Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem104.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem104.xre |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem104.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) |
4 |
|
fourierdlem104.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
5 |
|
fourierdlem104.v |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
6 |
|
fourierdlem104.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 ) |
7 |
|
fourierdlem104.fcn |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
8 |
|
fourierdlem104.fbdioo |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
9 |
|
fourierdlem104.fdvcn |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ) |
10 |
|
fourierdlem104.fdvbd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
11 |
|
fourierdlem104.r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) |
12 |
|
fourierdlem104.l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
13 |
|
fourierdlem104.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
14 |
|
fourierdlem104.k |
⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
15 |
|
fourierdlem104.u |
⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
16 |
|
fourierdlem104.s |
⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
17 |
|
fourierdlem104.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
18 |
|
fourierdlem104.z |
⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
19 |
|
fourierdlem104.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
20 |
|
fourierdlem104.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
21 |
|
fourierdlem104.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
22 |
|
fourierdlem104.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
23 |
|
fourierdlem104.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
24 |
|
fourierdlem104.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
25 |
|
fourierdlem104.o |
⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) |
26 |
|
fourierdlem104.t |
⊢ 𝑇 = ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) |
27 |
|
fourierdlem104.n |
⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) |
28 |
|
fourierdlem104.j |
⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ) |
29 |
|
fourierdlem104.q |
⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
30 |
|
fourierdlem104.1 |
⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) |
31 |
|
fourierdlem104.ch |
⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
33 |
|
1zzd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ ) |
34 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑 |
35 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
36 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) |
37 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
38 |
19 37
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑛 𝐸 |
39 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
40 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
41 |
40
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
42 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
43 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ ℝ ) |
44 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ |
45 |
44
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ ) |
46 |
1 45
|
fssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) : ( 𝑋 (,) +∞ ) ⟶ ℝ ) |
47 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ |
48 |
47
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ ) |
49 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
50 |
|
pnfxr |
⊢ +∞ ∈ ℝ* |
51 |
50
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* ) |
52 |
2
|
ltpnfd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < +∞ ) |
53 |
49 51 2 52
|
lptioo1cn |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) ) |
54 |
46 48 53 20
|
limcrecl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
55 |
|
ioossre |
⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ |
56 |
55
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ ) |
57 |
1 56
|
fssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) : ( -∞ (,) 𝑋 ) ⟶ ℝ ) |
58 |
|
ioosscn |
⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ |
59 |
58
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ ) |
60 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
61 |
60
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* ) |
62 |
2
|
mnfltd |
⊢ ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 ) |
63 |
49 61 2 62
|
lptioo2cn |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) ) |
64 |
57 59 63 21
|
limcrecl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ ) |
65 |
1 2 54 64 13 14 15
|
fourierdlem55 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
66 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
67 |
66
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ ) |
68 |
65 67
|
fssd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ ) |
70 |
42
|
renegcli |
⊢ - π ∈ ℝ |
71 |
70
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → - π ∈ ℝ ) |
72 |
70
|
a1i |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π ∈ ℝ ) |
73 |
|
0red |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ ) |
74 |
|
negpilt0 |
⊢ - π < 0 |
75 |
74
|
a1i |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π < 0 ) |
76 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
77 |
42
|
rexri |
⊢ π ∈ ℝ* |
78 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑑 ) |
79 |
76 77 78
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑑 ) |
80 |
72 73 40 75 79
|
lttrd |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π < 𝑑 ) |
81 |
72 40 80
|
ltled |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π ≤ 𝑑 ) |
82 |
81
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → - π ≤ 𝑑 ) |
83 |
43
|
leidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ≤ π ) |
84 |
|
iccss |
⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
85 |
71 43 82 83 84
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
86 |
69 85
|
fssresd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) |
87 |
25
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ) |
88 |
87
|
feq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) ) |
89 |
86 88
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) |
90 |
42
|
elexi |
⊢ π ∈ V |
91 |
90
|
prid2 |
⊢ π ∈ { 𝑑 , π } |
92 |
|
elun1 |
⊢ ( π ∈ { 𝑑 , π } → π ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ) |
93 |
91 92
|
ax-mp |
⊢ π ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) |
94 |
93 26
|
eleqtrri |
⊢ π ∈ 𝑇 |
95 |
94
|
ne0ii |
⊢ 𝑇 ≠ ∅ |
96 |
95
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ ∅ ) |
97 |
|
prfi |
⊢ { 𝑑 , π } ∈ Fin |
98 |
97
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → { 𝑑 , π } ∈ Fin ) |
99 |
|
fzfi |
⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin |
100 |
29
|
rnmptfi |
⊢ ( ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin ) |
101 |
99 100
|
ax-mp |
⊢ ran 𝑄 ∈ Fin |
102 |
|
infi |
⊢ ( ran 𝑄 ∈ Fin → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin ) |
103 |
101 102
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin ) |
104 |
|
unfi |
⊢ ( ( { 𝑑 , π } ∈ Fin ∧ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ∈ Fin ) |
105 |
98 103 104
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ∈ Fin ) |
106 |
26 105
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin ) |
107 |
|
hashnncl |
⊢ ( 𝑇 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) ) |
108 |
106 107
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) ) |
109 |
96 108
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ) |
110 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
111 |
109 110
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
112 |
27 111
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
113 |
112
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
114 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
115 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
116 |
113
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
117 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
118 |
117
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 1 ) |
119 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
120 |
119
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
121 |
109
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
122 |
121
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
123 |
|
iooltub |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 < π ) |
124 |
76 77 123
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 < π ) |
125 |
40 124
|
ltned |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ≠ π ) |
126 |
125
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≠ π ) |
127 |
|
hashprg |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 𝑑 ≠ π ↔ ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) ) |
128 |
41 42 127
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 ≠ π ↔ ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) ) |
129 |
126 128
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) |
130 |
129
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 = ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ) |
131 |
106
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ∈ Fin ) |
132 |
|
ssun1 |
⊢ { 𝑑 , π } ⊆ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) |
133 |
132 26
|
sseqtrri |
⊢ { 𝑑 , π } ⊆ 𝑇 |
134 |
|
hashssle |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ { 𝑑 , π } ⊆ 𝑇 ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) |
135 |
131 133 134
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) |
136 |
130 135
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) ) |
137 |
120 122 115 136
|
lesub1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 2 − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ) |
138 |
|
1e2m1 |
⊢ 1 = ( 2 − 1 ) |
139 |
137 138 27
|
3brtr4g |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ≤ 𝑁 ) |
140 |
114 115 116 118 139
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑁 ) |
141 |
140
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
142 |
|
elnnne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) ) |
143 |
113 141 142
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
144 |
41
|
leidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑑 ) |
145 |
42
|
a1i |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ ) |
146 |
40 145 124
|
ltled |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ≤ π ) |
147 |
146
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≤ π ) |
148 |
41 43 41 144 147
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
149 |
41 43 43 147 83
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
150 |
148 149
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ∧ π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ) |
151 |
|
vex |
⊢ 𝑑 ∈ V |
152 |
151 90
|
prss |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ∧ π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ↔ { 𝑑 , π } ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
153 |
150 152
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → { 𝑑 , π } ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
154 |
|
inss2 |
⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 (,) π ) |
155 |
154
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 (,) π ) ) |
156 |
|
ioossicc |
⊢ ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) |
157 |
155 156
|
sstrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
158 |
153 157
|
unssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
159 |
26 158
|
eqsstrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
160 |
151
|
prid1 |
⊢ 𝑑 ∈ { 𝑑 , π } |
161 |
|
elun1 |
⊢ ( 𝑑 ∈ { 𝑑 , π } → 𝑑 ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ) |
162 |
160 161
|
ax-mp |
⊢ 𝑑 ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) |
163 |
162 26
|
eleqtrri |
⊢ 𝑑 ∈ 𝑇 |
164 |
163
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ 𝑇 ) |
165 |
94
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ 𝑇 ) |
166 |
131 27 28 41 43 159 164 165
|
fourierdlem52 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = π ) ) |
167 |
166
|
simplld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) ) |
168 |
166
|
simplrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐽 ‘ 0 ) = 𝑑 ) |
169 |
166
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = π ) |
170 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
171 |
170
|
zred |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
172 |
171
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
173 |
172
|
ltp1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ) |
174 |
40 145
|
jca |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ) |
175 |
151 90
|
prss |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ↔ { 𝑑 , π } ⊆ ℝ ) |
176 |
174 175
|
sylib |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → { 𝑑 , π } ⊆ ℝ ) |
177 |
176
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → { 𝑑 , π } ⊆ ℝ ) |
178 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ℝ |
179 |
154 178
|
sstri |
⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ℝ |
180 |
179
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ℝ ) |
181 |
177 180
|
unssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ⊆ ℝ ) |
182 |
26 181
|
eqsstrid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ⊆ ℝ ) |
183 |
131 182 28 27
|
fourierdlem36 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ) |
184 |
183
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ) |
185 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
186 |
185
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
187 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
188 |
187
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
189 |
|
isorel |
⊢ ( ( 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
190 |
184 186 188 189
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
191 |
173 190
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
192 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
193 |
192 85
|
feqresmpt |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) ) |
194 |
85
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
195 |
1 2 54 64 13
|
fourierdlem9 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
196 |
195
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
197 |
196 194
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
198 |
14
|
fourierdlem43 |
⊢ 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ |
199 |
198
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
200 |
199 194
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
201 |
197 200
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
202 |
15
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
203 |
194 201 202
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ) |
204 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
205 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
206 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → π ∈ ℝ ) |
207 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
208 |
|
eliccre |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
209 |
205 206 207 208
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
210 |
79
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑑 ) |
211 |
205
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* ) |
212 |
77
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → π ∈ ℝ* ) |
213 |
|
iccgelb |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 ) |
214 |
211 212 207 213
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 ) |
215 |
204 205 209 210 214
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑠 ) |
216 |
215
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
217 |
216
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
218 |
217
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
219 |
218
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) |
220 |
215
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑠 ) |
221 |
220
|
iftrued |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 ) |
222 |
221
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ) |
223 |
222
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
224 |
219 223
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
225 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
226 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
227 |
|
iccssre |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ ) |
228 |
70 42 227
|
mp2an |
⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ |
229 |
228 194
|
sseldi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
230 |
226 229
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
231 |
225 230
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
232 |
54
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
233 |
231 232
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ∈ ℝ ) |
234 |
233 229 217
|
redivcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
235 |
224 234
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
236 |
13
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
237 |
194 235 236
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ) |
238 |
237 219 223
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
239 |
206
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π ∈ ℝ ) |
240 |
74
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π < 0 ) |
241 |
239 204 209 240 215
|
lttrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π < 𝑠 ) |
242 |
239 209 241
|
ltled |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π ≤ 𝑠 ) |
243 |
|
iccleub |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≤ π ) |
244 |
211 212 207 243
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≤ π ) |
245 |
239 206 209 242 244
|
eliccd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
246 |
216
|
neneqd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
247 |
246
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
248 |
119
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
249 |
209
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ ) |
250 |
249
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
251 |
248 250
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
252 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
253 |
209
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
254 |
253
|
halfcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
255 |
254
|
sincld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
256 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
257 |
256
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ≠ 0 ) |
258 |
|
fourierdlem44 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
259 |
245 216 258
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 ) |
260 |
252 255 257 259
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
261 |
209 251 260
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
262 |
247 261
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
263 |
14
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
264 |
245 262 263
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
265 |
264
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
266 |
238 265
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
267 |
218
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
268 |
267
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
269 |
203 266 268
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
270 |
269
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
271 |
87 193 270
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
272 |
271
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
273 |
272
|
reseq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
274 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
275 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
276 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
277 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
278 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
279 |
11
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) |
280 |
12
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
281 |
124
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 < π ) |
282 |
73 40
|
ltnled |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0 ) ) |
283 |
79 282
|
mpbid |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑑 ≤ 0 ) |
284 |
283
|
intn3an2d |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) |
285 |
|
elicc2 |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) ) |
286 |
40 42 285
|
sylancl |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) ) |
287 |
284 286
|
mtbird |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
288 |
287
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ¬ 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
289 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
290 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
291 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) |
292 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) |
293 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) |
294 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑙 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) ) |
295 |
294
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
296 |
293 295
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
297 |
296
|
sseq2d |
⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
298 |
297
|
cbvriotavw |
⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
299 |
274 275 3 276 277 278 279 280 41 43 281 85 288 289 290 29 26 27 28 291 292 298
|
fourierdlem86 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) ) |
300 |
299
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
301 |
273 300
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
302 |
299
|
simplld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
303 |
272
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝑂 ) |
304 |
303
|
reseq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
305 |
304
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
306 |
302 305
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
307 |
299
|
simplrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
308 |
304
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
309 |
307 308
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
310 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D 𝑂 ) |
311 |
89
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) |
312 |
41
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
313 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → π ∈ ℝ ) |
314 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
315 |
314
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
316 |
85 228
|
sstrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ ) |
317 |
316
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ ) |
318 |
167
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) ) |
319 |
318 186
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
320 |
317 319
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
321 |
320
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ ) |
322 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ ) |
323 |
322
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* ) |
324 |
77
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ* ) |
325 |
|
iccgelb |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
326 |
323 324 319 325
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
327 |
326
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
328 |
321
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ) |
329 |
318 188
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
330 |
317 329
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
331 |
330
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
332 |
331
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
333 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
334 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 ) |
335 |
328 332 333 334
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 ) |
336 |
312 321 315 327 335
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 < 𝑠 ) |
337 |
312 315 336
|
ltled |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 ) |
338 |
330
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
339 |
|
iooltub |
⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
340 |
328 332 333 339
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
341 |
|
iccleub |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π ) |
342 |
323 324 329 341
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π ) |
343 |
342
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π ) |
344 |
315 338 313 340 343
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < π ) |
345 |
315 313 344
|
ltled |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ π ) |
346 |
312 313 315 337 345
|
eliccd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
347 |
346
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
348 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
349 |
347 348
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
350 |
311 349
|
feqresmpt |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) |
351 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 ) |
352 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
353 |
25
|
fveq1i |
⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) |
354 |
353
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
355 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) |
356 |
355
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) |
357 |
265 267
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
358 |
238 357
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
359 |
233
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
360 |
253
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
361 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
362 |
360
|
halfcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ ) |
363 |
362
|
sincld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
364 |
361 363
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
365 |
260
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
366 |
359 360 364 217 365
|
dmdcan2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
367 |
203 358 366
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
368 |
354 356 367
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
369 |
351 352 346 368
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
370 |
351 352 346 366
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
371 |
370
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
372 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ) |
373 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑡 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) ) |
374 |
373
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
375 |
374
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ) |
376 |
|
id |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠 ) |
377 |
375 376
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
378 |
377
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
379 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
380 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ V |
381 |
380
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ V ) |
382 |
372 378 379 381
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
383 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ) |
384 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) ) |
385 |
384
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) |
386 |
385
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) |
387 |
376 386
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
388 |
387
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
389 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V |
390 |
389
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V ) |
391 |
383 388 379 390
|
fvmptd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
392 |
382 391
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
393 |
392
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
394 |
393
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
395 |
369 371 394
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
396 |
395
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
397 |
350 396
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
398 |
397
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
399 |
66
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ ) |
400 |
349 317
|
sstrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) |
401 |
49
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
402 |
49 401
|
dvres |
⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
403 |
399 311 317 400 402
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
404 |
|
ioontr |
⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
405 |
404
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
406 |
405
|
reseq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
407 |
398 403 406
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ) |
408 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
409 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
410 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
411 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
412 |
9
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) ) |
413 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
414 |
349 413
|
sstrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
415 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
416 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
417 |
79
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 < 𝑑 ) |
418 |
416 322 320 417 326
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 < ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
419 |
320 331 415 418
|
ltnelicc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
420 |
54
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
421 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ ) |
422 |
281
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 < π ) |
423 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
424 |
|
biid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ) |
425 |
409 3 410 411 322 421 422 413 29 26 27 28 423 298 424
|
fourierdlem50 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) ) |
426 |
425
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
427 |
425
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
428 |
377
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ) |
429 |
387
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
430 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
431 |
408 409 3 410 411 412 320 330 191 414 419 420 29 426 427 428 429 430
|
fourierdlem72 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
432 |
407 431
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
433 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
434 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
435 |
30 426
|
eqeltrid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) |
436 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 ) |
437 |
436 435
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
438 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) |
439 |
438
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) ) |
440 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ) |
441 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) ) |
442 |
441
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
443 |
440 442
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
444 |
|
raleq |
⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
445 |
443 444
|
syl |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
446 |
445
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
447 |
439 446
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) ) |
448 |
447 8
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
449 |
435 437 448
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
450 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) |
451 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 |
452 |
450 451
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
453 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
454 |
70
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ ) |
455 |
454 2
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
456 |
42
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ ) |
457 |
456 2
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
458 |
455 457
|
iccssred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ ) |
459 |
|
ressxr |
⊢ ℝ ⊆ ℝ* |
460 |
458 459
|
sstrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* ) |
461 |
460
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* ) |
462 |
3 410 411
|
fourierdlem15 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ) |
463 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
464 |
435 463
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
465 |
462 464
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ) |
466 |
461 465
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
467 |
466
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
468 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
469 |
435 468
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
470 |
462 469
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ) |
471 |
461 470
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
472 |
471
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* ) |
473 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
474 |
473
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ ) |
475 |
70
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ ) |
476 |
475 421 409 3 410 411 464 29
|
fourierdlem13 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) ) |
477 |
476
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) |
478 |
477
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) |
479 |
458
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ ) |
480 |
479 465
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
481 |
480
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
482 |
478 481
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ ) |
483 |
409 320
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
484 |
483
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ ) |
485 |
476
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ) |
486 |
480 409
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
487 |
485 486
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
488 |
475 421 409 3 410 411 469 29
|
fourierdlem13 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ) |
489 |
488
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
490 |
479 470
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
491 |
490 409
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
492 |
489 491
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
493 |
30
|
eqcomi |
⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = 𝐶 |
494 |
493
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) |
495 |
493
|
oveq1i |
⊢ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) |
496 |
495
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) |
497 |
494 496
|
oveq12i |
⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
498 |
427 497
|
sseqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
499 |
487 492 320 330 191 498
|
fourierdlem10 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
500 |
499
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
501 |
487 320 409 500
|
leadd2dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
502 |
501
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
503 |
484
|
rexrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ) |
504 |
409 330
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
505 |
504
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
506 |
505
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
507 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
508 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 ) |
509 |
503 506 507 508
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 ) |
510 |
482 484 474 502 509
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) < 𝑡 ) |
511 |
478 510
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) < 𝑡 ) |
512 |
504
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
513 |
488
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
514 |
513 490
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
515 |
514
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ ) |
516 |
|
iooltub |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
517 |
503 506 507 516
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
518 |
499
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
519 |
330 492 409 518
|
leadd2dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
520 |
519
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
521 |
474 512 515 517 520
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
522 |
513
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
523 |
522
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
524 |
521 523
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) |
525 |
467 472 474 511 524
|
eliood |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
526 |
525
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
527 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
528 |
453 526 527
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
529 |
528
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
530 |
452 529
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
531 |
530
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
532 |
531
|
reximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
533 |
449 532
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
534 |
443
|
raleqdv |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
535 |
534
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
536 |
439 535
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) ) |
537 |
536 10
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
538 |
435 437 537
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
539 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 |
540 |
450 539
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
541 |
1 67
|
fssd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) |
542 |
|
ssid |
⊢ ℝ ⊆ ℝ |
543 |
542
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℝ ) |
544 |
|
ioossre |
⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ |
545 |
544
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) |
546 |
49 401
|
dvres |
⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
547 |
67 541 543 545 546
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
548 |
|
ioontr |
⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
549 |
548
|
reseq2i |
⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
550 |
547 549
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
551 |
550
|
fveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) |
552 |
|
fvres |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) |
553 |
551 552
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) |
554 |
553
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) |
555 |
554
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
556 |
555
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
557 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
558 |
525
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
559 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
560 |
557 558 559
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
561 |
556 560
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
562 |
561
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
563 |
540 562
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
564 |
563
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
565 |
564
|
reximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
566 |
538 565
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
567 |
323 324 318 423
|
fourierdlem8 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
568 |
143
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
569 |
167 316
|
fssd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ ) |
570 |
569
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ ) |
571 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
572 |
168
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 = ( 𝐽 ‘ 0 ) ) |
573 |
169
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π = ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) |
574 |
572 573
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
575 |
574
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
576 |
571 575
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
577 |
576
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) ) |
578 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) |
579 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
580 |
579
|
breq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 ) ) |
581 |
580
|
cbvrabv |
⊢ { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } = { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } |
582 |
581
|
supeq1i |
⊢ sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) |
583 |
568 570 577 578 582
|
fourierdlem25 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑚 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) ) |
584 |
541
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) |
585 |
542
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℝ ) |
586 |
544
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) |
587 |
399 584 585 586 546
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
588 |
525
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
589 |
|
dfss3 |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
590 |
588 589
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) |
591 |
|
resabs2 |
⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
592 |
590 591
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
593 |
549 587 592
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ) |
594 |
590
|
resabs1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
595 |
594
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
596 |
593 592 595
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
597 |
443
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ) |
598 |
597 443
|
feq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) |
599 |
439 598
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) ) |
600 |
|
cncff |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
601 |
9 600
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
602 |
599 601
|
vtoclg |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) |
603 |
602
|
anabsi7 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
604 |
437 603
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
605 |
604 590
|
fssresd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ ) |
606 |
596 605
|
feq1dd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ ) |
607 |
375 386
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
608 |
607
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
609 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) |
610 |
609
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ) |
611 |
610
|
breq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
612 |
611
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) |
613 |
612
|
anbi2i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) |
614 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) |
615 |
614
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
616 |
615
|
breq1d |
⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
617 |
616
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) |
618 |
613 617
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) |
619 |
274 275 41 43 85 288 289 433 434 533 566 167 191 567 583 606 608 618
|
fourierdlem80 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) |
620 |
366
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
621 |
271 620
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
622 |
621
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
623 |
622
|
dmeqd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ) |
624 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 ) |
625 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ |
626 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑠 D |
627 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) |
628 |
625 626 627
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
629 |
628
|
nfdm |
⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) |
630 |
624 629
|
raleqf |
⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
631 |
623 630
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
632 |
622
|
fveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) |
633 |
632
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
634 |
633
|
breq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
635 |
634
|
ralbidv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
636 |
631 635
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
637 |
636
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) ) |
638 |
619 637
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) |
639 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
640 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) |
641 |
|
fveq2 |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ℎ ) = ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) ) |
642 |
|
oveq1 |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ℎ + 1 ) = ( 𝑙 + 1 ) ) |
643 |
642
|
fveq2d |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) |
644 |
641 643
|
oveq12d |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) |
645 |
644
|
sseq2d |
⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) |
646 |
645
|
cbvriotavw |
⊢ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) |
647 |
646
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) |
648 |
647
|
eqeq2i |
⊢ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) |
649 |
648
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
650 |
|
csbeq1 |
⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 ) |
651 |
646 650
|
mp1i |
⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 ) |
652 |
649 651
|
ifbieq1d |
⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
653 |
652
|
mptru |
⊢ if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
654 |
653
|
oveq1i |
⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) |
655 |
654
|
oveq1i |
⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) |
656 |
655
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) |
657 |
656
|
a1i |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
658 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) |
659 |
646
|
oveq1i |
⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) |
660 |
659
|
fveq2i |
⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) |
661 |
660
|
eqeq2i |
⊢ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) |
662 |
661
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
663 |
|
csbeq1 |
⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 ) |
664 |
646 663
|
mp1i |
⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 ) |
665 |
662 664
|
ifbieq1d |
⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) |
666 |
665
|
mptru |
⊢ if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) |
667 |
666
|
oveq1i |
⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) |
668 |
667
|
oveq1i |
⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) |
669 |
668
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) |
670 |
669
|
a1i |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
671 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) |
672 |
658 670 671
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) |
673 |
640 657 672
|
ifbieq12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
674 |
673
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) ) |
675 |
41 43 89 143 167 168 169 191 301 306 309 310 432 638 639 674
|
fourierdlem73 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
676 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) ) |
677 |
676
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) ) |
678 |
677
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) |
679 |
675 678
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) |
680 |
679
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) |
681 |
|
rphalfcl |
⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
682 |
681
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
683 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
684 |
683
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
685 |
684
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ∧ ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
686 |
680 682 685
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
687 |
156
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ) |
688 |
687
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) |
689 |
688 355
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) |
690 |
353 689
|
syl5req |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) |
691 |
690
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) ) |
692 |
691
|
itgeq2dv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
693 |
692
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
694 |
693
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
695 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
696 |
694 695
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
697 |
696
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
698 |
697
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
699 |
698
|
ralimdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
700 |
699
|
reximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
701 |
686 700
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
702 |
701
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
703 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
704 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) |
705 |
703 704
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
706 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗 ∈ ℕ |
707 |
705 706
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) |
708 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) |
709 |
707 708
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
710 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ) |
711 |
|
eluznn |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
712 |
711
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
713 |
710 712
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) |
714 |
713
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) |
715 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
716 |
711
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
717 |
|
rspa |
⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
718 |
715 716 717
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
719 |
714 718
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
720 |
719
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
721 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ ) |
722 |
721
|
rexrd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ* ) |
723 |
722
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ* ) |
724 |
50
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → +∞ ∈ ℝ* ) |
725 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
726 |
|
halfre |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ |
727 |
726
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
728 |
725 727
|
readdcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
729 |
728
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
730 |
721
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ ) |
731 |
725
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
732 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑘 ) |
733 |
732
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝑘 ) |
734 |
|
halfgt0 |
⊢ 0 < ( 1 / 2 ) |
735 |
734
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 0 < ( 1 / 2 ) ) |
736 |
726
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
737 |
736 731
|
ltaddposd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 0 < ( 1 / 2 ) ↔ 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) ) |
738 |
735 737
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
739 |
730 731 729 733 738
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
740 |
729
|
ltpnfd |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) < +∞ ) |
741 |
723 724 729 739 740
|
eliood |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ) |
742 |
741
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ) |
743 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
744 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( 𝑙 · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
745 |
744
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
746 |
745
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
747 |
746
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
748 |
747
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
749 |
748
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
750 |
749
|
breq1d |
⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
751 |
750
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
752 |
742 743 751
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
753 |
752
|
adantlll |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
754 |
720 753 31
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝜒 ) |
755 |
|
0red |
⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ ) |
756 |
42
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → π ∈ ℝ ) |
757 |
|
ioossicc |
⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π ) |
758 |
31
|
biimpi |
⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
759 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
760 |
758 759
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
761 |
757 760
|
sseldi |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( 0 [,] π ) ) |
762 |
|
simp-5l |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝜑 ) |
763 |
758 762
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝜑 ) |
764 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
765 |
70
|
rexri |
⊢ - π ∈ ℝ* |
766 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
767 |
70 766 74
|
ltleii |
⊢ - π ≤ 0 |
768 |
|
iooss1 |
⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) ) |
769 |
765 767 768
|
mp2an |
⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) |
770 |
|
ioossicc |
⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) |
771 |
769 770
|
sstri |
⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) |
772 |
771
|
sseli |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
773 |
772
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
774 |
764 773
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
775 |
763 774
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
776 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
777 |
758 776
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ ) |
778 |
777
|
nnred |
⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ ) |
779 |
726
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
780 |
778 779
|
readdcld |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
781 |
780
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
782 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
783 |
782
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
784 |
781 783
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
785 |
784
|
resincld |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
786 |
775 785
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
787 |
786
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ ) |
788 |
76
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ* ) |
789 |
77
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → π ∈ ℝ* ) |
790 |
755
|
leidd |
⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 0 ) |
791 |
|
ioossre |
⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ |
792 |
791 760
|
sseldi |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ ) |
793 |
788 789 760 123
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 < π ) |
794 |
792 756 793
|
ltled |
⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ≤ π ) |
795 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π ) ) → ( 0 (,) 𝑑 ) ⊆ ( 0 (,) π ) ) |
796 |
788 789 790 794 795
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜒 → ( 0 (,) 𝑑 ) ⊆ ( 0 (,) π ) ) |
797 |
|
ioombl |
⊢ ( 0 (,) 𝑑 ) ∈ dom vol |
798 |
797
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → ( 0 (,) 𝑑 ) ∈ dom vol ) |
799 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ ) ) |
800 |
799
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) ) |
801 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑛 = 𝑘 ) |
802 |
801
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
803 |
802
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
804 |
803
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
805 |
804
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
806 |
805
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
807 |
806
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) |
808 |
800 807
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) ) |
809 |
771
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
810 |
|
ioombl |
⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol |
811 |
810
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol ) |
812 |
65
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
813 |
812
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
814 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ ) |
815 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
816 |
814 726 815
|
sylancl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
817 |
816
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
818 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
819 |
228 818
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
820 |
817 819
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
821 |
820
|
resincld |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
822 |
821
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
823 |
813 822
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
824 |
16
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
825 |
818 821 824
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
826 |
825
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
827 |
826
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
828 |
827
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ) |
829 |
17 828
|
syl5req |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = 𝐺 ) |
830 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
831 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉 ) |
832 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
833 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
834 |
814
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
835 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
836 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ) |
837 |
7
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
838 |
11
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) ) |
839 |
12
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
840 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) |
841 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 ) |
842 |
601
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
843 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
844 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ) |
845 |
3 830 831 832 833 13 14 15 834 16 17 835 836 837 838 839 29 840 841 842 843 844
|
fourierdlem88 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 ∈ 𝐿1 ) |
846 |
829 845
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
847 |
809 811 823 846
|
iblss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
848 |
808 847
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
849 |
763 777 848
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
850 |
796 798 786 849
|
iblss |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
851 |
788 789 760 78
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜒 → 0 < 𝑑 ) |
852 |
755 792 851
|
ltled |
⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 𝑑 ) |
853 |
756
|
leidd |
⊢ ( 𝜒 → π ≤ π ) |
854 |
|
ioossioo |
⊢ ( ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π ) ) → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) ) |
855 |
788 789 852 853 854
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) ) |
856 |
|
ioombl |
⊢ ( 𝑑 (,) π ) ∈ dom vol |
857 |
856
|
a1i |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) π ) ∈ dom vol ) |
858 |
855 857 786 849
|
iblss |
⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
859 |
755 756 761 787 850 858
|
itgsplitioo |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
860 |
859
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ) |
861 |
796
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
862 |
861 786
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
863 |
862 850
|
itgcl |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
864 |
855
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
865 |
864 786
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
866 |
865 858
|
itgcl |
⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
867 |
863 866
|
addcld |
⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℂ ) |
868 |
867
|
abscld |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
869 |
863
|
abscld |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
870 |
866
|
abscld |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
871 |
869 870
|
readdcld |
⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
872 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ ) |
873 |
758 872
|
syl |
⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+ ) |
874 |
873
|
rpred |
⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ ) |
875 |
863 866
|
abstrid |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ) |
876 |
758
|
simplrd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
877 |
758
|
simprd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
878 |
869 870 874 876 877
|
lt2halvesd |
⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 ) |
879 |
868 871 874 875 878
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 ) |
880 |
860 879
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
881 |
754 880
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
882 |
881
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
883 |
709 882
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
884 |
883
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
885 |
884
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
886 |
702 885
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
887 |
|
pipos |
⊢ 0 < π |
888 |
70 766 42
|
lttri |
⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π ) |
889 |
74 887 888
|
mp2an |
⊢ - π < π |
890 |
70 42 889
|
ltleii |
⊢ - π ≤ π |
891 |
890
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - π ≤ π ) |
892 |
3
|
fourierdlem2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
893 |
4 892
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
894 |
5 893
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
895 |
894
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
896 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
897 |
895 896
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
898 |
897
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
899 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
900 |
898 899
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
901 |
900 29
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
902 |
29
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
903 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 0 ) ) |
904 |
903
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ) |
905 |
904
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ) |
906 |
4
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
907 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
908 |
906 907
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
909 |
|
eluzfz1 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
910 |
908 909
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
911 |
897 910
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) ∈ ℝ ) |
912 |
911 2
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
913 |
902 905 910 912
|
fvmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ) |
914 |
894
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
915 |
914
|
simplld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ) |
916 |
915
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) = ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) ) |
917 |
454
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ ) |
918 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
919 |
917 918
|
pncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) = - π ) |
920 |
913 916 919
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ) |
921 |
454 456 2 3 840 4 5 29
|
fourierdlem14 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ) |
922 |
840
|
fourierdlem2 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
923 |
4 922
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) ) |
924 |
921 923
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
925 |
924
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
926 |
925
|
simplrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) |
927 |
925
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
928 |
927
|
r19.21bi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
929 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
930 |
840 4 921
|
fourierdlem15 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) ) |
931 |
930
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) ) |
932 |
|
elfzofz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
933 |
932
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
934 |
931 933
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( - π [,] π ) ) |
935 |
|
fzofzp1 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
936 |
935
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
937 |
931 936
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] π ) ) |
938 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
939 |
|
ffn |
⊢ ( 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) ) |
940 |
895 896 939
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) ) |
941 |
|
fvelrnb |
⊢ ( 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) ) |
942 |
940 941
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) ) |
943 |
6 942
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) |
944 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) ) |
945 |
944
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) ) |
946 |
918
|
subidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 ) |
947 |
946
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 ) |
948 |
945 947
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
949 |
948
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
950 |
949
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
951 |
943 950
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
952 |
29
|
elrnmpt |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) ) |
953 |
766 952
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
954 |
951 953
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄 ) |
955 |
840 4 921 954
|
fourierdlem12 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
956 |
897
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ ) |
957 |
956 933
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
958 |
957 938
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
959 |
29
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
960 |
933 958 959
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
961 |
960
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
962 |
957
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
963 |
918
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ ) |
964 |
962 963
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) |
965 |
961 964
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) |
966 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) |
967 |
966
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
968 |
967
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) |
969 |
29 968
|
eqtr4i |
⊢ 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) |
970 |
969
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) ) |
971 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
972 |
971
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
973 |
972
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
974 |
956 936
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
975 |
974 938
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) |
976 |
970 973 936 975
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ) |
977 |
976
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
978 |
974
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
979 |
978 963
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
980 |
977 979
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
981 |
965 980
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
982 |
981
|
reseq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
983 |
981
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
984 |
7 982 983
|
3eltr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) ) |
985 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
986 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
987 |
929 934 937 938 955 984 985 986 13
|
fourierdlem40 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) |
988 |
|
id |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) |
989 |
66
|
a1i |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ ) |
990 |
988 989
|
fssd |
⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) |
991 |
9 600 990
|
3syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ ) |
992 |
|
eqid |
⊢ if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) |
993 |
2 3 1 6 20 64 13 4 5 11 29 840 841 991 23 992
|
fourierdlem75 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) |
994 |
|
eqid |
⊢ if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
995 |
2 3 1 6 54 21 13 4 5 12 29 840 841 601 22 994
|
fourierdlem74 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
996 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) |
997 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) ) |
998 |
997
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
999 |
996 998
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1000 |
999
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
1001 |
454 456 891 195 4 901 920 926 928 987 993 995 1000
|
fourierdlem70 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑥 ) |
1002 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) = ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) |
1003 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) |
1004 |
1003
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1005 |
1004
|
breq1d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
1006 |
1005
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) |
1007 |
1006
|
ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) |
1008 |
1007
|
3anbi3i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ) |
1009 |
1008
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ) |
1010 |
1009
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ) |
1011 |
1010
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ) |
1012 |
1 2 54 64 13 14 15 16 17 1001 845 1002 1011
|
fourierdlem87 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1013 |
|
iftrue |
⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 ) |
1014 |
1013
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 ) |
1015 |
76
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ* ) |
1016 |
77
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ* ) |
1017 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ ) |
1018 |
1017
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ ) |
1019 |
|
rpgt0 |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐 ) |
1020 |
1019
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < 𝑐 ) |
1021 |
42
|
rehalfcli |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ |
1022 |
1021
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
1023 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ ) |
1024 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) |
1025 |
|
halfpos |
⊢ ( π ∈ ℝ → ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) ) |
1026 |
42 1025
|
ax-mp |
⊢ ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) |
1027 |
887 1026
|
mpbi |
⊢ ( π / 2 ) < π |
1028 |
1027
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < π ) |
1029 |
1018 1022 1023 1024 1028
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 < π ) |
1030 |
1015 1016 1018 1020 1029
|
eliood |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1031 |
1014 1030
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1032 |
|
iffalse |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) ) |
1033 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
1034 |
42 119 887 1033
|
divgt0ii |
⊢ 0 < ( π / 2 ) |
1035 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( π / 2 ) ∧ ( π / 2 ) < π ) ) ) |
1036 |
76 77 1035
|
mp2an |
⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( π / 2 ) ∧ ( π / 2 ) < π ) ) |
1037 |
1021 1034 1027 1036
|
mpbir3an |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) |
1038 |
1037
|
a1i |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1039 |
1032 1038
|
eqeltrd |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1040 |
1039
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1041 |
1031 1040
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1042 |
1041
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1043 |
|
ioombl |
⊢ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol |
1044 |
1043
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ) |
1045 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1046 |
1044 1045
|
jca |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) ) |
1047 |
|
ioossicc |
⊢ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1048 |
70
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ ) |
1049 |
42
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ ) |
1050 |
767
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ≤ 0 ) |
1051 |
791 1041
|
sseldi |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1052 |
1021
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
1053 |
|
min2 |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ ( π / 2 ) ) |
1054 |
1017 1021 1053
|
sylancl |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ ( π / 2 ) ) |
1055 |
1027
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) < π ) |
1056 |
1051 1052 1049 1054 1055
|
lelttrd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) < π ) |
1057 |
1051 1049 1056
|
ltled |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ π ) |
1058 |
|
iccss |
⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 0 ∧ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ π ) ) → ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
1059 |
1048 1049 1050 1057 1058
|
syl22anc |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
1060 |
1047 1059
|
sstrid |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) |
1061 |
|
0red |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ ) |
1062 |
1020 1014
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1063 |
1034 1032
|
breqtrrid |
⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1064 |
1063
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1065 |
1062 1064
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1066 |
1061 1051 1065
|
ltled |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1067 |
|
volioo |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) ) |
1068 |
1061 1051 1066 1067
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) ) |
1069 |
1051
|
recnd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
1070 |
1069
|
subid1d |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1071 |
1068 1070
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) |
1072 |
|
min1 |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 ) |
1073 |
1017 1021 1072
|
sylancl |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 ) |
1074 |
1071 1073
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) |
1075 |
1060 1074
|
jca |
⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) ) |
1076 |
1075
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) ) |
1077 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ↔ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) ) |
1078 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( vol ‘ 𝑢 ) = ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ) |
1079 |
1078
|
breq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ↔ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) ) |
1080 |
1077 1079
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) ↔ ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) ) ) |
1081 |
|
itgeq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1082 |
1081
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
1083 |
1082
|
breq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1084 |
1083
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1085 |
1080 1084
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ↔ ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) ) |
1086 |
1085
|
rspcva |
⊢ ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1087 |
1046 1076 1086
|
sylc |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1088 |
1087
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1089 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( 0 (,) 𝑑 ) = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) |
1090 |
1089
|
itgeq1d |
⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1091 |
1090
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) |
1092 |
1091
|
breq1d |
⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1093 |
1092
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1094 |
1093
|
rspcev |
⊢ ( ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1095 |
1042 1088 1094
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1096 |
1095
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) |
1097 |
1012 1096
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) |
1098 |
886 1097
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
1099 |
1098
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) |
1100 |
|
nnex |
⊢ ℕ ∈ V |
1101 |
1100
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V |
1102 |
1101
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V ) |
1103 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ) |
1104 |
772
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
1105 |
774
|
ad4ant14 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1106 |
772
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
1107 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 = 𝑘 ) |
1108 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
1109 |
1107 1108
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1110 |
1109
|
nnred |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
1111 |
726
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
1112 |
1110 1111
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1113 |
1112
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1114 |
228 1106
|
sseldi |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1115 |
1113 1114
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1116 |
1115
|
resincld |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1117 |
1106 1116 824
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1118 |
1117
|
adantlll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1119 |
1110
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
1120 |
1119
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
1121 |
|
1red |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
1122 |
1121
|
rehalfcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) |
1123 |
1120 1122
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
1124 |
228 1104
|
sseldi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1125 |
1123 1124
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1126 |
1125
|
resincld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1127 |
1118 1126
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1128 |
1105 1127
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1129 |
17
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1130 |
1104 1128 1129
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1131 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) |
1132 |
1131
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) |
1133 |
1132
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1134 |
1133
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1135 |
1118 1134
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) |
1136 |
1135
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
1137 |
1130 1136
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) |
1138 |
1137
|
itgeq2dv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1139 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
1140 |
805
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1141 |
1140
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) |
1142 |
800 1141
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) ) |
1143 |
774
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1144 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1145 |
1144 772 821
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1146 |
1143 1145
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ ) |
1147 |
1146 847
|
itgcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
1148 |
1142 1147
|
chvarvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
1149 |
1103 1138 1139 1148
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑘 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) |
1150 |
39 33 1102 1149 1148
|
clim0c |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) ) |
1151 |
1099 1150
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ) |
1152 |
1100
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) ∈ V |
1153 |
19 1152
|
eqeltri |
⊢ 𝐸 ∈ V |
1154 |
1153
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V ) |
1155 |
1100
|
mptex |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V |
1156 |
1155
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V ) |
1157 |
42
|
recni |
⊢ π ∈ ℂ |
1158 |
1157
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ ) |
1159 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ) |
1160 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → π = π ) |
1161 |
|
id |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ ) |
1162 |
42
|
a1i |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ ) |
1163 |
1159 1160 1161 1162
|
fvmptd |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π ) |
1164 |
1163
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π ) |
1165 |
39 33 1156 1158 1164
|
climconst |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ⇝ π ) |
1166 |
766 887
|
gtneii |
⊢ π ≠ 0 |
1167 |
1166
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 ) |
1168 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
1169 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ℝ ) |
1170 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ℝ ) |
1171 |
830 1168 1169 1170 13 14 15 834 16 17
|
fourierdlem67 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
1172 |
1171
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ ) |
1173 |
809
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) |
1174 |
1172 1173
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1175 |
1171
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1176 |
1171
|
feqmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ) |
1177 |
1176 845
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1178 |
809 811 1175 1177
|
iblss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1179 |
1174 1178
|
itgcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) |
1180 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
1181 |
1180
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
1182 |
1144 1179 1181
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) |
1183 |
1182 1179
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
1184 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) |
1185 |
1184
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π ) |
1186 |
42 1185
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π ) |
1187 |
1157
|
a1i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ ) |
1188 |
1166
|
a1i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 ) |
1189 |
|
eldifsn |
⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) ) |
1190 |
1187 1188 1189
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
1191 |
1186 1190
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
1192 |
1191
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
1193 |
1157
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℂ ) |
1194 |
1166
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ≠ 0 ) |
1195 |
1179 1193 1194
|
divcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) |
1196 |
19
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
1197 |
1144 1195 1196
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) |
1198 |
1182
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ) |
1199 |
1186
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) |
1200 |
1199
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) |
1201 |
1198 1200
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) ) |
1202 |
1197 1201
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) ) |
1203 |
34 35 36 38 39 33 1151 1154 1165 1167 1183 1192 1202
|
climdivf |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ ( 0 / π ) ) |
1204 |
1157 1166
|
div0i |
⊢ ( 0 / π ) = 0 |
1205 |
1204
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 / π ) = 0 ) |
1206 |
1203 1205
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ 0 ) |
1207 |
1100
|
mptex |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ∈ V |
1208 |
18 1207
|
eqeltri |
⊢ 𝑍 ∈ V |
1209 |
1208
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V ) |
1210 |
1100
|
mptex |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ∈ V |
1211 |
1210
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ∈ V ) |
1212 |
|
limccl |
⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ |
1213 |
1212 20
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ ) |
1214 |
1213
|
halfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 / 2 ) ∈ ℂ ) |
1215 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ) |
1216 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ( 𝑌 / 2 ) = ( 𝑌 / 2 ) ) |
1217 |
39
|
eqcomi |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ℕ |
1218 |
1217
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 𝑛 ∈ ℕ ) |
1219 |
1218
|
biimpi |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1220 |
1219
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ ) |
1221 |
1214
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑌 / 2 ) ∈ ℂ ) |
1222 |
1215 1216 1220 1221
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑌 / 2 ) ) |
1223 |
32 33 1211 1214 1222
|
climconst |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ⇝ ( 𝑌 / 2 ) ) |
1224 |
1195 19
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ ) |
1225 |
1224
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ ) |
1226 |
1225 1220
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
1227 |
1222 1221
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
1228 |
1222
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) ) |
1229 |
810
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol ) |
1230 |
|
0red |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ ) |
1231 |
1230
|
rexrd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ* ) |
1232 |
77
|
a1i |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ* ) |
1233 |
|
id |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) |
1234 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑠 ) |
1235 |
1231 1232 1233 1234
|
syl3anc |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑠 ) |
1236 |
1235
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
1237 |
1236
|
neneqd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
1238 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 ) |
1239 |
1237 1238
|
sylnibr |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } ) |
1240 |
772 1239
|
eldifd |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) ) |
1241 |
1240
|
ssriv |
⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) |
1242 |
1241
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 (,) π ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) ) |
1243 |
1235
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑠 ) |
1244 |
1243
|
iftrued |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 ) |
1245 |
|
eqid |
⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) |
1246 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ ) |
1247 |
42
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ ) |
1248 |
766 42 887
|
ltleii |
⊢ 0 ≤ π |
1249 |
1248
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ≤ π ) |
1250 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) |
1251 |
24 1144 1245 1246 1247 1249 1250
|
dirkeritg |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) ) |
1252 |
|
ubicc2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → π ∈ ( 0 [,] π ) ) |
1253 |
76 77 1248 1252
|
mp3an |
⊢ π ∈ ( 0 [,] π ) |
1254 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑠 = π → ( 𝑠 / 2 ) = ( π / 2 ) ) |
1255 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑠 = π → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · π ) ) |
1256 |
1255
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑠 = π → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) ) |
1257 |
1256
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 = π → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) ) |
1258 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
1259 |
1258
|
zcnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
1260 |
1157
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ∈ ℂ ) |
1261 |
1166
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ≠ 0 ) |
1262 |
1259 1260 1261
|
divcan4d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · π ) / π ) = 𝑘 ) |
1263 |
1262 1258
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) |
1264 |
1259 1260
|
mulcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · π ) ∈ ℂ ) |
1265 |
|
sineq0 |
⊢ ( ( 𝑘 · π ) ∈ ℂ → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) ) |
1266 |
1264 1265
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) ) |
1267 |
1263 1266
|
mpbird |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ) |
1268 |
1267
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) ) |
1269 |
|
0red |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 ∈ ℝ ) |
1270 |
|
1red |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ∈ ℝ ) |
1271 |
1258
|
zred |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℝ ) |
1272 |
117
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 1 ) |
1273 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ≤ 𝑘 ) |
1274 |
1269 1270 1271 1272 1273
|
ltletrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 𝑘 ) |
1275 |
1274
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ≠ 0 ) |
1276 |
1259 1275
|
div0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 ) |
1277 |
1268 1276
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1278 |
1257 1277
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1279 |
1278
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝑠 = π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 ) |
1280 |
|
fzfi |
⊢ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin |
1281 |
1280
|
olci |
⊢ ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) |
1282 |
|
sumz |
⊢ ( ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 ) |
1283 |
1281 1282
|
ax-mp |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 |
1284 |
1279 1283
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1285 |
1254 1284
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 = π → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( π / 2 ) + 0 ) ) |
1286 |
1285
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 = π → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) ) |
1287 |
|
ovex |
⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) ∈ V |
1288 |
1286 1250 1287
|
fvmpt |
⊢ ( π ∈ ( 0 [,] π ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) ) |
1289 |
1253 1288
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) |
1290 |
|
lbicc2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → 0 ∈ ( 0 [,] π ) ) |
1291 |
76 77 1248 1290
|
mp3an |
⊢ 0 ∈ ( 0 [,] π ) |
1292 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = ( 0 / 2 ) ) |
1293 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
1294 |
1293 256
|
div0i |
⊢ ( 0 / 2 ) = 0 |
1295 |
1292 1294
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = 0 ) |
1296 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · 0 ) ) |
1297 |
1259
|
mul01d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 ) |
1298 |
1296 1297
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = 0 ) |
1299 |
1298
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ 0 ) ) |
1300 |
|
sin0 |
⊢ ( sin ‘ 0 ) = 0 |
1301 |
1299 1300
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 0 ) |
1302 |
1301
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) ) |
1303 |
1276
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 ) |
1304 |
1302 1303
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1305 |
1304
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 ) |
1306 |
1305 1283
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 ) |
1307 |
1295 1306
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( 0 + 0 ) ) |
1308 |
|
00id |
⊢ ( 0 + 0 ) = 0 |
1309 |
1307 1308
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = 0 ) |
1310 |
1309
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( 0 / π ) ) |
1311 |
1310 1204
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = 0 ) |
1312 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
1313 |
1311 1250 1312
|
fvmpt |
⊢ ( 0 ∈ ( 0 [,] π ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 ) |
1314 |
1291 1313
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 |
1315 |
1289 1314
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) |
1316 |
1315
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) ) |
1317 |
1021
|
recni |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ |
1318 |
1317
|
addid1i |
⊢ ( ( π / 2 ) + 0 ) = ( π / 2 ) |
1319 |
1318
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( ( π / 2 ) / π ) |
1320 |
1157 1293 1157 256 1166
|
divdiv32i |
⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( ( π / π ) / 2 ) |
1321 |
1157 1166
|
dividi |
⊢ ( π / π ) = 1 |
1322 |
1321
|
oveq1i |
⊢ ( ( π / π ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) |
1323 |
1319 1320 1322
|
3eqtri |
⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( 1 / 2 ) |
1324 |
1323
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( ( 1 / 2 ) − 0 ) |
1325 |
|
halfcn |
⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ |
1326 |
1325
|
subid1i |
⊢ ( ( 1 / 2 ) − 0 ) = ( 1 / 2 ) |
1327 |
1324 1326
|
eqtri |
⊢ ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( 1 / 2 ) |
1328 |
1327
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( 1 / 2 ) ) |
1329 |
1251 1316 1328
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( 1 / 2 ) ) |
1330 |
1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 841 601 22 23 20 21 1229 1242 19 24 54 1244 1329
|
fourierdlem95 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1331 |
1220 1330
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1332 |
18
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ) |
1333 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ) |
1334 |
1333
|
fveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) |
1335 |
1334
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
1336 |
1335
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
1337 |
1336
|
itgeq2dv |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1338 |
1337
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1339 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
1340 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
1341 |
782
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1342 |
1340 1341
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1343 |
1339 1342
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1344 |
1343
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1345 |
24
|
dirkerf |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ ) |
1346 |
1345
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ ) |
1347 |
782
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1348 |
1346 1347
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1349 |
1344 1348
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1350 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
1351 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
1352 |
228
|
sseli |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1353 |
1352
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1354 |
1351 1353
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1355 |
1350 1354
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1356 |
1355
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1357 |
1345
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ ) |
1358 |
1352
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
1359 |
1357 1358
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
1360 |
1356 1359
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
1361 |
70
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ ) |
1362 |
24
|
dirkercncf |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) ) |
1363 |
1362
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) ) |
1364 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) |
1365 |
1361 1247 830 1168 3 835 836 837 838 839 29 840 1363 1364
|
fourierdlem84 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1366 |
809 811 1360 1365
|
iblss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 ) |
1367 |
1349 1366
|
itgrecl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℝ ) |
1368 |
1332 1338 1144 1367
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) |
1369 |
1368
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) |
1370 |
1220 1369
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) ) |
1371 |
1228 1331 1370
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) ) |
1372 |
32 33 1206 1209 1223 1226 1227 1371
|
climadd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 0 + ( 𝑌 / 2 ) ) ) |
1373 |
1214
|
addid2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ( 𝑌 / 2 ) ) = ( 𝑌 / 2 ) ) |
1374 |
1372 1373
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑌 / 2 ) ) |