Theorem fourierdlem104

Description: The half upper part of the integral equal to the fourier partial sum, converges to half the right limit of the original function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	fourierdlem104.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
	fourierdlem104.xre	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
	fourierdlem104.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
	fourierdlem104.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
	fourierdlem104.v	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
	fourierdlem104.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
	fourierdlem104.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
	fourierdlem104.fbdioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
	fourierdlem104.fdvcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
	fourierdlem104.fdvbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
	fourierdlem104.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
	fourierdlem104.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem104.h	⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
	fourierdlem104.k	⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
	fourierdlem104.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
	fourierdlem104.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
	fourierdlem104.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
	fourierdlem104.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
	fourierdlem104.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
	fourierdlem104.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem104.w	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem104.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem104.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
	fourierdlem104.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
	fourierdlem104.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) )
	fourierdlem104.t	⊢ 𝑇 = ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
	fourierdlem104.n	⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
	fourierdlem104.j	⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
	fourierdlem104.q	⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
	fourierdlem104.1	⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
	fourierdlem104.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
Assertion	fourierdlem104	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑌 / 2 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem104.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2		fourierdlem104.xre	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
3		fourierdlem104.p	⊢ 𝑃 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
4		fourierdlem104.m	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
5		fourierdlem104.v	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
6		fourierdlem104.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
7		fourierdlem104.fcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
8		fourierdlem104.fbdioo	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
9		fourierdlem104.fdvcn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
10		fourierdlem104.fdvbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
11		fourierdlem104.r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
12		fourierdlem104.l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
13		fourierdlem104.h	⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
14		fourierdlem104.k	⊢ 𝐾 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
15		fourierdlem104.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
16		fourierdlem104.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
17		fourierdlem104.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
18		fourierdlem104.z	⊢ 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
19		fourierdlem104.e	⊢ 𝐸 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
20		fourierdlem104.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
21		fourierdlem104.w	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
22		fourierdlem104.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
23		fourierdlem104.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
24		fourierdlem104.d	⊢ 𝐷 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( 𝑠 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑠 mod ( 2 · π ) ) = 0 , ( ( ( 2 · 𝑛 ) + 1 ) / ( 2 · π ) ) , ( ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) / ( ( 2 · π ) · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
25		fourierdlem104.o	⊢ 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) )
26		fourierdlem104.t	⊢ 𝑇 = ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
27		fourierdlem104.n	⊢ 𝑁 = ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 )
28		fourierdlem104.j	⊢ 𝐽 = ( ℩ 𝑓 𝑓 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
29		fourierdlem104.q	⊢ 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
30		fourierdlem104.1	⊢ 𝐶 = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
31		fourierdlem104.ch	⊢ ( 𝜒 ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
32		eqid	⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ 1 )
33		1zzd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
34		nfv	⊢ Ⅎ 𝑛 𝜑
35		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
36		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
37		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑛 ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
38	19 37	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑛 𝐸
39		nnuz	⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
40		elioore	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ∈ ℝ )
41	40	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
42		pire	⊢ π ∈ ℝ
43	42	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ ℝ )
44		ioossre	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ
45	44	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℝ )
46	1 45	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) : ( 𝑋 (,) +∞ ) ⟶ ℝ )
47		ioosscn	⊢ ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ
48	47	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 (,) +∞ ) ⊆ ℂ )
49		eqid	⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld )
50		pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*
51	50	a1i	⊢ ( 𝜑 → +∞ ∈ ℝ* )
52	2	ltpnfd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < +∞ )
53	49 51 2 52	lptioo1cn	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) )
54	46 48 53 20	limcrecl	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ )
55		ioossre	⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ
56	55	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℝ )
57	1 56	fssresd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) : ( -∞ (,) 𝑋 ) ⟶ ℝ )
58		ioosscn	⊢ ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ
59	58	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝑋 ) ⊆ ℂ )
60		mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*
61	60	a1i	⊢ ( 𝜑 → -∞ ∈ ℝ* )
62	2	mnfltd	⊢ ( 𝜑 → -∞ < 𝑋 )
63	49 61 2 62	lptioo2cn	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( limPt ‘ ( TopOpen ‘ ℂfld ) ) ‘ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) )
64	57 59 63 21	limcrecl	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ )
65	1 2 54 64 13 14 15	fourierdlem55	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
66		ax-resscn	⊢ ℝ ⊆ ℂ
67	66	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ )
68	65 67	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
69	68	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℂ )
70	42	renegcli	⊢ - π ∈ ℝ
71	70	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → - π ∈ ℝ )
72	70	a1i	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π ∈ ℝ )
73		0red	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ )
74		negpilt0	⊢ - π < 0
75	74	a1i	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π < 0 )
76		0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*
77	42	rexri	⊢ π ∈ ℝ*
78		ioogtlb	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑑 )
79	76 77 78	mp3an12	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑑 )
80	72 73 40 75 79	lttrd	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π < 𝑑 )
81	72 40 80	ltled	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → - π ≤ 𝑑 )
82	81	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → - π ≤ 𝑑 )
83	43	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ≤ π )
84		iccss	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
85	71 43 82 83 84	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
86	69 85	fssresd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ )
87	25	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) )
88	87	feq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ↔ ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) )
89	86 88	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ )
90	42	elexi	⊢ π ∈ V
91	90	prid2	⊢ π ∈ { 𝑑 , π }
92		elun1	⊢ ( π ∈ { 𝑑 , π } → π ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) )
93	91 92	ax-mp	⊢ π ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
94	93 26	eleqtrri	⊢ π ∈ 𝑇
95	94	ne0ii	⊢ 𝑇 ≠ ∅
96	95	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ ∅ )
97		prfi	⊢ { 𝑑 , π } ∈ Fin
98	97	a1i	⊢ ( 𝜑 → { 𝑑 , π } ∈ Fin )
99		fzfi	⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin
100	29	rnmptfi	⊢ ( ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin → ran 𝑄 ∈ Fin )
101	99 100	ax-mp	⊢ ran 𝑄 ∈ Fin
102		infi	⊢ ( ran 𝑄 ∈ Fin → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin )
103	101 102	mp1i	⊢ ( 𝜑 → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin )
104		unfi	⊢ ( ( { 𝑑 , π } ∈ Fin ∧ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ∈ Fin ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ∈ Fin )
105	98 103 104	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ∈ Fin )
106	26 105	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ Fin )
107		hashnncl	⊢ ( 𝑇 ∈ Fin → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
108	106 107	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ ↔ 𝑇 ≠ ∅ ) )
109	96 108	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ )
110		nnm1nn0	⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
111	109 110	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) ∈ ℕ0 )
112	27 111	eqeltrid	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
113	112	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
114		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 ∈ ℝ )
115		1red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ∈ ℝ )
116	113	nn0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℝ )
117		0lt1	⊢ 0 < 1
118	117	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 1 )
119		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
120	119	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 ∈ ℝ )
121	109	nnred	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
122	121	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ 𝑇 ) ∈ ℝ )
123		iooltub	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 < π )
124	76 77 123	mp3an12	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 < π )
125	40 124	ltned	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ≠ π )
126	125	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≠ π )
127		hashprg	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 𝑑 ≠ π ↔ ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) )
128	41 42 127	sylancl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 ≠ π ↔ ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 ) )
129	126 128	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) = 2 )
130	129	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 = ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) )
131	106	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ∈ Fin )
132		ssun1	⊢ { 𝑑 , π } ⊆ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
133	132 26	sseqtrri	⊢ { 𝑑 , π } ⊆ 𝑇
134		hashssle	⊢ ( ( 𝑇 ∈ Fin ∧ { 𝑑 , π } ⊆ 𝑇 ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
135	131 133 134	sylancl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ♯ ‘ { 𝑑 , π } ) ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
136	130 135	eqbrtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 2 ≤ ( ♯ ‘ 𝑇 ) )
137	120 122 115 136	lesub1dd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 2 − 1 ) ≤ ( ( ♯ ‘ 𝑇 ) − 1 ) )
138		1e2m1	⊢ 1 = ( 2 − 1 )
139	137 138 27	3brtr4g	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ≤ 𝑁 )
140	114 115 116 118 139	ltletrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑁 )
141	140	gt0ne0d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ≠ 0 )
142		elnnne0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0 ) )
143	113 141 142	sylanbrc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
144	41	leidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑑 )
145	42	a1i	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ )
146	40 145 124	ltled	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑑 ≤ π )
147	146	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ≤ π )
148	41 43 41 144 147	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
149	41 43 43 147 83	eliccd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
150	148 149	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ∧ π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) )
151		vex	⊢ 𝑑 ∈ V
152	151 90	prss	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ∧ π ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ↔ { 𝑑 , π } ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
153	150 152	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → { 𝑑 , π } ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
154		inss2	⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 (,) π )
155	154	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 (,) π ) )
156		ioossicc	⊢ ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 𝑑 [,] π )
157	155 156	sstrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
158	153 157	unssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
159	26 158	eqsstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
160	151	prid1	⊢ 𝑑 ∈ { 𝑑 , π }
161		elun1	⊢ ( 𝑑 ∈ { 𝑑 , π } → 𝑑 ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) )
162	160 161	ax-mp	⊢ 𝑑 ∈ ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) )
163	162 26	eleqtrri	⊢ 𝑑 ∈ 𝑇
164	163	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 ∈ 𝑇 )
165	94	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π ∈ 𝑇 )
166	131 27 28 41 43 159 164 165	fourierdlem52	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) ∧ ( 𝐽 ‘ 0 ) = 𝑑 ) ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = π ) )
167	166	simplld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) )
168	166	simplrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐽 ‘ 0 ) = 𝑑 )
169	166	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) = π )
170		elfzoelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
171	170	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
172	171	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
173	172	ltp1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) )
174	40 145	jca	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) )
175	151 90	prss	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ↔ { 𝑑 , π } ⊆ ℝ )
176	174 175	sylib	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → { 𝑑 , π } ⊆ ℝ )
177	176	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → { 𝑑 , π } ⊆ ℝ )
178		ioossre	⊢ ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ℝ
179	154 178	sstri	⊢ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ℝ
180	179	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ⊆ ℝ )
181	177 180	unssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( { 𝑑 , π } ∪ ( ran 𝑄 ∩ ( 𝑑 (,) π ) ) ) ⊆ ℝ )
182	26 181	eqsstrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑇 ⊆ ℝ )
183	131 182 28 27	fourierdlem36	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
184	183	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) )
185		elfzofz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
186	185	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
187		fzofzp1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
188	187	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) )
189		isorel	⊢ ( ( 𝐽 Isom < , < ( ( 0 ... 𝑁 ) , 𝑇 ) ∧ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
190	184 186 188 189	syl12anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑘 < ( 𝑘 + 1 ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
191	173 190	mpbid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
192	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
193	192 85	feqresmpt	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) )
194	85	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
195	1 2 54 64 13	fourierdlem9	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
196	195	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐻 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
197	196 194	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
198	14	fourierdlem43	⊢ 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ
199	198	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐾 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
200	199 194	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
201	197 200	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
202	15	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
203	194 201 202	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) )
204		0red	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 ∈ ℝ )
205	40	adantr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
206	42	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → π ∈ ℝ )
207		simpr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
208		eliccre	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
209	205 206 207 208	syl3anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
210	79	adantr	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑑 )
211	205	rexrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
212	77	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → π ∈ ℝ* )
213		iccgelb	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 )
214	211 212 207 213	syl3anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 )
215	204 205 209 210 214	ltletrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑠 )
216	215	gt0ne0d	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
217	216	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≠ 0 )
218	217	neneqd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
219	218	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) )
220	215	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 0 < 𝑠 )
221	220	iftrued	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 )
222	221	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) )
223	222	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
224	219 223	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
225	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
226	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
227		iccssre	⊢ ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( - π [,] π ) ⊆ ℝ )
228	70 42 227	mp2an	⊢ ( - π [,] π ) ⊆ ℝ
229	228 194	sselid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
230	226 229	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
231	225 230	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
232	54	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
233	231 232	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ∈ ℝ )
234	233 229 217	redivcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ )
235	224 234	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
236	13	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
237	194 235 236	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 0 , ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) ) / 𝑠 ) ) )
238	237 219 223	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
239	206	renegcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π ∈ ℝ )
240	74	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π < 0 )
241	239 204 209 240 215	lttrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π < 𝑠 )
242	239 209 241	ltled	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → - π ≤ 𝑠 )
243		iccleub	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≤ π )
244	211 212 207 243	syl3anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ≤ π )
245	239 206 209 242 244	eliccd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
246	216	neneqd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ¬ 𝑠 = 0 )
247	246	iffalsed	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
248	119	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℝ )
249	209	rehalfcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℝ )
250	249	resincld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℝ )
251	248 250	remulcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℝ )
252		2cnd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℂ )
253	209	recnd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
254	253	halfcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
255	254	sincld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
256		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
257	256	a1i	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ≠ 0 )
258		fourierdlem44	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ 𝑠 ≠ 0 ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
259	245 216 258	syl2anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ≠ 0 )
260	252 255 257 259	mulne0d	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
261	209 251 260	redivcld	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ )
262	247 261	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )
263	14	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
264	245 262 263	syl2anc	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
265	264	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
266	238 265	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
267	218	iffalsed	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
268	267	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · if ( 𝑠 = 0 , 1 , ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
269	203 266 268	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
270	269	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
271	87 193 270	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
272	271	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
273	272	reseq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
274	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
275	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
276	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
277	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
278	7	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
279	11	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
280	12	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
281	124	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 < π )
282	73 40	ltnled	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 0 < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 ≤ 0 ) )
283	79 282	mpbid	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑑 ≤ 0 )
284	283	intn3an2d	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) )
285		elicc2	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) → ( 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) )
286	40 42 285	sylancl	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ( 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ≤ 0 ∧ 0 ≤ π ) ) )
287	284 286	mtbird	⊢ ( 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
288	287	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ¬ 0 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
289	54	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
290		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
291		eqid	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
292		eqid	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
293		fveq2	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
294		oveq1	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑙 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
295	294	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
296	293 295	oveq12d	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
297	296	sseq2d	⊢ ( 𝑙 = 𝑖 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
298	297	cbvriotavw	⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
299	274 275 3 276 277 278 279 280 41 43 281 85 288 289 290 29 26 27 28 291 292 298	fourierdlem86	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∧ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) ) )
300	299	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
301	273 300	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
302	299	simplld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
303	272	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = 𝑂 )
304	303	reseq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
305	304	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
306	302 305	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
307	299	simplrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
308	304	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
309	307 308	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) ∈ ( ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
310		eqid	⊢ ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D 𝑂 )
311	89	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ )
312	41	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
313	42	a1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → π ∈ ℝ )
314		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
315	314	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
316	85 228	sstrdi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ )
317	316	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ )
318	167	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ( 𝑑 [,] π ) )
319	318 186	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
320	317 319	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
321	320	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ )
322	41	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ )
323	322	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ℝ* )
324	77	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ* )
325		iccgelb	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
326	323 324 319 325	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
327	326	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
328	321	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* )
329	318 188	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
330	317 329	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
331	330	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
332	331	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
333		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
334		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
335	328 332 333 334	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑠 )
336	312 321 315 327 335	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 < 𝑠 )
337	312 315 336	ltled	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ≤ 𝑠 )
338	330	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ )
339		iooltub	⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
340	328 332 333 339	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
341		iccleub	⊢ ( ( 𝑑 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π )
342	323 324 329 341	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π )
343	342	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ π )
344	315 338 313 340 343	ltletrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 < π )
345	315 313 344	ltled	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ≤ π )
346	312 313 315 337 345	eliccd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
347	346	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
348		dfss3	⊢ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
349	347 348	sylibr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
350	311 349	feqresmpt	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
351		simplll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝜑 )
352		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
353	25	fveq1i	⊢ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 )
354	353	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) )
355		fvres	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
356	355	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
357	265 267	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
358	238 357	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) · ( 𝐾 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
359	233	recnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) ∈ ℂ )
360	253	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℂ )
361		2cnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 2 ∈ ℂ )
362	360	halfcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑠 / 2 ) ∈ ℂ )
363	362	sincld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ∈ ℂ )
364	361 363	mulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
365	260	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ≠ 0 )
366	359 360 364 217 365	dmdcan2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
367	203 358 366	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
368	354 356 367	3eqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
369	351 352 346 368	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
370	351 352 346 366	syl21anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
371	370	eqcomd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
372		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) )
373		oveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑋 + 𝑡 ) = ( 𝑋 + 𝑠 ) )
374	373	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) )
375	374	oveq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) )
376		id	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → 𝑡 = 𝑠 )
377	375 376	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
378	377	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
379		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
380		ovex	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ V
381	380	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) ∈ V )
382	372 378 379 381	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
383		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) )
384		oveq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / 2 ) = ( 𝑠 / 2 ) )
385	384	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) )
386	385	oveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) )
387	376 386	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
388	387	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑡 = 𝑠 ) → ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
389		ovex	⊢ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V
390	389	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ∈ V )
391	383 388 379 390	fvmptd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
392	382 391	oveq12d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
393	392	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
394	393	adantllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
395	369 371 394	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) = ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
396	395	mpteq2dva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) )
397	350 396	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
398	397	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
399	66	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℂ )
400	349 317	sstrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ )
401	49	tgioo2	⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ )
402	49 401	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝑂 : ( 𝑑 [,] π ) ⟶ ℂ ) ∧ ( ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
403	399 311 317 400 402	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑂 ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
404		ioontr	⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
405	404	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
406	405	reseq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
407	398 403 406	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) )
408	1	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
409	2	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
410	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ )
411	5	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
412	9	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) )
413	85	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 [,] π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
414	349 413	sstrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
415	76	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
416		0red	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 ∈ ℝ )
417	79	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 < 𝑑 )
418	416 322 320 417 326	ltletrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 0 < ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
419	320 331 415 418	ltnelicc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
420	54	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
421	42	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → π ∈ ℝ )
422	281	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑑 < π )
423		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
424		biid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑣 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑣 + 1 ) ) ) ) )
425	409 3 410 411 322 421 422 413 29 26 27 28 423 298 424	fourierdlem50	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ∧ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
426	425	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
427	425	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
428	377	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) )
429	387	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
430		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
431	408 409 3 410 411 412 320 330 191 414 419 420 29 426 427 428 429 430	fourierdlem72	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / 𝑡 ) ) ‘ 𝑠 ) · ( ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( 𝑡 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
432	407 431	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ↾ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
433		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
434		eqid	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
435	30 426	eqeltrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) )
436		simpll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝜑 )
437	436 435	jca	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
438		eleq1	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↔ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) )
439	438	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ) )
440		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) )
441		oveq1	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑖 + 1 ) = ( 𝐶 + 1 ) )
442	441	fveq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
443	440 442	oveq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
444		raleq	⊢ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
445	443 444	syl	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
446	445	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
447	439 446	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ) )
448	447 8	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
449	435 437 448	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
450		nfv	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) )
451		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤
452	450 451	nfan	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
453		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
454	70	a1i	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℝ )
455	454 2	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( - π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
456	42	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ )
457	456 2	readdcld	⊢ ( 𝜑 → ( π + 𝑋 ) ∈ ℝ )
458	455 457	iccssred	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
459		ressxr	⊢ ℝ ⊆ ℝ*
460	458 459	sstrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
461	460	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ* )
462	3 410 411	fourierdlem15	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
463		elfzofz	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
464	435 463	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
465	462 464	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
466	461 465	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
467	466	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ* )
468		fzofzp1	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
469	435 468	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
470	462 469	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) )
471	461 470	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
472	471	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ* )
473		elioore	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
474	473	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ℝ )
475	70	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → - π ∈ ℝ )
476	475 421 409 3 410 411 464 29	fourierdlem13	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ) )
477	476	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
478	477	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) )
479	458	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( - π + 𝑋 ) [,] ( π + 𝑋 ) ) ⊆ ℝ )
480	479 465	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
481	480	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
482	478 481	eqeltrrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
483	409 320	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
484	483	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ )
485	476	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) )
486	480 409	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
487	485 486	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ∈ ℝ )
488	475 421 409 3 410 411 469 29	fourierdlem13	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
489	488	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
490	479 470	sseldd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
491	490 409	resubcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
492	489 491	eqeltrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ∈ ℝ )
493	30	eqcomi	⊢ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) = 𝐶
494	493	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ 𝐶 )
495	493	oveq1i	⊢ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( 𝐶 + 1 )
496	495	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) )
497	494 496	oveq12i	⊢ ( ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
498	427 497	sseqtrdi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
499	487 492 320 330 191 498	fourierdlem10	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ∧ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
500	499	simpld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
501	487 320 409 500	leadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
502	501	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
503	484	rexrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* )
504	409 330	readdcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
505	504	rexrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
506	505	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* )
507		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
508		ioogtlb	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
509	503 506 507 508	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) < 𝑡 )
510	482 484 474 502 509	lelttrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ 𝐶 ) ) < 𝑡 )
511	478 510	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) < 𝑡 )
512	504	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
513	488	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
514	513 490	eqeltrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
515	514	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ∈ ℝ )
516		iooltub	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
517	503 506 507 516	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
518	499	simprd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤ ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
519	330 492 409 518	leadd2dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
520	519	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ≤ ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
521	474 512 515 517 520	ltletrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
522	513	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
523	522	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( 𝑋 + ( 𝑄 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
524	521 523	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 < ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) )
525	467 472 474 511 524	eliood	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
526	525	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
527		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
528	453 526 527	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
529	528	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
530	452 529	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
531	530	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
532	531	reximdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
533	449 532	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
534	443	raleqdv	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
535	534	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
536	439 535	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ) )
537	536 10	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
538	435 437 537	sylc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
539		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑡 ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧
540	450 539	nfan	⊢ Ⅎ 𝑡 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
541	1 67	fssd	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
542		ssid	⊢ ℝ ⊆ ℝ
543	542	a1i	⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℝ )
544		ioossre	⊢ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ
545	544	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
546	49 401	dvres	⊢ ( ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ ) ∧ ( ℝ ⊆ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
547	67 541 543 545 546	syl22anc	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
548		ioontr	⊢ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
549	548	reseq2i	⊢ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
550	547 549	eqtrdi	⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
551	550	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
552		fvres	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
553	551 552	sylan9eq	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
554	553	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) )
555	554	fveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
556	555	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) )
557		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
558	525	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
559		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
560	557 558 559	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
561	556 560	eqbrtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) ∧ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
562	561	ex	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ( 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
563	540 562	ralrimi	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
564	563	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
565	564	reximdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝐹 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
566	538 565	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
567	323 324 318 423	fourierdlem8	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
568	143	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
569	167 316	fssd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
570	569	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝐽 : ( 0 ... 𝑁 ) ⟶ ℝ )
571		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
572	168	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑑 = ( 𝐽 ‘ 0 ) )
573	169	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → π = ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) )
574	572 573	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
575	574	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → ( 𝑑 [,] π ) = ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
576	571 575	eleqtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
577	576	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 0 ) [,] ( 𝐽 ‘ 𝑁 ) ) )
578		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 )
579		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
580	579	breq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 ) )
581	580	cbvrabv	⊢ { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } = { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 }
582	581	supeq1i	⊢ sup ( { 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑗 ) < 𝑟 } , ℝ , < ) = sup ( { 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ∣ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) < 𝑟 } , ℝ , < )
583	568 570 577 578 582	fourierdlem25	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ) ∧ ¬ 𝑟 ∈ ran 𝐽 ) → ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) 𝑟 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑚 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑚 + 1 ) ) ) )
584	541	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℂ )
585	542	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ℝ ⊆ ℝ )
586	544	a1i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ℝ )
587	399 584 585 586 546	syl22anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( int ‘ ( topGen ‘ ran (,) ) ) ‘ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
588	525	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
589		dfss3	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) 𝑡 ∈ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
590	588 589	sylibr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) )
591		resabs2	⊢ ( ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⊆ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
592	590 591	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
593	549 587 592	3eqtr4a	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
594	590	resabs1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
595	594	eqcomd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
596	593 592 595	3eqtrrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) )
597	443	reseq2d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) )
598	597 443	feq12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ↔ ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
599	439 598	imbi12d	⊢ ( 𝑖 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) ) )
600		cncff	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℝ ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
601	9 600	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
602	599 601	vtoclg	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ ) )
603	602	anabsi7	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
604	437 603	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
605	604 590	fssresd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝐶 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝐶 + 1 ) ) ) ) ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
606	596 605	feq1dd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ⟶ ℝ )
607	375 386	oveq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
608	607	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑡 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑡 / 2 ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
609		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) )
610	609	fveq2d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) )
611	610	breq1d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
612	611	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 )
613	612	anbi2i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) )
614		fveq2	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) = ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) )
615	614	fveq2d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) )
616	615	breq1d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
617	616	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ↔ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 )
618	613 617	anbi12i	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑟 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑟 ) ) ≤ 𝑧 ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑁 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑤 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) (,) ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑧 ) )
619	274 275 41 43 85 288 289 433 434 533 566 167 191 567 583 606 608 618	fourierdlem80	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
620	366	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / 𝑠 ) · ( 𝑠 / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
621	271 620	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑂 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
622	621	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ℝ D 𝑂 ) = ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
623	622	dmeqd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) )
624		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D 𝑂 )
625		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 ℝ
626		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑠 D
627		nfmpt1	⊢ Ⅎ 𝑠 ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) )
628	625 626 627	nfov	⊢ Ⅎ 𝑠 ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
629	628	nfdm	⊢ Ⅎ 𝑠 dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) )
630	624 629	raleqf	⊢ ( dom ( ℝ D 𝑂 ) = dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
631	623 630	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
632	622	fveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) )
633	632	fveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) )
634	633	breq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
635	634	ralbidv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
636	631 635	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
637	636	rexbidv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ( abs ‘ ( ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝑌 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( 𝑠 / 2 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 ) )
638	619 637	mpbird	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ dom ( ℝ D 𝑂 ) ( abs ‘ ( ( ℝ D 𝑂 ) ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑏 )
639		eqid	⊢ ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( 𝑙 ∈ ℝ+ ↦ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
640		eqeq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) )
641		fveq2	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ℎ ) = ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) )
642		oveq1	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ℎ + 1 ) = ( 𝑙 + 1 ) )
643	642	fveq2d	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) )
644	641 643	oveq12d	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
645	644	sseq2d	⊢ ( ℎ = 𝑙 → ( ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ↔ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
646	645	cbvriotavw	⊢ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) )
647	646	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) )
648	647	eqeq2i	⊢ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) )
649	648	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) ) )
650		csbeq1	⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
651	646 650	mp1i	⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 )
652	649 651	ifbieq1d	⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) )
653	652	mptru	⊢ if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) )
654	653	oveq1i	⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 )
655	654	oveq1i	⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) )
656	655	oveq1i	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) )
657	656	a1i	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) )
658		eqeq1	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ↔ 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
659	646	oveq1i	⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 )
660	659	fveq2i	⊢ ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) )
661	660	eqeq2i	⊢ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) )
662	661	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ↔ ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) ) )
663		csbeq1	⊢ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) = ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
664	646 663	mp1i	⊢ ( ⊤ → ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 = ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 )
665	662 664	ifbieq1d	⊢ ( ⊤ → if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
666	665	mptru	⊢ if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
667	666	oveq1i	⊢ ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) = ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 )
668	667	oveq1i	⊢ ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
669	668	oveq1i	⊢ ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) )
670	669	a1i	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) )
671		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
672	658 670 671	ifbieq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) )
673	640 657 672	ifbieq12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) = if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
674	673	cbvmptv	⊢ ( 𝑡 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑡 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ ℎ ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ ℎ ) (,) ( 𝑄 ‘ ( ℎ + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑡 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) [,] ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↦ if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) = ( 𝑄 ‘ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝑅 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) ) · ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) / 2 ) ) ) ) ) , if ( 𝑠 = ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) , ( ( ( if ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) + 1 ) ) , ⦋ ( ℩ 𝑙 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( ( 𝐽 ‘ 𝑘 ) (,) ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ⊆ ( ( 𝑄 ‘ 𝑙 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑙 + 1 ) ) ) ) / 𝑖 ⦌ 𝐿 , ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) − 𝑌 ) / ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) · ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / ( 2 · ( sin ‘ ( ( 𝐽 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) / 2 ) ) ) ) ) , ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) ) ) )
675	41 43 89 143 167 168 169 191 301 306 309 310 432 638 639 674	fourierdlem73	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
676		breq2	⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
677	676	rexralbidv	⊢ ( 𝑒 = 𝑎 → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ) )
678	677	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
679	675 678	sylib	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
680	679	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 )
681		rphalfcl	⊢ ( 𝑒 ∈ ℝ+ → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
682	681	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ )
683		breq2	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
684	683	rexralbidv	⊢ ( 𝑎 = ( 𝑒 / 2 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
685	684	rspccva	⊢ ( ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑎 ∧ ( 𝑒 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
686	680 682 685	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
687	156	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 𝑑 [,] π ) )
688	687	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝑑 [,] π ) )
689	688 355	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ↾ ( 𝑑 [,] π ) ) ‘ 𝑠 ) = ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) )
690	353 689	eqtr2id	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) = ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) )
691	690	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) )
692	691	itgeq2dv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
693	692	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
694	693	fveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
695		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
696	694 695	eqbrtrd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
697	696	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
698	697	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
699	698	ralimdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
700	699	reximdv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑂 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
701	686 700	mpd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
702	701	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
703		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
704		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
705	703 704	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
706		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 𝑗 ∈ ℕ
707	705 706	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ )
708		nfv	⊢ Ⅎ 𝑘 ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 )
709	707 708	nfan	⊢ Ⅎ 𝑘 ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
710		simpll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) )
711		eluznn	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
712	711	adantll	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
713	710 712	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
714	713	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) )
715		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
716	711	adantll	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
717		rspa	⊢ ( ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
718	715 716 717	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
719	714 718	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
720	719	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
721		nnre	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ )
722	721	rexrd	⊢ ( 𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ* )
723	722	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ* )
724	50	a1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → +∞ ∈ ℝ* )
725		eluzelre	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
726		halfre	⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ
727	726	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
728	725 727	readdcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
729	728	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
730	721	adantr	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ∈ ℝ )
731	725	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 ∈ ℝ )
732		eluzle	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
733	732	adantl	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 ≤ 𝑘 )
734		halfgt0	⊢ 0 < ( 1 / 2 )
735	734	a1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 0 < ( 1 / 2 ) )
736	726	a1i	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
737	736 731	ltaddposd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 0 < ( 1 / 2 ) ↔ 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ) )
738	735 737	mpbid	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑘 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
739	730 731 729 733 738	lelttrd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝑗 < ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
740	729	ltpnfd	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) < +∞ )
741	723 724 729 739 740	eliood	⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
742	741	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) )
743		simplr	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
744		oveq1	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( 𝑙 · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
745	744	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
746	745	oveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
747	746	adantr	⊢ ( ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
748	747	itgeq2dv	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
749	748	fveq2d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
750	749	breq1d	⊢ ( 𝑙 = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
751	750	rspcv	⊢ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
752	742 743 751	sylc	⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℕ ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
753	752	adantlll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
754	720 753 31	sylanbrc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → 𝜒 )
755		0red	⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ )
756	42	a1i	⊢ ( 𝜒 → π ∈ ℝ )
757		ioossicc	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( 0 [,] π )
758	31	biimpi	⊢ ( 𝜒 → ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
759		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
760	758 759	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) )
761	757 760	sselid	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ( 0 [,] π ) )
762		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝜑 )
763	758 762	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝜑 )
764	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑈 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
765	70	rexri	⊢ - π ∈ ℝ*
766		0re	⊢ 0 ∈ ℝ
767	70 766 74	ltleii	⊢ - π ≤ 0
768		iooss1	⊢ ( ( - π ∈ ℝ* ∧ - π ≤ 0 ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π ) )
769	765 767 768	mp2an	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π (,) π )
770		ioossicc	⊢ ( - π (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
771	769 770	sstri	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π )
772	771	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
773	772	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
774	764 773	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
775	763 774	sylan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
776		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ )
777	758 776	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℕ )
778	777	nnred	⊢ ( 𝜒 → 𝑘 ∈ ℝ )
779	726	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
780	778 779	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
781	780	adantr	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
782		elioore	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
783	782	adantl	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
784	781 783	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
785	784	resincld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
786	775 785	remulcld	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
787	786	recnd	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℂ )
788	76	a1i	⊢ ( 𝜒 → 0 ∈ ℝ* )
789	77	a1i	⊢ ( 𝜒 → π ∈ ℝ* )
790	755	leidd	⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 0 )
791		ioossre	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ℝ
792	791 760	sselid	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ∈ ℝ )
793	788 789 760 123	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 < π )
794	792 756 793	ltled	⊢ ( 𝜒 → 𝑑 ≤ π )
795		ioossioo	⊢ ( ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ π ) ) → ( 0 (,) 𝑑 ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
796	788 789 790 794 795	syl22anc	⊢ ( 𝜒 → ( 0 (,) 𝑑 ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
797		ioombl	⊢ ( 0 (,) 𝑑 ) ∈ dom vol
798	797	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( 0 (,) 𝑑 ) ∈ dom vol )
799		eleq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ ℕ ) )
800	799	anbi2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ) )
801		simpl	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑛 = 𝑘 )
802	801	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
803	802	oveq1d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
804	803	fveq2d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
805	804	oveq2d	⊢ ( ( 𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
806	805	mpteq2dva	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
807	806	eleq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ↔ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) )
808	800 807	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 ) ) )
809	771	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ⊆ ( - π [,] π ) )
810		ioombl	⊢ ( 0 (,) π ) ∈ dom vol
811	810	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
812	65	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
813	812	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
814		nnre	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ )
815		readdcl	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
816	814 726 815	sylancl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
817	816	adantr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
818		simpr	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
819	228 818	sselid	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
820	817 819	remulcld	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
821	820	resincld	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
822	821	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
823	813 822	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
824	16	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
825	818 821 824	syl2anc	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
826	825	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
827	826	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
828	827	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) )
829	17 828	eqtr2id	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) = 𝐺 )
830	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
831	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉 )
832	20	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
833	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
834	814	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℝ )
835	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑀 ∈ ℕ )
836	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) )
837	7	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
838	11	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑅 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ) )
839	12	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐿 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
840		eqid	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } )
841		eqid	⊢ ( ℝ D 𝐹 ) = ( ℝ D 𝐹 )
842	601	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
843	22	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( -∞ (,) 𝑋 ) ) limℂ 𝑋 ) )
844	23	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐵 ∈ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) )
845	3 830 831 832 833 13 14 15 834 16 17 835 836 837 838 839 29 840 841 842 843 844	fourierdlem88	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 ∈ 𝐿1 )
846	829 845	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
847	809 811 823 846	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
848	808 847	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
849	763 777 848	syl2anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
850	796 798 786 849	iblss	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
851	788 789 760 78	syl3anc	⊢ ( 𝜒 → 0 < 𝑑 )
852	755 792 851	ltled	⊢ ( 𝜒 → 0 ≤ 𝑑 )
853	756	leidd	⊢ ( 𝜒 → π ≤ π )
854		ioossioo	⊢ ( ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ≤ 𝑑 ∧ π ≤ π ) ) → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
855	788 789 852 853 854	syl22anc	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) π ) ⊆ ( 0 (,) π ) )
856		ioombl	⊢ ( 𝑑 (,) π ) ∈ dom vol
857	856	a1i	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑑 (,) π ) ∈ dom vol )
858	855 857 786 849	iblss	⊢ ( 𝜒 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐿1 )
859	755 756 761 787 850 858	itgsplitioo	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
860	859	fveq2d	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
861	796	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) )
862	861 786	syldan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) 𝑑 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
863	862 850	itgcl	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
864	855	sselda	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) )
865	864 786	syldan	⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑑 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
866	865 858	itgcl	⊢ ( 𝜒 → ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
867	863 866	addcld	⊢ ( 𝜒 → ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℂ )
868	867	abscld	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
869	863	abscld	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
870	866	abscld	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ∈ ℝ )
871	869 870	readdcld	⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
872		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
873	758 872	syl	⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+ )
874	873	rpred	⊢ ( 𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ )
875	863 866	abstrid	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) )
876	758	simplrd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
877	758	simprd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
878	869 870 874 876 877	lt2halvesd	⊢ ( 𝜒 → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) + ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
879	868 871 874 875 878	lelttrd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ( ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 + ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) ) < 𝑒 )
880	860 879	eqbrtrd	⊢ ( 𝜒 → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
881	754 880	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
882	881	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
883	709 882	ralrimi	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) ∧ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
884	883	ex	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
885	884	reximdva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑙 ∈ ( 𝑗 (,) +∞ ) ( abs ‘ ∫ ( 𝑑 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( 𝑙 · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
886	702 885	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
887		pipos	⊢ 0 < π
888	70 766 42	lttri	⊢ ( ( - π < 0 ∧ 0 < π ) → - π < π )
889	74 887 888	mp2an	⊢ - π < π
890	70 42 889	ltleii	⊢ - π ≤ π
891	890	a1i	⊢ ( 𝜑 → - π ≤ π )
892	3	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
893	4 892	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( 𝑃 ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
894	5 893	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
895	894	simpld	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) )
896		elmapi	⊢ ( 𝑉 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
897	895 896	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
898	897	ffvelcdmda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
899	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
900	898 899	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
901	900 29	fmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
902	29	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
903		fveq2	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑉 ‘ 0 ) )
904	903	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = 0 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
905	904	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 = 0 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
906	4	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 )
907		nn0uz	⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
908	906 907	eleqtrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
909		eluzfz1	⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
910	908 909	syl	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
911	897 910	ffvelcdmd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) ∈ ℝ )
912	911 2	resubcld	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
913	902 905 910 912	fvmptd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) )
914	894	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑀 ) = ( π + 𝑋 ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
915	914	simplld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑉 ‘ 0 ) = ( - π + 𝑋 ) )
916	915	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑉 ‘ 0 ) − 𝑋 ) = ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) )
917	454	recnd	⊢ ( 𝜑 → - π ∈ ℂ )
918	2	recnd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ )
919	917 918	pncand	⊢ ( 𝜑 → ( ( - π + 𝑋 ) − 𝑋 ) = - π )
920	913 916 919	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π )
921	454 456 2 3 840 4 5 29	fourierdlem14	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) )
922	840	fourierdlem2	⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
923	4 922	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ { 𝑝 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑚 ) ) ∣ ( ( ( 𝑝 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑝 ‘ 𝑚 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑚 ) ( 𝑝 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑝 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) } ) ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) )
924	921 923	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ∈ ( ℝ ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
925	924	simprd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑄 ‘ 0 ) = - π ∧ ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
926	925	simplrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑄 ‘ 𝑀 ) = π )
927	925	simprd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
928	927	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) < ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
929	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
930	840 4 921	fourierdlem15	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
931	930	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( - π [,] π ) )
932		elfzofz	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
933	932	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
934	931 933	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ∈ ( - π [,] π ) )
935		fzofzp1	⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
936	935	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑖 + 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑀 ) )
937	931 936	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ( - π [,] π ) )
938	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
939		ffn	⊢ ( 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
940	895 896 939	3syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) )
941		fvelrnb	⊢ ( 𝑉 Fn ( 0 ... 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
942	940 941	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ran 𝑉 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) )
943	6 942	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 )
944		oveq1	⊢ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
945	944	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) = ( 𝑋 − 𝑋 ) )
946	918	subidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
947	946	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → ( 𝑋 − 𝑋 ) = 0 )
948	945 947	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 ) → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
949	948	ex	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
950	949	reximdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
951	943 950	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
952	29	elrnmpt	⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ) )
953	766 952	ax-mp	⊢ ( 0 ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) 0 = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
954	951 953	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ran 𝑄 )
955	840 4 921 954	fourierdlem12	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ¬ 0 ∈ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
956	897	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑉 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ℝ )
957	956 933	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ )
958	957 938	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
959	29	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ∧ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) ∈ ℝ ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
960	933 958 959	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
961	960	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
962	957	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ )
963	918	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ )
964	962 963	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
965	961 964	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
966		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) )
967	966	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
968	967	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) − 𝑋 ) )
969	29 968	eqtr4i	⊢ 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) )
970	969	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑄 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) ) )
971		fveq2	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
972	971	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
973	972	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) ∧ 𝑗 = ( 𝑖 + 1 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ 𝑗 ) − 𝑋 ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
974	956 936	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℝ )
975	974 938	resubcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) ∈ ℝ )
976	970 973 936 975	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) )
977	976	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) )
978	974	recnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ∈ ℂ )
979	978 963	npcand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) − 𝑋 ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
980	977 979	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) = ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
981	965 980	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
982	981	reseq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) )
983	981	oveq1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) = ( ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
984	7 982 983	3eltr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) ) ∈ ( ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) + 𝑋 ) (,) ( ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) + 𝑋 ) ) –cn→ ℂ ) )
985	54	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑌 ∈ ℝ )
986	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → 𝑊 ∈ ℝ )
987	929 934 937 938 955 984 985 986 13	fourierdlem40	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) –cn→ ℂ ) )
988		id	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ )
989	66	a1i	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ℝ ⊆ ℂ )
990	988 989	fssd	⊢ ( ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℝ → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
991	9 600 990	3syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → ( ( ℝ D 𝐹 ) ↾ ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) : ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ⟶ ℂ )
992		eqid	⊢ if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
993	2 3 1 6 20 64 13 4 5 11 29 840 841 991 23 992	fourierdlem75	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) = 𝑋 , 𝐵 , ( ( 𝑅 − if ( ( 𝑉 ‘ 𝑖 ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) ) )
994		eqid	⊢ if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
995	2 3 1 6 54 21 13 4 5 12 29 840 841 601 22 994	fourierdlem74	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ) → if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) = 𝑋 , 𝐴 , ( ( 𝐿 − if ( ( 𝑉 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) < 𝑋 , 𝑊 , 𝑌 ) ) / ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐻 ↾ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) limℂ ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
996		fveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) )
997		oveq1	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑗 + 1 ) = ( 𝑖 + 1 ) )
998	997	fveq2d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) )
999	996 998	oveq12d	⊢ ( 𝑗 = 𝑖 → ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1000	999	cbvmptv	⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑗 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑀 ) ↦ ( ( 𝑄 ‘ 𝑖 ) (,) ( 𝑄 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) ) )
1001	454 456 891 195 4 901 920 926 928 987 993 995 1000	fourierdlem70	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐻 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑥 )
1002		eqid	⊢ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) = ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 )
1003		fveq2	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) )
1004	1003	fveq2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1005	1004	breq1d	⊢ ( 𝑡 = 𝑠 → ( ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1006	1005	cbvralvw	⊢ ( ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1007	1006	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 )
1008	1007	3anbi3i	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) )
1009	1008	anbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) )
1010	1009	anbi1i	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) )
1011	1010	anbi1i	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑡 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ↔ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∀ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ( abs ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ≤ 𝑦 ) ∧ 𝑢 ∈ dom vol ) ∧ ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ ( ( 𝑒 / 3 ) / 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) )
1012	1 2 54 64 13 14 15 16 17 1001 845 1002 1011	fourierdlem87	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1013		iftrue	⊢ ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1014	1013	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = 𝑐 )
1015	76	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ* )
1016	77	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ* )
1017		rpre	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 𝑐 ∈ ℝ )
1018	1017	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ℝ )
1019		rpgt0	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑐 )
1020	1019	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < 𝑐 )
1021	42	rehalfcli	⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ
1022	1021	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1023	42	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → π ∈ ℝ )
1024		simpr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ≤ ( π / 2 ) )
1025		halfpos	⊢ ( π ∈ ℝ → ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π ) )
1026	42 1025	ax-mp	⊢ ( 0 < π ↔ ( π / 2 ) < π )
1027	887 1026	mpbi	⊢ ( π / 2 ) < π
1028	1027	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < π )
1029	1018 1022 1023 1024 1028	lelttrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 < π )
1030	1015 1016 1018 1020 1029	eliood	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 𝑐 ∈ ( 0 (,) π ) )
1031	1014 1030	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1032		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) = ( π / 2 ) )
1033		2pos	⊢ 0 < 2
1034	42 119 887 1033	divgt0ii	⊢ 0 < ( π / 2 )
1035		elioo2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( π / 2 ) ∧ ( π / 2 ) < π ) ) )
1036	76 77 1035	mp2an	⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( π / 2 ) ∧ ( π / 2 ) < π ) )
1037	1021 1034 1027 1036	mpbir3an	⊢ ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π )
1038	1037	a1i	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → ( π / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1039	1032 1038	eqeltrd	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1040	1039	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1041	1031 1040	pm2.61dan	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1042	1041	3ad2ant2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) )
1043		ioombl	⊢ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol
1044	1043	a1i	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol )
1045		simpr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1046	1044 1045	jca	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1047		ioossicc	⊢ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1048	70	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ∈ ℝ )
1049	42	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ )
1050	767	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → - π ≤ 0 )
1051	791 1041	sselid	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ )
1052	1021	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ )
1053		min2	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ ( π / 2 ) )
1054	1017 1021 1053	sylancl	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ ( π / 2 ) )
1055	1027	a1i	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) < π )
1056	1051 1052 1049 1054 1055	lelttrd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) < π )
1057	1051 1049 1056	ltled	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ π )
1058		iccss	⊢ ( ( ( - π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ) ∧ ( - π ≤ 0 ∧ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ π ) ) → ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1059	1048 1049 1050 1057 1058	syl22anc	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 [,] if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1060	1047 1059	sstrid	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) )
1061		0red	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ )
1062	1020 1014	breqtrrd	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1063	1034 1032	breqtrrid	⊢ ( ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1064	1063	adantl	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( π / 2 ) ) → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1065	1062 1064	pm2.61dan	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 < if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1066	1061 1051 1065	ltled	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1067		volioo	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) )
1068	1061 1051 1066 1067	syl3anc	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) )
1069	1051	recnd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ℂ )
1070	1069	subid1d	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) − 0 ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1071	1068 1070	eqtrd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) )
1072		min1	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ ∧ ( π / 2 ) ∈ ℝ ) → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1073	1017 1021 1072	sylancl	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ≤ 𝑐 )
1074	1071 1073	eqbrtrd	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 )
1075	1060 1074	jca	⊢ ( 𝑐 ∈ ℝ+ → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) )
1076	1075	adantr	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) )
1077		sseq1	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ↔ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ) )
1078		fveq2	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( vol ‘ 𝑢 ) = ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) )
1079	1078	breq1d	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ↔ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) )
1080	1077 1079	anbi12d	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) ↔ ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) ) )
1081		itgeq1	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1082	1081	fveq2d	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1083	1082	breq1d	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1084	1083	ralbidv	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1085	1080 1084	imbi12d	⊢ ( 𝑢 = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ↔ ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) )
1086	1085	rspcva	⊢ ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ∈ dom vol ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ( ( ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1087	1046 1076 1086	sylc	⊢ ( ( 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1088	1087	3adant1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1089		oveq2	⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( 0 (,) 𝑑 ) = ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) )
1090	1089	itgeq1d	⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1091	1090	fveq2d	⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) = ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) )
1092	1091	breq1d	⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1093	1092	ralbidv	⊢ ( 𝑑 = if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ↔ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1094	1093	rspcev	⊢ ( ( if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ∈ ( 0 (,) π ) ∧ ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) if ( 𝑐 ≤ ( π / 2 ) , 𝑐 , ( π / 2 ) ) ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1095	1042 1088 1094	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1096	1095	rexlimdv3a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ dom vol ( ( 𝑢 ⊆ ( - π [,] π ) ∧ ( vol ‘ 𝑢 ) ≤ 𝑐 ) → ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ 𝑢 ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) ) )
1097	1012 1096	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 0 (,) π ) ∀ 𝑘 ∈ ℕ ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) 𝑑 ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < ( 𝑒 / 2 ) )
1098	886 1097	r19.29a	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1099	1098	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 )
1100		nnex	⊢ ℕ ∈ V
1101	1100	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V
1102	1101	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ∈ V )
1103		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) )
1104	772	adantl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1105	774	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1106	772	adantl	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1107		simpr	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 = 𝑘 )
1108		simpl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1109	1107 1108	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1110	1109	nnred	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1111	726	a1i	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1112	1110 1111	readdcld	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1113	1112	adantr	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1114	228 1106	sselid	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1115	1113 1114	remulcld	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1116	1115	resincld	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1117	1106 1116 824	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1118	1117	adantlll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1119	1110	adantll	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1120	1119	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑛 ∈ ℝ )
1121		1red	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 1 ∈ ℝ )
1122	1121	rehalfcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ )
1123	1120 1122	readdcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) ∈ ℝ )
1124	228 1104	sselid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1125	1123 1124	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ∈ ℝ )
1126	1125	resincld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1127	1118 1126	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1128	1105 1127	remulcld	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1129	17	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1130	1104 1128 1129	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) )
1131		oveq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) = ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) )
1132	1131	oveq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) = ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) )
1133	1132	fveq2d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1134	1133	ad2antlr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1135	1118 1134	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) = ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) )
1136	1135	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( 𝑆 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1137	1130 1136	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) )
1138	1137	itgeq2dv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) ∧ 𝑛 = 𝑘 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1139		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → 𝑘 ∈ ℕ )
1140	805	itgeq2dv	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1141	1140	eleq1d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ↔ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) )
1142	800 1141	imbi12d	⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ ) ) )
1143	774	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1144		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1145	1144 772 821	syl2an	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1146	1143 1145	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) ∈ ℝ )
1147	1146 847	itgcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑛 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1148	1142 1147	chvarvv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1149	1103 1138 1139 1148	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑘 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 )
1150	39 33 1102 1149 1148	clim0c	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+ ∃ 𝑗 ∈ ℕ ∀ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ( abs ‘ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝑈 ‘ 𝑠 ) · ( sin ‘ ( ( 𝑘 + ( 1 / 2 ) ) · 𝑠 ) ) ) d 𝑠 ) < 𝑒 ) )
1151	1099 1150	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ⇝ 0 )
1152	1100	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ) ∈ V
1153	19 1152	eqeltri	⊢ 𝐸 ∈ V
1154	1153	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V )
1155	1100	mptex	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V
1156	1155	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ∈ V )
1157	42	recni	⊢ π ∈ ℂ
1158	1157	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℂ )
1159		eqidd	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) )
1160		eqidd	⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑚 ) → π = π )
1161		id	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ )
1162	42	a1i	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → π ∈ ℝ )
1163	1159 1160 1161 1162	fvmptd	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1164	1163	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑚 ) = π )
1165	39 33 1156 1158 1164	climconst	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ⇝ π )
1166	766 887	gtneii	⊢ π ≠ 0
1167	1166	a1i	⊢ ( 𝜑 → π ≠ 0 )
1168	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1169	54	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑌 ∈ ℝ )
1170	64	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑊 ∈ ℝ )
1171	830 1168 1169 1170 13 14 15 834 16 17	fourierdlem67	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1172	1171	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐺 : ( - π [,] π ) ⟶ ℝ )
1173	809	sselda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) )
1174	1172 1173	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1175	1171	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1176	1171	feqmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) )
1177	1176 845	eqeltrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1178	809 811 1175 1177	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐿1 )
1179	1174 1178	itgcl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ )
1180		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1181	1180	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1182	1144 1179 1181	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 )
1183	1182 1179	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1184		eqid	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π )
1185	1184	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ π ∈ ℝ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1186	42 1185	mpan2	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) = π )
1187	1157	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ )
1188	1166	a1i	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0 )
1189		eldifsn	⊢ ( π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0 ) )
1190	1187 1188 1189	sylanbrc	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1191	1186 1190	eqeltrd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1192	1191	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) )
1193	1157	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℂ )
1194	1166	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ≠ 0 )
1195	1179 1193 1194	divcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ )
1196	19	fvmpt2	⊢ ( ( 𝑛 ∈ ℕ ∧ ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1197	1144 1195 1196	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) )
1198	1182	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) )
1199	1186	eqcomd	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1200	1199	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π = ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) )
1201	1198 1200	oveq12d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 / π ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1202	1197 1201	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) = ( ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) d 𝑠 ) ‘ 𝑛 ) / ( ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ π ) ‘ 𝑛 ) ) )
1203	34 35 36 38 39 33 1151 1154 1165 1167 1183 1192 1202	climdivf	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ ( 0 / π ) )
1204	1157 1166	div0i	⊢ ( 0 / π ) = 0
1205	1204	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 / π ) = 0 )
1206	1203 1205	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ⇝ 0 )
1207	1100	mptex	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) ∈ V
1208	18 1207	eqeltri	⊢ 𝑍 ∈ V
1209	1208	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ V )
1210	1100	mptex	⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ∈ V
1211	1210	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ∈ V )
1212		limccl	⊢ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑋 (,) +∞ ) ) limℂ 𝑋 ) ⊆ ℂ
1213	1212 20	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ )
1214	1213	halfcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 / 2 ) ∈ ℂ )
1215		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) )
1216		eqidd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ( 𝑌 / 2 ) = ( 𝑌 / 2 ) )
1217	39	eqcomi	⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ℕ
1218	1217	eleq2i	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ 𝑛 ∈ ℕ )
1219	1218	biimpi	⊢ ( 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1220	1219	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
1221	1214	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑌 / 2 ) ∈ ℂ )
1222	1215 1216 1220 1221	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑌 / 2 ) )
1223	32 33 1211 1214 1222	climconst	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ⇝ ( 𝑌 / 2 ) )
1224	1195 19	fmptd	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1225	1224	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → 𝐸 : ℕ ⟶ ℂ )
1226	1225 1220	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1227	1222 1221	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
1228	1222	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) )
1229	810	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 (,) π ) ∈ dom vol )
1230		0red	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ )
1231	1230	rexrd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 ∈ ℝ* )
1232	77	a1i	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → π ∈ ℝ* )
1233		id	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) )
1234		ioogtlb	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑠 )
1235	1231 1232 1233 1234	syl3anc	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < 𝑠 )
1236	1235	gt0ne0d	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ≠ 0 )
1237	1236	neneqd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑠 = 0 )
1238		velsn	⊢ ( 𝑠 ∈ { 0 } ↔ 𝑠 = 0 )
1239	1237 1238	sylnibr	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → ¬ 𝑠 ∈ { 0 } )
1240	772 1239	eldifd	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) → 𝑠 ∈ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1241	1240	ssriv	⊢ ( 0 (,) π ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } )
1242	1241	a1i	⊢ ( 𝜑 → ( 0 (,) π ) ⊆ ( ( - π [,] π ) ∖ { 0 } ) )
1243	1235	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 0 < 𝑠 )
1244	1243	iftrued	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → if ( 0 < 𝑠 , 𝑌 , 𝑊 ) = 𝑌 )
1245		eqid	⊢ ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 )
1246		0red	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ∈ ℝ )
1247	42	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → π ∈ ℝ )
1248	766 42 887	ltleii	⊢ 0 ≤ π
1249	1248	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 0 ≤ π )
1250		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) )
1251	24 1144 1245 1246 1247 1249 1250	dirkeritg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) )
1252		ubicc2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → π ∈ ( 0 [,] π ) )
1253	76 77 1248 1252	mp3an	⊢ π ∈ ( 0 [,] π )
1254		oveq1	⊢ ( 𝑠 = π → ( 𝑠 / 2 ) = ( π / 2 ) )
1255		oveq2	⊢ ( 𝑠 = π → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · π ) )
1256	1255	fveq2d	⊢ ( 𝑠 = π → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) )
1257	1256	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = π → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) )
1258		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
1259	1258	zcnd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
1260	1157	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ∈ ℂ )
1261	1166	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → π ≠ 0 )
1262	1259 1260 1261	divcan4d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · π ) / π ) = 𝑘 )
1263	1262 1258	eqeltrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ )
1264	1259 1260	mulcld	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · π ) ∈ ℂ )
1265		sineq0	⊢ ( ( 𝑘 · π ) ∈ ℂ → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1266	1264 1265	syl	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 ↔ ( ( 𝑘 · π ) / π ) ∈ ℤ ) )
1267	1263 1266	mpbird	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) = 0 )
1268	1267	oveq1d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1269		0red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 ∈ ℝ )
1270		1red	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ∈ ℝ )
1271	1258	zred	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ∈ ℝ )
1272	117	a1i	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 1 )
1273		elfzle1	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 1 ≤ 𝑘 )
1274	1269 1270 1271 1272 1273	ltletrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 0 < 𝑘 )
1275	1274	gt0ne0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → 𝑘 ≠ 0 )
1276	1259 1275	div0d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1277	1268 1276	eqtrd	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · π ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1278	1257 1277	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑠 = π ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1279	1278	sumeq2dv	⊢ ( 𝑠 = π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 )
1280		fzfi	⊢ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin
1281	1280	olci	⊢ ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin )
1282		sumz	⊢ ( ( ( 1 ... 𝑛 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ ∥ ) ∨ ( 1 ... 𝑛 ) ∈ Fin ) → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0 )
1283	1281 1282	ax-mp	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 = 0
1284	1279 1283	eqtrdi	⊢ ( 𝑠 = π → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1285	1254 1284	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = π → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( ( π / 2 ) + 0 ) )
1286	1285	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = π → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) )
1287		ovex	⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) ∈ V
1288	1286 1250 1287	fvmpt	⊢ ( π ∈ ( 0 [,] π ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) )
1289	1253 1288	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) = ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π )
1290		lbicc2	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π ) → 0 ∈ ( 0 [,] π ) )
1291	76 77 1248 1290	mp3an	⊢ 0 ∈ ( 0 [,] π )
1292		oveq1	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
1293		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
1294	1293 256	div0i	⊢ ( 0 / 2 ) = 0
1295	1292 1294	eqtrdi	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑠 / 2 ) = 0 )
1296		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( 𝑘 · 𝑠 ) = ( 𝑘 · 0 ) )
1297	1259	mul01d	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) → ( 𝑘 · 0 ) = 0 )
1298	1296 1297	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 𝑘 · 𝑠 ) = 0 )
1299	1298	fveq2d	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = ( sin ‘ 0 ) )
1300		sin0	⊢ ( sin ‘ 0 ) = 0
1301	1299 1300	eqtrdi	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) = 0 )
1302	1301	oveq1d	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = ( 0 / 𝑘 ) )
1303	1276	adantl	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( 0 / 𝑘 ) = 0 )
1304	1302 1303	eqtrd	⊢ ( ( 𝑠 = 0 ∧ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ) → ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1305	1304	sumeq2dv	⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) 0 )
1306	1305 1283	eqtrdi	⊢ ( 𝑠 = 0 → Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) = 0 )
1307	1295 1306	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = ( 0 + 0 ) )
1308		00id	⊢ ( 0 + 0 ) = 0
1309	1307 1308	eqtrdi	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) = 0 )
1310	1309	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = ( 0 / π ) )
1311	1310 1204	eqtrdi	⊢ ( 𝑠 = 0 → ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) = 0 )
1312		c0ex	⊢ 0 ∈ V
1313	1311 1250 1312	fvmpt	⊢ ( 0 ∈ ( 0 [,] π ) → ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0 )
1314	1291 1313	ax-mp	⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) = 0
1315	1289 1314	oveq12i	⊢ ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 )
1316	1315	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ π ) − ( ( 𝑠 ∈ ( 0 [,] π ) ↦ ( ( ( 𝑠 / 2 ) + Σ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑛 ) ( ( sin ‘ ( 𝑘 · 𝑠 ) ) / 𝑘 ) ) / π ) ) ‘ 0 ) ) = ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) )
1317	1021	recni	⊢ ( π / 2 ) ∈ ℂ
1318	1317	addridi	⊢ ( ( π / 2 ) + 0 ) = ( π / 2 )
1319	1318	oveq1i	⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( ( π / 2 ) / π )
1320	1157 1293 1157 256 1166	divdiv32i	⊢ ( ( π / 2 ) / π ) = ( ( π / π ) / 2 )
1321	1157 1166	dividi	⊢ ( π / π ) = 1
1322	1321	oveq1i	⊢ ( ( π / π ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
1323	1319 1320 1322	3eqtri	⊢ ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) = ( 1 / 2 )
1324	1323	oveq1i	⊢ ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( ( 1 / 2 ) − 0 )
1325		halfcn	⊢ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ
1326	1325	subid1i	⊢ ( ( 1 / 2 ) − 0 ) = ( 1 / 2 )
1327	1324 1326	eqtri	⊢ ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( 1 / 2 )
1328	1327	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( π / 2 ) + 0 ) / π ) − 0 ) = ( 1 / 2 ) )
1329	1251 1316 1328	3eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) d 𝑠 = ( 1 / 2 ) )
1330	1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 841 601 22 23 20 21 1229 1242 19 24 54 1244 1329	fourierdlem95	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1331	1220 1330	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( 𝑌 / 2 ) ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1332	18	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → 𝑍 = ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ) )
1333		fveq2	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) )
1334	1333	fveq1d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) )
1335	1334	oveq2d	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1336	1335	adantr	⊢ ( ( 𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1337	1336	itgeq2dv	⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1338	1337	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑚 = 𝑛 ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1339	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1340	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1341	782	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1342	1340 1341	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1343	1339 1342	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1344	1343	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1345	24	dirkerf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1346	1345	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1347	782	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1348	1346 1347	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1349	1344 1348	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1350	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
1351	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑋 ∈ ℝ )
1352	228	sseli	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1353	1352	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1354	1351 1353	readdcld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ )
1355	1350 1354	ffvelcdmd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1356	1355	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1357	1345	ad2antlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) : ℝ ⟶ ℝ )
1358	1352	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → 𝑠 ∈ ℝ )
1359	1357 1358	ffvelcdmd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ∈ ℝ )
1360	1356 1359	remulcld	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) ∧ 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ∈ ℝ )
1361	70	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → - π ∈ ℝ )
1362	24	dirkercncf	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1363	1362	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ∈ ( ℝ –cn→ ℝ ) )
1364		eqid	⊢ ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) )
1365	1361 1247 830 1168 3 835 836 837 838 839 29 840 1363 1364	fourierdlem84	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( - π [,] π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1366	809 811 1360 1365	iblss	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑠 ∈ ( 0 (,) π ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐿1 )
1367	1349 1366	itgrecl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 ∈ ℝ )
1368	1332 1338 1144 1367	fvmptd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 )
1369	1368	eqcomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1370	1220 1369	syldan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ∫ ( 0 (,) π ) ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) · ( ( 𝐷 ‘ 𝑛 ) ‘ 𝑠 ) ) d 𝑠 = ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) )
1371	1228 1331 1370	3eqtrrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) → ( 𝑍 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝐸 ‘ 𝑛 ) + ( ( 𝑚 ∈ ℕ ↦ ( 𝑌 / 2 ) ) ‘ 𝑛 ) ) )
1372	32 33 1206 1209 1223 1226 1227 1371	climadd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 0 + ( 𝑌 / 2 ) ) )
1373	1214	addlidd	⊢ ( 𝜑 → ( 0 + ( 𝑌 / 2 ) ) = ( 𝑌 / 2 ) )
1374	1372 1373	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ⇝ ( 𝑌 / 2 ) )