1293 |
1291 1292
|
sylnibr |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } ) |
1294 |
784 1293
|
eldifd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ∈ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) ) |
1295 |
1294
|
ssriv |
⊢ ( - π (,) 0 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) |
1296 |
1295
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( - π (,) 0 ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) ) |
1297 |
794
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1298 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
1299 |
794 1285 1289
|
ltled |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) → 𝑠 ≤ 0 ) |
1300 |
1299
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ≤ 0 ) |
1301 |
1297 1298 1300
|
lensymd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ¬ 0 < 𝑠 ) |
1302 |
1301
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑊 ) |
1303 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) |
1304 |
41
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ ) |
1305 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ ) |
1306 |
41 778 903
|
ltleii |
⊢ - π ≤ 0 |
1307 |
1306
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ≤ 0 ) |
1308 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
1309 |
24 1196 1303 1304 1305 1307 1308
|
dirkeritg |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) ) |
1310 |
|
ubicc2 |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → 0 ∈ ( - π [,] 0 ) ) |
1311 |
75 76 1306 1310
|
mp3an |
⊢ 0 ∈ ( - π [,] 0 ) |
1312 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = ( 0 / 2 ) ) |
1313 |
257 262
|
div0i |
⊢ ( 0 / 2 ) = 0 |
1314 |
1313
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 / 2 ) = 0 ) |
1315 |
1312 1314
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = 0 ) |
1316 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · 0 ) ) |
1317 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
1318 |
1317
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
1319 |
1318
|
mul01d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 ) |
1320 |
1316 1319
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = 0 ) |
1321 |
1320
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ 0 ) ) |
1322 |
|
sin0 |
⊢ ( sin ‘ 0 ) = 0 |
1323 |
1322
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ 0 ) = 0 ) |
1324 |
1321 1323
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 0 ) |
1325 |
1324
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) ) |
1326 |
|
0red |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 ∈ ℝ ) |
1327 |
|
1red |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ∈ ℝ ) |
1328 |
1317
|
zred |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
1329 |
118
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 1 ) |
1330 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ≤ 𝑘 ) |
1331 |
1326 1327 1328 1329 1330
|
ltletrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 𝑘 ) |
1332 |
1331
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ≠ 0 ) |
1333 |
1318 1332
|
div0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 ) |
1334 |
1333
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 ) |
1335 |
1325 1334
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1336 |
1335
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 ) |
1337 |
|
fzfi |
⊢ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin |
1338 |
1337
|
olci |
⊢ ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) |
1339 |
|
sumz |
⊢ ( ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 ) |
1340 |
1338 1339
|
ax-mp |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 |
1341 |
1340
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 ) |
1342 |
1336 1341
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1343 |
1315 1342
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
1344 |
|
00id |
⊢ ( 0 + 0 ) = 0 |
1345 |
1344
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 + 0 ) = 0 ) |
1346 |
1343 1345
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = 0 ) |
1347 |
1346
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( 0 / π ) ) |
1348 |
1258
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 0 / π ) = 0 ) |
1349 |
1347 1348
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = 0 ) |
1350 |
778
|
elexi |
⊢ 0 ∈ V |
1351 |
1349 1308 1350
|
fvmpt |
⊢ ( 0 ∈ ( - π [,] 0 ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 ) |
1352 |
1311 1351
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 |
1353 |
|
lbicc2 |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → - π ∈ ( - π [,] 0 ) ) |
1354 |
75 76 1306 1353
|
mp3an |
⊢ - π ∈ ( - π [,] 0 ) |
1355 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑠 = - π → ( 𝑠 / 2 ) = ( - π / 2 ) ) |
1356 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑠 = - π → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · - π ) ) |
1357 |
1356
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 = - π → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) ) |
1358 |
1357
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) |
1359 |
1358
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑠 = - π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) |
1360 |
1355 1359
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) ) |
1361 |
1360
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 = - π → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
1362 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ∈ V |
1363 |
1361 1308 1362
|
fvmpt |
⊢ ( - π ∈ ( - π [,] 0 ) → ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
1364 |
1354 1363
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) |
1365 |
|
mulneg12 |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ) → ( - 𝑘 · π ) = ( 𝑘 · - π ) ) |
1366 |
1318 1209 1365
|
sylancl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( - 𝑘 · π ) = ( 𝑘 · - π ) ) |
1367 |
1366
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · - π ) = ( - 𝑘 · π ) ) |
1368 |
1367
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) = ( ( - 𝑘 · π ) / π ) ) |
1369 |
1318
|
negcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - 𝑘 ∈ ℂ ) |
1370 |
1209
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ∈ ℂ ) |
1371 |
1218
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ≠ 0 ) |
1372 |
1369 1370 1371
|
divcan4d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( - 𝑘 · π ) / π ) = - 𝑘 ) |
1373 |
1368 1372
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) = - 𝑘 ) |
1374 |
1317
|
znegcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - 𝑘 ∈ ℤ ) |
1375 |
1373 1374
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) |
1376 |
|
negpicn |
⊢ - π ∈ ℂ |
1377 |
1376
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → - π ∈ ℂ ) |
1378 |
1318 1377
|
mulcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · - π ) ∈ ℂ ) |
1379 |
|
sineq0 |
⊢ ( ( 𝑘 · - π ) ∈ ℂ → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) ) |
1380 |
1378 1379
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · - π ) / π ) ∈ ℤ ) ) |
1381 |
1375 1380
|
mpbird |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) = 0 ) |
1382 |
1381
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) ) |
1383 |
1382 1333
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1384 |
1383
|
sumeq2i |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 |
1385 |
1384 1340
|
eqtri |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) = 0 |
1386 |
1385
|
oveq2i |
⊢ ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( - π / 2 ) + 0 ) |
1387 |
1386
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( - π / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · - π ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) |
1388 |
1376 257 262
|
divcli |
⊢ ( - π / 2 ) ∈ ℂ |
1389 |
1388
|
addid1i |
⊢ ( ( - π / 2 ) + 0 ) = ( - π / 2 ) |
1390 |
|
divneg |
⊢ ( ( π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → - ( π / 2 ) = ( - π / 2 ) ) |
1391 |
1209 257 262 1390
|
mp3an |
⊢ - ( π / 2 ) = ( - π / 2 ) |
1392 |
1389 1391
|
eqtr4i |
⊢ ( ( - π / 2 ) + 0 ) = - ( π / 2 ) |
1393 |
1392
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π ) |
1394 |
1040
|
recni |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ |
1395 |
|
divneg |
⊢ ( ( ( π / 2 ) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) → - ( ( π / 2 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π ) ) |
1396 |
1394 1209 1218 1395
|
mp3an |
⊢ - ( ( π / 2 ) / π ) = ( - ( π / 2 ) / π ) |
1397 |
1396
|
eqcomi |
⊢ ( - ( π / 2 ) / π ) = - ( ( π / 2 ) / π ) |
1398 |
1209 257 1209 262 1218
|
divdiv32i |
⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( ( π / π ) / 2 ) |
1399 |
1209 1218
|
dividi |
⊢ ( π / π ) = 1 |
1400 |
1399
|
oveq1i |
⊢ ( ( π / π ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) |
1401 |
1398 1400
|
eqtri |
⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( 1 / 2 ) |
1402 |
1401
|
negeqi |
⊢ - ( ( π / 2 ) / π ) = - ( 1 / 2 ) |
1403 |
1393 1397 1402
|
3eqtri |
⊢ ( ( ( - π / 2 ) + 0 ) / π ) = - ( 1 / 2 ) |
1404 |
1364 1387 1403
|
3eqtri |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) = - ( 1 / 2 ) |
1405 |
1352 1404
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) = ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) |
1406 |
1405
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) − ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] 0 ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ - π ) ) = ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) ) |
1407 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
1408 |
1118 1407
|
subnegi |
⊢ ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 0 + ( 1 / 2 ) ) |
1409 |
1407
|
addid2i |
⊢ ( 0 + ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
1410 |
1408 1409
|
eqtri |
⊢ ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
1411 |
1410
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 − - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) ) |
1412 |
1309 1406 1411
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( 1 / 2 ) ) |
1413 |
1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 854 607 22 23 20 21 1283 1296 19 24 65 1302 1412
|
fourierdlem95 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1414 |
1274 1413
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑊 / 2 ) ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1415 |
18
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) |
1416 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ) |
1417 |
1416
|
fveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) |
1418 |
1417
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
1419 |
1418
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
1420 |
1419
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1421 |
1420
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1422 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
1423 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
1424 |
1423 1297
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1425 |
1422 1424
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1426 |
1425
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1427 |
24
|
dirkerf |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ ) |
1428 |
1427
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ ) |
1429 |
794
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1430 |
1428 1429
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1431 |
1426 1430
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1432 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
1433 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
1434 |
232
|
sseli |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1435 |
1434
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1436 |
1433 1435
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1437 |
1432 1436
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1438 |
1437
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1439 |
1427
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ ) |
1440 |
1434
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1441 |
1439 1440
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1442 |
1438 1441
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1443 |
40
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ ) |
1444 |
24
|
dirkercncf |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) ) |
1445 |
1444
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) ) |
1446 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
1447 |
1304 1443 843 1220 3 848 849 850 851 852 29 853 1445 1446
|
fourierdlem84 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1448 |
821 823 1442 1447
|
iblss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π (,) 0 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1449 |
1431 1448
|
itgrecl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℝ ) |
1450 |
1415 1421 1196 1449
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1451 |
1450
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) |
1452 |
1274 1451
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ∫ ( - π (,) 0 ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) |
1453 |
1282 1414 1452
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑊 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) ) |
1454 |
32 33 1260 1263 1277 1280 1281 1453
|
climadd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 0 + ( 𝑊 / 2 ) ) ) |
1455 |
1268
|
addid2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ( 𝑊 / 2 ) ) = ( 𝑊 / 2 ) ) |
1456 |
1454 1455
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑊 / 2 ) ) |